(LUẬN văn THẠC sĩ) một số tính chất động lực học của c0 nửa nhóm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA: TOÁN - CƠ - TIN HỌC Lê Khánh Ly MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0 - NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Trọng Tiến Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Phạm Trọng Tiến, người tận tình giúp đỡ bảo tơi suốt q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên khuyến khích tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hồn thiện tốt Hà Nội, tháng năm 2016 Lê Khánh Ly TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu LÝ THUYẾT NỬA NHĨM CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 1.1 Khái niệm tính chất C0 -nửa nhóm 1.2 Toán tử sinh C0 -nửa nhóm 10 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA C0 -NỬA NHÓM 16 2.1 Tính siêu lặp tính hỗn loạn C0 -nửa nhóm 16 2.2 Rời rạc hóa C0 -nửa nhóm 27 2.3 Tiêu chuẩn siêu lặp hỗn loạn C0 -nửa nhóm 31 MỘT VÀI VÍ DỤ CỦA C0 -NỬA NHĨM 37 3.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp 37 3.2 Phương trình đạo hàm riêng cấp 39 3.3 Phương trình vi phân thường 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Mở đầu Động lực học C0 -nửa nhóm hướng nghiên cứu có tính thời sự, phát triển năm cuối kỉ XX, cơng trình W Desch, W Schappacher G F Webb [4] có nhiều ứng dụng nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường Luận văn đề cập tới số tính chất động lực học C0 -nửa nhóm Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương 1: Lý thuyết nửa nhóm tốn tử tuyến tính Chương trình bày kiến thức bản, định lý tính chất C0 -nửa nhóm, tốn tử sinh C0 -nửa nhóm Ngoài ra, đưa điều kiện cần đủ theo hàm trọng v để nửa nhóm tịnh tiến khơng gian có trọng Lpv (R+ ) C0 -nửa nhóm Chương 2: Một số tính chất động lực học C0 -nửa nhóm Đây phần luận văn, trình bày kiến thức tính chất động lực học C0 -nửa nhóm khơng gian Banach khả ly Đó tính siêu lặp, truyền ứng tơpơ, tính trộn, tính trộn yếu tính hỗn loạn cho C0 -nửa nhóm Chúng ta điều kiện cần đủ v để nửa nhóm tịnh tiến khơng gian Lpv (R+ ) có tính chất động lực học nêu Chương 3: Ứng dụng C0 -nửa nhóm Trong chương này, ta trình bày số ứng dụng C0 -nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (PDEs) hệ phương trình vi phân tuyến tính vơ hạn (ODEs) Nội dung luận văn tham khảo Chương tài liệu tham khảo [7] (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Chương LÝ THUYẾT NỬA NHĨM CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Trong chương này, trình bày số kiến thức nửa nhóm liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm, tốn tử sinh C0 -nửa nhóm nửa nhóm liên tục Nội dung chương tham khảo theo tài liệu [6] 1.1 Khái niệm tính chất C0-nửa nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một họ (Tt )t≥0 tốn tử tuyến tính liên tục không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm thỏa mãn điều kiện sau: (1) T0 = I ; (2) Ts+t = Ts Tt với s, t ≥ 0; (3) lim Ts x = Tt x với x ∈ X t ≥ s→t Điều kiện (3) cịn thể tính liên tục theo điểm nửa nhóm Định lý Banach - Steinhaus họ (Tt )t≥0 đồng liên tục địa phương, tức với b > ta có sup k Tt k < ∞, t∈[0,b] tương đương, tồn M > cho k Tt x k ≤ M k x k với t ∈ [0, b] ; x ∈ X (1.1) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Bổ đề 1.1.1 Giả sử X không gian Banach F hàm ánh xạ từ tập compact K ⊂ R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương: (1) F liên tục với tơpơ tốn tử mạnh tức ánh xạ K t −→ Ft x ∈ X liên tục với x ∈ X ; (2) F bị chặn K , tức k Ft k ≤ M với t ∈ K ánh xạ K t −→ Ft x ∈ X liên tục với x ∈ X0 , X0 tập trù mật X ; (3) F liên tục tôpô hội tụ tập compact X , tức ánh xạ K × C (t, x) −→ Ft x ∈ X liên tục với tập compact C ⊂ X Chứng minh (3) =⇒ (1) Hiển nhiên tập điểm {x} tập compact X (1) =⇒ (2) Do ánh xạ t −→ Ft x liên tục tập compact K nên với x cố định thuộc X ánh xạ bị chặn tập K , tức {k Ft x k: t ∈ K} bị chặn với x ∈ X Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, tập {k Ft k: t ∈ K} bị chặn, tức hàm F bị chặn K (2) =⇒ (3) Giả sử k Ft k ≤ M với t ∈ K ε > cố định cho trước Do C tập compact X X0 = X nên tồn số hữu hạn x1 , x2 , , xn ∈ X0 cho C⊂ n  [ i=1 xi + ε U , U hình cầu đơn vị X 4M  Chọn δ > cho k Ft xi − Fs xi k < ε (i = 1, n) với t, s ∈ K thỏa mãn |t − s| < δ Với x, y ∈ C ; t, s ∈ K thỏa mãn k x − y k < ε , |t − s| < δ ta có 4M k Ft x − Fs y k ≤ k Ft (x − xi ) k + k (Ft − Fs )xi k + k Fs (xi − x) k + k Fs (x − y) k ε ε ε ε + +M +M 0, M ≥ tồn tập X0 trù mật X cho (i) k Tt k ≤ M với t ∈ [0, δ]; (ii) lim+ Tt x = x với x ∈ X0 t→0 Chứng minh (1) =⇒ (3(ii)) Do (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm nên theo định nghĩa ta có lim Tt x = x với x ∈ X t→0+ Ta lấy X0 = X lim+ Tt x = x với x ∈ X0 t→0 Do đó, tồn tập X0 trù mật X cho lim+ Tt x = x với t→0 x ∈ X0 (1) =⇒ (3(i)) Giả sử δ > 0, x ∈ X cố định Ánh xạ t −→ Ft x liên tục đoạn [0, δ] nên tập {k Tt x k: t ∈ [0, δ]} bị chặn Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, tồn số M ≥ cho k Tt k ≤ M với t ∈ [0, δ] (3) =⇒ (2) Đặt K = {tn ; n ∈ N}∪{0}, {tn } ⊂ [0, +∞), tn → n → +∞ Khi đó, K tập compact Do giả thiết (3) ta có T (·)|K bị chặn T (·)|K x liên tục với x ∈ X0 Áp dụng bổ đề 1.1.1 ta suy lim Ttn x = x với x ∈ X n→+∞ Vậy Tt liên tục với x ∈ X (2) =⇒ (1) Giả sử t0 > 0, x ∈ X Khi ta có lim k Tt0 +h x − Tt0 x k ≤ k Tt0 k lim k Th x − x k = h→0+ h→0+ Vậy Tt liên tục bên phải t0 Với h < 0, ta có k Tt0 +h x − Tt0 x k ≤ k Tt0 +h kk x − T−h x k Theo giả thiết (2) tồn M , tồn δ > cho với hmọi ti ∈ [0, δ] k Tt k ≤ M khơng với δn = 1 , tồn tn ∈ 0, n n cho k Ttn k ≥ n (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Suy k Ttn k không bị chặn n → +∞ Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, tồn x ∈ X cho k Ttn x k không bị chặn Điều mâu thuẫn với giả thiết lim Ttn x = x với x ∈ X n→+∞ Giả sử n0 = ht i δ , n0 ≤ t0 ≤ n0 +1 Với t ∈ [0, t0 ] ta có t ≤ t0 ≤ (n0 +1)δ δ Do vậy, ta có k Tt k = k T(n0 +1) t n0 +1 k≤kT t n0 +1 kn0 +1 ≤ M n0 +1 Suy k Tt0 +h x − Tt0 x k ≤ M n0 +1 k x − T−h x k→ h → 0− Vậy Tt liên tục bên trái t0 Do liên tục t0 Vậy (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.1.1 Từ tính đồng liên tục địa phương (xem (1.1)) ta thấy Ttn xn → (tn )n bị chặn xn → Điều sử dụng nhiều lần cho phần Hơn nữa, ta thiết lập hàm số mũ bị chặn toán tử định chuẩn nửa nhóm Mệnh đề 1.1.1 Nếu (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm tồn M ≥ w ∈ R cho k Tt k ≤ M ewt với t ≥ Chứng minh Chọn M = sup k Tt k < ∞ M ≥ t∈[0,1] Lấy t = n + s ≥ tùy ý với n ∈ N0 s ∈ [0, 1) Khi đó, ta có k Tt k = k Tn+s k = k Tn Ts k = k T1 kn k Ts k ≤ M n+1 = M en log M ≤ M ewt , với w = log M Vậy k Tt k ≤ M ewt với t ≥ Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.1.1 (Nửa nhóm tịnh tiến) Cho ≤ p < ∞ v : R+ −→ R hàm khả tích địa phương dương, tức Rb v đo với υ(x)dx < ∞ với b > 0 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Xét không gian hàm khả tích bậc p định nghĩa X = Lpv (R+ ) = { f : R+ −→ K : f đo k f k< ∞ }, 1/p ∞ Z p đó, k f k= |f (x)| v(x)dx Nửa nhóm tịnh tiến cho Tt f (x) = f (x + t), t, x ≥ Ta có Tt tốn tử tuyến tính Ta chứng minh (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm khơng gian Lpv (R+ ) tồn M ≥ w ∈ R cho với t ≥ 0, v(x) ≤ M ewt v(x + t) với hầu hết x ≥ (1.2) Giả sử (1.2) thỏa mãn Ta chứng minh Tt liên tục với t ≥ Thật vậy, với f ∈ X , ta có Z ∞ p k Tt f k = p |f (x + t)| v(x)dx ≤ M e ≤ M ewt Z ∞ |f (x + t)|p v(x + t)dx ∞ Z wt |f (x)|p v(x)dx = M ewt k f kp p Suy ra, k Tt f k ≤ M e w pt k f k Vậy Tt liên tục với t ≥ họ toán tử tịnh tiến đồng liên tục địa phương X Với t, s, x ≥ 0, f ∈ X , ta có +) Tt+s f (x) = f (x + t + s), (Tt Ts f )x = [Tt (Ts f )] x = Tt f (x + s) = f (x + t + s) Suy Tt+s = Tt Ts +) T0 f (x) = f (x + 0) = f (x) Suy T0 = I Với X0 tập hàm liên tục có giá compact, ta chứng minh lim k Tt f − f kLpv (R+ ) = với f ∈ X0 t→0+ Thật vậy, giả sử f hàm liên tục có giá compact Khi đó, f liên tục Ta có lim k Tt f − f k∞ = lim sup |f (s + t) − f (s)| = t→0+ t→0+ s∈R+ Mặt khác, k Tt f − f kLpv (R+ ) ≤ c k Tt f − f k∞ → t → 0+ (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Suy lim k Tt f − f kLpv (R+ ) = t→0+ Do X0 trù mật X , theo Định lý 1.1.1, (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm Ngược lại, giả sử nửa nhóm tịnh tiến (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm X Gọi M w Mệnh đề 1.1.1 Ta chứng minh với t ≥ 0, v(x) ≤ 2M p epwt v(x + t), với hầu hết x ∈ [0, +∞) Bằng phản chứng, điều không Giả sử tồn t0 > cho  p pwt0 B := x ≥ 0; v(x) > 2M e v(x + t0 ) có độ đo Lebesgue λ(B) > Cho b > cho λ(B ∩ [0, b]) > xác định ( x ∈ t0 + (B ∩ [0, b]), v(x)1/p f (x) = ngược lại Vì k f kp = R∞ |f (x)|p v(x)dx = R t0 +B∩[0,b] dx = λ(B ∩ [0, b]) > f đo nên f ∈ X Mặt khác k Tt0 f (x) k p p Z |f (x + t0 )|p v(x)dx = k f (x + t0 ) k = B∩[0,b] ≥ 2M p epwt0 Z |f (x + t0 )|p v(x + t0 )dx = 2M p epwt0 k f kp B∩[0,b] Điều mâu thuẫn với lựa chọn M w Mệnh đề 1.1.1 Vậy (1.2) Bây giờ, để tránh số vấn đề kĩ thuật, ta yêu cầu phần v trọng thỏa mãn (1.2) với hầu hết x ≥ Tương đương, với M ≥ w ∈ R cho v(x) ≤ M ew(y−x) v(y) y ≥ x ≥ (1.3) Trong trường hợp v gọi hàm trọng số chấp nhận Định nghĩa 1.1.2 (Nửa nhóm liên tục đều) Nửa nhóm (Tt )t≥0 gọi nửa nhóm liên tục L(X) ánh xạ R+ t → Tt ∈ L(X) liên tục tôpô chuẩn (tôpô đều) L(X), tức lim k Tt+h − Tt k = với t ≥ h→0 (1.4) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Tiêu chuẩn siêu lặp hỗn loạn C0-nửa nhóm 2.3 Trong phần này, trình bày tiêu chuẩn cho tính siêu lặp tiêu chuẩn khác cho tính trộn yếu, tính trộn tính hỗn loạn C0 -nửa nhóm Định lý 2.3.1 (Tiêu chuẩn Siêu lặp cho nửa nhóm) Cho (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm khơng gian Banach X Nếu tồn tập X0 , Y0 trù mật X , dãy (tn )n R+ với tn → ∞, ánh xạ Stn : Y0 −→ X , n ∈ N, cho với x ∈ X0 , y ∈ Y0 thỏa mãn (1) Ttn x → 0, (2) Stn y → 0, (3) Ttn Stn y → y , (Tt )t≥0 trộn yếu, siêu lặp Chứng minh Lấy U1 , U2 , V1 , V2 tập mở, khác rỗng X Do X0 , Y0 trù mật X nên tồn xj ∈ Uj ∩ X0 yj ∈ Vj ∩ Y0 , j = 1, Với n, ta có Ttn (xj + Stn yj ) = Ttn xj + Ttn Stn yj , j = 1, Theo (1), (2) (3) ta có xj + Stn yj → xj Ttn xj + Ttn Stn yj → yj Với n đủ lớn Ttn xj + Ttn Stn yj ∈ Vj xj + Stn yj ∈ Uj , j = 1, Tức là, với n đủ lớn Ttn (Uj ) ∩ Vj 6= ∅, j = 1, hay (Ttn ⊕ Ttn )(U1 , U2 ) ∩ (V1 , V2 ) 6= ∅ Vậy (Tt )t≥0 trộn yếu X 31 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Định lý 2.3.2 Cho (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm khơng gian Banach X Nếu tồn X0 , Y0 tập trù mật X , ánh xạ St : Y0 −→ X , t ≥ 0, cho với x ∈ X0 , y ∈ Y0 , t → +∞ ta có (1) Tt x → 0, (2) St y → 0, (3) Tt St y → y , (Tt )t≥0 trộn Chứng minh Lấy U, V hai tập mở, khác rỗng X Do X0 , Y0 trù mật X nên tồn x0 ∈ U ∩ X0 y0 ∈ V ∩ Y0 Khi đó, với t > 0, ta có Tt (x0 + St y0 ) = Tt x0 + Tt St y0 Theo (1), (2) (3), ta có Tt x0 + Tt St y0 → y0 x0 + St y0 → x0 t → +∞ Suy ra, tồn t0 > cho với t > t0 , ta có Tt x0 + Tt St y0 ∈ V x0 + St y0 ∈ U, với t ≥ t0 Do đó, Tt (U ) ∩ V 6= ∅, với t ≥ t0 Tức là, (Tt )t≥0 trộn X Bây giờ, xét tính chỉnh hình khơng gian phức Hàm f : U −→ X tập mở U ⊂ C nhận giá trị không gian X gọi hàm chỉnh hình yếu với x∗ ∈ X ∗ hàm giá trị phức z −→ hf (z), x∗ i chỉnh hình U Trong phần tiếp theo, J tập số khác rỗng Định lý 2.3.3 Cho X không gian Banach khả ly phức, (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm X với tốn tử sinh (A, D(A)) Giả sử rằng, tồn tập liên thông U hàm chỉnh hình yếu fj : U −→ X , j ∈ J , cho (1) U ∩ iR 6= ∅, 32 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom (2) fj (λ) ∈ ker(λI − A) với λ ∈ U , j ∈ J , (3) Với x∗ ∈ X ∗ , hfj (λ), x∗ i = với λ ∈ U j ∈ J x∗ = Khi nửa nhóm (Tt )t≥0 trộn hỗn loạn Chứng minh Ta sử dụng Định lý Hahn-Banach để chứng minh tính trù mật không gian sinh vectơ riêng, sau áp dụng tiêu chuẩn GodefroyShapiro Cố định t > 0, ta xét   X0 = span fj (λ) ; j ∈ J, λ ∈ U với Reλ > , Y0 = span fj (λ) ; j ∈ J, λ ∈ U với Reλ < ,  Z0 = span fj (λ) ; j ∈ J, λ ∈ U với λt = απi với α ∈ Q Đầu tiên, ta tập trù mật X Giả sử x∗ ∈ X ∗ đồng với X0 Với j ∈ J , hàm λ −→ hfj (λ), x∗ i chỉnh hình U , theo (1), triệt tiêu tập mở khác rỗng U Do đó, triệt tiêu U , với j ∈ J Theo (3), ta có x∗ = Định lý Hahn-Banach khẳng định X0 trù mật X Tương tự, ta chứng minh cho Y0 Z0 trù mật Theo cơng thức (1.6), ta có Tt x = eλt x, với x ∈ ker(λI − A) Do đó, theo (2), X0 Y0 chứa không gian sinh vectơ riêng Tt ứng với giá trị riêng có mơđun lớn nhỏ tương ứng, Z0 chứa không gian sinh vectơ riêng Tt ứng với giá trị riêng bậc n phần tử đơn vị (với n tùy ý) Tiêu chuẩn Godefroy-Shapiro khẳng định Tt trộn hỗn loạn, xem Mệnh đề 2.2.2 Ta đưa kết khác mạnh kết Định lý 2.3.3, hàm chỉnh hình yếu thay hàm liên tục Với hàm f : [a, b] −→ X liên tục [a, b], ta định nghĩa tích phân Riemann sau Z b f (t)dt a 33 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Bổ đề 2.3.1 (Bổ đề Riemann-Lebesgue) Cho X không gian Banach phức f : [a, b] −→ X hàm liên tục Thì Z b eirt f (t)dt → với r → ±∞ a Chứng minh Lấy ε > Ta chọn phân hoạch a = t0 < t1 < < tN = b [a, b] cho k f (t) − f (tj ) k < ε, đó, tj−1 ≤ t ≤ tj , j = 1, , N Đặt g(t) = f (tj ) với t ∈ (tj−1 , tj ], j = 1, , N Sau thấy Z Z Z b irt b irt b irt e f (t)dt ≤ e (f (t) − g(t))dt + e g(t)dt a a a ≤ (b − a)ε + N X Z tj k f (tj ) k j=1 Do Z eirt dt tj−1 tj eirt dt → với r → ±∞, tj−1 nên Z b irt lim e f (t)dt ≤ (b − a) ε r→±∞ a Suy Z b eirt f (t)dt → với r → ±∞ a Định lý 2.3.4 Cho X không gian Banach khả ly phức, (Tt )t≥0 C0 -nửa nhóm X với tốn tử sinh (A, D(A)) Giả sử a < b hàm liên tục fj : [a, b] −→ X , j ∈ J thỏa mãn điều kiện sau: (1) fj (s) ∈ ker(isI − A) với s ∈ [a, b], j ∈ J , (2) span {fj (s) ; s ∈ [a, b] , j ∈ J} trù mật X Thì (Tt )t≥0 trộn hỗn loạn 34 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Chứng minh Ta áp dụng Định lý 2.3.2 nửa nhóm trộn Với r ∈ R, Z b j ∈ J , ta định nghĩa xr,j = eirs fj (s)ds, ta đặt a X0 = Y0 = span {xr,j ; r ∈ R, j ∈ J} Ta sử dụng Định lý Hahn-Banach để chứng minh hai tập trù mật X Lấy x∗ hàm tuyến tính liên tục X cho, với r ∈ R, j ∈ J, ∗ b Z eirs hfj (s), x∗ i ds = hxr,j , x i = a (s), x∗ i Hàm s −→ hfj   2π √ b−a exp b−a hàm liên tục [a, b] thuộc L2 [a, b] Từ  sở trực chuẩn không gian Hilbert L2 [a, b], ikt k∈Z tính liên tục, hfj (s), x∗ i = với s ∈ [a, b] , j ∈ J Do đó, x∗ triệt tiêu span {fj (s) ; s ∈ [a, b] , j ∈ J} Do đó, x∗ = 0, khẳng định X0 = Y0 trù mật Theo (1) (1.6), ta có, với t ≥ 0, Tt fj (s) = eist fj (s) với s ∈ [a, b] , j ∈ J Z Tt xr,j = b e irs Z Tt fj (s)ds = a (2.3) b ei(t+r)s fj (s)ds = xt+r,j (2.4) a Bổ đề Riemann-Lebesgue khẳng định Tt x → t → +∞ với x ∈ X0 Tiếp theo, ta muốn định nghĩa ánh xạ St Y0 = X0 cho St xr,j = xr−t,j , r ∈ R, j ∈ J , thác triển tuyến tính Để chứng minh điều kiện (2) (3) Định lý 2.3.2 thỏa mãn, ta xây dựng với y ∈ Y0 , họ (ut )t≥0 X cho ut → Tt ut → y t → ∞ Thật vậy, với y ∈ Y0 = X0 , ta cố định m X ak xrk ,jk xác định biểu diễn y = k=1 ut = m X ak xrk −t,jk k=1 Theo công thức (2.4) ta có Tt ut = y với t ≥ Và theo Bổ đề RiemannLebesgue ut → với t → ∞ 35 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Do đó, (Tt )t≥0 nửa nhóm trộn Cuối cùng, từ tính liên tục hàm fj , có Z0 := span {fj (s) ; s ∈ [a, b] ∩ Q, s 6= 0, j ∈ J} trù mật X Theo (2.3), vectơ fj (s), s 6= 0, điểm cố định T 2πs , điểm Z0 điểm tuần hồn cho (Tt )t Vì vậy, nửa nhóm hỗn loạn Ví dụ 2.3.1 Cho (Tt )t≥0 nửa nhóm tịnh tiến khơng gian Banach phức X = Lpv (R+ ), ≤ p < ∞, v(x) = e−x Khi nửa nhóm tịnh tiến trộn hỗn loạn Chứng minh Gọi không gian liên hợp X Lqw (R+ ), < q ≤ ∞ 1 + = 1, với w = v −q/p p > w = v −1 p = 1, ý p q L∞ w (R+ )  không gian  hàm đo g R+ , cho gw bị chặn Đặt U = λ ∈ C : |λ| < Ta định nghĩa f : U −→ X f (λ)(x) = eλx , λ ∈ U , p x ∈ R+ Thì f định nghĩa tốt chỉnh hình yếu U Khi ta có thỏa mãn U ∩ iR 6= ∅ Mặt khác, Af (λ) = d f (λ) = λf (λ) Tương đương, (λI − A)f (λ) = Suy ra, dx f (λ) ∈ ker(λI − A) Giả sử phiếm hàm tuyến tính liên tục X ∗ , biểu diễn hàm g ∈ Lqw (R+ ), thỏa mãn Z hf (λ), gi = ∞ g(x)eλx dx = với λ ∈ U, được, cách lấy đạo hàm thứ n theo λ Z ∞ xn g(x)eλx dx = 0, n ∈ N0 , λ ∈ U Cho λ = kết hợp tuyến tính, ta Z ∞ g(x)p(x)dx = 0, với đa thức p Từ tập đa thức trù mật X nên ta có g = Do đó, theo Định lý 2.3.3, nửa nhóm tịnh tiến trộn hỗn loạn 36 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Chương MỘT VÀI VÍ DỤ CỦA C0-NỬA NHĨM Trong chương này, trình bày số ứng dụng C0 -nửa nhóm để nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (PDEs) hệ phương trình vi phân tuyến tính vơ hạn (ODEs) Ta nghiên cứu vài trường hợp cụ thể 3.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp Chúng ta bắt đầu với tốn Cauchy khơng gian X = L1 (R+ )   ∂u = ∂u + 2x u, ∂t + x2 ∂x (3.1)  u(0, x) = ϕ(x), x ∈ R + Ta có phương trình ∂u ∂u 2x = + u ∂t ∂x + x2 tương đương với ut − ux = 2x u + x2 Khi phương trình xét tương đương với hệ phương trình vi phân thường   dx = −1, dt  du = 2x u, dt + x2 Từ với (x, u) t=0 = (x0 , ϕ(x0 )) dx = −1, ta có x = −t + c Hơn nữa, x(0) = x0 , nên x = −t + x0 dt 37 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom(LUAN.van.THAC.si).mot.so.tinh.chat.dong.luc.hoc.cua.c0.nua.nhom Mặt khác, du 2x 2(x0 − t) = u = u dt + x2 + (x0 − t)2 Do đó, ln u = − ln |1 + (x0 − t)2 | + ln c với c > Tức là, u= c + (x0 − t)2 Vì (x, u)