Luận Án Tiến Sĩ Các Phép Biến Đổi Tích Phân Kiểu Tích Chập Suy Rộng Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine Và Ứng Dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− NGUYỄN THANH HỒNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER, FOURIER COSINE, FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 z Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học:PGS TS Nguyễn Xuân Thảo GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: GS TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 3: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp phòng Hội thảo, tầng 4, nhà T1, trường ĐHKHTN Hà Nội vào hồi 14 00 ngày 01 tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư Viện Quốc Gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội z MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER 18 SINE VỚI HÀM TRỌNG 1.1 Định lí kiểu Watson 19 1.2 Định lí kiểu Plancherel 26 1.3 Ứng dụng giải phương trình hệ phương trình tích phân 30 Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY 40 RỘNG VỚI HÀM TRỌNG 2.1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sinecosine với hàm trọng 40 2.2 2.1.1 Định lí kiểu Watson 41 2.1.2 Định lí kiểu Plancherel 46 2.1.3 Ví dụ 50 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosinesine với hàm trọng 53 2.2.1 Tính unita khơng gian L2 (R+ ) 53 2.2.2 Xấp xỉ theo chuẩn không gian L2 (R+ ) 59 2.2.3 Ví dụ 62 z 2.3 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine, Fourier Fourier cosine với hàm trọng 66 2.3.1 Tính chất tốn tử tích chập suy rộng 67 2.3.2 Định lí kiểu Watson 73 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG 3.1 77 Bất đẳng thức tích chập Fourier cosine 77 3.1.1 Định lí kiểu Young 79 3.1.2 Một bất đẳng thức không gian với trọng tích chập Fourier cosine 82 3.1.3 Áp dụng đánh giá nghiệm số tốn khơng gian Lp (R+ , ρ) 84 3.2 3.3 Một số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel 88 3.2.1 Phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt 88 3.2.2 Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt 94 Một số lớp tốn vi-tích phân 98 3.3.1 Bài tốn vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng 99 3.3.2 Hệ phương trình vi-tích phân kiểu phép biến đổi tích chập suy rộng 106 KẾT LUẬN 111 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 113 TÀI LIỆU THAM KHẢO 114 −6− z MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a Các không gian hàm dùng luận án • R+ = {x ∈ R, x > 0} • Lp (R+ ), p < ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho Z∞ f (x) : |f (x)|p dx < ∞ • L∞ (R+ ) tập hợp hàm số f (x) xác định R+ cho f (x) : sup |f (x)| < ∞ x∈R+ • cho Lp (R+ , ρ), p < ∞ tập hợp hàm số f (x) xác định R+ Z∞ |f (x)|p ρ(x)dx < ∞ ρ hàm trọng dương • kf kLp (R) chuẩn hàm f không gian Lp (R), xác định kf kLp (R) =  Z∞  p1 |f (x)| dx p −∞ • kf kLp (R+ ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ ), xác định kf kLp (R+ ) =  Z∞ p |f (x)| dx  p1 • kf kLp (R+ ,ρ) chuẩn hàm f không gian Lp (R+ , ρ), xác định kf kLp (R+ ,ρ) =  Z∞ z p |f (x)| ρ(x)dx  p1 b Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng luận án • (· ∗ ·) (xem trang 10) tích chập phép biến đổi Fourier • (· ∗ ·) (xem trang 11) tích chập phép biến đổi Fourier cosine • (· ∗ ·) (xem trang 12) tích chập suy rộng phép biến đổi F Fc Fourier sine Fourier cosine • γ (· ∗ ·) (xem trang 18) tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y Fs phép biến đổi Fourier sine • (· ∗ ·) (xem trang 24) tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine • γ (· ∗ ·) (xem trang 25) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y phép biến đổi Fourier sine Fourier cosine • γ (· ∗ ·) (xem trang 30) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin y phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine • γ (· ∗ ·) (xem trang 66) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y phép biến đổi Fourier sine, Fourier Fourier cosine • γ (· ∗ ·) (xem trang 66) tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y sin y phép biến đổi Fourier cosine, Fourier Fourier sine −8− z MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đời liên tục phát triển suốt trăm năm qua có ứng dụng nhiều ngành khoa học, đặc biệt ngành Vật lí quang học, điện, học lượng tử, âm Lý thuyết phép biến đổi tích phân tích chập phép biến đổi tích phân cịn có vai trị khơng thể thiếu ngành y sinh học, địa lí, hải dương học, Các phép biến đổi tích phân đời sớm có vai trị đặc biệt quan trọng lí thuyết ứng dụng phải kể đến trước hết phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Bản thân phép biến đổi Fourier đời xuất phát từ toán thực tế, Fourier J nghiên cứu q trình truyền nhiệt Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [9, 41]) (F f )(x) = F [f ](x) = √ 2π Z∞ e−ixy f (y)dy, f ∈ L1 (R), (0.1) −∞ (F f )(x) = F [f ](x) = lim √ N →+∞ 2π ZN e−ixy f (y)dy, f ∈ Lp (R), p −N (0.2) Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [9, 41]) f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = √ 2π z Z∞ −∞ eixy g(y)dy (0.3) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lp (R), p 2, ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [9, 41]) f (x) = (F −1 g)(x) = F −1 [g](x) = lim √ N →+∞ 2π ZN eixy g(y)dy (0.4) −N Trong trường hợp f hàm số chẵn lẻ ta nhận phép biến đổi Fourier cosine Fourier sine có dạng sau (xem [38, 41]) r Z∞ f (x) cos xydx, f ∈ L1 (R+ ), (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = π (0.5) r Z∞ (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = f (x) sin xydx, f ∈ L1 (R+ ), π (0.6) với f ∈ Lp (R+ ), p 2, ta có r ZN f (x) cos yxdx, (Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim N →∞ π (0.7) r ZN (Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim f (x) sin yxdx, N →∞ π (0.8) 1 + = 1, giới hạn p q hiểu theo chuẩn không gian Lq (R+ ) Các định nghĩa trùng đó, q số mũ liên hợp p, tức f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỉ 20 Tích chập xây dựng tích chập phép biến đổi Fourier, cụ thể tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier có dạng sau (xem [39]) (f ∗ g)(x) = √ F 2π Z∞ f (y)g(x − y)dy, x ∈ R −∞ −10− 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (0.9) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Tích chập thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá sau (xem [39]) F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R) F Năm 1951, Sneddon I N xây dựng tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier cosine sau (xem [39]) (f ∗ g)(x) = √ Fc 2π Z∞ f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy, x > (0.10) Tích chập thoả mãn đẳng thức nhân tử hố đẳng thức Parseval sau (xem [39, 5]) Fc [f ∗ g](y) =(Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ), Fc (f ∗ g)(x) =Fc [(Fc f )(y)(Fc g)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2 (R+ ) Fc (0.11) (0.12) Sau đó, tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin xây dựng nghiên cứu (xem [17, 13]) Tích chập phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng lí thú tính tốn tích phân, tính tổng chuỗi, giải tốn Vật lí-Tốn, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân, lí thuyết xác suất, xử lí ảnh, Mặc dù có nhiều ứng dụng thú vị nhiều lĩnh vực khác trước năm 50 kỉ trước, khơng có nhiều tích chập phép biến đổi tích phân xây dựng Năm 1958, lần Vilenkin Y.Ya thiết lập cơng thức tích chập với hàm trọng phép biến đổi Mehler-Fox (xem [58]) Gần thập kỉ sau, năm 1967, Kakichev V.A đưa phương pháp kiến thiết để xây dựng tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân (xem [20]) Nhờ đó, ông xây dựng tích chập phép biến đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine (xem [20]) −11− 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Vào năm 1951, sách [38], Sneddon I.N đưa cơng thức tích chập "lạ", đẳng thức nhân tử hố có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine Tích chập xác định sau (xem [38]) (f ∗ g)(x) = √ 2π Z∞ f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, (0.13) thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá đẳng thức Parseval (xem [38, 6]) Fs [f ∗ g])(y) =(Fs f )(y)(Fc g)(y), f, g ∈ L1 (R+ ), (f ∗ g)(x) =Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x), f, g ∈ L2 (R+ ) (0.14) (0.15) Khoảng năm 90 kỉ trước, Yakubovich S B giới thiệu số tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Mellin, KontorovichLebedev, phép biến đổi G phép biến đổi H theo số Trong đẳng thức nhân tử hố có phép biến đổi khác thuộc họ Trên sở ý tưởng Kakichev V.A [20], năm 1998, Kakichev V.A Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp kiến thiết xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng ba phép biến đổi tích phân (xem [22]) Kết mở hướng nghiên cứu xây dựng tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác Cho đến nay, dựa cơng trình này, số tích chập suy rộng xây dựng nghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng phép biến đổi Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine Fourier sine (xem [43]); tích chập suy rộng phép biến đổi I (xem [2, 52]); tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi Fourier cosine Kontorovich-Lebedev ngược (xem [2, 55]); tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân dạng Fourier (xem [15, 16]) Tiếp theo, mở rộng khái niệm tích chập suy rộng, khái niệm đa chập Kakichev V.A xây dựng năm 1998 (xem [21]) Đặc biệt, năm 2008, Luận án Tiến sĩ (xem [1]), tác giả Nguyễn Minh −12− 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z √ 2πλ2 (2 sin y(Fs ψ)(y) + (Fc ξ)(y)) =1 − 4πλ1 λ2 (2 sin2 y(Fs ϕ)(y)(Fs ψ)(y) − sin y(Fs ϕ)(y)(Fc ξ)(y)) −36− 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Theo giả thiết ϕ(x) = (ϕ1 ∗ ϕ2 )(x), từ điều kiện (1.31), ta có 1
= ∆ − 4πλ1 λ2 sin y(Fs ϕ)(y)(Fs ψ)(y) − sin y(Fs ϕ)(y)(Fc ξ)(y)
= − 4πλ1 λ2 sin2 y(Fs ϕ1 )(y)(Fc ϕ2 )(y)(Fs ψ)(y) − sin y(Fs ϕ)(y)(Fc ξ)(y)  γ γ γ  − 4πλ1 λ2 Fc 2(ϕ1 ∗ ψ) ∗ ϕ2 − ϕ ∗ ξ (y) 2 Fs  γ γ γ  4πλ1 λ2 Fc 2(ϕ1 ∗ ψ) ∗ ϕ2 − ϕ ∗ ξ (y) 2 Fs =1 +  γ γ γ  − 4πλ1 λ2 Fc 2(ϕ1 ∗ ψ) ∗ ϕ2 − ϕ ∗ ξ (y) = Fs 2 Để ý điều kiện (1.31) tương đương với  γ γ γ  − 4πλ1 λ2 Fc 2(ϕ1 ∗ ψ) ∗ ϕ2 − ϕ ∗ ξ (y) 6= 0, ∀y > Fs z thoả mãn điều kiện định lí 1−z Wiener-Lévy, tồn hàm l ∈ L1 (R+ ) thoả mãn Với điều kiện này, hàm Ψ(z) =  γ γ γ  4πλ1 λ2 Fc 2(ϕ1 ∗ ψ) ∗ ϕ2 − ϕ ∗ ξ (y) 2 Fs = (Fc l)(y)  γ γ γ  − 4πλ1 λ2 Fc 2(ϕ1 ∗ ψ) ∗ ϕ2 − ϕ ∗ ξ (y) Fs = + (Fc l)(y) Mặt khác, ta có ∆ (F h)(y) 2√2πλ sin y(F ϕ)(y) s s ∆1 :=