1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

(LUẬN văn THẠC sĩ) tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân KONTOROVICH LEBEDEV và FOURIER

63 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Nội dung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN HOẰNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM VĂN HOẰNG TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KONTOROVICH-LEBEDEV VÀ FOURIER Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO Hà Nội - Năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Lp Lp với hàm trọng 1.2 Các phép biến đổi tích phân 10 1.3 Tích chập số tích chập suy rộng 12 1.3.1 Sơ lược tích chập phép biến đổi tích phân 12 1.3.2 Định nghĩa tích chập suy rộng 14 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI HAI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN K, FC VÀ K, FS 17 2.1 Định nghĩa 17 2.2 Tính chất tốn tử tích chập 18 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI BA PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN K, FC VÀ FS 36 3.1 Giới thiệu 36 3.2 Tính chất tích chập suy rộng 38 3.3 Ứng dụng tích chập suy rộng giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân 51 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R+ = {x ∈ R, x > 0} • C0 (R+ ): tập hợp hàm số liên tục, bị chặn R+ , triệt tiêu vô cực ( lim f (t) = 0) t→+∞ • Lα,β p : không gian hàm xác định R+ thỏa mãn Z∞ |f (x)|p K0 (βx)xα dx < ∞ • K : phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev: Z∞ Kix [f ] = f (t)Kix (t)dt • Fc : phép biến đổi tích phân Fourier cosine: r Z∞ f (t) cos xtdt (Fc f )(x) = π • Fc : phép biến đổi tích phân Fourier sine: r Z∞ (Fs f )(x) = f (t) sin xtdt π • h.k.n: hầu khắp nơi −2− TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER LỜI NĨI ĐẦU Tích chập phép biến đổi tích phân nhà toán học nghiên cứu từ lâu ứng dụng để giải lớp lớn tốn đánh giá tích phân, tính tổng chuỗi, tìm nghiệm phương trình tốn lý với dạng biểu diễn nghiệm gọn đẹp Vào năm 1951, sách mình, I.N Sneddon đưa cơng thức tích chập, đẳng thức nhân tử hố có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Tích chập xác định sau (xem [14]) (f ∗ g)(x) = √ sc 2π Z∞ f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.1) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá đẳng thức Parseval Fs [f ∗ g])(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ), (0.2) (f ∗ g)(x) = Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ) (0.3) sc sc Năm 1998, V A Kakichev Nguyễn Xuân Thảo đưa định nghĩa tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân điều kiện cần để có tích chập suy rộng điều kiện (xem [8]) Năm 2010, S.B Yakubovich L E Britvina nghiên cứu tích chập suy rộng mà đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân (xem [22]) Tiếp tục hướng nghiên cứu này, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, em nghiên cứu đề tài: Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev Fourier Luận văn gồm phần lời nói đầu, ba chương, kết luận, cơng trình liên quan đến luận văn, tài liệu tham khảo, (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER nội dung chương chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị: trình bày lại số kiến thức phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ví dụ Chương 2: Một số tích chập suy rộng với hai phép biến đổi tích phân: giới thiệu bốn tích chập suy rộng S.B.Yakubovich L.E.Britvina báo Chương tác giả đưa tính chất tích chập suy rộng chứng minh chi tiết tính chất Điều thú vị chương kĩ thuật ước lượng với chuẩn kĩ thuật tính tốn, biến đổi tích phân Chương 3: Tích chập suy rộng với ba phép biến đổi tích phân K , Fs Fc : Đây đóng góp của tác giả luận văn Với tích chập đưa ra, tác giả có ước lượng với chuẩn để từ tích chập suy rộng hàm số xác định, liên tục R+ thuộc không gian Lp (R+ ; xα e−βx dx) Tác giả tìm mối liên hệ tích chập suy rộng ứng dụng tính chất nghiên cứu để đưa cơng thức nghiệm cho lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Điểm tác giả xây dựng tích chập suy rộng xác định sau: Z (0.4) (f ∗ g)(x) = H(u, v, x)f (u)g(v)dudv, x > π R2+ với H(u, v, x) = [sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ] có đẳng thức nhân tử hóa (Fs f )(w)(Fc g)(w) (0.5) sinh πw Kết làm phong phú thêm tích chập suy rộng lần Kiw (f ∗ g) = đẳng thức nhân tử hóa có phép biến đổi tích phân tác động phép biến đổi Kontorovich-Lebedev vào tích chập suy rộng Hơn nữa, tích chập suy rộng nghiên cứu lớp không gian hàm Lp (R+ ; xα e−βx dx) −4− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Không giống lớp không gian Lα,β mà S.B Yakubovich thường dùng p nghiên cứu phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, không gian Lp (R+ ; xα e−βx dx) mà tác giả nghiên cứu có hàm trọng không gian không phụ thuộc vào hàm đặc biệt Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, người quan tâm, tận tình hướng dẫn em thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên đề cao học giúp em có kiến thức, phương pháp nghiên cứu để giải yêu cầu đề tài Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh chị em nhóm Seminar Giải tíchĐHKHTN, Seminar Đại số-Giải tích-ĐHKHTN Seminar Giải tích -ĐHBK Hà Nội đóng góp q báu cho em q trình hồn thiện luận văn −5− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Lp Lp với hàm trọng Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, ≤ p < ∞, Ω ⊂ Rn Lp (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C); f đo |f |p khả tích } L∞ (Ω) = {f : Ω → R (hoặc C ); f đo ∃M : |f (x)| ≤ M -h.k.n } Các R không gian có chuẩn tương ứng kf kp = |f |p dx) p Ω  kf k∞ = inf M : |f (x)| ≤ M − h.k.n} Kí hiệu Lp (Rn ) = Lp Giả sử Ω1 ⊂ Rd1 , Ω2 ⊂ Rd2 , (d1 , d2 ∈ N) hai tập mở F : Ω1 × Ω2 → R (hoặc C) hàm đo R Định lí 1.1.1 (Tonelli, [5]) Giả sử F (x, y)dy < +∞ -h.k.n, x ∈ Ω1 , Ω2 R R |F (x, y)|dy < +∞ Khi F khả tích Ω1 × Ω2 Ω1 Ω2 Định lí 1.1.2 (Fubini, [5]) Cho F khả tích Ω1 × Ω2 Khi đó, với hầu hết R x ∈ Ω1 , ta có F (x, ) : y 7→ F (x, y) khả tích Ω2 x 7→ F (x, y)dy khả Ω2 tích Ω1 Kết luận tương tự thay đổi vai trò x cho y , Ω1 cho Ω2 Hơn nữa, ta có: Z Z Z Z Z dx F (x, y)dy = dy F (x, y)dx = Ω1 Ω2 Ω2 F (x, y)dxdy Ω1 ×Ω2 Ω1 (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Định lí 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder,[5] ) Cho f ∈ Lp g ∈ Lp với R ≤ p ≤ +∞ Khi f g ∈ L1 |f g|dx ≤ ||f ||p ||g||p0 ( p0 số liên hợp p, ≤ p ≤ +∞, Rn 1 + = p p0 Định lí 1.1.4 (Fischer-Riesz,[12]) a) Lp khơng gian Banach với ≤ p ≤ +∞ b) Giả sử fn dãy hội tụ f không gian Lp với ≤ p ≤ +∞, tức ||fn − f || → Khi đó, tồn dãy fnk cho fnk → f -h.k.n, ∀k, |fnk (x)| ≤ h(x) với h hàm Lp Ta biết, hàm Macdonald Kν (z) thỏa mãn phương trình vi phân z2 du d2 u + z − (z + ν )u = dz dz (1.1) Hàm Macdonald có dáng điệu tiệm cận vơ cực (xem [6]) Kν (z) =  π  21 2z e−z [1 + O(1/z)], z → ∞, (1.2) gần z ν Kν (z) = 2ν−1 Γ(ν) + o(1), z → 0, ν 6= 0, (1.3) K0 (z) = − log z + O(1), z → (1.4) Ta biết (xem [13]), hàm biến dạng Bessel Kix (t) biểu diễn tích phân Fourier: Z∞ Kix (t) = e−t cosh u cos xudu, t > 0, (1.5) x ∈ R, ix số ảo Hơn nữa, tích phân mở rộng π dải σ ∈ [0, ) nửa mặt phẳng Kix (t) = iσ+∞ Z e−t cosh z+ixz dz, t > iσ−∞ −7− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1.6) (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER có ước lượng chuẩn: |Kix (t)| ≤ e−|x| arccos β K0 (βt), < β ≤ (1.7) Từ cơng thức (1.5), ta có: Z∞ K0 (t) = e−t cosh u du > 0, t ∈ (0; ∞) (1.8) Định nghĩa 1.1.2 ([22]) Cho α ∈ R, < β 1, ta định nghĩa Lα,β không p gian hàm f (x) xác định R+ thỏa mãn Z∞ |f (x)|p K0 (βx)xα dx < ∞ (1.9) Chuẩn hàm không gian tính theo cơng thức kf kLα,β = p  Z∞ p α |f (x)| K0 (βx)x dx  p1 Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa không gian Lα,β p , p = 1, 2, sử dụng bất đẳng thức Schwartz tính tốn với tích phân với hàm Bessel biến dạng (xem bổ đề 2.1 [19]), khơng khó để tìm thấy quan hệ bao hàm khơng gian Ví dụ, ta thấy L0,1 chứa không gian L2 (R+ ; dx) ta có ước lượng Z∞ |f (x)|K0 (x)dx ≤ Z∞ ! 21 K02 (x)dx Z∞ ! 21 |f (x)|2 dx = π ||f ||L2 (R+ ;dx) 0,1 α Suy luận tương tự, ta kết Lα,1 chứa không gian L2 (R+ ; x dx) L2 −8− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER  Z+∞ 2 α−1 −(1+β)x = ||f ||L2 (R+ ;dx) ||g||L1 (R+ ;dx) m(x)x e dx π Nhận xét m(x) ≤ √ max{x−1 ; 1} ≤ √ max{x−1 + 1} Do  Z+∞  α−1 −(1+β)x m(x)x e dx ≤  Z+∞ √  2x x e dx +  Z+∞ √ α−1 −(1+β)x 2x e  dx 0 +∞ Z √ = −1 α−1 −(1+β)x  α−2 −(1+β)x 2x e   dx + Z+∞ √ 2x α−1 −(1+β)x e  dx = √   −α+1 −α β+1 Γ(α − 1) + β + Γ(α) , α > Vậy ||(f ∗ g)||L2 (R+ ;xα e−βx dx) ≤ Cα ||f ||L2 (R+ ;dx) ||g||L1 (R+ ;dx) với   21 Cα = 2 (β + 1)−α+1 Γ(α − 1) + (β + 1)−α Γ(α) , α > π (3.12) Ta có  Z+∞ 2  21 (Fs f )(w)(Fc g)(w) w sinh πwdw sinh πw  Z+∞ 2 = (Fs f )(w)(Fc g)(w) w dw sinh πw  12 Đẳng thức nhân tử hóa (3.14) chứng minh tương tự Định lí 3.2.1 Từ giả 2 w thiết, suy (Fc g)(w) bị chặn, Fs f ∈ L2 (R+ ; dw) sinh πw Vậy (Fs f )(w)(Fc g)(w) ∈ L2 (R+ ; w sinh πwdw) Do đó, ta có đẳng thức sinh πw nhân tử hóa (3.14) −47− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Định lí 3.2.4 Giả sử f (x) ∈ Lp (R+ ; dx), g(x) ∈ Lq (R+ ; dx), < p, q < +∞; p−1 + q −1 = Khi đó, tích chập (3.3) hàm số xác định liên tục ∀x > Hơn nữa, với β > 0; r < α − , ta có f ∗ g ∈ Lr (R+ ; xα e−βx dx) ước lượng chuẩn ||(f ∗ g)||Lr (R+ ;xα e−βx dx) ≤ (r + β)r−α−1 Γ(α − r + 1)||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π Ngồi ra, ta có đẳng thức dạng Parseval (3.4) Với điều kiện f, g ∈ L1 (R+ ; dx) ta nhận đẳng thức nhân tử hóa (3.14) Chứng minh Từ (3.9), ta có: Z∞ | sinh(u + v)e −x cosh(u+v) −x cosh(u−v) + sinh(u − v)e −x cosh v 2e−x |du e x x Mặt khác, Z∞ | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |dv ≤ Z∞ | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) |dv + Z∞ | sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |dv Z+∞ Z−∞ = sinh te−x cosh t dt + | sinh t|e−x cosh t (−dt) u Z+∞ u sinh te−x cosh t dt − = u Zu | sinh t|e−x cosh t dt = −x cosh u −x e < e x x −∞ −48− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Sử dụng bất đẳng thức Holder với hai hàm, ta có: |(f ∗ g)(x)| Z 1 −x cosh(u+v) −x cosh(u−v) p + q + sinh(u − v)e | |f (u)||g(v)|dudv | sinh(u + v)e π R2+ π Z | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ||f (u)|p dudv  p1 R2+ Z | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ||g(v)|q dudv  1q R2+  Z+∞ Z+∞ p  −x cosh(u+v) −x cosh(u−v) p | sinh(u + v)e + sinh(u − v)e |dv |f (u)| du π 0 q  Z+∞ Z+∞  | sinh(u + v)e−x cosh(u+v) + sinh(u − v)e−x cosh(u−v) |du |g(v)|q dv 0 = π2  Z+∞ −x 2e |f (u)|p du x  p  Z+∞ 2e π2x 2e |g(v)|q dv x q 0 −x  −x p   Z+∞ q Z+∞ p q |f (u)| du |g(v)| dv 0 −x = 2e ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2x Suy : ||(f ∗ g)||Lr (R+ ;xα e−βx dx) =  Z+∞ r (f ∗ g)(x) xα e−βx dx r  Z+∞ 2e−x ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2x r xα e−βx dx r −49− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER  Z+∞ r α−r −(r+β)x = ||f ||Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) x e dx π Vậy ||(f ∗g)||Lp (R+ ;xα e−βx dx) ≤ r−α−1 r r ||f || (r +β) (Γ(α−r +1)) Lp (R+ ;dx) ||g||Lq (R+ ;dx) π2 Đẳng thức dạng Parseval đẳng thức nhân tử hóa (3.14) chứng minh tương tự Định lí 3.2.1 Nhận xét 3.2.1 Với giả thiết tương tự Định lí (3.2.1), (3.2.2), (3.2.3), (3.2.4) ta dễ dàng chứng minh f ∗ g ∈ Lα,β p (R+ ) Do đó, ta nhận kết tương tự chương Nhận xét 3.2.2 Dễ thấy tích chập suy rộng (3.3) khơng giao hốn, thay đổi vai trị u v , ta có tích chập suy rộng (f ∗ g)(x) = (5) Z = [sinh(u + v)e−x cosh(u+v) − sinh(u − v)e−x cosh(u−v) ]f (u)g(v)dudv, x > π R2+ (3.13) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Kiw (f ∗ g) = (5) (Fc f )(w)(Fs g)(w) sinh πw (3.14) Mệnh đề 3.2.1 a)Với f ∈ L2 (R+ ; xdx), g ∈ L1 (R+ ; dx) ∩ L2 (R+ ; dx), h ∈ L1 (R+ ; dx) ta có đẳng thức sau:   f ∗ g ∗h=f ∗ g ∗ h (Fs ) (3.15) (Fs ) b)Với f ∈ L1 (R+ ; xdx) ∩ L2 (R+ ; dx), ϕ, ψ ∈ L1 (R+ ; dx) ta có đẳng thức sau:   ϕ ∗ f ∗ψ =ϕ∗ ψ ∗ f (3) (3.16) (4) −50− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Chứng minh Thật vậy, với điều kiện trên, theo định lí 3.2.1 tính chất biết phép biến đổi Fs , sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (3.15), (3.16).2 Mệnh đề 3.2.2 Cho f, g ∈ L1 (R+ ; dx) Khi đó,ta có: r Z+∞   f (u) sinh te−x cosh t ∗ g(t) (u)du (f ∗ g)(x) = (Fc ) π π (3.17) Chứng minh Biểu diễn (3.17) nhận nhờ biểu diễn (3.3), định lí 3.2.1 sinh te−x cosh t ∈ L1 (R+ ; dx) nên tích chập sinh te−x cosh t ∗ g(t) tồn (Fc ) 3.3 Ứng dụng tích chập suy rộng giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân Trong mục này, ta ứng dụng tính chất phép biến đổi Fourier Kontorovich-Lebedev để giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân có liên quan đến tích chập (3.3) tích chập suy rộng nghiên cứu chương Trước hết, ta xét số phương trình tích phân loại một: f ∗ h = g, (3.18) h ∗ f = g, (3.19) với g, h hàm số cho trước; f hàm số cần tìm Định lí 3.3.1 Giả sử g ∈ L2 (R+ ; tdt), h ∈ L2 (R+ ; dt) Điều kiện cần đủ để sinh πxKix [g] ∈ phương trình (3.18) có nghiệm không gian L2 (R+ ; dt) (Fc h)(x) L2 (R+ ; dx) Hơn nữa, nghiệm f (t) biểu diễn công thức: r ZN sinh πxKix [g] f (t) = lim sin xtdx (3.20) N →∞ π (Fc h)(x) N −51− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f ∈ L2 (R+ ; dt), g ∈ L2 (R+ ; tdt), h ∈ L2 (R+ ; dt) thỏa mãn (3.18) Theo Định lí 3.2.2 ta có đẳng thức nhân tử hóa: (Fs f )(x)(Fc h)(x) sinh πx Kix [g] sinh πx Fs (f )(x)Fc (h)(x) sinh πx = = (Fs f )(x) ∈ L2 (R+ ; dx) (Fc h)(x) sinh πx (Fc h)(x) Kix [g] = Kix [f ∗ h] = Vậy Kix [g] sinh πx ∈ L2 (R+ ; dx) (Fc h)(x) Kix [g] sinh πx ∈ L2 (R+ ; dx), ta tìm hàm f ∈ L2 (R+ ; dx) (Fc h)(x) thỏa mãn (3.18) Theo Định lí 3.2.2, ta có đẳng thức nhân tử hóa Kix (f ∗ h) = (Fs f )(x)(Fc h)(x) Tác động phép biến đổi Kontorovich-Lebedev vào hai vế sinh πx (Fs f )(x)(Fc h)(x) Kix [g] sinh πx = Kix [g], (Fs f )(x) = (3.18), ta sinh πx (Fc h)(x) Từ công thức biến đổir Fourier sine ngược, f xác định RN sinh πxKix [g] công thức f (t) = lim sin xtdx N →∞ π1 (Fc h)(x) Điều kiện đủ Nếu N Định lí 3.3.2 Giả sử g ∈ L2 (R+ ; tdt), h ∈ L2 (R+ ; dt) Điều kiện cần đủ để Kix [g] sinh πx ∈ phương trình (3.19) có nghiệm khơng gian L2 (R+ ; dt) (Fs h)(x) L2 (R+ ; dx) Hơn nữa, nghiệm f (t) biểu diễn công thức r ZN sinh πxKix [g] f (t) = lim sin xtdx N →∞ π (Fs h)(x) (3.21) N (Fs h)(x)(Fc f ) Sau đây, ta nghiên sinh πx cứu số phương trình tích phân loại hai chứa tích chập: Tương tự định lý với nhận xét Kix (h ∗ f ) = −52− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER   f (x) + (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) (x) = g(x), x > (3)   f (x) + (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) (x) = g(x), x > (4)   f (x) + ϕ ∗ (f ∗ ψ) (x) = g(x), x > (3.22) (3.23) (3.24) (3) Định lí 3.3.3 Giả sử g ∈ L2 (R+ ; tdt), ϕ, ψ ∈ L1 (R+ ; dt) Điều kiện cần đủ để phương trình (3.22) có nghiệm thuộc lớp L1 (R+ ; dt) ∩ L1 (R+ ; tdt) Kix [g] ∈ L2 (R+ ; x sinh πx)dx Hơn nữa, nghiệm f (t) + Kix [ϕ ∗ ψ] biểu diễn theo công thức f (t) = lim N →∞ π ZN x sinh πx  Kix (t)  Kix [g] dx t + Kix [ψ ∗ ϕ] (3.25) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tồn hàm ϕ, ψ ∈ L1 (R+ ; dt), g ∈ L2 (R+ ; xdx), f ∈ L1 (R+ ; dx) ∩ L1 (R+ ; xdx) thỏa mãn phương trình (3.22) Từ giả thiết, ta có:   Kix [f (x) + (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) ] Kix [g] (3) = + Kix [ϕ ∗ ψ] + Kix [ϕ ∗ ψ] Fs (ϕ ∗ f )Fc (ψ)(x) (3) Kix [f ] + sinh πx = + Kix [ϕ ∗ ψ] Fs (ϕ)Kix [f ]Fc (ψ)(x) Kix [f ] + sinh πx = + Kix [ϕ ∗ ψ] Kix [f ](1 + Kix [ϕ ∗ ψ]) = (1 + Kix [ϕ ∗ ψ]) = Kix [g] ∈ L2 (R+ ; x sinh πxdx) −53− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Điều kiện đủ Với điều kiện cho, theo Định lí 3.2.1 3.2.2, từ (3.22), ta có:  Kix [f ] + Kix (ϕ ∗ f ) ∗ ψ) = Kix [g] (3) ⇒ Kix [f ] Kix [g] ∈ L2 (R+ ; x sinh πx)dx + Kix [ϕ ∗ ψ] Theo tính chất phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, (3.22) có nghiệm xác định công thức: f (t) = lim N →∞ π ZN x sinh πx  Kix (t)  Kix [g] dx t + Kix [ψ ∗ ϕ] Do đó, (3.25) Với cách suy luận tương tự, ta có điều kiện cần đủ để phương trình (3.23), (3.24) có nghiệm Cuối cùng, ta xét lớp hệ phương trình có liên quan đến tích chập  f + g ∗ ϕ1 = h1 g + ϕ2 ∗ f = h2 (3.26) (3) Định lí 3.3.4 Giả sử h1 , ϕ1 ∈ L2 (R+ ; dx) ∩ L2 (R+ ; xdx) h2 , ϕ2 ∈ L2 (R+ ; dx) ∆ = − Kix (ϕ2 ∗ ϕ1 ) bị chặn ∆ 6= 0, ∀x > Điều kiện cần đủ để hệ  (3.26) có nghiệm lớp L2 (R+ ; tdt) ∩ L0,β ; L2 (R+ ; dt) Kix [h1 − ϕ2 ∗ ϕ1 ] ∈ L2 (R+ ; x sinh πxdx), − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] (Fs h2 )(x) − Kix (Fs ϕ2 )(x) ∈ L2 (R+ ; dx) − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] (3.27) (3.28) −54− (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER(LUAN.van.THAC.si).tich.chap.suy.rong.doi.voi.cac.phep.bien.doi.tich.phan.KONTOROVICH.LEBEDEV.va.FOURIER Hơn nữa, nghiệm biểu diễn công thức: f (t) = lim N →∞ π ZN x sinh πx  Kix [h1 − ϕ2 ∗ ϕ1 ]  Kix (t) Kix dx, t − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 ] r ZN (Fs h2 )(x) − Kix [h1 ](Fs ϕ2 )(x) g(t) = lim sin xtdx N →∞ π − Kix [ϕ2 ∗ ϕ1 (3.29) (3.30) N Chứng minh Từ giả thiết, theo Định lí 2.2.5 Định lí 3.2.2, với u cầu tìm  nghiệm (f ; g) lớp hàm L2 (R+ ; tdt)∩L0,β ; L2 (R+ ; dt) , ta tác động phép biển đổi Kontorovich-Lebedev Fourier sine vào hai vế phương trình (3.26) ta có :  (Fc ϕ1 )(x)  (Fc g)(x) = Kix [h1 ] Kix [f ] + sinh πx (F ϕ )(x)K [f ] + (F g)(x) = (F h )(x) c ix c (3.31) s Nhận hệ phương trình hai ẩn với Kix [f ], (Fc g)(x) ta có định thức Crammer (F ϕ )(x) c 1

Ngày đăng: 20/12/2023, 19:51