(LUẬN văn THẠC sĩ) tích phân ngẫu nhiên đối với martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN TÍNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Lp tính đo 1.2 Hàm biến phân bị chặn tích phân Stieltjes 1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc 1.4 Điều kiện hội tụ 1.5 Quá trình ngẫu nhiên 1.5.1 Các định nghĩa 1.5.2 Hai trình ngẫu nhiên quan trọng 1.6 Thời điểm dừng 1.7 Kỳ vọng có điều kiện tính chất 1.7.1 Các định nghĩa kỳ vọng có điều kiện 1.7.2 Các tính chất kỳ vọng có điều kiện 1.8 Martingale Tích phân ngẫu nhiên L2 -Martingale 2.1 Các tập hợp q trình dự đốn 2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên 2.3 Độ đo tập hợp dự đoán 2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên 2.5 Mở rộng phép lấy tích phân hàm lấy tích phân 7 10 11 11 13 15 16 17 17 18 26 28 29 32 34 42 Cơng thức Ito 47 3.1 Q trình biến phân bậc hai tính chất 47 3.1.1 Định nghĩa đặc trưng biến phân bậc hai 48 3.1.2 Tính chất biến phân bậc hai L2 -Martingale 51 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.2 3.3 3.1.3 Định lý giới hạn Công thức Ito chiều Ứng dụng công thức Ito 3.3.1 Đặc trưng chuyển động Brown 3.3.2 Quá trình mũ 3.3.3 Một họ Martingale sinh M 54 56 59 59 62 65 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI NĨI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên ngày đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất - thống kê đại, có ứng dụng rộng rãi tất lĩnh vực khác công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khốn, bảo hiểm, dự báo rủi ro, nơng nghiệp.Và giảng dạy hầu hết trường đại học ngồi nước, thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu phát triển Trong tích phân ngẫu nhiên khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây dựng nên loại tích phân ngẫu nhiên Martingale,mở rộng tích phân Ito, chúng có ý nghĩa mặt lý thuyết ứng dụng Do nhà tốn học nhà kinh tế nghiên cứu phát triển Phạm vi luận văn hệ thống lại số kết có tìm hiểu thêm tính chất tích phân ngẫu nhiên, xem xét số ứng dụng tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại kiến thức giải tích ngẫu nhiên sở bước đầu tìm hiểu tích phân ngẫu nhiên Martingale Luận văn chia làm chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở cần cho chương tiếp theo.Trọng tâm là: Martingale, martingale liên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingale liên tục phải địa phương Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Nghiên cứu tập hợp trình dự đốn được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo tập dự đoán được, mở rộng phép lấy tích phân hàm lấy tích phân địa phương Chương 3: Cơng thức Ito Tìm hiểu biến phân bậc hai tính chất biến phân bậc hai, công thức Ito ứng dụng công thức Ito TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong bảo thầy cô góp ý xây dựng bạn bè đồng nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Tính (LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lp tính đo Giả sử (S, Σ) không gian đo được, gồm tập hợp S khác rỗng σ- trường Σ tập S Một hàm X : S → Rd gọi Σ- đo X −1 (A) ∈ Σ với tập Borel A Rd , X −1 kí hiệu nghịch ảnh Một định nghĩa giữ nguyên tương tự hàm ¯ = [−∞, ∞] Ta sử dụng 00 X ∈ Σ00 có nghĩa " X Σ- đo X :S→R " 00 X ∈ bΣ00 có nghĩa ” X bị chặn Σ đo " Nếu ΓPlà họ Σ, hàm X : S → Rd gọi Γ- đơn giản X = nk=1 ck 1Λk với ck số Rd , tập hợp Λk ∈ Γ, n ∈ N Một hàm gọi Σ-đo Ngược lại hàm Σ- đo giới hạn theo điểm dãy hàm Σ-đơn giản Ví dụ : Một hàm Σ-đo X : S → R giới hạn theo điểm dãy {X n } hàm Σ-đơn giản xác định bởi: n n2 X k n X = 1{k2−n 6X lim P [|Xn − X| > ε] → n→∞ Định nghĩa 1.4.2 Dãy biến ngẫu nhiên Xn gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X tồn tập A có xác suất khơng cho Xn (ω) → X(ω) với ω∈ /A 10 (LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com {(Mt∧τ )2 + (M0 )2 + [M ]t } hầu chắn M dM k (3.8) Bởi hệ 1.8.11 với định lý bị chặn Doob Từ dãy thời điểm dừng {t ∧ τk , k ∈ N} bị chặn t ,{(Mt∧τk )2 , k ∈ N} khả tích Ngồi ra, 52 (LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale(LUAN.van.THAC.si).tich.phan.ngau.nhien.doi.voi.martingale R t∧τ (M0 )2 [M ]t L1 Mà {| k M dM |, k ∈ N} khả tích Rt Do { M dM, t ∈ R+ } martingale đẳng thức trung bình mà biến phân ban đầu khơng Bằng cách vừa chứng minh tính chất trung bình khơng (3.2) (3.7) ta có E(Stn ) = E([M ]t ) n t Từ Stn [M ]t biến phân dương mệnh đề 1.4.1 mà {Stn } hội tụ L1 tới [M ]t t Do phần (iii) chứng minh Đối với chứng minh phần (iv), đủ để chứng minh tuyến tính sau ∞  Z λ[M ] (R) = E  1R d[M ]t  = µM (R) (3.9) Đối với hình chữ nhật dự đốn R Khi R = 1{0}×F R ∞0 F0 ∈ F0 , λ[M ] (R) µM (R) khơng định nghĩa 1R d[M ]s = từ s → [M ]s liên tục s = Khi R = 1(s,t]×F s < t F ∈ Fs , ∞  Z λ[M ] (R) = E{1F ([M ]t − [M ]s )} = E  1R d[M ]s  µM (R) = E{1F ((Mt )2 − (Ms )2 )}    Z = E 1F [M ]t − [M ]s + st M dM Đẳng thức sau (3.2) Bây phần (ii) ta có:  Zt E s   t  Z Zs M dM Fs  = E  M dM − M dM