(LUẬN văn THẠC sĩ) một số tính chất của hàm khả vi vô hạn thông qua giá của biến đổi fourier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN KIỀU HIÊN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật huy, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên khuyến khích tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Nguyễn Kiều Hiên TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.2 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 11 1.3 Đạo hàm hàm suy rộng 13 1.4 Giá hàm suy rộng 13 1.5 Không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 15 1.6 Tích chập 17 1.7 Phép biến đổi Fourier 17 1.7.1 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 18 1.7.2 Phép biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm S (Rn ) 25 1.7.3 Phép biến đổi Fourier không gian hàm suy rộng với giá compact E (Rn ) 26 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM KHẢ VI VÔ HẠN THÔNG QUA GIÁ CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER 28 2.1 Dáng điệu dãy đạo hàm không gian Lp (R) 28 2.2 Dáng điệu dãy đạo hàm hàm tuần hồn khơng gian Lp (π) 32 2.3 Dáng điệu dãy P - đạo hàm không gian Lp (Rn ) 34 2.4 Nghiên cứu tính chất phổ dãy P - đạo hàm bất đẳng thức tích chập 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier Mở đầu Biến đổi Fourier hướng nghiên cứu quan trọng Tốn học nói chung Giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier lớp phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi Luận văn đề cập tới nghiên cứu số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier (gọi phổ) Vấn đề có ý nghĩa lớn ứng dụng vào giải tốn khó khác Giải tích hàm, Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết hàm suy rộng, Lý thuyết nhúng, Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết sóng nhỏ Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Các không gian hàm khơng gian hàm suy rộng Chương trình bày kiến thức không gian hàm bản, khơng gian hàm suy rộng, tích chập hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier hàm bản, hàm suy rộng, định lý kết liên quan đến luận văn làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Một số tính chất hàm khả vi vô hạn thông qua giá biến đổi Fourier Chương phần luận văn, trình bày tính chất hàm số qua hình học phổ cho tốn tử vi phân, mơ tả dáng điệu dãy đạo hàm, dãy đạo hàm hàm tuần hồn, dãy P - đạo hàm hình thành từ tốn tử vi phân trực tiếp thơng qua giá biến đổi Fourier, bất đẳng thức tích chập hai hàm nhiều biến (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier Chương CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ BẢN VÀ KHÔNG GIAN HÀM SUY RỘNG Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm kết lý thuyết hàm suy rộng phép biến đổi Fourier (xem [1], [2], [6]) Chúng rõ khái niệm kết sử dụng chương sau 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn) Trước nghiên cứu không gian hàm giảm nhanh S (Rn ), số ký hiệu trình bày luận văn Cho N = {1, 2, } tập số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm, R tập số thực, C tập số phức Đơn vị ảo √ −1 = i Với số tự nhiên n ∈ N tập Zn+ = {α = (α1 , , αn ) | αj ∈ Z+ , j = 1, 2, , n}, Rn không gian Euclid n chiều x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn với chuẩn Euclid n n P P kxk = ( x2j )1/2 , tích vơ hướng xξ = xj ξj j=1 j=1 Với k ∈ Z+ ký hiệu tập sau C k (R) = {u : R → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (R) = {u : R → C|u ∈ C k (R), suppu tập compact}, k ∞ ∞ k C ∞ (R) = ∩∞ k=1 C (R), C0 (R) = ∩k=1 C0 (R), (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier suppu = {x ∈ R| u(x) 6= 0} Với số thực ≤ p < ∞, ký hiệu Lp (Rn ) = {u : Rn → C|kukp = Z |u (x) |p dx 1/p < +∞} Rn Với p = ∞, ký hiệu L∞ (Rn ) = {u : Rn → C|kuk∞ = ess sup |u (x)| < +∞}, x∈Rn ess sup |u (x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Rn ||u (x)| > M } = 0} x∈Rn Ký hiệu F phép biến đổi Fourier, fb (hay Ff ) ảnh Fourier hàm f, suppfb giá ảnh Fourier (gọi phổ) hàm f Các giới hạn lim am , lim am , lim am m→∞ tương ứng giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dãy hàm m→∞ m→∞ ∞ {am }m=1 Bây lúc ta phát biểu định nghĩa, định lý, đồng thời đưa ví dụ minh họa để làm rõ không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) Định nghĩa 1.1 Không gian S (Rn ) tập hợp S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier Chú ý 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) không gian không gian Lp (Rn ) với ≤ p ≤ ∞ Chứng minh Ta chọn hàm ϕ ∈ S (Rn ) Hiển nhiên hàm ϕ ∈ L∞ (Rn ) Nên ta cần xét ≤ p < ∞ Theo định nghĩa, ta có Z |ϕ (x1 , x2 , , xn )|p dx1 dxn Rn Z = |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 + x2n

Rn ≤ sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21
x∈Rn
Rn Rn + x21

+ x22 + x2n Z Mặt khác Z + x21 dx1 dxn (1 + x2n )

dx1 dxn 2 + x1 (1 + xn ) (1.1)
dx1 dxn + x22 (1 + x2n ) +∞ Z = −∞ dx1
+ x21 Z +∞ −∞ dx2
+ x22 Z +∞ −∞ dxn = π n (1.2) (1 + x2n ) Kết hợp (1.1) (1.2), ta suy Z p ϕ (x1 , x2 , , xn ) dx1 dxn Rn ≤ π n sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21 x∈Rn
+ x22 + x2n

Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến sup |ϕ (x1 , x2 , , xn ) |p + x21
x∈Rn Vì thế, ta nhận Z + x22 + x2n < ∞ p
|ϕ (x1 , x2 , , xn ) | dx1 dxn 1/p
< ∞, Rn điều cho ta hàm ϕ ∈ Lp (Rn ) Chứng minh hoàn thành Chú ý 1.2 Nếu hàm a (.) ∈ C ∞ (Rn ) cho với α ∈ Zn+ có số thực m = m (α), số dương c = c (α) có |Dα a (x)| < c(1 + kxk)m , ánh xạ biến hàm ϕ thành hàm aϕ ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) vào (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.cua.ham.kha.vi.vo.han.thong.qua.gia.cua.bien.doi.fourier Định lý 1.1 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) không gian đầy đủ n Chứng minh Lấy dãy hàm {ϕm }∞ m=1 dãy Cauchy không gian S (R ),  ∞ nghĩa dãy hàm xα Dβ ϕm (x) m=1 ∀α, β ∈ Zn+ hội tụ tập com- pact Rn đến hàm ψ ∈ C ∞ (Rn ) Thật vậy, cho α = (0, , 0) , β = (0, , 0) dãy hàm {ϕm }∞ m=1 hội tụ Rn Khi đó, tồn hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn lim ϕm (x) = ϕ0 (x) , m→∞ tồn hàm ψ ∈ C ∞ (Rn ) thỏa mãn lim Dβ ϕm (x) = ψ (x) ∀β ∈ Zn+ m→∞  ∞ Với β ∈ Zn+ dãy hàm Dβ ϕm (x) m=1 liên tục Rn , nên hàm ψ (x) liên tục Rn Như vậy, ta nhận ( ϕm (x) → ϕ0 (x) Rn Dβ ϕm (x) → ψ (x) Rn điều dẫn đến, hàm ϕ0 (x) khả vi cấp β Dβ ϕ0 (x) = ψ (x) ∀β ∈ Zn+ Nói cách khác hàm ϕ0 ∈ C ∞ (Rn ) lim Dβ ϕm (x) = Dβ ϕ0 m→∞ ∀β ∈ Zn+ , Rn Bây ta cần phải chứng minh hàm ϕ0 ∈ S (Rn ), tức phải chứng minh