Một số tính chất động lực học của c0 nửa nhóm

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA: TOÁN - CƠ - TIN HOC Lê Khánh Ly M®T SO TÍNH CHAT Đ®NG LUC HOC CUA C0 - NUA NHĨM LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chun ngành: Tốn Giai Tích Mã so : 60 46 01 02 Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Pham TRQNG Tien Hà N®i - 2016 Lài cam ơn Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, tụi xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac cna tói TS Pham TRQNG Tien, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tơi xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Khoa sau đai HQc, nhi¾t tình truyen thu kien thúc tao đieu ki¾n giúp đõ tơi hồn thành khóa Cao HQc Tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình, ban bè ln đ®ng viên khuyen khích tơi rat nhieu thịi gian nghiên cúu HQc t¾p Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa hQc nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban đe lu¾n oc hon thiắn tot hn H Nđi, thỏng năm 2016 Lê Khánh Ly Mnc lnc Ma đau LÝ THUYET NUA NHĨM CUA TỐN TU TUYEN TÍNH 1.1 Khái ni¾m tính chat ban cna C0-nua nhóm 1.2 Tốn tu sinh cna C0-nua nhóm 10 M®T SO TÍNH CHAT Đ®NG LUC HOC CUA C0-NUA NHĨM 16 2.1 Tính siêu l¾p tính hon loan cna C0-nua nhóm 16 2.2 Rịi rac hóa cna C0-nua nhóm .27 2.3 Tiêu chuan siêu l¾p hon loan cna C0-nua nhóm 31 M®T VÀI VÍ DU CUA C0-NUA NHĨM 37 3.1 Phương trình đao hàm riêng cap 37 3.2 Phương trình đao hàm riêng cap 39 3.3 Phương trình vi phân thưịng .42 Ket lu¾n 44 Tài liắu tham khao 44 Ma au đng lnc HQc cna C0 -nua nhóm m®t hưóng nghiên cúu có tính thòi sn, đưoc phát trien nhung năm cuoi the ki XX, bat đau tù cơng trình cna W Desch, W Schappacher G F Webb [4] có nhieu úng dung nghiên cúu dáng đi¾u nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng phương trình vi phân thưịng Luắn ny e cắp túi mđt so tớnh chat đ®ng lnc HQc cna C0 -nua nhóm Ngồi phan Mo đau, Ket lu¾n Tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia làm ba chương Chương 1: Lý thuyet nEa nhóm cua tốn tE tuyen tính Chương trình bày nhung kien thúc ban, đ%nh lý tính chat ve C0 -nua nhóm, tốn tu sinh cna C0 -nua nhóm Ngồi ra, se đưa đieu ki¾n can đn theo hàm TRQNG v đe nua nhóm t%nh tien khơng gian có TRQNG Lp (R+ ) v m®t C0-nua nhóm Chương 2: M®t so tính chat đ®ng lEc HQC CUA C0 -nEa nhóm Đây phan cna lu¾n văn, trình bày nhung kien thúc ban ve tính chat đ®ng lnc HQc cna C0 -nua nhóm khơng gian Banach kha ly Đó l tớnh siờu lắp, truyen ỳng tụpụ, tớnh trđn, tớnh tr®n yeu tính hon loan cho C0 -nua nhóm Chúng ta cịn chi đieu ki¾n can đn cna v đe nua nhóm t%nh tien khơng gian Lp (R+ ) có tính chat đ®ng lnc HQc nêu v Chương 3: Úng dnng cua C0-nEa nhóm Trong chương này, ta se trình bày m®t so úng dung cna C0-nua nhóm đe nghiên cúu dáng đi¾u nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng tuyen tính (PDEs) ho¾c h¾ phương trình vi phân tuyen tính vơ han (ODEs) Nđi dung chớnh cna luắn oc tham khao Chương cna tài li¾u tham khao [7] Chương LÝ THUYET NUA NHĨM CUA TỐN TU TUYEN TÍNH Trong chương này, se trình bày m®t so kien thúc ban ve nua nhóm liên tuc manh hay C0-nua nhóm, tốn tu sinh cna C0-nua nhóm nua nhóm liên tuc đeu N®i dung cna chương đưoc tham khao theo tài li¾u [6] 1.1 Khái ni¾m tính chat ban cua C0-nEa nhóm Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t HQ (Tt )t≥0 tốn tu tuyen tính liên tnc cua không gian Banach X đưac GQI m®t nua nhóm liên tnc manh hay C0 -nua nhóm neu thóa mãn đieu ki¾n sau: (1) T0 = I ; (2) Ts+t = TsTt vái MQI s, t ≥ 0; (3) lim Tsx = Ttx vái MQI ∈ x X t s→t Đieu ki¾n (3) cịn the hi¾n tính liên tuc theo tùng điem cna nua nhóm Đ%nh lý Banach - Steinhaus chi rang HQ (Tt )t≥0 đong liên tuc đ%a phương, túc vói MQI b > ta có sup ǁ Tt ǁ < ∞, t∈[0, b] ho¾c tương đương, ton tai M > cho ǁ Tt x ǁ ≤ M ǁ x ǁ vói MQI t ∈ [0, b] ; x ∈ X (1.1) Bo đe 1.1.1 Gia su X m®t khơng gian Banach F mđt hm ỏnh xa tự compact K R vào L(X) Khi khang đ%nh sau tương đương: (1) F liên tnc vái tơpơ tốn tu manh túc ánh xa K s t −→ Ftx ∈ X liên tnc vái MQI x ∈ X ; (2) F b% ch¾n đeu K, túc ǁ Ft ǁ ≤ M vái MQI t ∈ K ánh xa K s t −→ Ftx ∈ X liên tnc vái MQI x ∈ X0, X0 t¾p trù m¾t X; (3) F liên tnc oi vỏi tụpụ hđi tn eu trờn cỏc compact cua X , túc ánh xa K × C s (t, x) −→ Ftx ∈ X liên tnc đeu vái MQI t¾p compact C ⊂ X Chỳng minh (3) = (1) Hien nhiờn mđt điem {x} t¾p compact X (1) =⇒ (2) Do ánh xa t −→ Ftx liên tuc t¾p compact K nên vói moi x co đ%nh thu®c X ánh xa b% ch¾n t¾p K, túc {ǁ Ftx ǁ: t ∈ K} b% ch¾n vói moi x ∈ X Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, t¾p {ǁ Ft ǁ: t ∈ K} b% ch¾n, túc hàm F b% ch¾n đeu K (2) =⇒ (3) Gia su ǁ Ft ǁ ≤ M vói MQI t ∈ K ε > co đ%nh cho trưóc Do C t¾p compact X X0 = X nên ton tai m®t b® so huu han x1 , x2 , , xn ∈ X0 cho [ C⊂ i=1 xi + 4M U CHQN δ > cho ǁ Ft x i ε Σ , U hình cau đơn v% cna X − F sx ǁ < i ε (i = 1, n) vói MQI t, s ∈ K thoa mãn |t − s| < δ ε Vói MQI x, y ∈ C ; t, s ∈ K thoa mãn ǁ x − y ǁ < , |t − s| < δ ta có 4M ǁ Ftx − Fsy ǁ ≤ ǁ Ft(x − xi) ǁ + ǁ (Ft − Fs)xi ǁ + ǁ Fs(xi − x) ǁ + ǁ Fs(x − y) ǁ ε ε ε ε 0, M ≥ ton tai t¾p X0 trù m¾t X cho (i) ǁ Tt ǁ ≤ M vái MQI t ∈ [0, δ]; (ii) lim Tt x = x vái MQI x ∈ X0 t→0 + Chúng minh (1) =⇒ (3(ii)) Do (Tt)t≥0 C0-nua nhóm nên theo đ%nh nghĩa ta có lim Tt x = x vói MQI x ∈ X t→0 + Ta lay X0 = X lim Tt x = x vói MQI x ∈ X0 t→0+ Do đó, ton tai mđt X0 trự mắt X cho lim t→0+ Tt x = x vói MQI x ∈ X0 (1) =⇒ (3(i)) Gia su δ > 0, x ∈ X co đ%nh Ánh xa t −→ Ft x liên tuc đoan [0, δ] nên t¾p {ǁ Tt x ǁ: t ∈ [0, δ]} b% ch¾n Theo nguyên lý Banach-Steinhaus, ton tai so M ≥ cho ǁ Tt ǁ ≤ M vói MQI t ∈ [0, δ] (3) =⇒ (2) Đ¾t K = {tn; n ∈ N} ∪{0}, {tn} ⊂ [0, +∞), tn → n → +∞ Khi đó, K t¾p compact Do gia thiet (3) ta có T (·)|K b% ch¾n T (·)|K x liên tuc vói MQI x ∈ X0 Áp dung bő đe 1.1.1 ta suy lim Tt x = x vói MQI x ∈ X n→+∞ n V¾y Tt liên tuc tai vói MQI x ∈ X (2) =⇒ (1) Gia su t0 > 0, x ∈ X Khi ta có lim ǁ Tt0+hx − Tt0 x ǁ ≤ ǁ Tt0 ǁ lim + h→ h→0 V¾y Tt liên tuc bên phai tai t0 Vói h < 0, ta có ǁ Thx − x ǁ = +0 ǁ Tt0+hx − Tt0 x ǁ ≤ ǁ Tt0+h ǁǁ x − T−hx ǁ Theo gia thiet (2) ton tai M , ton tai δ > cho vói MQI t ∈ [0, δ] ǁ Tt ǁ ≤ M neu khơng v¾y vói MQI δn = tn,nton tai ∈ Σ0, Σ cho ǁ t ǁ ≥ n n n T Suy ǁ Ttn ǁ khơng b% ch¾n n → +∞ Theo ngun lý Banach-Steinhaus, ton tai x ∈ X cho ǁ Ttnx ǁ khơng b% ch¾n Đieu mâu thuan vói gia thiet lim Ttn x = x vói MQI x ∈ X n→+ ∞ Gia su n0 = Σ Σ, n t0 ≤ ] ta có t ≤ ≤ +1)δ ≤ +1 Vói MQI t ∈ t0 δ Do v¾y, ta có ǁ Tt ǁ δ n0 [0, t0 = T(n +1) t ǁ ≤ ǁ n0+1 ǁ (n0 t0 Tn0t+1 ǁn0+ ≤ M n0+1 Suy ǁ Tt +hx − Tt x ǁ ≤ Mn0+1 ǁ x − T−hx ǁ→ h → 0− V¾y Tt liên tuc bên trái tai t0 Do liên tuc tai t0 V¾y (Tt)t≥0 C0-nua nhóm Ta có đieu phai chúng minh Nh¾n xét 1.1.1 Tù tính đong liên tnc đ%a phương (xem (1.1)) ta thay Ttnxn → (tn)n b% ch¾n xn → Đieu se đưac su dnng nhieu lan cho phan tiep theo Hơn nua, ta có the thiet lắp mđt hm so m b% chắn cna toỏn tu đ%nh chuan cna nua nhóm M¾nh đe 1.1.1 Neu (Tt)t≥0 m®t C0-nua nhóm ton tai M ≥ w ∈ R cho ǁ Tt ǁ ≤ M ewt vái MQI t ≥ Chúng minh CHQN M = ǁ Tt ǁ < ∞ M ≥ sup t∈[0,1] Lay t = n + s ≥ tùy ý vói n ∈ N0 s ∈ [0, 1) Khi đó, ta có ǁ Tt ǁ = ǁ Tn+s ǁ = ǁ TnTs ǁ = ǁ T1 ǁnǁ Ts ǁ ≤ Mn+1 = Me n log M ≤ Mewt , vói w = log M V¾y ǁ Tt ǁ ≤ M ewt vói MQI t ≥ Ta có đieu phai chúng minh Ví dn 1.1.1 (NEa nhóm t%nh tien) Cho ≤ p < ∞ v: R+ −→ R m®t hàm kha tích đ%a phương dương, túc dt dx − = + x2 u, Tù = x=dt1, ta có x = t + c Hơn nua, x(0) , nên x = −t + x0 M¾t khác, du 2x 2(x0 − t) u = dt + u x2 = + (x0 − t)2 Do đó, ln u = − ln |1 + (x0 − t)2| + ln c vói c > Túc là, c u= + (x0 − t)2 Vì t (x, = = , )) (x ϕ( nên u) x0 ϕ(x hay c = ) V¾y c (1 + x2)ϕ(x0 )= 1+ x2 ( h a y + x ) ϕ ( x ) + ( x − u= t ) u= + x2 + (x + t)2 ϕ(x + t) Khi đó, C0-nua nhóm nghi¾m đưoc cho boi + (x + t)2 Ttϕ(x) = x2 + t), ∈ R + + ϕ(x x, t Đieu có nghĩa là, nua nhóm nua nhóm t %nh tien, vói phép nhân v + x2 ó i h m + (x +2 t) 2.3.2 Ta S  X10 + lay x2 không gian ϕ(x con− t) trù m¾t vói x cna X≥ t=≥ 0, L1 (R+ ) gom hàm giá vói 0có≤ x< t compact Neu giá cna hàm ϕ ∈ X0 b% chúa h [0, t b] ( x ) ∫ M¾nh đe 3.1.1 Nua− nhóm nghi¾m (Tt)t≥0 cua (3.1) tr®n hőn loan L1(R+) t minh Đau tiên, ta áp dung tiêu chuan tr®n, theo Đ%nh Tt ϕ = = Chúng Như v¾y nua nhóm tr®n Đoi vói tính hon loan, lay ϕ ∈ X0 ε > Giá cna hàm ϕ b% chúa [0, b], lý vói MQi t Do đó, ta có ≥t Stbϕ =và T ϕ vói ϕ∈ đieuMQI ki¾n X Hơn nua, (1) cna ǁtiêu ∞ ∞ Schuan t 1+ + ϕđưoc x2 (x thoa ǁmãn t) = + Vói đieu (x 1 (2) + ki¾n + +t)(x  (3) ta Y|0 x |ϕ lay ϕ( x) = −Xxt)và |dđ − %nhtd nghĩa x → x St : X X = −→0 vó i t boi → ∞ ∫ Σ ∞ co đ%nh t ≥ b cho +b ǁ ϕ ǁ < ε ∞ Σ n=1 Ta đ¾t ψ = n2t2 Sntϕ Tù n=0 ∞ ∞ ∫ Σn=1 Σ ǁ Sntϕ ǁ= n = ∞1 b + x2 +2 (x + |ϕ(x)| nt) dx ≤ Σ n = 1 + b2 ǁ ϕ ǁ< 2 n ε t Suy ra, ψ đưoc đ%nh nghĩa tot ǁ ϕ − ψ ǁ< ε Hơn nua, ψ tuan hoàn vói Tt Do đó, nua nhóm có t¾p điem tuan hồn trù m¾t, khang đ%nh có hon loan 3.2 Phương trình đao hàm riêng cap e ví du ta có đưoc tính tr®n hon loan cho phương trình đao hàm riêng cap bang cách phân tích C0-nua nhóm nghi¾m tương úng Tương tn, ta se có vói h¾ phương trình đao hàm riêng cap hai e đây, ta se nghiên cúu dáng đi¾u hon loan cna nghi¾m cna tốn Cauchy đưoc cho boi phương trình truyen nhi¾t ∂2u ∂u u(0, x) = ϕ1(x), x ∈ R,   ∂t2 + ∂t ∂2u = α 2, ∂x ∂ u ( (HHTE) , x) = ϕ ∂t (x), x ∈ R, đó, ϕ1 l nhiắt đ ban au, l bien thiờn ban au cna nhiắt đ > l đ khuech tán, τ > thịi gian hoi phuc nhi¾t Ta se bieu dien hắ trờn nh mđt phng trỡnh bắc nhat bang cỏch nú nh mđt C0-nua nhúm trờn tích cna m®t khơng gian hàm vói Đ= = ∂u = ¾u Ta có  ∂t t 1Σ,    u u u2   ∂.0 1 u ΣI α −  ∂t (3.2) ∂ u2 Iu τ τ2 ∂ x Σ u (0, x)  = u2(0, Σ x) ϕ1 (x) , x ∈ R ϕ2(x ) Co đinh ρ > xét Σ a n ρn Xρ = f : R −→ C; f (x) = ∞ n= Σ n x , (an)n≥0 ∈ , (3.3) c0 vói chuan ǁ f ǁρ = sup |an|, c0 n! khơng gian Banach cna dãy so phúc n≥ tien đen Khi đó, Xρ m®t khơng gian Banach Theo đ%nh nghĩa, cau Σa vói c0 ∞ Vói moi fn xn , ta có ρn (x) = ∂ 2f ∞ ∞ | ≤ n! ∈ Xρ n = n a ρ −2 xn Σ ∂ n (n x = − = 2)! S u y | , Σ ∂ an+2ρnxn an+2 ρn+2 xn =∞ n = =ρ n! n! n = | | sup an+22 ǁ ǁ = ρ ∂ xρ2 ρ ρ sup an = ǁ f ǁρ n≥0 n≥0  I  τ ∂x − , α ∂ Ta có A I m®t tốn tu X := Xρ ⊕ Xρ 1τ v¾y, Th¾t Xét toán tu A : X −→ X Ta có  Aϕ = α ∂2 − Σ f Đ ¾ t A: = ϕ =  ϕ Σ Do X 63 Σ ϕ2 α ∂2ϕ1 τ ∂x2 τ I τ α ∂2ϕ1 ǁ A(ϕ1, ϕ2) ǁX = ǁϕ ǁǁρ +2 τ ∂x2 − ϕ2 τ ǁρ < ≤∂x2 ǁρ + α vói C = ma x 1 + , ρ2 α Σ (1 + ǁ)ϕ + ρ2 τ =ρ τ C (ǁ ϕ1 ǁρ + ǁ ϕ2 ǁ ρ) α2 ∂ ϕ1 ǁ ϕ1 ǁρ τ τ = C ǁ (ϕ 1, ϕ2 ) ǁX, Khi (etA)t≥0 m®t C0-nua nhóm X, nua nhóm nghi¾m cna (3.2) X 64 M¾nh đe 3.2.1 Gia su ρ > cho ατρ2 > ú nua nhúm nghiắm (etA)t0 cua (3.2) l trđn hőn loan Xρ ⊕ Xρ Chúng minh Cho λ ∈ C, z0, z1 ∈ R, ta đ¾t Rλ (τλ2 + λ) = ∞ Σ ϕλ,z0,z1 (x) = z0 n=0 Lay U α ∞ n 2n R λx + (2n) z ! Σ n=0 đ%nh nghĩa n 2n+1 Rλx (2n + 1)! , x ∈ R αρ2 > tâm tai Khi đó, U ∩ iR ƒ= ∅ 2τ m®t đĩa mo vói bán kính r = Neu λ ∈ U αρ2 τ + αρ2 δ vói n ≥ n0 Do đó, ta có −αn ∈ U , vói MQI n ∈ N |λ + αn| ≤ 2r (3.6) βn v ó i M Q I n ≥ n , s u y r a δ < 1, f ( λ ) ∈ X = f : U −→ X, λ −→ f (λ) Lay x∗ ∈ X ∗ = l∞ tương úng vói dãy (bn )n b% ch¾n Khi l n 1 ( bn , λ(∗) + D o n=1 đ ó , t a c ó t h e x é t h m α β k=1 h®i tu đeu vói λ ∈U boi (3.6), đieu khang đ%nh f chinh hình yeu U Cuoi cùng, lay x∗ ∈ X∗ úng v ó i Đ¾t λ = −α2 ∈ U đưoc b2 = Tiep tuc q trình v¾y bn = vói MQI n ≥ Do x∗ = Tat ca đieu ki¾n cna Đ%nh lý 2.3.3 đưoc thoa mãn nên nua nhúm nghiắm cna (3.5) l trđn v hon loan l1 Σ ( b n ) n Y ∈ l ∞ , s a o c h o ( f ( λ ) , x ∗ ) = v ú i k Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn bao gom: ã Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong cỏc khỏi niắm v nhung kien thúc ban ve tính chat đ®ng lnc HQc cna C0-nua nhúm ú l tớnh siờu lắp, tớnh trđn, tớnh trđn yeu v tớnh hon loan ã Nghiờn cỳu tính chat đ®ng lnc HQc cho C0-nua nhóm t%nh tien khơng gian có TRQng Lp(R+) v • Trình bày m®t so úng dung cna tính chat đ®ng lnc HQc cna C0-nua nhóm đe nghiên cúu dáng đi¾u nghi¾m cna phương trình đao hàm riêng tuyen tính h¾ phương trình vi phân tuyen tính vơ han Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1] Hồng Tuy, Hàm thnc Giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, 2005 [2] Pham Kỳ Anh, Tran Đúc Long, Giáo trình hàm thnc giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, 2001 [3] T Bermúdez, A Bonilla, J A Conejero, A Peris, Hypercyclic, topologically mixing and chaotic semigroups on Banach spaces, Studia Math 170 (2005), 57–75 [4] W Desch, W Schappacher, G F Webb, Hypercyclic and chaotic semigroups of linear operators, Ergodic Theory Dynam Systems, 17 (1997), 793–819 [5] L R Devaney, An introduction to chaotic dynamical system, Benjamin/Cummings, menlo Park, CA, 1986; Addison-Wesley, Red- wood City, CA, 1989 [6] K J Engel, R Nagel, A short course on operator semigroups, Springer, New York, 2006 [7] K.-G Grosse - Erdmann, A Peris, Linear Chaos, Universitext, 2011 ... NUA NHÓM CUA TỐN TU TUYEN TÍNH 1.1 Khái ni¾m tính chat ban cna C0- nua nhóm 1.2 Tốn tu sinh cna C0- nua nhóm 10 M®T SO TÍNH CHAT Đ®NG LUC HOC CUA C0- NUA NHĨM 16 2.1 Tính siêu l¾p tính. .. đưac GQI liên hap (2) Tính chat P cua C0- nua nhóm đưac GQI bao tồn dưái tính (tna) liên hap neu thóa mãn đieu ki¾n sau: Neu C0- nua nhóm (Tt)t≥0 có tính chat P MQI C0- nua nhóm (St)t≥0 (tna) liên... ban, đ%nh lý tính chat ve C0 -nua nhóm, tốn tu sinh cna C0 -nua nhóm Ngồi ra, se đưa đieu ki¾n can đn theo hàm TRQNG v đe nua nhóm t%nh tien khơng gian có TRQNG Lp (R+ ) v m®t C0- nua nhóm Chương