THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: HDC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HDP: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2011 z Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 12 Tính quy biểu diễn chuỗi toán tử 1.1 Định nghĩa toán tử ngẫu nhiên ví dụ 1.2 Các tính chất quy 1.3 Biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên ngẫu nhiên 22 22 23 34 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển 2.2 Thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian có sở Schauder 2.2.1 Miền tác động mở rộng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.2.2 Trường hợp ảnh sở biến ngẫu nhiên độc lập 40 40 Thác triển toán tử ngẫu nhiên 3.1 Phương pháp thác triển theo dãy 3.2 Phương pháp thác triển theo chuỗi 61 61 72 iii z 48 49 55 MỤC LỤC Kết luận kiến nghị Kết luận Kiến nghị nghiên cứu Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 86 86 86 87 Tài liệu tham khảo 88 Chỉ dẫn 91 iv z Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực P Độ đo xác suất E Kỳ vọng LX (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị LX p (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp p C[a, b] Không gian hàm liên tục [a, b] L2 [a, b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] p-lim Hội tụ theo xác suất P − X Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn → F(u) σ-trường sinh biến ngẫu nhiên u F(Φ) σ-trường sinh họ biến ngẫu nhiên {Φx, x ∈ X} h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y v z Mở đầu Trong vài kỷ qua, với cơng lao đóng góp nhiều hệ nhà tốn học, giải tích tốn học trở thành lâu đài đồ sộ với tồ nhà tráng lệ: phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết tốn tử tuyến tính, Nó cung cấp cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật công cụ đắc lực để xử lý tính tốn mơ hình tất định Tuy nhiên, giới sống giới ngẫu nhiên Mọi phần tử giới ln bị tác động, can thiệp nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên hệ động lực trình ngẫu nhiên Thành thử, nhu cầu tất yếu đặt cần có mơ hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đắn, sinh động Giải tích ngẫu nhiên đời từ nhu cầu Hầu hết mơ hình ngẫu nhiên ngẫu nhiên hố mơ hình tất định biết Tốn tử ngẫu nhiên khơng nằm ngồi quy luật Cho X, Y không gian Banach khả ly, (Ω, F, P) không gian xác suất sở Trong giải tích tất định, ta hiểu ánh xạ f từ X vào Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X phần tử y ∈ Y Tuy nhiên, có tác động nhiễu ảnh x qua ánh xạ f chưa phần tử tất định f (x) ∈ Y mà giá trị Như vậy, thay xem f (x) phần tử tất định Y ta coi biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Khi đó, ánh xạ f gọi toán tử ngẫu nhiên (random operator) hay ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y Như ta trình bày trên, tốn tử ngẫu nhiên Φ từ E ⊂ X vào Y quy tắc cho tương ứng phần tử tất định x ∈ E biến ngẫu nhiên Y - giá trị Φx Tuy nhiên có nhiều tốn dẫn đến nhu cầu mở rộng miền tác động toán tử ngẫu nhiên như: • Khi có nhiễu đầu vào đầu vào phần tử tất định mà biến ngẫu nhiên E - giá trị Khi đó, ta cần định nghĩa z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu tác động Φ lên phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E • Khi ta muốn định nghĩa hợp toán tử ngẫu nhiên Φ Ψ từ X vào X theo cách (Ψ ◦ Φ)(x) = Ψ(Φ(x)) ta cần định nghĩa ảnh biến ngẫu nhiên Φ(x) qua tốn tử ngẫu nhiên Ψ • Một toán mà ta Rrất quen thuộc tốn mở rộng tích phân ngẫu nhiên Wiener x(t)dW (ω, t) thành tích phân ngẫu nhiên R1 x(t, ω)dW (ω, t) mà hàm lấy tích phân hàm ngẫu nhiên x(t, ω) thay hàm tất định x(t) Tích phân ngẫu nhiên Ito dạng mở rộng Vậy mục tiêu ta thác triển toán tử ngẫu nhiên miền tác động rộng tốt giữ số tính chất tốt ánh xạ Φ Có thể có nhiều cách định nghĩa ảnh Φu biến ngẫu nhiên E - giá trị u qua toán tử ngẫu nhiên Φ trước hết cần thoả mãn điều kiện sau: • Φu(ω) biến ngẫu nhiên Y - giá trị • Nếu tốn tử ngẫu nhiên Ψ tốn tử ngẫu nhiên Φ Φu(ω) = Ψu(ω) h.c.c Dường ta định nghĩa Φu phép trực tiếp Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) Tuy nhiên, ví dụ sau cho thấy khơng phải lúc ta làm việc trực tiếp vi phạm điều kiện vừa nêu Ví dụ 0.0.1 Lấy Ω = X, F = B(X) P độ đo xác suất không atom Cho a, b hai phần tử khác Y D tập khơng Borel X Xét tốn tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y xác định a ω = x ∈ D, Φ(ω, x) = b ngược lại Khi đó, với u ∈ LX (Ω) xác định u(ω) = ω ta có {ω : Φ(ω, u(ω)) = a} = {ω : Φ(ω, ω) = a} = D ∈ / F 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu Vậy Φu(ω) không đo hay nói khác Φu khơng biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Trong ví dụ điều kiện thứ không thoả mãn, tức Φu không biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Ví dụ sau cho thấy Φu biến ngẫu nhiên Y - giá trị lại phụ thuộc vào việc chọn Φ Ví dụ 0.0.2 Cho (Ω, A, P) = ([0; 1], B, µ) µ độ đo Lebesgue X = Y = R Ta xác định hai toán tử ngẫu nhiên Φ Ψ R sau x.ω x 6= ω, Φ(ω, x) = 1 x = ω Ψ(ω, x) = xω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X Rõ ràng Φ Ψ Xét biến ngẫu nhiên u(ω) cho u(ω) = ω ∀ω ∈ Ω Ta có Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) = 1; Ψu(ω) = Ψ (ω, u(ω)) = ω Do Φu(ω) 6= Ψu(ω) ∀ω 6= Như vậy, phép trực tiếp ta định nghĩa Φu cách đắn Bài toán đặt cách định nghĩa tác động toán tử ngẫu nhiên Φ lên biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E cho Φ giữ số tính chất tốt Bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên tác giả Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Thịnh nghiên cứu đạt số kết cho trường hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính cơng bố [15] Trong luận án ngồi tính chất quy, biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên, chúng tơi trình bày chi tiết phương pháp thác triển tốn tử ngẫu nhiên (khơng thiết tuyến tính) Ngồi phần mở đầu phần kiến thức chuẩn bị (chương 0), luận án gồm ba chương Chương 1: Trình bày tốn tử ngẫu nhiên, tính chất quy tốn tử ngẫu nhiên, quan hệ tính chất quy 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu số điều kiện cần, đủ để có tính chất quy Các kết Nguyễn Thịnh trình bày luận án tiến sĩ (xem [8]) Ngồi ra, chương cịn trình bày biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên Các kết đăng báo [3] (xem Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Chương 2: Trình bày số kết việc thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, tức tốn tử ngẫu nhiên có tính chất tuyến tính ngẫu nhiên liên tục ngẫu nhiên, từ X vào Y hai trường hợp Chương gồm hai phần: Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian có sở Schauder Các kết phần đầu tác giả Đặng Hùng Thắng Nguyễn Thịnh công bố [15] Trong phần thứ hai, chúng tơi xét tốn ∞ P tử ngẫu nhiên Φ có khai triển chuỗi dạng Φx = (x, e∗n )Φen n=1 e = (en ) sở Schauder X (e∗n ) sở liên hợp (en ) Khi định nghĩa biến ngẫu nhiên u nhận giá trị X thuộc ∞ P (u, e∗n )Φen hội tụ LY0 (Ω) miền tác động mở rộng Φ chuỗi n=1 tổng tương ứng gọi ảnh u qua Φ Chúng tơi tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động mở rộng Φ, điều kiện cần đủ để thác triển tốn tử ngẫu nhiên Φ lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị X Ngồi chúng tơi cịn đưa số kết trường hợp đặc biệt biến ngẫu nhiên Φei , i = 1, 2, độc lập Các kết phần công bố báo [1] (xem Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Chương 3: Trình bày kết thác triển toán tử ngẫu nhiên Trong chương này, chúng tơi đưa hai thủ tục để thác triển tốn tử ngẫu nhiên phương pháp thác triển theo dãy phương pháp thác triển theo chuỗi ngẫu nhiên Các kết công bố báo [2] (xem Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Theo phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo dãy, ta định nghĩa tác động Φ lên biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị E ⊂ X sau nhờ vào việc xấp xỉ biến ngẫu nhiên E-giá trị u dãy biến ngẫu nhiên rời rạc un ta định nghĩa ảnh u qua toán tử ngẫu nhiên Φ Phần mở rộng kết chương 2, mục 2.1 Theo cách này, chúng tơi tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động Φ theo kiểu thác triển dãy 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 10 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Mở đầu tìm số điều kiện cần, đủ để thác triển ánh xạ Φ lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Với phương pháp thác triển tốn tử ngẫu nhiên theo chuỗi, chúng tơi ∞ P xét tốn tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi dạng Φx = αn fn x n=1 αn biến ngẫu nhiên thực (tương ứng biến ngẫu nhiên Y -giá trị) fn ánh xạ đo từ E ⊂ X vào Y (tương ứng đo từ E ⊂ X vào R) Như vậy, Φ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính X khơng gian Banach có sở Schauder Φ có khai triển chuỗi dạng Biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E thuộc miền tác động toán tử ngẫu nhiên ∞ P Φ chuỗi αn fn u hội tụ LY0 (Ω) Chúng tìm n=1 số điều kiện đủ để u thuộc miền tác động mở rộng Φ số điều kiện cần, đủ để thác triển tốn tử ngẫu nhiên Φ lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Đây mở rộng kết chương 2, phần 2.2 Trong số trường hợp đặc biệt, nghiên cứu mối quan hệ hai kiểu thác triển Hà Nội, ngày 31 tháng năm 2010 Nghiên cứu sinh Trần Mạnh Cường 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 11 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Trong chương chúng tơi trình bày hai phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên Φ (khơng thiết tuyến tính) từ E ⊂ X vào Y Đó phương pháp thác triển theo dãy phương pháp thác triển theo chuỗi Phương pháp thác triển theo dãy mở rộng phương pháp thác triển chương phần 2.1 phương pháp thác triển theo chuỗi mở rộng phương pháp thác triển chương phần 2.2 Các kết đạt chương công bố báo [2] (xem Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) 3.1 Phương pháp thác triển theo dãy Định nghĩa 3.1.1 Cho u biến ngẫu nhiên rời rạc, tức u= m X 1Ei xi i=1 m ∈ {1, 2, , +∞} {Ei , i = 1, 2, , m} phân hoạch Ω Ký hiệu S tập tất biến ngẫu nhiên rời rạc E - giá trị Với ˜ biến ngẫu u ∈ S ảnh u qua tốn tử ngẫu nhiên Φ, ký hiệu Φu, nhiên Y - giá trị xác định ˜ Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) = m X 1Ei (ω)Φ(ω, xi ) i=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 61 z (3.1) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên ˜ : S → LY0 (Ω) gọi toán tử ngẫu nhiên mở rộng Φ Khi Φ S ˜ biến ngẫu nhiên Y - giá trị Thật vậy, với Dễ dàng thấy Φu B ∈ B(Y ) ta có ˜ {ω : Φu(ω) ∈ B} = ∪m i=1 {ω : Φ(ω)xi ∈ B} ∩ Ei ∈ F Φu(ω) = Ψu(ω) h.c.c Ψ Φ Định nghĩa 3.1.2 Ta nói biến ngẫu nhiên E-giá trị u thuộc vào miền tác động mở rộng D = D(Φ) Φ tồn lớp biến ngẫu nhiên rời rạc V ⊂ S cho ˜ Tồn dãy (un ) ∈ V cho lim un = u LE (Ω) dãy Φun hội tụ LY0 (Ω) ˜ n không phụ thuộc vào cách chọn dãy (un ) ∈ V thoả Giới hạn lim Φu mãn điều kiện ˜ n ký hiệu Φu ˜ gọi ảnh Nếu u ∈ D(Φ) giới hạn limn Φu biến ngẫu nhiên u qua toán tử ngẫu nhiên Φ Toán tử ngẫu nhiên ˜ : D → LY0 (Ω) gọi toán tử ngẫu nhiên mở rộng Φ Φ Định lý 3.1.3 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên có liên tục Khi ˜ D(Φ) = LE (Ω) Hơn nữa, toán tử ngẫu nhiên mở rộng Φ ánh xạ liên tục Y từ LE (Ω) vào L0 (Ω) Chứng minh Cho u ∈ LE (Ω) i) Giả sử T liên tục Φ Trước hết ta với m P ˜ u ∈ S, u = 1Ei xi ta có Φu(ω) = T (ω, u(ω)) h.c.c Thật vậy, tồn i=1 tập K ⊂ Ω có xác suất cho Φ(ω, xi ) = T (ω, xi ) ∀ω ∈ K ∀i = 1, 2, 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 62 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên ˜ Với ω ∈ K tồn số i cho ω ∈ Ei ⇔ u(ω) = xi ⇒ Φu(ω) = Φ(ω, xi ) = T (ω, xi ) = T (ω, u(ω)) ii) Tiếp theo, ta tồn dãy (un ) ∈ S cho limn un (ω) = u(ω) h.c.c Gọi (xi )∞ i=1 dãy đếm trù mật X Với n ta định nghĩa n Bi = x ∈ E : kx − xi k < n đặt An1 = B1n , n Ani = Bin \ ∪i−1 j=1 Bj (i > 1) Ta xác định biến ngẫu nhiên rời rạc un ∈ S sau un (ω) = xi u(ω) ∈ Ani Cố định ω ∈ Ω Với n, tồn i = i(n) cho u(ω) ∈ Ani Khi đó, kun (ω) − u(ω)k = kxi − u(ω)k < ⇒ lim un (ω) = u(ω) n n ˜ n (ω) = T (ω, un (ω)) h.c.c Với ω lim un (ω) = un (ω) Vì T Ta có Φu ˜ n (ω) = liên tục nên lim T (ω, un (ω)) = T (ω, u(ω)) với ω Do lim Φu T (ω, u(ω)) h.c.c nên hội tụ LY0 (Ω) ˜ Giả sử (vn ) ∈ S cho lim = u LE (Ω) lim Φvn = ξ LE (Ω) Khi đó, tồn dãy (vnk ) thoả mãn limk vnk (ω) = ˜ n (ω) = lim T (ω, (ω)) = T (ω, u(ω)) h.c.c u(ω) h.c.c Cho nên, lim Φv k k Từ ta có, ξ(ω) = T (ω, u(ω)) h.c.c iii) Cuối cùng, ta cần un , u ∈ LE (Ω) cho p-limun = u ˜ n = Φu ˜ Trước hết, ta ý lim un = u0 h.c.c thì p-limΦu ˜ n = Φu ˜ h.c.c Thật vậy, tồn tập D ⊂ Ω với P(D) = cho lim Φu 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 63 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên với ω ∈ D, n = 0, 1, ˜ n (ω) = T (ω, un (ω)) lim un (ω) = u0 (ω); Φu n Vì T liên tục nên với ω ∈ D ˜ n (ω) = lim T (ω, un (ω)) = T (ω, u0 (ω)) = Φu ˜ (ω) lim Φu n n ˜ n không hội tụ theo xác suất đến Φu ˜ Khi đó, Bây giả sử Φu tồn t > 0, > dãy unk cho với unk ˜ n − Φuk ˜ > t) ≥ P(kΦu k Do p-limunk = u nên tồn dãy u0nk hội tụ h.c.c đến u Với ý ˜ hội tụ theo xác suất đến Φu ˜ Vì vậy, ta có Φu0nk hội tụ h.c.c đến Φu ˜ 0n − Φuk ˜ > t) ≥ = lim P(kΦu k k ˜ n hội tụ theo xác suất đến Φu ˜ hay Φ ˜ liên tục Mâu thuẫn Vậy Φu Định lý 3.1.4 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y thỏa mãn điều kiện k-Lipschitz theo xác suất nghĩa tồn biến ngẫu nhiên thực k(ω) cho với t > x, y ∈ E ta có P {kΦ(ω, x) − Φ(ω, y)k > t; A} ≤ P {k(ω)kx − yk > t; A} với biến cố A Khi D(Φ) = LE (Ω), Y ˜ ánh xạ liên tục từ LE Toán tử ngẫu nhiên mở rộng Φ (Ω) vào L0 (Ω) Chứng minh Trước hết, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1.5 Với t > 0, r > cặp biến ngẫu nhiên rời rạc X-giá trị u, v ∈ S ta có n o ˜ − Φvk ˜ > t ≤ P{k(ω) > t/r} + P{ku − vk > r} P kΦu 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 64 z (3.2) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Đầu tiên, ta chứng minh bổ đề Giả sử u(ω) = ∞ X 1Ei xi , v(ω) = ∞ X i=1 1Ei yi i=1 Khi đó, ˜ − Φvk ˜ > t} ≤ P{k|Φu ˜ − Φvk ˜ > t, ku − vk ≤ r} + P{ku − vk > r} P{kΦu X ˜ − Φvk ˜ > t, ku − vk ≤ r, Ei } + P{ku − vk > r} = P{kΦu i ≤ X ≤ X ˜ i − Φy ˜ i k > t, kxi − yi k ≤ r, Ei } + P{ku − vk > r} P{kΦx i P{k(ω) > t/r, Ei } + P{ku − vk > r} i = P{k(ω) > t/r} + P{ku − vk > r} Bổ đề chứng minh Giả sử (gn ) ∈ S p-limgn = u Theo phương trình (3.2) ta có n o ˜ n − Φg ˜ m k > t ≤ P{k(ω) > t/r} + P{kgn − gm k > r} P kΦg Nên n o ˜ ˜ lim sup P kΦgn − Φgm k > t ≤ P{k(ω) > t/r} n,m Cho r → ta n o ˜ ˜ lim sup P kΦgn − Φgm k > t = n,m ˜ n Vì vậy, tồn p-limn Φg ˜ n = ξ, Tiếp theo, với (hn ) ∈ S thoả mãn p-limhn = u, ta đặt p-limΦg ˜ n = η Từ bổ đề 3.1.5 p-lim(gn − hn ) = dễ dàng thu p-limΦh ˜ n − Φh ˜ n k > t} = Ta có lim P{kΦg ˜ n k > t/3k}+ P{kξ − ηk > tk} ≤ P{kξ − Φg ˜ n − Φh ˜ n k > t/3k} + P{kΦh ˜ n − ηk > t/3k} P{kΦg 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 65 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Cho n → ∞ ta P{kξ −ηk > t} = với t > Vậy ξ = η h.c.c Đầu tiên ta chứng minh với t > 0, r > biến ngẫu nhiên u, v ∈ LE (Ω) ta có n o ˜ ˜ P kΦu(ω) − Φv(ω)k > t ≤ P{k(ω) > t/r} + P{ku(ω) − v(ω)k > r} (3.3) Thật vậy, giả sử (gn ), (hn ) hai dãy biến ngẫu nhiên rời rạc thuộc ˜ n = S cho p-limgn = u, p-limhn = v Theo định nghĩa, p-limΦg ˜ p-limΦh ˜ n = Φv ˜ Theo bổ đề 3.1.5 ta có Φu, n o ˜ ˜ P kΦgn − Φhn k > t ≤ P{k(ω) > t/r} + P{kgn − hn k > r} Cho nên ˜ − Φvk ˜ > t} ≤ lim inf P{kΦg ˜ n − Φh ˜ n k > t} P{kΦu ˜ n − Φh ˜ n k > t} ≤ lim sup P{kΦg ≤ P{k(ω) > t/r} + lim sup P{kgn − hn k > r} ≤ P{k(ω) > t/r} + P{ku − vk ≥ r} Giả sử p-limn un = u Từ phương trình (3.3) ta có n o ˜ ˜ P kΦun − Φuk > t ≤ P{k(ω) > t/r} + P{kun − uk > r} Do n o ˜ ˜ lim sup P kΦun − Φuk > t ≤ P{k(ω) > t/r} n Cho r → ta n o ˜ n − Φuk ˜ > t = lim sup P kΦu n ˜ ánh xạ liên tục Hay Φ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 66 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1.6 Toán tử ngẫu nhiên Φ : E × Ω → Y gọi toán tử ngẫu nhiên k-Lipschitz tồn biến ngẫu nhiên thực k(ω) cho với x1 , x2 ∈ E ta có kΦx1 (ω) − Φx2 (ω)k ≤ k(ω)kx1 − x2 k h.c.c Chú ý tập ω thoả mãn điều kiện phụ thuộc vào x1 , x2 nên với ω ánh xạ x 7→ Φx(ω) chưa liên tục Từ định nghĩa ta thấy Φ tốn tử ngẫu nhiên k-Lipschitz k-Lipschitz theo xác suất nên thoả mãn điều kiện định lý 3.1.4 ta thác triển Φ lên tồn không gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Hơn nữa, ta có hệ sau Hệ 3.1.7 Nếu Φ tốn tử ngẫu nhiên k-Lipschitz ta thác E triển lên tồn khơng gian LE (Ω) với u, v ∈ L0 ta có ˜ − Φvk ˜ ≤ k(ω)ku − vk h.c.c kΦu (3.4) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh (3.4) cho biến ngẫu nhiên rời rạc Thật vậy, cho u(ω) = ∞ X 1Ei xi , v(ω) = i=1 ∞ X 1Ei yi i=1 ˜ ˜ Theo định nghĩa ω ∈ Ei ⇒ Φu(ω) = Φxi (ω), Φv(ω) = Φyi (ω) Do ˜ ˜ kΦu(ω) − Φv(ω)k = ∞ X 1Ei kΦxi (ω) − Φyi (ω)k i=1 Tồn tập D ⊂ Ω với xác suất cho với ω ∈ D, i = 1, 2, kΦxi (ω) − Φyi (ω)k ≤ k(ω)kxi − yi k Nên ˜ ˜ kΦu(ω) − Φv(ω)k = ∞ X 1Ei kΦxi − Φyi k i=1 k(ω) ∞ X 1Ei kxi − yi k = k(ω)ku(ω) − v(ω)k, i=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 67 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên nghĩa là, ˜ − Φvk ˜ k(ω)ku − vk h.c.c kΦu Do Φ thoả mãn điều kiện định lý 3.1.4 nên ta có thác triển Φ lên Y ˜ : LE tồn khơng gian Φ (Ω) → L0 (Ω) liên tục Giả sử (gn ), (hn ) ∈ S ˜ ánh xạ liên tục từ cho limn gn (ω) = u(ω); limm hn (ω) = v(ω) ∀ω Do Φ Y ˜ ˜ ˜ ˜ LE (Ω) vào L0 (Ω) nên p-limn Φgn = Φu; p-limn Φhn = Φv Ta lấy dãy (gnk ), (hnk ) cho ˜ n = Φv ˜ h.c.c ˜ n = Φu; ˜ lim Φh lim Φg k k k k Vì (3.4) cho biến ngẫu nhiên rời rạc nên ta có ˜ n (ω) − Φh ˜ n (ω)k k(ω)kgn (ω) − hn (ω)k h.c.c kΦg k k k k Tồn tập D ⊂ Ω có xác suất cho bất đẳng thức với k ω ∈ D Cho k → ∞ ta ˜ ˜ kΦu(ω) − Φv(ω)k k(ω)ku(ω) − v(ω)k với ω ∈ D Y ˜ : LE Như ánh xạ liên tục Φ (Ω) → L0 (Ω) cho với biến ngẫu nhiên rời rạc u ta có ˜ Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) h.c.c (3.5) toán tử ngẫu nhiên mở rộng Φ LE (Ω) Định lý 3.1.3 Định lý 3.1.4 cho ta điều kiện đủ để thác triển tốn tử ngẫu nhiên Φ từ E vào Y lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên E-giá trị LE (Ω) Bài tốn đặt tìm điều kiện cần đủ để toán tử ngẫu nhiên thác triển lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên LE (Ω) Định lý cho ta câu trả lời Định lý 3.1.8 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ X vào Y Để Φ thác triển lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên LX (Ω) điều kiện cần đủ Φ có liên tục 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 68 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Chứng minh Ta cần chứng minh điều kiện cần Giả sử Φ có thác triển lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên X-giá trị tức có ánh xạ liên Y ˜ : LX tục Φ (Ω) → L0 (Ω) thoả mãn phương trình (3.5) Trước hết, ta m ˜ tuyến tính Thật vậy, với u, v ∈ S, α, β ∈ R, u = P 1E (ω)xi , v = Φ i m P i=1 1Ei (ω)yi ta có i=1 αu + βv = m X 1Ei (ω)(αxi + βyi ), i=1 ˜ Φ(αu + βv)(ω) = m X 1Ei (ω)Φ(ω, αxi + βyi ) i=1 Với i ta có Φ(ω, αxi + βyi ) = αΦ(ω, xi ) + βΦ(ω.yi ) h.c.c Vì vậy, m X 1Ei (ω)Φ(ω, αxi + βyi ) = i=1 α m X 1Ei (ω)Φ(ω, xi ) + β m X i=1 1Ei (ω)Φ(ω, yi ) h.c.c i=1 Điều có nghĩa ˜ ˜ ˜ Φ(αu + βv)(ω) = αΦu(ω) + β Φv(ω) h.c.c (3.6) ˜ liên tục nên phương trình (3.6) với u, v ∈ LX Do Φ (Ω), α, β ∈ R Do Y ˜ ánh xạ tuyến tính liên tục từ LX đó, Φ (Ω) vào L0 (Ω) Theo định lý 2.1.3 Φ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn Do theo định lý 1.2.8 tồn ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) cho Φ(ω, x) = T (ω)x h.c.c Ta định nghĩa ánh xạ Ψ sau: Ψ(ω, x) = T (ω)x Dễ dàng thấy Ψ liên tục Φ Định nghĩa 3.1.9 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 69 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên E-giá trị u gọi độc lập với Φ σ-trường F(u) sinh u σ-trường F(Φ) sinh họ {Φ(ω, x)}x∈E độc lập Φ liên tục ngẫu nhiên với t > 0, > tồn δ > cho P(kΦ(ω, x) − Φ(ω, y)k > t) < kx − yk < δ Rõ ràng, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục ngẫu nhiên Định lý 3.1.10 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên, liên tục ngẫu nhiên từ E vào Y G tập LE (Ω) gồm biến ngẫu nhiên độc lập với Φ Khi đó, G ⊂ D(Φ), ˜ ánh xạ liên tục từ G vào LY0 (Ω) Toán tử ngẫu nhiên mở rộng Φ Chứng minh Đặt V = G ∩ S V trù mật G với tôpô hội tụ theo xác suất Ta (gn ) ∈ V, u ∈ G p-limgn = u giới hạn ˜ n tồn giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy p-limΦg xấp xỉ (gn ) ∈ V Ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1.11 Với t > 0, > tồn δ > cho với cặp biến ngẫu nhiên u, v ∈ V ta có ˜ − Φvk ˜ > t) ≤ + P (ku − vk > δ) P(kΦu (3.7) Trước hết, ta chứng minh bổ đề Vì Φ liên tục ngẫu nhiên nên tồn δ > cho P(kΦ(ω, x) − Φ(ω, y)k > t) < 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 70 z (3.8) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên với kx − yk < δ Ta có ˜ − Φvk ˜ > t) = P(kΦ(ω, u(ω)) − Φ(ω, v(ω))k > t, ku − vk ≤ δ) P(kΦu +P(kΦ(ω, u(ω)) − Φ(ω, v(ω))k > t, ku − vk > δ) ≤ P(kΦ(ω, u(ω)) − Φ(ω, v(ω))k > t, ku − vk ≤ δ) +P (ku − vk > δ) (3.9) Từ tính độc lập (u, v) Φ ta P(kΦ(ω, u(ω)) − Φ(ω, v(ω))k > t, ku − vk ≤ δ) = Z P (kΦ(ω, x) − Φ(ω, y)k > t)dµ(x, y), (3.10) (x,y):kx−yk t) ≤ + P(ku − vk > δ) P(kΦu Bổ đề chứng minh Cho trước t > 0, với > theo Bổ đề 3.1.11 tồn δ > cho ˜ n − Φg ˜ m k > t) ≤ + P(kgn − gm k > δ) P(kΦg Cho n, m → ∞ → ta ˜ n − Φg ˜ m k > t) = lim P (kΦg n,m ˜ n Do đó, tồn p-limΦg ˜ n = Tiếp theo, cho (hn ) ∈ V thoả mãn p-limhn = u Đặt p-limΦg ˜ n = η Từ Bổ đề 3.1.11 p-lim(gn − hn ) = ta có ξ, p-limΦh 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 71 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên ˜ n − Φh ˜ n k > t} = Ta lại có limn P {kΦg ˜ n k > t/3}+ P{kξ − ηk > t} ≤ P{kξ − Φg ˜ n − Φh ˜ n k > t/3} + P{kΦh ˜ n − ηk > t/3} P{kΦg Cho n → ∞ ta P{kξ − ηk > t} với t > Vì vậy, ξ = η h.c.c Chứng minh tương tự ta Bổ đề 3.1.11 với cặp biến ngẫu nhiên u, v ∈ G Giả sử (un ), u ∈ G cho p-limn un = u Với > tồn δ > cho n o ˜ ˜ P kΦun − Φuk > t ≤ + P{kun − uk > δ} Cho n → ∞, → ta n o ˜ ˜ lim P kΦun − Φuk > t = n 3.2 Phương pháp thác triển theo chuỗi Định nghĩa 3.2.1 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên xác định dãy (αn , fn )∞ n=1 b Ký hiệu D(Φ) tập tất biến ngẫu nhiên E-giá trị u cho chuỗi ∞ X αn f n u (3.11) n=1 hội tụ LY0 (Ω), fn u ∈ LY0 (Ω) cho fn u(ω) = fn (u(ω)) b D(Φ) gọi miền xác định mở rộng Φ b ˆ gọi ảnh biến Nếu u ∈ D(Φ) tổng (3.11), ký hiệu Φu, ngẫu nhiên u qua ánh xạ Φ Cũng giống chương trước, ta thấy biến ngẫu b nhiên u nhận giá trị x ∈ E với xác suất u ∈ D(Φ) Do đó, hiển E b nhiên E ⊂ D(Φ) ⊂ L0 (Ω) Định lý sau cho thấy u biến ngẫu nhiên rời rạc u thuộc miền tác động mở rộng Φ 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 72 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Định lý 3.2.2 Nếu u ∈ S có dạng u= ∞ X 1Ei xi i=1 b u ∈ D(Φ) ˆ = Φu ∞ X 1Ei Φxi i=1 Chứng minh Đặt Zn = n P αi fi u Z = i=1 ∞ P 1Ei Φxi Ta cần i=1 lim P(kZn − Zk > t) = n Với ω ∈ Ek ta có Z(ω) = Φxk , Zn (ω) = n P αi fi xk i=1 P(kZn − Zk > t) = ∞ X P(kZn − Zk > t, Ek ) k=1 ≤ m X P (k n X αi fi xk − Φxk k > t) + i=1 k=1 ∞ X P(Ek ) k=m+1 Với k = 1, 2, , m cố định, ta có lim P(k n n X αi fi xk − Φxk k > t) = i=1 Cho n → ∞ m → ∞, ta limn P(kZn − Zk > t) = Định nghĩa 3.2.3 Biến ngẫu nhiên E-giá trị u gọi độc lập với toán tử ngẫu nhiên Φ σ-trường F(u) F(Φ) độc lập, F(u) σ-trường sinh u F(Φ) σ-trường sinh họ Φx, x ∈ E Từ định nghĩa ta thấy biến ngẫu nhiên u độc lập với toán tử ngẫu nhiên Φ có biểu diễn chuỗi (1.9) u độc lập với dãy (αn ) Định lý 3.2.4 Cho u độc lập với {αn } Khi đó, b u ∈ D(Φ) 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 73 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên ˜ = Φu ˆ Nếu thêm giả thiết Φ liên tục ngẫu nhiên u ∈ D(Φ) Φu Chứng minh Cho t > Do u độc lập với dãy (αn ) nên ! Z ! n n X X P k αi fi uk > t = P k αi fi x)k > t dµ(x), X i=m i=m µ phân bố u Với x ∈ X ta có ! n X lim P k αi fi xk > t = m,n→∞ i=m Theo định lý hội tụ bị chặn lim P k m,n→∞ n X ! αi fi uk > t = i=m Do đó, chuỗi ∞ X αi f i u i=1 b hội tụ LY0 (Ω) nghĩa u ∈ D(Φ) Do u độc lập với Φ nên theo Định lý 3.1.10 u ∈ D(Φ) Ta ˆ = Φu ˜ Theo Định lý 3.2.2 u ∈ S phải chứng minh Φu b ˆ = Φu ˜ Giả sử u ∈ LX u ∈ D(Φ) Φu (Ω) u độc lập với dãy (αn ) P Vì u ∈ D(Φ), nên tồn dãy biến ngẫu nhiên un ∈ S, un → u ˜ n = Φu ˜ Do p-limΦu ˜ n = Φu ˆ n= Φu ∞ X αi fi un , i=1 ˆ = Φu ∞ X αi fi u, i=1 nên cần p-limn ∞ X αi fi un = i=1 ∞ X αi fi u i=1 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 74 z 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.2237.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.66 Chương Thác triển toán tử ngẫu nhiên Cho t > 0, > Vì Φ liên tục ngẫu nhiên nên tồn δ > cho kx − yk < δ P {kΦx − Φyk > t} ≤ , nghĩa là, ) ( ∞ ∞ X X αi f i x − αi f i y > t ≤ P i=1 (3.12) i=1 kx − yk < δ Do (un , u) độc lập với dãy {αn }, nên ta có ) ( ∞ ∞ X X αi fi un − αi fi u > t P i=1 i=1 ( ∞ ) ∞ X X ≤P αi fi un − αi fi u > t, kun − uk < δ + P{kun − uk ≥ δ} i=1 i=1 ( ∞ ) Z ∞ X X = P αi f i x − αi fi y > t dµ(x, y) i=1 {(x,y):kx−yk t ≤ + P{kun − uk > δ} i=1 i=1 Cho n → ∞ → ta ( ∞ ) ∞ X X lim P αi fi un − αi fi u > t = n i=1 i=1 Đó điều phải chứng minh Định lý 3.2.5 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y xác định dãy (αn , fn )∞ n=1 Giả sử E compact, (αn ) dãy biến ngẫu nhiên thực độc lập, đối xứng (fn ) dãy ánh xạ liên tục từ E vào Y 37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.99 75 z
Ngày đăng: 05/09/2023, 01:00
Xem thêm: