Luận văn thạc sĩ bước nhảy ngẫu nhiên trên đồ thị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ QUANG HÀM BƯỚC NHẢY NGẪU NHIÊN TRÊN ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Bảo đảm tốn học cho máy tính hệ thống tính tốn Mã sớ : 60 46 35 ḶN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn: TS Lê Anh Vinh HÀ NỘI – 2012 z MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Cơ E-đồ thị 1.1 Lý thuyết đồ thị 1.2 Thuật ngữ khái niệm đại số 1.3 E-Đồ thị 13 1.4 Họ E-Đồ thị 27 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 2.1 Xích Markov 29 29 2.2 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị 34 2.3 Bước nhảy ngẫu nhiên E-đồ thị d-đều 52 Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis 57 3.1 Đồ thị Paley 57 3.2 Đồ thị Margulis 60 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 z LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết đồ thị, bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị dành nhiều quan tâm nhiều thập niên qua Các kết ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Việc nghiên cứu lớp đồ thị cụ thể cho ta ứng dụng khác như: thiết kế mạng, thiết kế thuật tốn mã hóa, mật mã, giả ngẫu nhiên Khi nghiên cứu E- đồ thị cho ta thấy tính chất đặc biệt như: tốc độ hội tụ tới phân phối dừng, phân phối dừng, thời gian va chạm, thời gian phủ Luận văn tập trung nghiên cứu E- đồ thị tham số bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Dựa vào tơi đưa cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Cơ E - đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ đưa khái niệm định nghĩa đồ thị Phần thứ hai đưa khái niệm, định nghĩa tính chất liên quan đến đồ thị Chương 2: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Chương gồm hai phần Phần thứ gồm khái niệm, định nghĩa kết bước nhảy ngẫu nhiên Phần thứ hai nghiên cứu bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị tính chất bước nhảy ngẫu nhiên E- đồ thị Chương 3: Bước nhảy ngẫu nhiên đồ thị Paley đồ thị Margulis Chương áp dụng bước nhảy ngẫu nhiên hai đồ thị đồ thị Paley đồ thị Magulis Để hoàn thành luận văn trước hết xin chân thành cảm ơn TS z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Lê Anh Vinh người cố vấn với thảo luận hiệu hướng dẫn nhiệt tình Đồng thời xin chân thành cảm ơn TS Lê Trọng Vĩnh động viên, khuyến khích giúp đỡ suốt q trình hồn thiện Vì lý thời gian, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, bất hợp lý nội dung cách trình bày Kính mong nhận góp ý thầy cô Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Lê Quang Hàm z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 CHƯƠNG CƠ BẢN VỀ E-ĐỒ THỊ Kiến thức chủ yếu đưa chương này, dễ dàng tham khảo tài liệu viết lý thuyết đồ thị, E- đồ thị [2], [3], [5], [7] 1.1 Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Giả sử có tập V 6= ∅ đối tượng tùy ý E tập số cặp đối tượng thuộc V thứ tự không Cặp (V, E) gọi đồ thị Ký hiệu G = (V, E) G(V, E) Trong V tập đỉnh E tập cạnh đồ thị G + Nếu a = (x, y) x, y ∈ V khơng thứ tự a gọi cạnh (vơ hướng) đồ thị; x, y gọi hai đầu cạnh a (hay hai điểm đầu cạnh a) + Nếu b = (u, v) u, v ∈ V thứ tự b gọi cạnh có hướng (cung) đồ thị; u đỉnh đầu, v đỉnh cuối + Nếu c = (z, z) z ∈ V cặp đỉnh trùng c gọi khuyên Nếu hai đỉnh quy định thứ tự c gọi khuyên có hướng Định nghĩa 1.1.2 x, y gọi hai đỉnh kề chúng nối với cạnh hay cung + Hai cạnh có chung đỉnh gọi hai cạnh kề Hai cung a b, điểm cuối a trùng với điểm đầu b a b gọi hai cung kề Dùng D(x) để ký hiệu tập gồm tất đỉnh mà đỉnh có cạnh nối với x D+ (x) tập tất đỉnh mà từ x có cung tới z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 D− (x) tập tất đỉnh có cung tới x Định nghĩa 1.1.3 (i) Nếu tập E gồm tồn cạnh G(V, E) đồ thị vơ hướng (ii) Nếu tập E gồm tồn cung G(V, E) đồ thị có hướng (iii) Nếu tập E gồm cạnh cung G(V, E) gọi đồ thị hỗn hợp (iv) Nếu đồ thị G(V, E), hai đỉnh nối với khơng q cạnh (có hướng hay vơ hướng) G gọi đồ thị đơn (v) Nếu đồ thị G(V, E) có cặp đỉnh nối với khơng hai cạnh có hướng vơ hướng G(V, E) gọi đa đồ thị Định nghĩa 1.1.4 (i) Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh (ii) Một đa đồ thị vơ hướng mà cặp đỉnh nối với k cạnh gọi đồ thị k-đầy đủ (iii) Một (đa) đồ thị gọi (đa) đồ thị phẳng có dạng biểu diễn hình học mặt phẳng mà cạnh cắt đỉnh (iv) Một (đa) đồ thị với số cạnh đỉnh hữu hạn gọi (đa) đồ thị hữu hạn địa phương Định nghĩa 1.1.5 (i) Giả sử x đỉnh tùy ý đồ thị G = (V, E) Người ta gọi số cạnh cung đỉnh x bậc đỉnh x, kí hiệu d(x) (ii) Đồ thị mà bậc tất đỉnh d gọi đồ thị d-đều Định nghĩa 1.1.6 Dãy đỉnh α = (x1 , x2 , , xm ) gọi xích với t m − cặp xt , xt+1 kề Ta nói xích z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 nối đỉnh x1 đỉnh xm xích α từ đỉnh x1 đến đỉnh xm Hình 1.1: (i) Một xích mà có hai đầu trùng gọi chu trình (ii) Một xích gọi xích sơ cấp qua cạnh đồ thị không lần (iii) Một chu trình gọi chu trình sơ cấp qua đỉnh đồ thị không lần (iv) Một xích gọi xích đơn qua đỉnh đồ thị khơng q lần (v) Một chu trình gọi chu trình đơn qua cạnh đồ thị không lần Định nghĩa 1.1.7 (i) Tổng số cạnh xuất chu trình α gọi độ dài chu trình (ii) Tổng số cạnh xuất xích α gọi độ dài xích ký hiệu |α| Định nghĩa 1.1.8 Giả sử G = (X, E) đồ thị có hướng Dãy đỉnh β = (y1 , y2 , , yt , yt+1 , , ym ) gọi đường G với t m − 1, có cung từ yt sang yt+1 Ta cịn nói đường β xuất phát từ đỉnh y1 tới đỉnh ym Trong y1 đỉnh đầu đường β ym đỉnh cuối đường β z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Định nghĩa 1.1.9 (i) Một đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi vịng (ii) Một đường qua đỉnh khơng q lần gọi đường sơ cấp (iii) Một vòng qua đỉnh khơng q lần gọi vịng sơ cấp (iv) Một đường qua đỉnh cung không lần gọi đường đơn (v) Một vịng qua cung khơng q lần gọi vòng đơn Định nghĩa 1.1.10 Tổng số cung xuất đường β (vòng β) gọi độ dài đường β (vòng β) Định nghĩa 1.1.11 Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng (i) Hai đỉnh a, b thuộc V gọi hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thơng) chúng nối với xích (ii) Đồ thị vơ hướng G(V, E) gọi đồ thị liên thông cặp đỉnh liên thơng với Định nghĩa 1.1.12 Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng (i) Cặp đỉnh c, d thuộc X gọi hai đỉnh liên thông (hay cặp đỉnh liên thơng) có đường từ c đến d ngược lại (ii) Đồ thị có hướng G(V, E) gọi đồ thị liên thông mạnh cặp đỉnh liên thơng với Định nghĩa 1.1.13 Giả sử G = (V, E) đồ thị tuỳ ý Mỗi đồ thị G mà liên thông hay liên thông mạnh gọi thành phần liên thông G Định nghĩa 1.1.14 Đỉnh x đồ thị liên thông gọi đỉnh cắt đồ thị nhận cách bỏ điểm x đồ thị không liên thơng z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Ví dụ 1.1.15 Cho đồ thị (Hình 1.2) Hình 1.2: + Các thành phần G1 , G2 , G3 , G4 liên thông, G không đồ thị liên thông + G1 , G2 , G3 , G4 thành phần liên thông G Định nghĩa 1.1.16 Đồ thị tự bù: Cho G=(V,E) đồ thị hữu hạn Đồ thị bù G G với V (G) = V (G), E(G) xác định sau: (x, y) ∈ E(G) ⇔ (x, y) ∈ / E(G) Đồ thị G gọi tự bù đẳng cấu với phần bù z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 23 e tập cạnh có thứ tự thỏa mãn (i, j) ∈ E Ký hiệu E e (i, j), (j, i) ∈ E Vì lát cắt cực tiểu lớn, theo định lý lát cắt cực tiểu luồng cực đại, nên tồn hàm F : V × V −→ R với tính chất sau: e F (i, j) = Và ∀(i, j) ∈ E, e F (i, j) 1 ∀(i, j) ∈ / E, P Với i ∈ V+ cố định, j|(i,j)∈Ee F (i, j) = + α F (i, j) = với i ∈ / V+ P Với j ∈ V cố định, F (i, j) e i|(i,j)∈E 2(a + b2 ) Ta áp dụng bất đẳng thức > (a + b)2 ∀a, b ∈ (R) Ta có: X X F (i, j)(xi + xj ) F (xi + xj )2 e (i,j)∈E e (i,j)∈E =2 X xi  X i∈V e (i,j)∈E X (4 + 2α2 ) X F (i, j) +  F (j, i) e (i,j)∈E xi i∈V X 2 F (i, j)(xi − xj ) = X xi i∈V e (i,j)∈E >α  X e (i,j)∈E X F (i, j) − X  F (j, i) e (i,j)∈E xi i∈V Từ ta có λ2 (G2 ) − d P (i,j)∈E (xi − xj )2 xi P 2 (x − x ) i j e F (i, j)(xi + xj ) (i,j)∈E (i,j)∈E P P =1− 2 2 d e F (i, j)(xi + xj ) i∈V xi (i,j)∈E P 2 2 e F (i, j)(xi − xj ) (i,j)∈E 61− P 2 d 2(4 + 2α2 ) x i∈V i P i∈V P α2 =1− d (4 + 2α2 ) z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 24 Dẫn đến s 1− λ2 (G) α2 d2 (8 + 4α2 ) Định lý 1.3.19 (Cheeger-Alon-Milman) Với đồ thị d-đều G, ta có p d − µ2 h(G) 2d(d − µ2 ) Hiệu d − µ2 cịn gọi độ hở phổ đồ thị G Chứng minh Độ hở phổ lớn tốc độ nở lớn Đầu tiên ta chứng minh d−λ2 h(G) Thay ∂S ta viết E(S, S) để biểu thị định nghĩa ∂S tập cạnh S phần bù S Ký hiệu E(S, S) trơng đối xứng Ta có h(G) = minn |S|6 |E(S, S)| |E(S, S)| |E(S, S)| > minn = |S| ∅6=S⊂V n |S||S| |S|6 |S| 2|S| n Đặt φ(G) = ∅6=S⊂V E(|S, S|) n |S||S| Khi đó, vừa chứng minh h(G) > 12 φ(G) Ta phải chứng minh φ(G) > d − λ2 Dễ thấy P uv∈E (xu − xv ) φ(G) = n P P x∈{0,1} (x − x ) u v u v 2n x6=0, x∦1 Trong x ∦ nghĩa vectơ x khơng song song với vectơ Do đó, φ(G) giá trị tối ưu toán tối thiểu hóa tập vectơ {0, 1}n ⊆ Rn Giá trị tối thiểu dĩ nhiên lớn giá trị tối thiểu biểu thức tập vectơ thực Cụ thể hơn, ta có P uv∈E (xu − xv ) φ(G) > minn P P x∈R (x − x ) u v u v 2n x6=0, x∦1 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 25 Lưu ý ta cộng hay trừ đại lượng vào(ra khỏi) tọa độ xu giá trị biểu thức khơng đổi Do đó, thay véc tơ P P x ∈ Rn z ∈ Rn zu = xu − n1 v xv Chú ý rằng, u zu = 0, hay nói cách khác z⊥1 Vì P uv∈E (zu − zv ) φ(G) > n P P 06=z∈R (z − z ) u v u v 2n z⊥1 Đến đây, ta viết lại tử số X (zu − zv )2 = dz T z − z T Az uv∈E Hơn nữa, z⊥1 viết lại mẫu số thành 2n v (zu −zv ) P P u = z T z Vì φ(G) > n 06=z∈R z⊥1 ! z T Az z T Az d− T = d − max n T = d − λ2 06=z∈R z z z z (1.7) z⊥1 Độ nở lớn hở phổ lớn Chúng ta phải chứng minh h(G) p 2d(d − λ2 ) Chứng minh gồm hai bước Bước viết lại định nghĩa tổ hợp h(G) thành giá trị tối thiểu hàm liên tục, chuyển từ rời rạc sang liên tục Bước hai sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Bước 1: Với véc tơ x ∈ Rn bất kỳ, định nghĩa med(x) số trung vị tập {x1 , x2 , , xn } Ta chứng minh giá trị P |E(S, S)| ij∈E |xi − xj | P = n |S| ∅6=x∈R ∅6=S⊆V i |xi | |S|6 n2 med(x)=0 Thứ nhất, giả sử S tập tối thiểu hóa biểu thức bên vế trái, nghĩa |E(S,S)| |S| Đặt x véc tơ đặc trưng tập S Do |S| n2 , P P med(x) = 0, dễ thấy |E(S, S)| = ij∈E |xi − xj | |S| = i |xi | Do h(G) = đó, vế trái lớn vế phải Thứ hai, gọi P giá trị vế phải, ta chứng minh tồn S cho |E(S,S)| min(|S|,S|) P Xét vector x tối thiểu hóa biểu thức bên vế z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 26 phải Khơng tính tổng qt, ta giả sử maxi xi − mini xi = Chọn số t ∈ [mini xi , maxi xi ] ngẫu nhiên Xác định tập S = {i | xi > t} Như tập S tập đỉnh ngẫu nhiên Ta muốn chứng minh: E[|E(S, S)| − P min(|S|, |S|)] Từ suy tồn S thỏa mãn điều kiện cần Trước hết X X P rob[(i ∈ S, j ∈ S) ∨ (i ∈ S, j ∈ S) = |xi − xj | E[E(S, S)] = ij∈E ij∈E Kế tiếp, khơng tính tổng quát, giả sử: x1 x2 · · · xn Lưu ý med(x) = 0, ta có E[min(|S|, |S|)] = n/2 X P rob[min(|S|, |S|) > k] = n/2 X k=1 |xn−k −xk | = n X |xi | i=1 k=1 Nhờ tuyến tính giá trị kỳ vọng, ta có kết luận: E[|E(S, S)|] − P · min(|S|, |S|)] = X |xi − xj | − P · n X |xi | = i=1 ij∈E Bước 2: Chúng ta cần chứng minh: v P P u |x − x | u j ij∈E i ij∈E (zi − zj ) t P 2d n P P 06=x∈Rn 06=z∈R (z − z ) i j i |xi | i j 2n z⊥1 med(x)=0 Gọi z véc tơ tối thiểu hóa biểu thức bên vế phải Xây dựng véc tơ x từ z cho x 6= 0, med(x) = 0, v P P u u ij∈E (zi − zj ) ij∈E |xi − xj | t P 2d P P (z − z ) i j i |xi | i j 2n Để đơn giản hóa cơng thức, định nghĩa Z = P (z −z )2 Pij∈E P i j i j (zi −zj ) 2n Làm để "xây dựng” véc tơ x vậy? Gán xi = |zi |zi , ta có |xi − xj | |zi − zj |(|zi | + |zj |) z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 27 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta thu sX sX X |xi − xj | (zi − zj )2 (|zi | + |zj |)2 ij∈E ij∈E ij∈E Theo định nghĩa Z trên, ta có X ij∈E " #2 ! X X X X Z Z (zi −zj )2 = (zi −zj )2 = (zi2 +zj2 )−2 zi 6Z |xi |, 2n ij 2n ij i i áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz lần ta có X X X X 2 2 (|zi | + |zj |) 2(zi + zj ) = 2d zi = 2d |xi | ij∈E Dẫn đến X i ij∈E i s X s X X √ |xi | 2d |xi | = 2dZ |xi | |xi − xj | Z i ij∈E i i 1.4 Họ E-Đồ thị Định nghĩa 1.4.1 Một họ E-đồ thị {Gi } i ∈ N tập hợp đồ thị có tính chất sau: (i) Đồ thi Gi đồ thi d-đều bậc ni (d với đồ thị) Dãy {ni } đơn điệụ tăng không tăng nhanh, nghĩa ni+1 n2i với i > (ii) Với i, h(Gi ) > ε > Định nghĩa 1.4.2 (i) Một họ E-đồ thị gọi xây dựng tương đối rõ có tồn mọt thuật toán thời gian đa thức cho liệu vào i kết cho đồ thị Gi (ii) Một họ E-đồ thị gọi xây dựng rõ tồn thuật toán thời gian đa thức cho: với liệu vào (i, v, k) (i ∈ N, v ∈ V, k ∈ {1, , d}) cho kết đỉnh kề thứ k đỉnh v đồ thị Gi z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 28 Bổ đề 1.4.3 Cho đồ thị G(V, E) d-đều Với ma trận kề A có phổ µ0 > µ2 > · · · > µn−1 Gọi λ = max(|µ1 |, |µn−1 |) Khi đó, với tập S, T ⊆ V ta có p d|S||T | | λ |S||T |, n E(S, T ) tập cạnh nối S T ||E(S, T )| − Chứng minh Gọi χS χT hai véc tơ đặc trưng S T Biểu diễn P P χS = i αi vi , χT = j βj vj tổ hợp tuyến tính véc tơ sở trực chuẩn v0 , v1 , , vn−1 v0 = ( √1n , √1n , , √1n ) Chúng ta có ! ! n−1 n−1 X X E(S, T ) = χS AχT = αi vi A βj vj i=0 j=0 Vì hệ véc tơ vi véc tơ riêng trực chuẩn ! ! ! n−1 ! n−1 n−1 n−1 X X X X E(S, T ) = αi vi A βj vj = αi vi βj Avj = i=0 n−1 X i=0 Vì j=0 ! αi vi ! X βj µj vj = i=0 n−1 X j=0 µi αi βi i=0 j |S| |T | α0 = hχs , v0 i = √ β0 = √ , n n nên n−1 n−1 i=1 i=0 |S||T | X |S||T | X E(S, T ) = µ0 + µi αi βi = d + µi αi βi n n Suy n−1 n−1 n−1 X X |S||T | X µi αi βi | |µi αi βi | λ |αi βi | |E(S, T )| − d = | n