THÔNG TIN TÀI LIỆU
Mơc lơc Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Môc lôc Mở đầu Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị kh«ng gian Banach 12 1.2 Độ đo véc tơ v tích phân hm nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ 14 1.2.1 Độ đo vÐc t¬ 14 1.2.2 TÝch ph©n Bochner 16 1.2.3 TÝch ph©n hm nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ 1.3 16 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18 1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20 1.5 TÝch phân ngẫu nhiên Wiener độ đo véc tơ ngẫu nhiên 1.6 Gauss đối xứng 24 Martingale nhận giá trị không gian Banach 25 z TÝch phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 2.1 Tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 2.2 2.3 27 BiÕn phân bình phơng độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss ®èi xøng 41 Quá trình Ito v công thức Ito 46 To¸n tư ngÉu nhiên không gian Banach 3.1 27 58 Khái niệm toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ vμ c¸c tÝnh chÊt tỉng qu¸t 58 3.2 Các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn 65 3.3 Nguyên lý bị chặn hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71 Th¸c triĨn cđa to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn 75 Về nghiên cứu 83 KÕt luËn 93 Tμi liƯu tham kh¶o 96 3.4 Phô lôc 100 z Mở đầu Trong ba kỷ qua, với công lao đóng góp nhiều hệ nh toán học, giải tích toán học đà trở thnh lĩnh vực toán học lớn với chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng trình đạo hm riêng, lý thuyết to¸n tư tun tÝnh, Nã cung cÊp cho nhiỊu ngμnh khoa häc vμ kü tht mét c«ng đắc lực để xử lý v tính toán mô hình tất định Tuy nhiên, sống giới chịu nhiều tác động nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên l hệ động lực ngẫu nhiên v trình ngẫu nhiên Thnh thử để phản ánh thực tế đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu mô hình tất định, việc nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên l tất yếu v cần thiết Trong vi chục năm gần đây, mặt nhu cầu phát triển nội toán học, mặt khác nhằm cung cấp ngôn ngữ, công cụ cho phép mô tả, phân tích, dự báo v điều khiển mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu nhiên (giải tích môi trờng ngẫu nhiên) đà đời với lý thuyết độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong hớng nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều đợc nhiều tác giả quan tâm phát triển nội giải tích ngẫu nhiên nh xuất nhiều bi toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần ý để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều, ngời ta cần phải có phơng pháp v dụng cụ khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ phơng pháp v dụng cụ xác suất không gian hữu hạn chiều mở rộng sang không gian vô hạn chiều không hiệu lực (xem [21, 22, 43] v th mục đó) z Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên lý thuyết xác suất l tích phân hm tất định chuyển động Brown Wiener đa [44] vo năm 1923 Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener Tích phân Wiener nhìn nhận nh l tích phân hm tất định thực độ đo ngẫu nhiên Wiener - độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh chuyển động Brown T tởng độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần xuất công trình Bochner [6] Tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo ngẫu nhiên giá trị thực đợc nghiên cứu Urbanik v Woyczynski [42] Sự mở rộng cho trờng hợp vô hạn chiều đợc thực Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27] Một hớng mở rộng khác tích phân Wiener đợc Đ.H.Thắng đề cập [36, 41]: Đó l xét tích phân hm tất định thực độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Chơng luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chơng ny trình by cách tóm lợc để lm quen với định nghĩa, kết độ đo véc tơ ngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị không gian Banach vô hạn chiều v tích phân hm tất định thực chúng, tập trung vo tính chất độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng Các kết ny đợc sử dụng đến chơng Nhu cầu toán học nh thực tiễn đòi hỏi phải thực trình lấy tích phân không cho hm tất định m cho hm ngẫu nhiên Năm 1942 nh toán học Ito [18] đà xây dựng trình tích phân cho hm ngẫu nhiên phù hợp chuyển động Brown Tích phân ny đợc gọi l tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito v công thức Ito đóng vai trò đặc biệt quan trọng giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v công thức Newton-Leibniz giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiên cứu vi tích phân không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên z cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác giải tích cổ điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm khác công thức đạo hm hm số hợp, môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên Ito Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngy cng v sát nhiều mô h×nh thùc tÕ vμ cã nhiỊu øng dơng thiÕt thực Một ứng dụng đáng ý gần kể đến l trở thnh công cụ quan trọng nghiên cứu toán tμi chÝnh (xem [15, 31] vμ c¸c th− mơc ë đó), ví dụ nh việc định nghĩa v nghiên cứu mô hình Black-Scholes, Merton, Hull and White, Có nhiều hớng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito Một số tác giả muốn xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích phân Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich, tÝch ph©n Skorokhod (xem [3, 24, 29] v th mục đó) Một hớng mở rộng khác l xây dựng tích phân hm ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên tổng quát Chẳng hạn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên khả đoán semimartingale đà đợc nhiều tác giả Mỹ v Pháp quan tâm (xem [5, 20] v th mục đó); lý thuyết tích phân ngẫu nhiên trình Brown phân thứ đợc số tác giả quan tâm dụng toán ti (xem [31]) Chơng có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito" Chơng ny dnh cho việc xây dựng tích phân Ito hm ngẫu nhiên giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng trình ngẫu nhiên vô hạn chiều Xt, kiểu Ito tổng quát v thiết lập công thức Ito tơng ứng Giả sử X, Y l không gian Banach Cho trớc Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa Đ.H.Thắng [41]) Chúng định nghĩa trình ngẫu nhiên Xt Y -giá z trị có dạng Xt = X0 + t a(s, ω) ds+ 0 t b(s, ω)·dQs + t c(s, ω)·dZs, (0 ≤ t ≤ T ) v gọi l trình Ito Y -giá trị độ đo ngẫu nhiên Z Để định nghĩa đợc trình ny đà phải xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị độ đo Z Kết quan trọng chơng ny l việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận án đà sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động toán tử song tuyến tính lên toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng độ đo Z Công thức biến phân ton phơng ny viết cách hình thức có dạng dZ = dQ dZ Trong trờng hợp Z l độ đo Wiener X-giá trị v không gian X, Y l hữu hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ 2.3.4) Chú ý công thức ny l ngời ta xét trờng hợp công thức Ito hữu hạn chiều với trình Wiener nhiều chiều với thnh phần độc lập (tức l với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q dạng dQ = R dt, ®ã R lμ ma trËn đơn vị) Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đà biết tích phân l loại toán tử tuyến tính đặc biệt v quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đà đợc phát triển thnh lý thuyết đồ sộ giải tích hm v đà đợc áp dụng hiệu để nghiên cứu lý thuyết phơng trình vi phân v phơng trình đạo hm riêng Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên l loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v quan trọng Một toán tử ngẫu nhiên A tõ X vμo Y lμ mét phÐp t−¬ng øng x X biến ngẫu nhiên Ax nhận giá trị Y Phép tơng ứng ny thoả mÃn điều kiện tuyến tính v liên tục theo nghĩa xác suất no Nh khái niệm toán tư ngÉu z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 nhiªn lμ mét sù më rộng "ngẫu nhiên" (hay ngẫu nhiên hoá) cách tự nhiên khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống Skorokhod [30] v đợc phát triển Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39] Theo hiểu biết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai đoạn đầu phát triển v nhiều vấn đề bỏ ngỏ Nếu nh lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đà trở thnh lâu đồ sộ, honh tráng giải tích, có nhiều ứng dụng toán học nh thực tiễn có sở để hy vọng v tin tởng tơng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên có hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao giải tích ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach" Trong chơng ny dnh quan tâm cho lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn Đó l lớp lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn nhng lại l mở rộng gần gũi toán tử tuyến tính tất định Chúng đà thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn Một kết thú vị chơng ny l nguyên lý bị chặn (Định lý Banach-Steinhaus) cho họ toán tử tuyến tính tất định cho họ toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhng đà không cho họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 luận án) Nếu nhìn tích phân Wiener nh toán tử ngẫu nhiên tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich v tích phân Skorokhod xem nh l cố gắng để thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên lớp no hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Chúng đa kiểu thác triển v chứng minh đợc toán tử ngẫu nhiên bị chặn tõ X sang Y (vμ chØ cã nã) míi cã thể thác triển miền xác định lên ton biến ngẫu nhiên nhận giá trị X đồng thời bảo ton tính chất tuyến tính v liên tục (Định lý 3.4.5) Một hệ thú vị định lý ny l: 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên tất hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn l lớp đặc biệt lớp toán tử ngẫu nhiên, đợc nghiên cứu Chơng hệ thống Một vấn đề đợc đặt cách tự nhiên l nghiên cứu loại toán tử ngẫu nhiên tổng quát Trong trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi kết đà công bố, tìm số kết thú vị khác toán tử ngẫu nhiên tổng quát (không thiết bị chặn) Nhng kết nói chung rời rạc, cha thnh hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên trình by buổi seminar nhỏ Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về nghiên cứu tiếp theo" Trong phần ny, nêu số vấn đề m cha gi¶i qut hoμn chØnh vμ kÌm theo mét sè kÕt đà đạt đợc Chúng dnh vấn đề cho nghiên cứu sau luận án Các kết chủ yếu luận án đà đợc báo cáo hội nghị: Hội nghị Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh (2003), Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên (2004), Hội nghị Ton quốc Xác suất Thống kê Ba Vì (2005) V đà đợc công bố tạp chí Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Analysis World Scientific (2004), Kyushu J.Math (2004), Vietnam J Math 38:2(2005) 10 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chơng Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian Banach m đề cập đến ch−¬ng cã thĨ xem nh− lμ sù më réng vô hạn chiều cho tích phân Ito, cần hỗ trợ từ nhiều kết trừu tợng không gian Banach Mặt khác cịng lμ viƯc më réng viƯc lÊy tÝch ph©n hμm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân Wiener vô hạn chiều) đợc xét [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tích phân cho hm ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên Gauss Nh l chuẩn bị, chơng ny nhằm mục đích tóm tắt sơ lợc kiến thức v kết liên quan m chúng đợc sử dụng sau ny, nh l: độ đo véc tơ, tích phân độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Đặc biệt trình by kỹ độ đo ngẫu nhiên Gauss v tích phân Wiener vô hạn chiều (tích phân hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss) Các kiến thức toán tử hạch, tích tensor không gian Banach, hình học không gian Banach, độ đo véc tơ Gauss không gian Banach đợc giíi thiƯu 11 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 phÇn phơ lơc sau luận án 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kiến thức phần ny ngời đọc tìm đọc kỹ [43] Giả sử T l không gian khác rỗng Họ tập T đợc gọi l trờng (hay đại số) tập T chứa tập rỗng, đóng phép lấy hợp v giao hữu hạn v đóng phép lấy phần bù đợc gọi l -trờng (hay -đại số) tập T l trờng v đóng phép lấy hợp v giao đếm đợc v phép lấy phần bù Trong trờng hợp ny cặp (T, ) đợc gọi l không gian đo đợc Cho (T, ) v (X, B) l không gian đo đợc Một ánh xạ : T X đợc gọi l (, B)-đo đợc hay đơn giản l đo đợc nghịch ảnh 1(B) với B B Nếu X l không gian tôpô -trờng nhỏ chứa tất tập mở X đợc gọi l -trờng Borel v đợc ký hiệu l B(X) Các tập B B(X) đợc gọi l tập Borel Nếu ánh xạ : T X l (, B(X))-đo đợc ta gọi l l đo đợc Borel hay đơn giản l đo đợc Cho (T, ) l không gian đo đợc, X l không gian metric Một hm : T X đợc gọi l đơn giản (tơng ứng bậc thang) (T ) l hữu hạn (tơng ứng đếm đợc) v 1(x) với x X Rõ rng hm đơn giản v hm bậc thang đo đợc : T X đợc gọi l đo đợc mạnh l giới hạn điểm dÃy hm đơn giản v đợc gọi l đo đợc yếu víi mäi x∗ ∈ X th× x∗ (ξ) : T R l hm đo đợc mạnh Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ đo đợc, đo đợc mạnh, đo đợc yếu Mệnh đề 1.1.1 Với ánh xạ : T X, phát biểu sau tơng đơng 12 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nếu u l biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị có dạng u(ω) = n 1Ei xi i=1 th× ta cã ˜ = Au n 1Ei Axi i=1 NÕu (un ) l dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản vμ p-limn un = u th× ˜ n = Au; p-limn Au Lúc ánh xạ A đợc gọi l thác triển A Mệnh đề 3.4.2 Nếu toán tử ngẫu nhiên A thác triển đợc thác triển ®ã lμ nhÊt vμ nÕu A˜ lμ th¸c triĨn A A l ánh xạ tuyến tính liên tơc tõ Y kh«ng gian LX (Ω) vμo kh«ng gian L0 () theo nghĩa sau: ã Với u, v ∈ L0X (Ω), α, β ∈ L0 (Ω) ta cã ˜ ˜ + β Av ˜ A(αu + βv) = Au h.c.c ã Nếu p-limn un = u ˜ ˜ n = Au p-limn Au Chøng minh: DÔ thấy thác triển toán tử ngẫu nhiên lμ nhÊt Gi¶ sư (un ) lμ d·y biÕn ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất tới biến ngẫu nhiên u no Vì tập biến ngẫu nhiên đơn giản trù mật không gian Frechet LX () nên với n N ta chọn đợc biến ngẫu nhiên đơn giản cho un − 0 < vμ n ˜ n 0 < ˜ n − Av Au n 76 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z (3.18) (3.19) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Nhắc lại · 0 lμ ký hiƯu chn Frechet kh«ng gian LX (Ω) Ta cã u − 0 ≤ u − un 0 + un − 0 P Vì un u nên u un 0 → 0, kÕt hỵp (3.18) suy u − 0 → 0, ®ã p-limn = u Vì l dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản vμ A th¸c triĨn ˜ n = Au ˜ Ta có đợc nên theo định nghĩa tồn p-limn Av ˜ − Au ˜ n 0 ≤ Au ˜ − Av ˜ n 0 + Av ˜ n − Au ˜ n 0 Au P ˜ kÕt hỵp víi (3.19) suy Au ˜ − Au ˜ n 0 → 0, hay p˜ n → Au Tõ Av ˜ n = Au Khẳng định mệnh đề đợc chứng minh limn Au Bây ta chứng minh khẳng định Chọn (n ), (n ), (un ) v (vn ) l dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản thực cho p-lim n = , p-lim βn = β, p-lim un = u, p-lim = v V× αn , βn , un , lμ biến ngẫu nhiên đơn giản nên ta dễ dng kiểm tra đợc n + n Av n ˜ n un + βn ) = αn Au A(α h.c.c (3.20) Chó ý r»ng p-lim αn un = u v A liên tục nên phơng trình (3.20) cho n ta thu đợc + β Av ˜ A(αu + βv) = αAu h.c.c Định lý 3.4.3 Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn A thác triển đợc Chứng minh: Nếu u l biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng (3.16) ta định nghĩa ánh xạ A l mở rộng tự nhiên A nh công thức (3.17) Ta cần bỉ ®Ị sau Bỉ ®Ị Cho t > 0, r > v u l biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị, ta có P Au > t P {A > t/r} + P {u > r} 77 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chứng minh bổ đề Giả sử u l biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng (3.16) Ta Au h.c.c dễ kiểm tra đợc Au Ta cã ˜ > t} P {A ˜ > t, u r} + P {u > r} P {Au P {uA > t, u r} + P {u > r} P {rA > t} + P {g > r} Bổ đề đợc chứng minh Bây ta quay lại chứng minh Định lý Giả sử (un ) l dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản hội tụ đến biến ngẫu nhiên u no theo xác suất Theo Bổ đề ta có ˜ ˜ ˜ P Aun − Aum > t = P A(un − um) > t P {A > t/r} + P {gn − gm > r} (3.21) Do ®ã ®ã ˜ ˜ lim sup P Aun − Aum > t P {A > t/r} n,m Cho r → ta nhận đợc lim sup P Aun − Aum > t = ∀t > n,m n Do tồn p-lim Au Bây giả sử (vn ) l dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản khác hội tụ đến n =: ˜ n =: ξ, p − lim Av u theo xác suất Theo chứng minh tồn p-lim Au η Tõ p-lim(un − ) = vμ lý luận tơng tự nh (3.21) ta nhận đợc n − Av ˜ n > t} = Ta cã P {ξ − η > t} P {ξ − Au ˜ n > limn P {Au ˜ n > t/3} + P {Av ˜ n − η > t/3} Cho n → ∞ ˜ n − Av t/3} + P {Au suy ξ = η h.c.c VËy A˜ lμ th¸c triĨn cđa A 78 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mệnh đề 3.4.4 Nếu A l thác triển toán tử ngẫu nhiên bị chặn A Au(ω) = T (ω)u(ω) h.c.c (3.22) ®ã T lμ ¸nh x¹ T : Ω → L(X, Y ) cho Ax = T (ω)x h.c.c víi mäi x ∈ X (xem Định lý 3.2.1) Chứng minh: Nếu u l biến ngẫu nhiên đơn giản ta dễ kiểm tra (3.22) l Nếu u l biến ngẫu nhiên tồn dÃy biến ngẫu nhiên (un ) hội tụ đến u h.c.c Vì T ()un () → T (ω)u(ω) h.c.c ®ã ˜ n = Au, ˜ ®ã cho n → ∞ ta nhận đợc (3.22) p-limn Au Định lý 3.4.5 Toán tử ngẫu nhiên A có thác triển v A bị chặn Chứng minh: Điều kiện đủ đà đợc chứng minh Định lý 3.4.3 Bây ta chứng minh điều kiện cần Giả sử A có thác triển lμ A˜ vμ ta gi¶ sư ph¶n chøng lμ A không bị chặn Gọi (xn ) l dÃy trù mật hình cầu đơn vị B X Họ biến ngẫu nhiên (Axn )n không bị chặn h.c.c ThËt vËy gi¶ sư supn Axn (ω) = ξ(ω) < ∞ h.c.c XÐt x ∈ B bÊt kú Lóc ®ã tån t¹i mét d·y (yn) cđa tËp (xn )∞ n=1 cho yn x Vì A liên tục theo xác suất nên p-lim Ayn Ax Ta chọn đợc dÃy yn , không lm tính tổng quát ta giả sử l dÃy yn , thoả mÃn Ayn Ax h.c.c Tồn tËp D x¸c st cho víi mäi ω ∈ D th× Axn (ω) ξ(ω) vμ Ayn(ω) → Ax(ω) Suy víi mäi ω ∈ D th× Ax(ω) ξ(ω), hay Ax(ω) ξ(ω) h.c.c., ®iỊu nμy dÉn đến A bị chặn Vậy họ biến ngẫu nhiên (Axn) không bị chặn h.c.c Do P (supn Axn = ) > Đặt D = { : sup Axn (ω) = ∞} n 79 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Với n N đặt n () = max Axn () 1kn Lúc (n) l dÃy không giảm vμ limn ξn (ω) = ∞ víi mäi ω ∈ D Ta xác định dÃy biến ngẫu nhiên X-giá trị (un ) nh sau: đặt u1 () = x1 víi mäi ω ∈ Ω vμ un (ω) = ⎧ ⎪ ⎨un−1 (ω) nÕu Axn (ω) ξn−1(ω) ⎪ ⎩xn ngợc lại Ta quy nạp r»ng ˜ n = ξn Au (3.23) ˜ n−1 = ξn−1 NÕu ThËt vËy, víi n = khẳng định (3.23) l Giả sử Au Axn (ω) ξn−1 (ω) th× ξn(ω) = ξn−1 (ω), un (ω) = un−1 (ω) v× vËy ˜ n (ω) = Au ˜ n−1 (ω) = ξn−1 (ω) = ξn(ω) Au NÕu Axn (ω) ≥ ξn−1 (ω) th× ξn(ω) = Axn (ω) Do ®ã ˜ n (ω) = Axn (ω) = n () Au Với k cố định, đặt Dn = {ω ∈ D : ξn (ω) > k} V× Dn ⊂ Dn+1 vμ / D = n Dn nªn ta cã lim P (Dn) = P Dn = P (D) n n Suy , tån t¹i nk cho P (ξnk > k) = P (Dnk ) > P (D) XÐt biÕn ngÉu nhiªn gk = unk k 80 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 ˜ k = Mặt Vì un nên gk → h.c.c vμ ®iỊu nμy dÉn ®Õn p-limk Ag kh¸c, víi mäi k ta cã ˜ n > k) = P (ξn > k) > P (D) ˜ k > 1) = P (Au P (Ag k k Mâu thuẫn Vậy A phải bị chặn Nhận xét Cho A l ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên từ L2 [0, 1] vo R xác định Ax(t) = x(s)dW (s) V× E|Ax|2 = x2 nên dễ thấy A l l toán tử ngẫu nhiên Nếu (en ) l sở L2[0, 1] (Aen ) l dÃy biến ngẫu nhiên độc lập Gauss chuẩn tắc Do sup |Aen| = n Điều ny dẫn đến A không bị chặn Do theo Định lý 3.4.5 ta 1 thác triển miền xác định tích phân ngẫu nhiên Wiener x(s)dW (s) lên ton hm ngẫu nhiên u(t, ) với quỹ đạo L2 [0, 1] Sử dụng Định lý 3.4.5 ta có đợc điều kiện đủ để giới hạn dÃy toán tử ngẫu nhiên bị chặn l toán tử ngẫu nhiên bị chặn Định lý 3.4.6 Cho (An ) l dÃy toán tử ngẫu nhiên bị chặn cho với x X, tồn p-lim An x = Ax Nếu biến ngẫu nhiên (An) bị chặn theo xác suất toán tử giới hạn A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn Chứng minh: Trớc tiên ta với biến ngẫu nhiên X-giá trị u, Thật vậy, theo Mệnh đề 3.4.4 An u An u, tồn p-lim Anu = Au P An u > t P {An u > t} sup P {An > t/r} + P {u > r} n 81 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Ta cã P {A˜n u − A˜m u > t} P {A˜n (u − g) > t/3} + P {A˜m(u − g) > t/3} + P {A˜n g − A˜mg > t/3} sup P {kn > t/3r} + 2P {u − g > r} n + P {A˜n g − Amg > t/3} (3.24) Vì họ (An) bị chặn theo xác suất nên ta chọn r > cho supn P {kn > t/3r} < /3 vμ ta chọn biến ngẫu nhiên đơn giản g cho P {u − g > r} < /3 DÔ thÊy p-lim A˜n g tån t¹i víi g lμ biÕn ngẫu nhiên đơn giản, tồn n0 cho víi mäi n, m > n0 th× P {A˜ng − A˜mg > t/3} < /3 KÕt hỵp (3.24) ta nhận đợc P {An u Am u > t} < ∀m, n > n0 ˜ tån t¹i víi mäi u ∈ LX (Ω) TiÕp theo, ¸p dơng §Þnh lý VËy p-lim A˜n u = Au Y Banach-Steinhaus (có hiệu lực không gian Frechet LX () v L0 ()) suy ánh xạ giới hạn A dÃy toán tử tuyến tính liên tục (An ) l toán tử tuyến tính liên tục từ LX () vo LY () Do A l thác triển A v theo 0 Định lý 3.4.5 A bị chặn Trong Định lý điều kiện (An ) bị chặn theo xác suất không l điều kiƯn cÇn Ta xÐt vÝ dơ sau VÝ dơ 3.4.7 Giả sử (k ) l dÃy biến ngẫu nhiên thực độc lập Gauss chuẩn tắc Với n, ánh xạ ngẫu nhiên An từ l2 vo R đợc xác ®Þnh bëi An x = 2n αk (x, ek ) k=n+1 82 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 lμ mét to¸n tư ngẫu nhiên bị chặn ( xem Ví dụ 3.1.4) Với x X = l2 tồn limn nk=1 αk (x, ek ) h.c.c., ®ã limn An x = h.c.c Ta cã An ≥ P{An < t} ≥ P{ sup n+1≤k≤2n sup n+1≤k≤2n |Anek | = sup n+1≤k≤2n |αk | n |αk | < t} = φ(t) → n → ∞ Do họ biến ngẫu nhiên (An ) không bị chặn theo xác suất 83 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Về nghiên cứu Chơng chủ yếu nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên bị chặn v tập trung vo bi toán thác triển, kết toán tử ngẫu nhiên tổng quát khiêm tốn Nhận xét không gian xác suất suy biến gồm điểm, không gian ngẫu nhiên trở không gian tất định, toán tử ngẫu nhiên l toán tử bị chặn (tất định) Điều ny cho thấy toán tử ngẫu nhiên l khái niệm gần gũi với toán tử tuyến tính tất định v chắn nhiều điều để tìm tòi v khám phá Trong trình nghiên cứu để hon thnh luận án, đà chọn số kết hay v chặt chẽ để công bố (nằm chơng trớc) Ngoi tìm số kết thú vị khác nhng điều kiện thời gian, kết nằm rải rác nhiều vấn đề, cha thnh hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên trình by buổi seminar nhỏ Trong phần cuối luận án ny, đa số vấn đề m cha giải qut hoμn chØnh vμ kÌm theo mét sè kÕt qu¶ đà đạt đợc Chúng tiếp tục nghiên cứu v hy vọng giải đợc sớm vấn ®Ị nμy sau ln ¸n BiĨu diƠn phỉ cđa to¸n tử ngẫu nhiên đối xứng Xét X l không gian Hilbert, (S, ) l không gian đo Định nghĩa E l độ đo phổ ngẫu nhiên quy X v xác định 84 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 (S, ) nÕu nã lμ hμm biÕn E : Σ×X ×Ω → X (B, x, ω) → X vμ tho¶ m·n điều kiện sau Nếu cố định B E(B, ·, ·) : x ∈ X → E(B, x, Ã) LX l toán tử ngẫu nhiên Nếu cố định E(Ã, Ã, ) : B ∈ Σ → E(B, ·, ω) ∈ L(X, X) l độ đo phổ tất định X xác định (S, ) Mệnh đề Cho A l toán tử ngẫu nhiên đối xứng từ không gian Hilbert thực X vμo X, tøc lμ (Ax, y) = (x, Ay) h.c.c víi mäi x, y ∈ X Lóc ®ã tån độ phổ ngẫu nhiên quy E X v xác định trờng tập Borel R tho¶ m·n ∀x ∈ X : Ax = lim n→∞ n λE(dλ)x h.c.c −n Më réng miỊn t¸c động toán tử ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên Ito Từ Mệnh đề 3.4.2 ta có mệnh đề sau Mệnh đề Toán tử ngẫu nhiên A thác triển đợc v tồn ánh xạ A˜ : LX (Ω) → LY (Ω) tho¶ m·n ®iỊu kiƯn sau: 0 NÕu u lμ mét biến ngẫu nhiên đơn giản X-giá trị có dạng u() = n 1Ei xi i=1 85 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 th× ta cã ˜ = Au n 1Ei Axi i=1 NÕu p-limn un = u th× ˜ ˜ n = Au p-limn Au Theo Định lý 2.1.5 chơng toán tử tích phân Ito l toán tử tuyến tính liên tục có miền xác định l lớp hm ngẫu nhiên M2 Do tích phân Ito cã thĨ xem nh− lμ sù th¸c triĨn miỊn t¸c động tích phân Wiener từ hm bình phơng khả tích lên lớp hm ngẫu nhiên M2 Tuy nhiên ta cã thĨ thÊy ®iỊu kiƯn MƯnh ®Ị l không thoả mÃn cách thác triển ny Do để trả lời câu hỏi: liệu tiếp tục mở rộng miền tác động tích phân Ito lên ton hm ngẫu nhiên bình phơng khả tích từ tích phân Wiener hay không, ta đa khái niệm "thác triển đợc" khác nh sau: Định nghĩa Toán tử ngẫu nhiên A đợc gọi l thác triển đợc tồn Y ánh xạ A : LX () L0 () thoả mÃn điều kiện sau: ˜ ˜ víi mäi t ∈ R, u ∈ LX (Ω) A(tu) = tAu NÕu p-limn un = u th× ˜ n = Au ˜ p-limn Au Bi toán đặt l: toán tử tích phân Wiener có thác triển đợc theo cách nh hay không? 86 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Giải phơng trình vi phân ngẫu nhiên Xét bi toán giải phơng trình vi phân ngÉu nhiªn: u(t)(ω) ˙ = Au(t)(ω) u(0)(ω) = v(ω) h.c.c (3.25) h.c.c., ®ã t ∈ [0, ∞), u(t) ∈ LX (Ω), v ∈ L0 (Ω) lμ biÕn ngÉu nhiªn cho tr−íc vμ u(t + h) − u(t) h0 h Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn việc giải phơng trình ny u(t) = p- lim khó Nếu A l toán tử ngẫu nhiên không bị chặn trớc hết ta phải định nghĩa tác động A lên biến ngẫu nhiên u nh no Rõ rng ta thác triển miền tác động lên ton biến ngẫu nhiên, nhiên câu hỏi đặt l liệu ta mở rộng miền tác động lên chừng no? Giả sử toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y l giới hạn điểm dÃy toán tử ngẫu nhiên bị chặn An , tức lμ p- lim An = Ax ∀x ∈ X n Ta mở rộng miền tác động nh− sau: D(A) = {u ∈ LX (Ω) : tån t¹i p- lim Anu}, n Au = p- lim An u ∀u ∈ D(A) n (3.26) Ta chøng minh đợc A thác triển lên ton biến ngẫu nhiên theo cách nh v A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn Xét X l không gian Hilbert với sở l (en ) n=1, đặt An x = n (x, ek )Aek k=1 87 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 th× An l toán tử ngẫu nhiên bị chặn v p- lim An = Ax ∀x ∈ X n NÕu X = L2 [0, 1] v A l toán tử tích phân ngẫu nhiên Wiener thì thác triển (3.26) đợc gọi l thác triển Ogawa Vậy thác triển Ogawa thác triển lên ton biến ngẫu nhiên Gọi un () l nghiệm phơng trình vi phân un () = Aun () h.c.c Câu hỏi đặt lμ liƯu cã tån t¹i p-limn un = u(ω) vμ giới hạn u() có l nghiệm phơng trình (3.25) Ta đà chứng minh đợc điều ny A l toán tử ngẫu nhiên ngẫu nhiên dissipative v (An) l dÃy toán tử ngẫu nhiên xấp xỉ kiểu Yoshida Định nghĩa Với x X, ký hiệu F (x) = {x∗ ∈ X : x∗ = 1 v x = (x, x )} Toán tử ngẫu nhiên A đợc gọi l dissipative với x X tồn x F (x) cho (Ax, x ) h.c.c Định nghĩa A = R I đợc gọi l xấp xỉ Yoshida toán tử ngẫu nhiên A, R l toán tử ngẫu nhiên bị chặn v l thác triển toán tử (I A)1 Quỹ đạo toán tử ngẫu nhiên Toán tử ngẫu nhiên bị chặn cã mét tÝnh chÊt rÊt quan träng lμ nã cã m quỹ đạo l toán tử tuyến tính bị chặn (tất định), coi toán tử ngẫu nhiên bị chặn lμ mét hä (tham sè ω ∈ Ω) c¸c to¸n tử tuyến tính bị chặn (tất định) V thuận lợi l cần giải 88 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 vấn đề toán tử ngẫu nhiên bị chặn (vÝ dơ biĨu diƠn phỉ) ta th−êng ®−a vỊ viƯc gi¶i qut cho tõng tham sè ω (vÝ dơ biĨu diƠn phỉ cho tõng ω) råi chøng minh tÝnh ®o đợc Trong trờng hợp toán tử ngẫu nhiên không bị chặn tổng quát ta quỹ đạo có tính chất Câu hỏi đặt l với điều kiện no toán tử ngẫu nhiên A quỹ đạo có tính chất tốt Đặc biệt l no A có quỹ đạo l toán tử tuyến tính (không thiết bị chặn) Mệnh đề Nếu giải A khác rỗng, tức l tồn biến ngẫu nhiên LR có mở rộng l toán tử ngẫu nhiên bị chỈn cho (λI − A) vμ X lμ không gian Hilbert khả ly A có tuyến tính Nửa nhóm ngẫu nhiên Khi định nghĩa khái niệm nửa nhóm ngẫu nhiên ta gặp phải khó khăn lớn l tác động toán tử ngẫu nhiên nh no Điều ny đòi hỏi miền tác động toán tử ngẫu nhiên không l phần tử tất định X m phải rộng l biến ngẫu nhiên X-giá trị Ta định nghĩa toán tử ngẫu nhiên theo kiểu tổng quát nh sau: Định nghĩa Giả sử D(A) l không gian ngẫu nhiên LX , tøc lμ ∀u, v ∈ D(A); λ, β ∈ LR λu + βv ∈ D(A), A : D(A) → LY0 đợc gọi l toán tử ngẫu nhiên tuyến tÝnh nÕu A(λu + βv) = λAu + βAv, ∀u, v D(A), , LR A đợc gọi l toán tử ngẫu nhiên bị chặn D(A) = LX v A l liên tục theo xác st 89 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 MƯnh ®Ị NÕu A lμ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính tính liên tục theo xác suất v liên tục h.c.c l tơng đơng Nhận xét Việc định nghĩa toán tử ngẫu nhiên theo nghĩa cũ v l tơng đơng theo nghĩa sau đây: Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn (theo định nghĩa mới) hạn chế A X: A |X l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa cũ v ngợc lại A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa cũ thác triển A: A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn tồn biến ngẫu nhiên nhỏ ta ký hiÖu lμ A cho Au Au, ∀u LX (), A = A |X (A |X đợc xem nh l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa cũ) Các nguyên lý bị chặn toán tử ngẫu nhiên l ®óng Cơ thĨ MƯnh ®Ị Cho {Ai, i ∈ I} l họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ LX vo LY0 Nếu với u LX , hä {Ai u, i ∈ I} bÞ chặn theo xác suất họ {Ai u, i I, u ∈ LX , u h.c.c } bị chặn theo xác suất Mệnh đề Cho {Ai, i ∈ I} lμ hä c¸c to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn từ LX vo LY0 Nếu với u LX , họ {Ai u, i I} bị chặn h.c.c họ {Ai u, i ∈ I, u ∈ LX , u h.c.c } bị chặn h.c.c Mệnh đề Cho {An, n ∈ N} lμ d·y c¸c to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn từ LX vo LY0 Nếu với u LX , tồn p-limn An u = Au A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn 90 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z
Ngày đăng: 05/09/2023, 00:58
Xem thêm: