Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1 1 Không gian Banach và không gian Hilbert 5 1 1 1 Không gian Banach 5 1 1 2 Không gian Hilbert 6 1 2 Toán tử tuyến tính 6 1 3 Phổ của toán tử tuyến tính[.]
Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.3 Phổ toán tử tuyến tính 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach tốn tử sinh 10 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach 10 1.4.2 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 13 Sự ổn định phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 2.1 Phương trình vi phân khơng gian Hilbert 15 2.2 Sự ổn định theo Lyapunov phương trình vi phân không gian Hilbert 17 2.3 2.2.1 Các khái niệm ổn định 17 2.2.2 Các định lý ổn định theo Lyapunov 18 Sự ổn định theo Lyapunov số phương trình vi phân có dạng đặc biệt không gian Hilbert 22 2.3.1 Các khái niệm J-ổn định 22 2.3.2 Các định lý J-ổn định theo Lyapunov 29 2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov 38 2.5 Tốn tử tiến hóa phương trình vi phân 42 2.6 Sự ổn định phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ 45 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh toán ứng dụng 49 3.1 Phương trình tiến hố đặt chỉnh 49 3.2 Mơ hình chung toán dân số 52 3.3 Mơ hình cụ thể 55 Kết luận 58 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân (LTDTCPTVP) Một hướng nghiên cứu quan trọng nhiều người quan tâm LTDTCPTVP lý thuyết ổn định theo Lyapunov (1857-1918) Dù trải qua thời gian dài lý thuyết ổn định lĩnh vực nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều thành tựu quan trọng Đồng thời lý thuyết ổn định ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: Vật lý, Khoa học kỹ thuật công nghệ, Sinh thái học, Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình vi phân khơng gian Hilbert sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, nhiên khuôn khổ luận văn thạc sỹ toán học, luận văn sử dụng hai phương pháp phương pháp Lyapunov phương pháp nửa nhóm Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày số kiến thức giải tích hàm nửa nhóm tốn tử tuyến tính khơng gian Banach sử dụng chương sau Chương 2: Trình bày khái nệm ổn định phương trình vi phân không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov xấp xỉ thứ Đồng thời thông qua việc xét lớp hệ phương trình vi phân có dạng đặc biệt (dạng "tựa tam giác") đưa khái niệm ổn định phần (J ổn định) cho hệ vơ hạn phương trình vi phân xác lập mối quan hệ tính ổn định theo Lyapunov J -ổn định Ngoài ra, chương chúng tơi trình bày phương pháp xây dựng hàm Lyapunov cho số hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng đơn giản Chương 3: Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức phương trình tiến hóa đặt chỉnh sử dụng phương pháp nửa nhóm tốn tử tuyến tính liên tục mạnh khơng gian Banach để nghiên cứu tốn ứng dụng mơ hình dân số phụ thuộc tuổi Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới PGS TS Đặng Đình Châu, người thầy tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Luận văn tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận góp ý quý bạn đọc Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Banach không gian Hilbert Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 X không gian định chuẩn trường K, tức x ∈ X có xác định số không âm ||x||, gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; • ||λx|| = |λ|||x||, ||x|| = ⇔ x = 0; ∀λ ∈ K, x ∈ X; • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Không gian X gọi đầy đủ dãy Cauchy X dãy hội tụ (tức là, {xn }∞ n=1 dãy Cauchy X tồn x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞)) Định nghĩa 1.1.3 Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) khơng gian đầy đủ (X, ||.||) gọi không gian Banach Định lý 1.1.1 (Định lý Banach-Steinhaus) Một họ bị chặn điểm phép toán liên tục tuyến tính từ khơng gian Banach X vào khơng gian định chuẩn bị chặn Định lý gọi nguyên lý bị chặn 1.1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tiền Hilbert) Khơng gian tuyến tính X xác định trường số thực gọi không gian tiền Hilbert x, y ∈ X, xác định số (x, y) gọi tích vơ hướng x y thỏa mãn tiên đề • Xác định dương: (x, x) ≥ với ∀x ∈ X Đẳng thức xảy x = • Đối xứng: (x, y) = (y, x) với ∀x, y ∈ X • Song tuyến tính: (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert) Không gian Hilbert không gian tiền Hilbert đầy đủ 1.2 Tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1 (Tốn tử tuyến tính) Giả sử X, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn, tốn tử A tác dụng từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính nếu: ∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K A(αx + βy) = αAx + βAy (trong K trường số) Một số tính chất tốn tử A0 = A(−x) = −Ax A(tx) = tAx ∀t ∈ R Định nghĩa 1.2.2 Tốn tử tuyến tính A gọi liên tục x0 ∈ X với dãy xn hội tụ đến x0 , ta có Axn → Ax0 (n → ∞) Định lý 1.2.1 Nếu tốn tử tuyến tính A liên tục điểm x0 ∈ X A liên tục điểm x ∈ X Như để kiểm tra tính liên tục tốn tử tuyến tính A (trong tồn khơng gian) ta cần kiểm tính liên tục x = Định nghĩa 1.2.3 (Toán tử tuyến tính giới nội) Giả sử X, Y khơng gian Banach Tốn tử A : X → Y gọi tốn tử tuyến tính giới nội (bị chặn) A tốn tử tuyến tính đưa tập giới nội vào tập giới nội Xuyên suốt khố luận ta kí hiệu L(X) khơng gian tốn tử tuyến tính giới nội X Định lý 1.2.2 Tốn tử tuyến tính A liên tục giới nội Định lý 1.2.3 Giả sử X, Y không gian Banach A : X → Y toán tử tuyến tính Điều kiện cần đủ để tốn tử A giới nội tồn số c > cho: kAxk c kxk ∀x ∈ X Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X, Y không gian Banach Chuẩn kAk tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y đại lượng: kAxk x6=0 kxk kAk = sup kAxk = sup kxk61 1.3 Phổ tốn tử tuyến tính Giả sử X khơng gian Banach Định nghĩa 1.3.1 Xét tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A), D(A) khơng gian vector X - Điểm λ ∈ C gọi giá trị quy A (λI − A) song ánh D(A) X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X) - Tập giá trị quy, ký hiệu ρ(A) gọi tập giải toán tử A - Tập hợp điểm khơng phải giá trị quy A gọi phổ tốn tử A (kí hiệu σ(A)) Ta có σ(A) = C \ ρ(A) - Tốn tử R(λ, A) = (λI − A)−1 gọi toán tử giải giải thức toán tử A Nếu A tốn tử đóng (λI − A) tốn tử đóng (do λI liên tục) Do (λI − A)−1 tồn tốn tử đóng Suy (λI − A) song ánh D(A) X , A toán tử đóng theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 liên tục Vậy toán tử đóng định nghĩa phổ phát biểu lại là: ρ(A) = λ ∈ C : λI − A song ánh D(A) X σ(A) = C\ρ(A) = {λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không song ánh} Một số tính chất phổ Định lý 1.3.1 Nếu tốn tử A khơng có phổ tồn mặt phẳng phức C A tốn tử đóng Chứng minh Theo giả thiết, tồn λ ∈ / σ(A) Khi B = (λI − A)−1 ∈ L(X); B : X → D(A) Giả sử {xn }n ⊂ D(A): xn → x, Axn → y Đặt hn = (λI − A)xn Suy lim hn = λx − y n↓∞ Vì B liên tục nên B(λx − y) = lim Bhn = lim xn = x Suy x ∈ D(A) n↓∞ n↓∞ Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y Suy Ax = y Vậy A tốn tử đóng Mệnh đề 1.3.1 giả sử A : D(A) ⊂ X → X B : D(B) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính cho R(λ0 , A) = R(λ0 , B) với λ0 thuộc C, D(A) = D(B) A = B Chứng minh Thật vậy, D(A) = RangeR(λ0 , A) = RangeR(λ0 , B) = D(B),và với x ∈ D(A) = D(B) ta có R(λ0 , A)(λ0 x − Ax) = R(λ0 , B)(λ0 x − Ax) = R(λ0 , B)(λ0 x − Bx) λ0 x − Ax = λ0 x − Bx, suy Ax = Bx Tiếp theo ta có phương trình giải thức sau R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A), ∀λ, µ ∈ ρ(A) Mệnh đề 1.3.2 Cho Ω ⊂ C tập mở, {F (λ) : λ ∈ Ω} ⊂ L(X) họ tốn tử tuyến tính thỏa mãn F (λ) − F (µ) = (µ − λ)F (λ)F (µ) ∀λ, µ ∈ Ω Giả sử với λ0 đó, λ0 ∈ Ω, tốn tử F (λ0 ) khả nghịch Khi tồn tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X cho ρ(A) ⊃ Ω R(λ, A) = F (λ) với λ ∈ Ω Chứng minh Với λ0 ∈ Ω, đặt D(A) = RangeF (λ0 ), Ax = λ0 x − F (λ0 )−1 x, ∀x ∈ D(A) Với λ ∈ Ω y ∈ X , phương trình giải thức λx − Ax = y tương đương với (λ − λ0 )x + F (λ0 )−1 x = y Suy (λ − λ0 )F (λ)x + F (λ)F (λ0 )−1 x = F (λ)y Do F (λ)F (λ0 )−1 = (λ0 − λ)F (λ) + I Suy ra, phương trình giải thức có nghiệm x = F (λ)y Vậy λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = F (λ) 1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach tốn tử sinh 1.4.1 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach Định nghĩa 1.4.1 Một họ (T (t))t≥0 tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm) thỏa mãn phương trình hàm ( (F E) T (t + s) = T (t)T (s) ∀t, s ≥ 0, T (0) = I lim T (t)x = T (t0 )x, t→t0 với ∀x ∈ X Chú ý i) Nếu (T (t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn điều kiện với t, s ∈ R ta có nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính liên tục ii) Trong trường hợp nửa nhóm t0 = ta lấy giới hạn bên phải Tiếp theo chúng tìm điều kiện tương đương với tính liên tục mạnh Mệnh đề 1.4.1 (xem [4], tr.38) Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach X Khi tính chất sau tương đương (i) (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh (ii) lim T (t)x = x, ∀x ∈ X t↓0 (iii) Có số δ > 0, M ≥ 1, tập trù mật D ⊂ X thỏa mãn (a) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (b) lim T (t)x = x, ∀x ∈ D t↓0 Mệnh đề 1.4.2 (xem [4], tr.39) Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi tồn số w ∈ R M ≥ thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt , ∀t ≥ 10 (1.1) ... tuyến tính khơng gian Banach sử dụng chương sau Chương 2: Trình bày khái nệm ổn định phương trình vi phân không gian Hilbert theo phương pháp hàm Lyapunov xấp xỉ thứ Đồng thời thông qua vi? ??c xét...2.4 Phương pháp xây dựng hàm Lyapunov 38 2.5 Tốn tử tiến hóa phương trình vi phân 42 2.6 Sự ổn định phương trình vi phân theo phương pháp xấp xỉ thứ ... || Trong phần chúng tơi trình bày lại số định lý tính ổn định nghiệm tầm thường phương trình vi phân khơng gian Hilbert theo phương pháp thứ hai Lyapunov Trước hết nhắc lại số định nghĩa ổn định