Microsoft Word bia chinh luan an doc Môc lôc Lêi cam ®oan 1 Lêi c¶m ¬n 2 Môc lôc 3 Më ®Çu 5 1 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu 11 1 1 BiÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸[.]
Mơc lơc Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Môc lôc Mở đầu Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị kh«ng gian Banach 12 1.2 Độ đo véc tơ v tích phân hm nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ 14 1.2.1 Độ đo vÐc t¬ 14 1.2.2 TÝch ph©n Bochner 16 1.2.3 TÝch ph©n hm nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ 1.3 16 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18 1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20 1.5 TÝch phân ngẫu nhiên Wiener độ đo véc tơ ngẫu nhiên 1.6 Gauss đối xứng 24 Martingale nhận giá trị không gian Banach 25 z TÝch phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 2.1 Tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 2.2 2.3 27 BiÕn phân bình phơng độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss ®èi xøng 41 Quá trình Ito v công thức Ito 46 To¸n tư ngÉu nhiên không gian Banach 3.1 27 58 Khái niệm toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ vμ c¸c tÝnh chÊt tỉng qu¸t 58 3.2 Các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn 65 3.3 Nguyên lý bị chặn hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71 Th¸c triĨn cđa to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn 75 Về nghiên cứu 83 KÕt luËn 93 Tμi liƯu tham kh¶o 96 3.4 Phô lôc 100 z Mở đầu Trong ba kỷ qua, với công lao đóng góp nhiều hệ nh toán học, giải tích toán học đà trở thnh lĩnh vực toán học lớn với chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng trình đạo hm riêng, lý thuyết to¸n tư tun tÝnh, Nã cung cÊp cho nhiỊu ngμnh khoa häc vμ kü tht mét c«ng đắc lực để xử lý v tính toán mô hình tất định Tuy nhiên, sống giới chịu nhiều tác động nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên l hệ động lực ngẫu nhiên v trình ngẫu nhiên Thnh thử để phản ánh thực tế đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu mô hình tất định, việc nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên l tất yếu v cần thiết Trong vi chục năm gần đây, mặt nhu cầu phát triển nội toán học, mặt khác nhằm cung cấp ngôn ngữ, công cụ cho phép mô tả, phân tích, dự báo v điều khiển mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu nhiên (giải tích môi trờng ngẫu nhiên) đà đời với lý thuyết độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong hớng nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều đợc nhiều tác giả quan tâm phát triển nội giải tích ngẫu nhiên nh xuất nhiều bi toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần ý để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều, ngời ta cần phải có phơng pháp v dụng cụ khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ phơng pháp v dụng cụ xác suất không gian hữu hạn chiều mở rộng sang không gian vô hạn chiều không hiệu lực (xem [21, 22, 43] v th mục đó) z Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên lý thuyết xác suất l tích phân hm tất định chuyển động Brown Wiener đa [44] vo năm 1923 Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener Tích phân Wiener nhìn nhận nh l tích phân hm tất định thực độ đo ngẫu nhiên Wiener - độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh chuyển động Brown T tởng độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần xuất công trình Bochner [6] Tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo ngẫu nhiên giá trị thực đợc nghiên cứu Urbanik v Woyczynski [42] Sự mở rộng cho trờng hợp vô hạn chiều đợc thực Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27] Một hớng mở rộng khác tích phân Wiener đợc Đ.H.Thắng đề cập [36, 41]: Đó l xét tích phân hm tất định thực độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Chơng luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chơng ny trình by cách tóm lợc để lm quen với định nghĩa, kết độ đo véc tơ ngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị không gian Banach vô hạn chiều v tích phân hm tất định thực chúng, tập trung vo tính chất độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng Các kết ny đợc sử dụng đến chơng Nhu cầu toán học nh thực tiễn đòi hỏi phải thực trình lấy tích phân không cho hm tất định m cho hm ngẫu nhiên Năm 1942 nh toán học Ito [18] đà xây dựng trình tích phân cho hm ngẫu nhiên phù hợp chuyển động Brown Tích phân ny đợc gọi l tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito v công thức Ito đóng vai trò đặc biệt quan trọng giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v công thức Newton-Leibniz giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiên cứu vi tích phân không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên z cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác giải tích cổ điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm khác công thức đạo hm hm số hợp, môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên Ito Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngy cng v sát nhiều mô h×nh thùc tÕ vμ cã nhiỊu øng dơng thiÕt thực Một ứng dụng đáng ý gần kể đến l trở thnh công cụ quan trọng nghiên cứu toán tμi chÝnh (xem [15, 31] vμ c¸c th− mơc ë đó), ví dụ nh việc định nghĩa v nghiên cứu mô hình Black-Scholes, Merton, Hull and White, Có nhiều hớng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito Một số tác giả muốn xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích phân Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich, tÝch ph©n Skorokhod (xem [3, 24, 29] v th mục đó) Một hớng mở rộng khác l xây dựng tích phân hm ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên tổng quát Chẳng hạn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên khả đoán semimartingale đà đợc nhiều tác giả Mỹ v Pháp quan tâm (xem [5, 20] v th mục đó); lý thuyết tích phân ngẫu nhiên trình Brown phân thứ đợc số tác giả quan tâm dụng toán ti (xem [31]) Chơng có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito" Chơng ny dnh cho việc xây dựng tích phân Ito hm ngẫu nhiên giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng trình ngẫu nhiên vô hạn chiều Xt, kiểu Ito tổng quát v thiết lập công thức Ito tơng ứng Giả sử X, Y l không gian Banach Cho trớc Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa Đ.H.Thắng [41]) Chúng định nghĩa trình ngẫu nhiên Xt Y -giá z trị có dạng Xt = X0 + t a(s, ω) ds+ 0 t b(s, ω)·dQs + t c(s, ω)·dZs, (0 ≤ t ≤ T ) v gọi l trình Ito Y -giá trị độ đo ngẫu nhiên Z Để định nghĩa đợc trình ny đà phải xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị độ đo Z Kết quan trọng chơng ny l việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận án đà sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động toán tử song tuyến tính lên toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng độ đo Z Công thức biến phân ton phơng ny viết cách hình thức có dạng dZ = dQ dZ Trong trờng hợp Z l độ đo Wiener X-giá trị v không gian X, Y l hữu hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ 2.3.4) Chú ý công thức ny l ngời ta xét trờng hợp công thức Ito hữu hạn chiều với trình Wiener nhiều chiều với thnh phần độc lập (tức l với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q dạng dQ = R dt, ®ã R lμ ma trËn đơn vị) Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đà biết tích phân l loại toán tử tuyến tính đặc biệt v quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đà đợc phát triển thnh lý thuyết đồ sộ giải tích hm v đà đợc áp dụng hiệu để nghiên cứu lý thuyết phơng trình vi phân v phơng trình đạo hm riêng Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên l loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v quan trọng Một toán tử ngẫu nhiên A tõ X vμo Y lμ mét phÐp t−¬ng øng x X biến ngẫu nhiên Ax nhận giá trị Y Phép tơng ứng ny thoả mÃn điều kiện tuyến tính v liên tục theo nghĩa xác suất no Nh khái niệm toán tư ngÉu z nhiªn lμ mét sù më réng "ngẫu nhiên" (hay ngẫu nhiên hoá) cách tự nhiên khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống Skorokhod [30] v đợc phát triển Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39] Theo hiểu biết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai đoạn đầu phát triển v nhiều vấn ®Ị bá ngá NÕu nh− lý thut to¸n tư tun tính (tất định) đà trở thnh lâu đồ sộ, honh tráng giải tích, có nhiều ứng dụng toán học nh thực tiễn có sở để hy vọng v tin tởng tơng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên có hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao giải tích ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach" Trong chơng ny dnh quan tâm cho lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn Đó l lớp lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn nhng lại l mở rộng gần gũi toán tử tuyến tính tất định Chúng đà thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn Một kết thú vị chơng ny l nguyên lý bị chặn (Định lý Banach-Steinhaus) cho hä c¸c to¸n tư tun tÝnh tÊt định cho họ toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhng đà không cho họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 luận án) Nếu nhìn tích phân Wiener nh toán tử ngẫu nhiên tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich v tích phân Skorokhod xem nh l cố gắng để thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên lớp no hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Chúng đa kiểu thác triển v chứng minh đợc toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (vμ chØ cã nã) míi cã thĨ thác triển miền xác định lên ton biến ngẫu nhiên nhận giá trị X đồng thời bảo ton tính chất tuyến tính v liên tục (Định lý 3.4.5) Một hệ thú vị định lý ny l: z thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên tất hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn l lớp đặc biệt lớp toán tử ngẫu nhiên, đợc nghiên cứu Chơng hệ thống Một vấn đề đợc đặt cách tự nhiên l nghiên cứu loại toán tử ngẫu nhiên tổng quát Trong trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi kết đà công bố, tìm số kết thú vị khác toán tử ngẫu nhiên tổng quát (không thiết bị chặn) Nhng kết nói chung rời rạc, cha thnh hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên trình by buổi seminar nhỏ Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về nghiên cứu tiếp theo" Trong phần ny, nêu số vấn đề m cha giải hon chỉnh v kèm theo số kết đà đạt đợc Chúng dnh vấn đề cho nghiên cứu sau luận án Các kết chủ yếu luận án đà đợc báo cáo hội nghị: Hội nghị Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh (2003), Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên (2004), Hội nghị Ton quốc Xác suất Thống kê Ba Vì (2005) V đà đợc công bố tạp chí Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Analysis World Scientific (2004), Kyushu J.Math (2004), Vietnam J Math 38:2(2005) 10 z Chơng Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian Banach m đề cập đến chơng xem nh l mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, cần hỗ trợ từ nhiều kết trừu tợng không gian Banach Mặt khác l việc mở rộng việc lấy tích phân hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân Wiener vô hạn chiều) đợc xét [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tích phân cho hm ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên Gauss Nh l chuẩn bị, chơng ny nhằm mục đích tóm tắt sơ lợc kiến thức v kết liên quan m chúng đợc sử dụng sau ny, nh l: độ đo véc tơ, tích phân độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Đặc biệt trình by kỹ độ đo ngẫu nhiên Gauss v tích phân Wiener vô hạn chiều (tích phân hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss) Các kiến thức toán tử hạch, tích tensor không gian Banach, hình học không gian Banach, độ đo véc tơ Gauss không gian Banach đợc giới thiệu 11 z phần phụ lục sau luận án 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kiến thức phần ny ngời đọc tìm đọc kỹ [43] Giả sử T l không gian khác rỗng Họ tập T đợc gọi l trờng (hay đại số) tập T chứa tập rỗng, đóng phép lấy hợp v giao hữu hạn v đóng phép lấy phần bù đợc gọi l -trờng (hay -đại số) tập T nÕu nã lμ mét tr−êng vμ ®ãng ®èi víi phép lấy hợp v giao đếm đợc v phép lấy phần bù Trong trờng hợp ny cặp (T, ) đợc gọi l không gian đo đợc Cho (T, ) v (X, B) l không gian đo đợc Một ánh xạ : T X đợc gọi l (, B)-đo đợc hay đơn giản l đo đợc nghịch ảnh 1(B) với B B Nếu X l không gian tôpô -trờng nhỏ chứa tất tập mở X đợc gọi l -trờng Borel v đợc ký hiệu l B(X) Các tập B B(X) đợc gọi l tập Borel Nếu ánh xạ : T X l (, B(X))-đo đợc ta gọi l l đo đợc Borel hay đơn giản l đo đợc Cho (T, ) l không gian đo đợc, X l kh«ng gian metric Mét hμm ξ : T → X đợc gọi l đơn giản (tơng ứng bậc thang) (T ) l hữu hạn (tơng ứng đếm đợc) v ξ −1(x) ∈ Σ víi mäi x ∈ X Râ rng hm đơn giản v hm bậc thang đo ®−ỵc ξ : T → X ®−ỵc gäi lμ ®o đợc mạnh l giới hạn điểm dÃy hm đơn giản v đợc gọi l đo đợc yếu với x X x () : T R l hm đo đợc mạnh Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ đo đợc, đo đợc mạnh, đo đợc yếu Mệnh đề 1.1.1 Với ánh xạ : T X, phát biểu sau tơng đơng 12 z ... mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu nhiên (giải tích môi trờng ngẫu nhiên) ®· ®êi víi c¸c lý thut vỊ ®é ®o ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, ... thuyết toán tử ngẫu nhiên có hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao giải tích ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach" Trong chơng ny dnh quan tâm cho lớp toán. .. tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian