Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 122 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ CÔNG SƠN CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO MARTINGALE Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2014 z LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Tạ Công Sơn z LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, GS TSKH Đặng Hùng Thắng định hướng gợi mở vấn đề Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập bao dung Thầy sống dành cho tác giả Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô Bộ môn Xác suất thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, nơi tác giả công tác giảng dạy, giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập hồn thành luận án Trong q trình học tập hồn thành luận án, tác giả vô biết ơn nhận quan tâm giúp đỡ góp ý GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, GS.TS Nguyễn Văn Hữu, GS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Phan Viết Thư, PGS.TS Trần Hùng Thao, PGS.TS Hồ Đăng Phúc, TS Trần Mạnh Cường, TS Nguyễn Thịnh, TS Lê Văn Dũng, TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Văn Huấn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới anh, TS Lê Văn Dũng nhiều giúp đỡ, đóng góp quý báu Tác giả xin gửi lời cám ơn tới tất thầy cơ, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tác giả trình học tập hồn thành luận án Luận án quà quý giá tác giả dành tặng cha mẹ, hai em gái, em rể người vợ cưới người bên cạnh động viên tác giả lúc khó khăn Tạ Cơng Sơn z MỤC LỤC Những kí hiệu dùng luận án Mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị khái niệm 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số dạng hội tụ trường biến ngẫu nhiên 1.3 Trường hiệu martingale 1.4 Toán tử ngẫu nhiên 10 10 13 19 22 Chương Luật số lớn cho trường hiệu martingale 26 2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp α-hiệu martingale 26 2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov 39 2.3 Luật yếu số lớn cho trường α-tương thích mạnh 50 Chương Hội tụ hoàn toàn tốc độ hội hiệu Martingale 3.1 Hội tụ hoàn toàn 3.2 Hội tụ hồn tồn trung bình 3.3 Tốc độ hội tụ chuỗi ngẫu nhiên tụ trường 57 57 66 76 Chương Sự hội tụ dãy martingale toán tử 88 4.1 Hội tụ dãy martingale toán tử 88 4.2 Sự hội tụ tích tốn tử khơng bị chặn độc lập 97 Kết luận kiến nghị 111 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 112 Tài liệu tham khảo 113 z NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Z N N0 R E k·k B(E) (Ω, F, P ) Card(A) IA n n+m [m, n) nm n≺m n m 2n 2nα |n| knk |nα | 1/α log(x) log+ (x) [x] Tập hợp số nguyên Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số nguyên không âm Tập hợp số thực Không gian Banach thực khả ly Chuẩn không gian Banach E σ -đại số Borel tập E Không gian xác suất đầy đủ Số phần tử tập hợp A Hàm tiêu tập hợp A Phần tử (1, 1, , 1) ∈ Nd Phần tử (n1 , n2 , , nd ) ∈ Zd Phần tử (n1 + m1 , n2 + m2 , , nd + md ) ∈ Zd Qd i=1 [mi , ni ) n1 ≤ m1 , n2 ≤ m2 , , nd ≤ md n m n 6= m ∨di=1 (ni ≤ mi ) ( tồn ≤ i ≤ d cho ni ≤ mi ) Phần tử (2n1 , 2n2 , , 2nd ) Phần tử (2n1 α1 , 2n2 α2 , , 2nd αd ) với α = (α1 , , αd ) ∈ Rd Giá trị |n| = n1 n2 nd Giá trị knk = min{n1 , n2 , , nd } Giá trị |nα | = nα1 nα2 nαd d với α = (α1 , , αd ) ∈ Rd Phần tử (1/α1 , , 1/αd ) logarit số e x max{log(x), 0} Số nguyên lớn không vượt x z MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Lý thuyết martingale nghiên cứu vấn đề liên quan đến lý thuyết trò chơi sau phát triển thành lĩnh vực tốn học chặt chẽ, trở thành mơ hình tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng thống kê, phương trình vi phân, tốn kinh tế Đặc biệt, gần có nhiều ứng dụng thú vị chứng khoán, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Về phương diện xác suất, martingale mở rộng tổng biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng khơng 1.2 Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất, chúng ví viên ngọc xác suất, Kolmogorov nói "Giá trị chấp nhận lý thuyết xác suất định lí giới hạn, kết chủ yếu quan trọng lý thuyết xác suất luật số lớn" Ngày nay, định lý giới hạn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.3.Từ năm 1950 trở lại đây, định lý giới hạn nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Tuy nhiên trường hợp trường hiệu martingale với dãy martingale toán tử chưa nghiên cứu nhiều Với lí định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Các định lý giới hạn cho martingale Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu hội tụ tốc độ hội tụ của trường hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach, luật mạnh số lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov, luật yếu số lớn, hội tụ hoàn toàn hội tụ hồn z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tồn trung bình trường hiệu martingale Luận án nghiên cứu hội tụ dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên tích tốn tử ngẫu nhiên độc lập không gian Banach Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach dãy toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Bannach Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu định lý giới hạn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn, định lý hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn tồn trung bình, tốc độ hội tụ tổng trường hiệu martingale, định lý hội tụ cho dãy martingale tốn tử ngẫu nhiên tích vơ hạn dãy tốn tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng kĩ thuật xác suất, giải tích, giải tích ngẫu nhiên, cơng cụ martingale để chứng minh định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bất đẳng thức Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, Bổ đề Toeplitz, lý thuyết tốn tử tất định, tính chất thác triển toán tử, nguyên lý đồ thị đóng sử dụng để chứng minh kết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết hội tụ chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, kết toán tử ngẫu nhiên Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết định lí giới hạn trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach lý thuyết xác suất Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn xác suất đóng vai 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 trò quan trọng phát triển lý thuyết, thực hành xác suất thống kê Chính mà định lý giới hạn thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu mở rộng Đầu tiên phải kể đến luật số lớn: Luật số lớn Bernoulli công bố năm 1713 Về sau, kết Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn Borel phát Kết Borel Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926, ta thường gọi luật số lớn dạng Kolmogorov Đồng thời Kolmogorov trường hợp dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân bố điều kiện cần đủ luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên có moment tuyệt đối cấp hữu hạn Kết Marcinkiewicz Zygmund mở rộng (gọi luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund) Brunk (1948) Prokhorov (1950) khái quát điều kiện đủ dạng Kolmogorov với moment bậc cao thu luật mạnh số lớn dạng Brunk-Prokhorov Luật số lớn tiếp tục mở rộng nhiều tác Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin (xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) cách làm nhẹ điều kiện độc lập dãy biến ngẫu nhiên (như nghiên cứu trường hợp dãy hiệu martingale, cho hộp độc lập, hộp martingale), nghiên cứu cho trường hợp số nhiều chiều, xem xét không gian khác Trong luận án tiếp tục nghiên cứu định lý luật số lớn cho trường hiệu martingale, trường hộp α-hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn, trường biến ngẫu nhiên α-tương thích mạnh nhận giá trị khơng gian Bannach p-khả trơn Định lý giới hạn nghiên cứu dạng chuỗi ngẫu nhiên, biết đến với định lý hai chuỗi, ba chuỗi sau nghiên cứu tốc độ hội tụ chuỗi độc lập, chuỗi hiệu martingale, (xem [51],[52],[64]) Các khái niệm khác hội tụ hoàn toàn, hội tụ hồn tồn trung bình nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu (như [31], [34], [7],[53],[10]) Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu hội tụ hồn tồn, hội tụ hồn tồn trung bình, đánh giá tốc độ hội tụ chuỗi trường 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 hiệu martingale nhận giá trị không gian p-khả trơn Khái niệm toán tử ngẫu nhiên mở rộng ma trận ngẫu nhiên giới thiệu cơng trình Skorokhod [56] nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Thắng, Thịnh, [73], [69], [74] Trong luận văn tiếp tục nghiên cứu hội tụ dãy tốn tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach Các kết luận án báo cáo Seminar môn hội nghị: Hội nghị khoa học chúc mừng sinh nhật G.S Nguyễn Duy Tiến (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG Hà Nội, 2012), hội nghị tốn học tồn quốc lần thứ 10 (Nha trang, 2013), đại hội toán học giới (ICM) Seoul, Hàn Quốc (2014), hội nghị tốn ứng dụng cơng nhiệp (Math-for-industry) Kyushu University, Nhật Bản (2014), đăng nhận đăng tạp chí: Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics, Journal of Inequalities and Applications, Journal of the Korean Mathematical Society, Journal of Probability and Statistical Science, gửi đăng tạp chí: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, Journal of bulletin of the Korean Mathematical Society 7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục báo nghiên cứu sinh liên quan đến luận án tài liệu tham khảo, luận án trình bày bốn chương Chương trình bày khái niệm kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach, khái niệm trường hiệu martingale, toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập, dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, số dạng hội tụ trường biến ngẫu nhiên dãy toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chương gồm ba mục, mục 2.1 đưa khái niệm trường hộp α-hiệu martingale trường hộp M-hiệu martingale; thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp α-hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach Mục 2.2 thiết lập 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 2) Nếu X Ak EΦk (kXk k) = o((Φn (Bn )) k≥n+1 P Xn hội tụ h.c.c n≥1 supk≥n+1 kTk k P →0 Bn với Tn = P Xk k≥n+1 Nhận xét 3.3.7 Cho {gn (x); n ≥ 1} dãy hàm Borel xác định [0, ∞) cho ≤ gn (0) ≤ gn (x), < gn (x) ↑ ∞ n ↑ ∞ với x > gn (x) gn (x) ↓ (0, ∞), n ≥ 1, với < p ≤ ↑, x xp Trong Hệ 3.3.6, {Xn , Fn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thực độc lập với EXn = 0, n ≥ 1; lấy Φn = gn , λn = 1, µn = p, Cn = 1, Dn = 1, n ≥ 1, ta có Định lý [64] Cuối cùng, ta ước lượng cho tốc độ hội tụ hoàn toàn chuỗi đuôi trường hiệu martingale E-giá trị Định lý 3.3.8 Cho E không gian Banach p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2), {Xn , Fn ; n ∈ Nd } trường hiệu martingale E-giá trị Cho {an } trường số dương, cho an ≤ am với n m an ≥ am với n m supn0 a2n /a2n+1 ≤ M < ∞ Giả sử X ϕ(n)EkXn kp < ∞ (3.44) n1 ϕ(n) = Khi đó, với ε > 0, 2k n a2k P X P (sup kTk k > εan ) < ∞ |n| kn n1 85 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (3.45) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 P Chứng minh Với n ϕ(n) ≥ > 0, nên k n EkXk kp = b2 P o(1) Theo Định lý 3.3.2, ta có Xn hội tụ h.c.c Vì vậy, chuỗi n1 P {Tn = Xk ; n 1} xác định k n Tiếp theo, ta chứng minh (3.44) suy (3.45), ta ý X X X 1 P (sup kTk k > εan ) = P (sup kTk k > εai ) |n| |i| kn ki i i+1 n0 n2 −1 n1 X ≤ P ( sup kTk k > εa2n ) M k2n n0 Áp dụng Bổ đề 1.3.8, bất đẳng thức Markov lý luận tương tự chứng minh Định lý 3.3.2, ta X M X X P (sup kTk k > εbn ) ≤ EkXi kp p p |n| kn ε a2n i 2n n0 n1 X ≤C ϕ(n)kXn kp < ∞ n1 Hệ 3.3.9 Cho E không gian Banach p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2), {Xn , Fn ; n ∈ Nd } trường hiệu martingale E-giá trị Nếu X EkXn kp < ∞ (3.46) n1 với α > 0, ε > 0, X |n| n1 P (sup kTk k > ε|n|α ) < ∞ (3.47) kn Chứng minh Trong Định lý 3.3.8 với an = |n|α ϕ(n) ≤ = αn n1 |2 | P ∞ P )d < ∞, nên (3.46) suy (3.44) Vậy ta có (3.47) αn n=1 ( Hệ 3.3.10 Cho E không gian Banach p-khả trơn với ≤ p ≤ 2, {Xn , Fn ; n ∈ N} dãy hiệu martingale E-giá trị Nếu ∞ X EkXn kp log2 n < ∞ (3.48) n=1 86 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 với α > 0, ε > 0, ∞ X P (sup kTk k > ε) < ∞ n k≥n n=1 (3.49) Chứng minh Theo Định lý 3.3.8 với d = 1, an = ϕ(n) ≤ log2 n nên (3.48) suy (3.44) Vậy ta có (3.49) Kết luận chương Trong Chương 3, luận án giải vấn đề sau: - Thiết lập định lí hội tụ hồn tồn, từ suy luật số lớn dạng Kolmogorov luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho tổng trung bình trượt trường hiệu martingale - Thiết lập định lý hội tụ hồn tồn trung bình cho trường biến ngẫu nhiên Sau áp dụng cho luật số lớn, hội tụ trung bình tốc độ hội tụ luật số lớn cho trường hiệu martingale - Đưa điều kiện đủ để đánh giá tốc độ hội tụ chuỗi đuôi trường hiệu martingale 87 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC MARTINGALE TỐN TỬ Trong chương này, chúng tơi thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên mở rộng martingale toán tử ngẫu nhiên bị chặn hội tụ Hơn định nghĩa tích tốn tử ngẫu nhiên khơng bị chặn độc lập sử dụng kĩ thuật hội tụ martingale đưa điều kiện để tích vơ hạn tốn tử ngẫu nhiên khơng bị chặn độc lập hội tụ Các kết gửi đăng A Inter J Probab Stoch Process [70] dạng thảo [71] 4.1 Hội tụ dãy martingale toán tử 4.1.a Hội tụ dãy toán tử bị chặn Cho {An , n ≥ 1} dãy tốn tử ngẫu nhiên bị chặn E Khi tồn Tn : Ω −→ L(E; E) cho An x(ω) = Tn (ω)x h.c.c Định lý 4.1.1 {An , n ≥ 1} hội tụ tới A theo trung bình cấp p {An u, n ≥ 1} hội tụ tới Au theo trung bình cấp p với u ∈ LEp (Ω) u độc lập với {An , n ≥ 1} Chứng minh Trước hết ta cần bổ đề sau Bổ đề 4.1.2 Nếu A toán tử bị chặn Ax(ω) = T (ω)x h.c.c với u ∈ LEp (Ω), Au(ω) = T (ω)(u(ω)) Chứng minh Theo Ax(ω) = T (ω)x h.c.c nên với x ∈ E, tồn tập Dx , P (Dx ) = 1, cho Ax(ω) = T (ω)x với ω ∈ Dx , 88 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nếu u hàm đơn giản, u = n P 1Ei xi , Ei ∈ S với ω ∈ D = i=1 Tn i=1 Dxi , P (D) = 1, Au(ω) = n X 1Ei Axi (ω) = i=1 n X 1Ei T (ω)xi = T (ω)u(ω) i=1 Nếu u ∈ LEp (Ω), xét dãy un (n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên đơn giản, p − lim un = u n→∞ Khi Aun (ω) = T (ω)(un (ω)) với ω ∈ Dn , P (Dn ) = T Vì vậy, ω ∈ D = ∞ n=1 Dn , P (D) = 1, Aun (ω) = T (ω)(un (ω)) (4.1) Với ε > 0, ta có P (kT (un ) − T (u)| > ε) ≤ P (kT kkun − uk > ε) = P (kT k ≥ ε/r) + P (kun − uk ≥ r) Vì p − lim un = u nên lim P (kun − uk ≥ r) = Cho n → ∞ sau n→∞ n→∞ r → ta thu lim P (kT (un ) − T (u)k > ε) = 0, nên p − lim T (un ) = n→∞ n→∞ T (u) Hơn nữa, p − lim Aun = Au Trong (4.1) cho n → ∞ ta có n→∞ Au(ω) = T (ω)(u(ω)) h.c.c Quay lại định lý, theo Bổ đề 4.1.2 ta có An u(ω) = Tn (ω)(u(ω)) h.c.c Au(ω) = T (ω)(u(ω)) h.c.c Nên EkAn u−Aukp ≤ E(kTn −T kkuk)p = EkTn − T kp Ekukp → Định lý 4.1.3 1) Nếu {An ; n ≥ 1} hội tụ A theo xác suất họ {kTn k; n ≥ 1} bị chặn theo xác suất, {An u; n ≥ 1} hội tụ Au theo xác suất với u ∈ LE0 (Ω) 89 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 2) Nếu {An ; n ≥ 1} hội tụ A h.c.c họ {kTn k; n ≥ 1} bị chặn h.c.c., {An u; n ≥ 1} hội tụ Au h.c.c với u ∈ LE0 (Ω) Chứng minh Ta đặt Bn x(ω) := An x(ω) − Ax(ω) = (Tn (ω) − T (ω))x := τn (ω)x Theo Bổ đề 4.1.2, An u(ω) = Tn (ω)(u(ω)) h.c.c Au(ω) = T (ω)(u(ω)) h.c.c., nên Bn u(ω) = An u(ω) − Au(ω) = (Tn (ω) − T (ω))u(ω) = τn (ω)u(ω) 1) • Đầu tiên ta xét u(ω) biến ngẫu nhiên đơn giản E-giá trị, ta chứng minh p − lim Bn u = (4.2) n→∞ k P Thật vậy, lấy u(ω) = 1Ei xi , với t ≥ 0, ta có i=1 k X P (kBn uk ≥ t) = P ( 1Ei kBxi k ≥ t) i=1 ≤ k X P (kBxi k ≥ t/k) → i=1 • Nếu u ∈ LE0 (Ω), với t > 0, ε > 0, họ {kTn k; n ≥ 1} bị chặn theo xác suất nên tồn r > cho sup P (kTn k ≥ t/2r) < ε/3 n≥1 Lấy uo biến ngẫu nhiên đơn giản E-giá trị cho P (ku − uo k ≥ r) < ε/3 Hơn nữa, theo (4.2) tồn N với n ≥ N , P (kBn uo k ≥ t/2) < ε/3 Khi với n ≥ N , P (kBn uk ≥ t) ≤ P (kBn (u − uo )k ≥ t/2) + P (kBn uo k ≥ t/2) 90 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ≤ P (kTn kku − uo k ≥ t/2) + P (kBn uo k ≥ t/2) ≤ sup P (kTn k ≥ t/2r) + P (ku − uo k ≥ r) n≥1 + P (kBn uo k ≥ t/2) ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε Vì p − lim Bn u = 0, n→∞ nên p − lim An u = Au n→∞ 2) • Lấy u(ω) = k P 1Ei xi biến ngẫu nhiên đơn giản, An xi → Axi i=1 h.c.c với n ≥ 1, nên An u = k X 1Ei An xi → i=1 k X 1Ei Axi = Au h.c.c i=1 • Nếu u ∈ LEo (Ω) Với t > 0, ε > 0, họ {kTn k; n ≥ 1} bị chặn h.c.c nên tồn r > cho P(sup kTn k ≥ t/2r) < ε/3 n≥1 Lấy uo biến ngẫu nhiên đơn giản E-giá trị cho P (ku − uo k ≥ r) < ε/3 Hơn nữa, theo (4.2) tồn N ∈ N để với n ≥ N , P (sup kBi uo k ≥ t/2) < ε/3 i≥n Ta có với n ≥ N , P (sup kBi uk ≥ t) i≥n ≤ P (sup kBi (u − uo )k ≥ t/2) + P (sup kBi uo k ≥ t/2) i≥n i≥n ≤ P (sup kTi kku − uo k ≥ t/2) + P (sup kBi uo k ≥ t/2) i≥n i≥n 91 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ≤ P (sup kTn k ≥ t/2r) + P (ku − uo k ≥ r) i≥n + P (sup kBi uo k ≥ t/2) i≥n ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε Vì lim Bn u = h.c.c n→∞ nên p − lim An u = Au h.c.c n→∞ Hệ 4.1.4 1) Nếu {An ; n ≥ 1} hội tụ A theo xác suất, {An u; n ≥ 1} hội tụ Au theo xác suất với u ∈ LE0 (Ω) 2) Nếu {An ; n ≥ 1} hội tụ A h.c.c., {An u; n ≥ 1} hội tụ Au h.c.c với u ∈ LE0 (Ω) 4.1.b Hội tụ dãy martingale toán tử bị chặn Cho {An , n ≥ 1} dãy martingle toán tử bị chặn từ E vào E, tồn ánh xạ Tn : Ω −→ L(E; E) cho An x(ω) = Tn (ω)x h.c.c Ta có định lý sau Định lý 4.1.5 Giả sử E có tính chất R-N, {An ; n ≥ 1} dãy martingle toán tử bị chặn từ E vào E Khi 1) Nếu sup EkTn k < ∞ n≥1 tồn tốn tử bị chặn A cho dãy toán tử {An ; n ≥ 1} hội tụ h.c.c tới A Hơn nữa, kTn k hội tụ h.c.c 2) Nếu sup EkTn kp < ∞, p > 1, n≥1 92 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 tồn toán tử bị chặn A cho dãy toán tử {An ; n ≥ 1} hội tụ Lp tới A Chứng minh 1) Với x ∈ E, EkAn xk ≤ EkTn kkxk nên sup EkAn xk ≤ kxk sup EkTn k < ∞, n≥1 n≥1 tồn Ax ∈ LE1 (Ω), An x → Ax h.c.c Hơn nữa, sup EkTn k sup P (kTn ωk > ) ≤ n≥1 → → ∞, n≥1 nên {kTn k, n ≥ 1} bị chặn theo xác suất Theo Định lý 5.4 [73], ta có Ax toán tử bị chặn Tiếp theo, với n ≥ > tồn a hình cầu đơn vị, cho kTn k − ≤ kTn ak = kAn ak = kE(An+1 a|Fn )k ≤ E(kAn+1 ak|Fn ) ≤ E(kTn+1 k|Fn ) cho ε → kTn k ≤ E(kTn+1 k|Fn ) với n ≥ 1, nên {kTn (ω)k, n ∈ N} martingale nhận giá trị thực Mặt khác sup EkTn k < ∞ n≥1 kTn k hội tụ h.c.c 2) Với x ∈ E, ta có EkAn xkp ≤ EkTn kp kxkp nên sup EkAn xkp ≤ kxkp sup EkTn kp < ∞ n≥1 n≥1 mà tồn Ax ∈ LEp (Ω), An x → Ax Lp Hơn nữa, sup EkTn kp sup P (kTn ωk > ) ≤ n≥1 p n≥1 93 → → ∞ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 nên {kTn k; n ≥ 1} bị chặn theo xác suất Theo Định lý 5.4 [73], ta có Ax toán tử ngẫu nhiên bị chặn Định lý 4.1.6 Giả sử E không gian Banach có tính chất R-N, {An ; n ≥ 1} dãy martingle toán tử bị chặn từ E vào E Khi 1) Nếu sup EkTn k < ∞ n≥1 tồn tốn tử bị chặn A cho dãy {An u; n ≥ 1} hội tụ h.c.c tới Au với u ∈ LE1 (Ω, F1 ) 2) Nếu sup EkTn kp < ∞, (p > 1), n≥1 tồn tốn tử bị chặn A cho dãy {An u; n ≥ 1} hội tụ 1 h.c.c tới Au với u ∈ LEq (Ω, F1 ) với + = p q 3) Nếu sup EkTn kq < ∞ (q > 1), n≥1 tồn tốn tử bị chặn A cho dãy {An u; n ≥ 1} hội tụ r r Lr , (q > r > 1) tới Au với u ∈ LEp (Ω, F1 ) với + = p q Chứng minh Bổ đề 4.1.7 Cho B toán tử ngẫu nhiên bị chặn Bx = τ x h.c.c., G σ -trường F , với ε > 0, P (E(kBuk|G) > ε) ≤ P (E(kτ k.kuk|G) > ε/r) + P (kuk > r) Chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.1.2, ta có P (E(kBuk|G) > ε) = P (E(kτ uk|G) > ε) ≤ P (E(kτ kkuk|G) > ε) ≤ P (E(kτ kkuk|G) > ε, kuk ≤ r) + P (kuk > r) ≤ P (E(kτ kkuk|G) > ε/r) + P (kuk > r) 94 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Bổ đề 4.1.8 Cho A toán tử ngẫu nhiên bị chặn, G σ trường F Giả sử E(Ax|G) = với x ∈ E, với u ∈ G , ta có E(Au|G) = Chứng minh Nếu u = k P 1Ei xi biến ngẫu nhiên đơn giản, i=1 k k X X E(Au|G) = E( 1Ei Axi |G) = 1Ei E(Axi |G) = i=1 i=1 Nếu u ∈ LE1 (Ω, G), theo Bổ đề 4.1.7 tồn dãy hàm đơn giản {un ; n ≥ 1} LE1 (Ω, G) cho p − lim un = u E(Aun |G) hội tụ đến n→∞ E(Au|G) LE0 , suy = p − lim E(Aun |G) = E(Au|G) n→∞ Quay lại định lý 1) Áp dụng Định lý 4.1.5 Định lý 4.1.3 ta thu 1) 2) Áp dụng Bổ đề 4.1.8 với u ∈ LEp (Ω, F1 ), {An u, n ≥ 1} dãy martingale, lại Bổ đề 4.1.2, ta có EkAn uk = EkTn uk ≤ (EkTn ukp )1/p (Ekukq )1/q , sup EkAn ukr ≤ sup(EkTn ukp )r/p (Ekukq )r/q < ∞ n≥1 n≥1 Vì E có tính chất R-N, nên An u → Au h.c.c 3) Ta thấy EkAn ukr = EkTn uk ≤ (EkTn ukp )1/p (Ekukq )1/q nên sup EkAn ukr ≤ sup(EkTn ukp )r/p (Ekukq )r/q < ∞ n≥1 n≥1 Vì E có tính chất R-N, nên An u → Au Lr 95 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Định lý cung cấp điều kiện để tích vơ hạn hiệu martigale tốn tử bị chặn hội tụ Cho {An ; n ≥ 1} dãy martingale toán tử bị chặn từ E vào E, đặt Bn x := An x − An−1 x E(Bn x|Fn−1 ) = Bn x := An x − An−1 x = (Tn − Tn−1 )x := τn x, gọi {Bn ; n ≥ 1} dãy hiệu martingale toán tử bị chặn Định nghĩa Vn = (I + B1 )(I + B2 ) (I + Bn−1 )(I + Bn ) Ở đây, ta nghiên cứu hội tụ Vn tức hội tụ tích ∞ Y (I + Bk ) k=1 Định lý 4.1.9 Cho E không gian Banach có tính chất R-N, với p ≥ 1, {Bn , n ≥ 1} dãy hiệu martingale toán tử bị chặn từ E vào E Khi 1) Nếu sup n≥1 tích Q∞ k=1 (I n Y EkI + τk k < ∞ k=1 + Bk ) hội tụ h.c.c 2) Nếu sup n≥1 tích Q∞ Chứng minh k=1 (I n Y E(kI + τk k)p < ∞ k=1 + Bk ) hội tụ trung bình cấp p 1) Ta có Vn+1 x = Un x + Bn+1 (Un x) Vì E(Un+1 x|Fn ) = Un x + E(Bn+1 (Un x)|Fn ) 96 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Đặt u = Un x, u ∈ Fn E(Bn+1 (x)|Fn ) = với x ∈ E, theo Bổ đề 4.1.8, ta có E(Bn+1 (Un x)|Fn ) = 0, suy E(Un+1 x|Fn ) = hay {Un+1 x; Fn } dãy martingale Hơn nữa, EkUn xk = Ek n Y (I + Tk )xk ≤ kxkE n Y k(I + Tk )k < ∞ k=1 k=1 Vậy {Un x, n ≥ 1} hội tụ h.c.c 2) Chứng minh 2) tương tự 1) 4.2 Sự hội tụ tích tốn tử khơng bị chặn độc lập Tích tốn tử khơng bị chặn độc lập Cho A, B : E → LE0 (Ω) tốn tử khơng bị chặn độc lập Làm để định nghĩa tích A B ? Một cách tự nhiên ta xác định AB (AB)z = A(Bz) Tuy nhiên Bz biến ngẫu nhiên E-giá trị độc lập với A mà với định nghĩa toán tử miền tác động A khơng thể biến ngẫu nhiên E-giá trị Chính ta cần mở rộng miền tác động A lên tập biến ngẫu nhiên E-giá trị, độc lập với A Trước hết ta cần bổ đề sau Bổ đề 4.2.1 Với t > 0, > tồn r > phụ thuộc vào t, cho x1 , , xn ∈ E α = (α1 , , αn ) biến ngẫu nhiên Rn -giá trị độc lập với A Ta có ( ) X X P k αi Axi k > t < + P {k αi xi k > r} (4.3) i i 97 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh Vì lim P (kAxk > t) = 0, ta tìm r > cho x→0 P (kAxk > t) < , với kxk ≤ r Gọi µ phân bố α, đặt u(ω) = n P αi (ω)xi Áp dụng định lý Fubini’s với ý α, A độc lập, ta có i=1 P {k n X Z αi Axi k > t, kuk < r} = P i=1 {s:k k n X ! si Axi k > t µ(ds) i=1 n P si xi k≤r} i=1 Z = P {s:k ! n X kA( si xi )k > t µ(ds) i=1 n P si xi k≤r} i=1 Từ ( P ) k X αi Axi k > t ! =P X k i αi Axi k > t, kuk ≤ r i ! k +P X αi Axi k > t, kuk > r i + P {k X αi xi k > r} i Bổ đề chứng minh Lấy S ⊂ F σ -trường độc lập với F(A) V = LE0 (Ω, S, P ) ⊂ LE0 (Ω), lấy V0 ⊂ V khơng gian tuyến tính bao gồm biến ngẫu nhiên đơn giản E-giá trị Khi V0 trù mật V với hội tụ LE0 (Ω) Ta định nghĩa ánh xạ A˜ : V0 → LE0 (Ω) xác định ˜ = Au n X 1Ei Axi u(ω) = i=1 n X 1Ei xi , ({Ei }ni=1 ∈ S rời nhau) i=1 Nếu u ∈ V , {un ; n ≥ 1} ⊂ V0 p − lim un = u, sau theo Bổ đề 4.2.1 n→∞ ta có ˜ n − Au ˜ m k > t) = P (kA(u ˜ n − um )k > t) + P (kun − um k > r) P (kAu 98 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ˜ n ; n ≥ 1} hội Vì {un ; n ≥ 1} dãy Cauchy LE0 (Ω) nên dãy {Au tụ LE0 (Ω), giới hạn độc lập với phép chọn dãy {un ; n ≥ 1} để ˜ xấp xỉ u ký hiệu Au ˜ Au gọi tác động Từ bây giờ, để đơn giản ta viết Au thay cho Au A lên biến ngẫu nhiên S -đo u ∈ V = LE0 (Ω, S, P ) Bổ đề 4.2.2 Ta có với u, v ∈ V, c1 , c2 ∈ R 1) A(c1 u + c2 v) = c1 Au + c2 Av 2) Nếu dãy {un ; n ≥ 0} ⊂ V cho p − lim un = u0 , n→∞ lim Aun = Au0 p− n→∞ 3) Nếu α biến ngẫu nhiên thực độc lập A, u ∈ V A(αu) = αAu Chứng minh 1) Phát biểu chứng minh dễ dàng 2) Trước hết ta chứng minh rằng, với t > 0, > tồn r > phụ thuộc vào t, cho với u ∈ V ; ta có P {kAuk > t} ≤ + P {kuk > r} (4.4) Thật vậy, lấy {vn , n ≥ 1} ⊂ V0 p − lim = u theo định nghĩa, n→∞ ta có p − lim Avn = Au n→∞ Áp dụng Bổ đề 4.2.1 ta được, với t > 0, > tồn r > phụ thuộc t, cho với n ≥ 1, P {kAvn k > t} < + P {kvn k > r} Nên lim P {kAvn k > t} ≤ + lim P {kvn k > r} n→∞ n→∞ P {kAuk > t} ≤ + P {kuk > r} Bây giờ, với t > 0, > theo (4.4), tồn r > cho với n ≥ 1, P {kAun − Au0 k > t} = P {kA(un − u0 )k > t} ≤ /2+P {kun −u0 k > r} 99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z