(LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp giải phương trình hàm

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.4 Tính đơn điệu hàm số 1.5 Tính chất ánh xạ hàm số Chương Một số phương trình hàm 10 2.1 Phương trình hàm Cauchy 10 2.2 Phương trình hàm Jensen 17 2.3 Vận dụng phương trình hàm vào giải toán 20 Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm 39 3.1 Phương pháp 39 3.2 Sử dụng tính liên tục 56 3.3 Sử dụng tính đơn ánh, tồn ánh song ánh 62 3.4 Sử dụng tính đơn điệu 84 3.5 Sử dụng tính chất điểm bất động 97 3.6 Đưa phương trình sai phân 103 3.7 Các tập tổng hợp 108 3.8 Phương trình hàm tập số tự nhiên 117 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận 123 Tài liệu tham khảo 124 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI NĨI ĐẦU Phương trình hàm lĩnh vực hay khó tốn sơ cấp Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc gia, Khu vực Quốc tế thường xuyên xuất tốn phương trình hàm Các tốn thường khó, đơi khó Để giải tốn trước tiên ta phải nắm vững tính chất hàm số, số phương trình hàm bản, phương pháp giải có vận dụng thích hợp Với mong muốn tiếp cận với tốn kì thi Olympic Toán, luận văn theo hướng Cụ thể, luận văn chia làm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức dùng chương sau như: Hàm số liên tục, hàm số chẵn hàm số lẻ, hàm số tuần hồn hàm số phản tuần hồn, tính đơn điệu hàm số, tính chất ánh xạ hàm số Chương Một số phương trình hàm Trình bày số phương trình hàm như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen ứng dụng chúng việc giải toán Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm Trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thơng dụng Ở phương pháp bắt đầu phương pháp giải, sau tốn, cuối tốn vận dụng Để hồn thành luận văn, trước hết xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ q trình xây dựng đề tài hồn thiện luận văn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, anh chị học viên cao học khóa 2009-2011, Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Toán-Cơ- Tin học trường địa học Khoa học Tự nhiên Hà Nội tạo điều kiện, giúp đỡ suốt q trình hồn thành khóa học Tuy có nhiều cố gắng thời gian có hạn khả cịn hạn chế nên vấn đề trình bày luận văn cịn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Ngọc Diệp TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến hàm số phục vụ cho tốn trình bày chương sau Ta quan tâm tới hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊆ R tập giá trị R(f ) ⊆ R 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định (a, b) ⊂ R x0 ∈ (a, b) Ta nói hàm số liên tục x0 với dãy {xn }∞ n=1 , xn ∈ (a, b) cho lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ n→∞ Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f (x), xác định (a, b), gọi liên tục x0 ∈ (a, b) lim f (x) = f (x0 ) Điều có nghĩa là: với số ε > 0, tồn x→x0 số δ = δ(ε) > cho với x ∈ (a, b) thỏa mãn < |x − x0 | < δ |f (x) − f (x0 )| < Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử hàm số f xác định tập J, tập J khoảng hợp khoảng thuộc R Ta nói hàm số f liên tục J TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham liên tục điểm thuộc J Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f (x) xác định đoạn [a, b] gọi liên tục [a, b] liên tục khoảng (a, b) liên tục phải a, liên tục trái b 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục Ở mục trên, ta có cách xác định hàm số liên tục Tuy nhiên việc sử dụng định nghĩa khơng phải lúc đơn giản Do vậy, người ta chứng minh tính chất hữu ích, giúp ta xác định nhanh hàm liên tục, sau: Các hàm sơ cấp như: hàm lũy thừa, hàm thức, hàm lượng giác, hàm logarít liên tục miền xác định chúng Giả sử f (x) g(x) hàm liên tục D ⊆ R Khi (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f ◦ g)(x) = f (g(x)) hàm liên tục D f (x) Giả sử g(x) 6= với x ∈ R, hàm liên tục Trong g(x) trường hợp ngược lại, liên tục tập xác định Một số tính chất khác hàm số liên tục: Định lý 1.1.5 (Định lý giá trị trung gian) Giả sử f (x) liên tục đoạn [a, b] Nếu f (a) 6= f (b) với số thực M nằm f (a) f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = M Mệnh đề 1.1.6 Giả sử f (x) g(x) hai hàm xác định liên tục R Khi f (x) = g(x) với x ∈ Q f (x) ≡ g(x) R Chứng minh Với x ∈ R, ta xét dãy số hữu tỷ sn , n ∈ N thỏa mãn lim sn = x Do f (r) = g(r) với r ∈ Q nên f (sn ) = g(sn ) với n→+∞ n ∈ N Lấy giới hạn hai vế n → +∞, ý f (x) g(x) hai hàm liên tục, ta có  lim f (sn ) = lim g(sn ) ⇒ f n→+∞ n→+∞  lim sn n→+∞  =g  lim sn n→+∞ ⇒ f (x) = g(x) Với x ∈ R ta có f (x) = g(x) Hay f (x) = g(x) với x ∈ R (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Nhận xét 1.1.7 Trong mệnh đề ta thay giả thiết f (x) = g(x) với x ∈ Q giả thiết f (x) = g(x) với x ∈ A, A tập hợp trù mật R Với định nghĩa tập hợp trù mật sau Định nghĩa 1.1.8 Tập A ∈ R gọi tập trù mật R ∀x, y ∈ R, x < y tồn a ∈ A cho x < a < y Ví dụ 1.1.9 Q tập trù mậttrong R  m (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Lời giải Thay x = suy f (yf (0)) = f (f (0)), ∀y ∈ R (2) Giả sử f (0) 6= 0, từ (2) suy f (x) = c với x ∈ R Thay vào (1) suy c = c + cx, ∀x ∈ R ⇔ c = ⇒ f (0) = (vô lý) Vậy f (0) = Thay y = ⇒ f (f (x)) = f (x) với x ∈ R Nhìn lại (1), ta chọn y f (x) − x cho x + yf (x) = f (x), y = với f (x) 6= Đến bước ta có f (x) hai giả thiết Giả thiết 1: Xét hai trường hợp Trường hợp Xét f ≡ có nghiệm ? Trường hợp Tồn x0 6= 0: f (x0 ) 6= Từ suy f đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giải thiết 2: Xét hai trường hợp: Trường hợp Nếu tồn x0 6= 0: f (x0 ) = Chứng minh f ≡ Trường hợp Xét f không đồng với x 6= hay (f (x) = ⇔ x = 0) Với cách thay trên, rõ ta dùng giả thiết Trường hợp Giả sử tồn x0 6= 0: f (x0 ) = Thay x = x0 vào (1) suy f (x0 ) = x0 f (y) với y ∈ R Suy f (y) = với y ∈ R Thử lại thấy f ≡ thỏa mãn Trường hợp Với x 6= 0, chọn y =  xf f (x) − x f (x) f (x) − x ta có f (x)  = ∀x 6= ⇒ f (x) − x = 0, ∀x 6= ⇒ f (x) = x, ∀x ∈ R Thử lại thấy thỏa mãn 49 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Bài tốn 3.1.15 Tìm f : R → R liên tục thỏa mãn f (x + f (y)) = 2y + f (x), ∀x, y ∈ R (1) Lời giải Với toán liên tục đơn điệu, ta thường cố gắng phương trình phương trình Cauchy hay f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Cho x = vào (1), ta có f (f (y)) = 2y + f (0), ∀y ∈ R (2) Suy f song ánh Thay y = vào (2), ta có f (f (0)) = f (0) ⇒ f (0) = (2) ⇔ f (f (y)) = 2y ⇒ f (2y) = f (f (f (y))) = 2f (y) ∀y ∈ R Thay y f (y) vào (1), ta có f (x + 2y) = 2f (y) + f (x), ∀x, y ∈ R ⇒ f (x + 2y) = f (2y) + f (x), ∀x, y ∈ R y , ta có Thay y f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Do f liên tục ⇒ f (x) = kx với x ∈ R Thay vào (1), ta có √ k(x + ky) = 2y + kx ⇔ k = ± Vậy f (x) = √ √ 2x với x ∈ R, f (x) = − 2x với x ∈ R Bài toán 3.1.16 (Slovenia National Olympiad 2010) Tìm tất hàm f : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn (y + 1)f (x + y) = f (xf (y)), ∀ x, y ∈ [0, +∞) (1) Lời giải Trong (1), cho x = ta (y + 1)f (y) = f (0), Suy f (y) = a , y+1 ∀ y ∈ [0, +∞) ∀ y ∈ [0, +∞) (với a = f (0)) 50 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (2) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Thử lại: Thay (2) vào (1) ta (y + 1)a a = , x+y+1 xf (y) + a (y + 1)a , ⇒ = ax x+y+1 +1 y+1 (y + 1)a a(y + 1) ⇒ = , x+y+1 ax + y + " a=0 ⇒ x + y + = ax + y + " a=0 ⇒ a = ∀ x, y ∈ [0, +∞) ∀ x, y ∈ [0, +∞) ∀ x, y ∈ [0, +∞) ∀ x, y ∈ [0, +∞) Vậy hàm số thỏa mãn đề f (x) = với x ∈ [0, +∞) f (x) = với x ∈ [0, +∞) x+1 Bài tốn 3.1.17 (Switzerland Finad Round 2010) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (f (x)) + f (f (y)) = 2y + f (x − y), ∀ x, y ∈ R Lời giải Đặt f (0) = a Trong (1) cho y = x ta f (f (x)) = x + (1) a với x ∈ R Vậy (1) trở thành x+ a a + y + = 2y + f (x − y), 2 ∀ x, y ∈ R Suy f (x − y) = x − y + a, x, y ∈ R (2) Từ (2), cho y = suy f (x) = x + a với x ∈ R Thay vào (1) ta x + 2a + y + 2a = 2y + x − y + a, ∀x, y ∈ R ⇒ a = Vậy có hàm số thỏa mãn yêu cầu đề f (x) = x với x ∈ R Bài tốn 3.1.18 (Romania Team Selection Test 2011) Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn 2f (x) = f (x + y) + f (x + 2y), ∀x ∈ R, ∀y ≥ 51 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Lời giải Giả sử hàm số thỏa mãn yêu cầu đề Ký hiệu P (u, v) việc thay x u thay y v vào (1): P (2x, x) ⇒ 2f (2x) = f (3x) + f (4x), ∀x ≥ P (x, x) ⇒ 2f (x) = f (2x) + f (3x), ∀x ≥ P (0, x) ⇒ 2f (0) = f (x) + f (2x), ∀x ≥ P (0, 2x) ⇒ 2f (0) = f (2x) + f (4x), ∀x ≥ (2) (3) (4) (5) Thay (4) (5) vào (2) ta 2f (2x) = f (3x) + 2f (0) − f (2x) ⇔ f (3x) = 3f (2x) − 2f (0) (6) Thay (6) vào (3) ta 2f (3x) = f (2x) + 3f (2x) − 2f (0) ⇔ 2f (2x) = f (x) + f (0) (7) Thay (7) vào (4) dẫn tới 4f (0) = 2f (x) + f (x) + f (0), ∀x ≥ (8) Trong (1) thay y 2y ta ∀x ∈ R, ∀ y ≥ 2f (x) = f (x + 2y) + f (x + 4y), (9) Từ (9) (1) suy f (x + y) = f (x + 4y), ∀x ∈ R, ∀y ≥ (10) Trong (10) thay x −4y ta f (−3y) = f (0) với y ≥ Từ thay y y/3 ta f (−y) = f (0) với y ≥ Vậy f (t) = với t ≤ (11) Từ (11) (8) suy f (x) = f (0) với x ∈ R Do f hàm R Thử lại ta thấy thỏa mãn Bài tốn 3.1.19 (Đề thi Olympic 30/04/2012) Tìm tất cặp hàm số f, g : R → R thỏa mãn điều kiện f (0) = g(0) = 1, g(1) = f (x) − f (y) = (x − y)g(x + y), ∀x, y ∈ R 52 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Lời giải Từ (1) cho y = x sử dụng g(0) = ta f (x) − f (−x) = 2x, ∀x ∈ R (2) Trong (1) thay x x + thay y x ta f (x + 1) − f (x) = g(2x + 1), ∀x ∈ R (3) Trong (1) thay x x + thay y −x ta f (x + 1) − f (−x) = 2(2x + 1) (4) Từ (2) (4) suy f (x + 1) + 2x − f (x) = 2(2x + 1), g(2x + 1) = 2(2x + 1) − 2x, ∀x ∈ R (5) ∀x ∈ R Từ (5) (3) suy ∀x ∈ R g(2x + 1) = 2x + 2, ⇔ g(x) = x + 1, ∀x ∈ R (6) Thay y = vào (1) sử dụng (6) ta f (x) = xg(x) + = x(x + 1) + = x2 + x + 1, ∀x ∈ R Thử lại ta thấy cặp hàm số f (x) = x2 +x+1 với x ∈ R g(x) = x+1 với x ∈ R thỏa mãn yêu cầu đề Bài tốn 3.1.20 (Poland Second Round - 2012) Tìm tất hàm số g(f (x)) = f (g(y)) + x, ∀x, y ∈ R (1) ∀x ∈ R (2) ∀x ∈ R (3) Lời giải Từ (1) cho y = ta g(f (x)) = f (g(0)) + x, Từ (1) cho y = f (x) ta g(0) = f (g(f (x))) + x, 53 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Từ (2) (3) ta có f (f (g(0)) + x) = −x + g(0) ⇒ f (x) = −x + a (với a số) Thay f (x) = a − x trở lại (1) ta có g(−x − y + a) = −g(y) + a + x, ∀x, y ∈ R (4) Thay x = −y vào (4) ta g(a) = a + x − g(−x) ⇒ g(x) = −x + b (với b số) Thay f, g vừa tìm vào (1) ta có − (−x − y + a) + b = −(−y + b) + a + x, ⇔ x + y − a + b = y + x − b + a, ∀x, y ∈ R ∀x, y ∈ R ⇔ a = b Do f (x) = −x + a với x ∈ R g(x) = −x + a với x ∈ R (với a số) Bài tốn 3.1.21 (Albania Team Selection Test 2013) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x3 ) + f (y ) = (x + y)[f (x2 ) + f (y ) − f (xy)], ∀x, y ∈ R Lời giải Ký hiệu P (u, v) việc thay x u, thay y v vào (1) √ √ ∀x ∈ R P ( x, −x) ⇒ f (−x) = −f (x), P (0, 0) ⇒ f (0) = ⇒ f (x3 ) = xf (x2 ), ∀x ∈ R (1) (2) (3) Sử dụng (3) ta biến đổi (1) thành (x + y)f (xy) = xf (y ) + yf (x2 ), ∀x, y ∈ R (4) ∀x ∈ R (5) Từ (4) lấy y = ta (x + 1)f (x) = xf (1) + f (x2 ), Từ (4) lấy y = −1 ta (x − 1)(−f (x)) = xf (1) − f (x2 ), ∀x ∈ R (6) Cộng (5) với (6) ta thu 2f (x) = 2f (1)x với x ∈ R Vậy f (x) = cx với x ∈ R (c số) Thử lại ta thấy thỏa mãn 54 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Bài toán 3.1.22 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2013) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = 2013 (x − y)[f (f (x)) − f (f (y))] = [f (x) − f (y)][f (x) − f (y)], ∀x, y ∈ R (1) Lời giải Từ (1) cho y = ta f (f (x)) = f (x) , x ∀x 6= (2) Thay (2) vào (1) suy với x khác 0, y khác ta có   f (x) f (y) (x − y) − = [f (x) − f (y)][f (x) − f (y)] x y xf (y) yf (x) ⇔ + = f (x)f (y) + f (y)f (x) y x xf (y) yf (x) ⇔ − f (x)f (y) + − f (y)f (x) = y x 3 xf (y) yf (x) ⇔ − f (x)f (y) + − f (y)f (x) = y x ⇔ [xf (y) − yf (x)][xf (y) − yf (x)] = (3) Từ (3) cho y = ta (2013x − f (x))[20132 x − f (x)] = 0, ∀x 6= (4) Từ (4) suy f (x) = 2013x với x ≤ Bởi vậy, từ (3) cho y = −1 ta [−2013x + f (x)][20132 x + f (x)], ∀x 6= (5) Từ (5) suy f (x) = 2103x với x > Như f (x) = 2013x với x ∈ R Thử lại thấy thỏa mãn Bài toán 3.1.23 (IMO 2010) Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn f ([x]y) = f (x)[f (y)], ∀x, y ∈ R (1) Ở [a] ký hiệu số nguyên lớn nhỏ a Lời giải Cho y = 0, ta f (0) = f (x)[f (0)], ∀x ∈ R 55 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (2) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Nếu [f (0)] khác f (x) = f (0) c = với x ∈ R (với c [c] [f (0)] [c] khác 0) Thử lại thấy thỏa mãn Xét [f (0)] = Khi (2) dẫn đến f (0) = Từ (1) cho y = ta f ([x]) = f (x)[f (1)] (3) Từ (3) cho x = ta f (1) = f (1)[f (1)] ⇔ f (1) = [f (1)] = Khi f (1) = từ (1) cho x = ta f (y) = với y ∈ R hay f (x) ≡ Thử lại thấy thỏa mãn Nếu [f (1)] = từ (3) ta có ∀x ∈ R f ([x]) = f (x), Với x ∈ [0, 1] từ (4) suy f (x) = f (0) = Từ (1) cho y =  f [x] x     = f (x) f = 0, ta ∀x ∈ R (5) Từ (5) cho x = ta f (1) = (mâu thuẫn với [f (1)] = 1) c với x ∈ R (với c số Tóm lại hàm thỏa mãn (1) là: f (x) = [c] [c] khác 0) f (x) ≡ với x ∈ R 3.2 Sử dụng tính liên tục Chú ý: • f liên tục f đơn ánh f đơn điệu thực • f liên tục [a, b] f bị chặn (tức tồn M = max f (x) [a,b] m = f (x)) [a,b]  • f liên tục x0 ⇔ lim f (x) = f x→x0  lim x x→x0 Bài tốn 3.2.1 Tìm f : R → R liên tục, thỏa mãn x2 f (y) + yf (x2 ) = f (xy) + a, ∀x, y ∈ R 56 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Lời giải Thay x = vào (1) ⇒ yf (0) = f (0) + a với y ∈ R Nếu f (0) 6= ⇒ yf (0) có tập giá trị R ⇒ vô lý ⇒ f (0) = ⇒ a = Vậy a 6= phương trình khơng có nghiệm Với a = 0, (1) ⇔ x2 f (y) + yf (x2 ) = f (xy) với x, y ∈ R Thay x = y = vào (1) ⇒ f (1) = Thay y = vào (1) ⇒ f (x2 ) = f (x) với x ∈ R Thay y = x vào (1) ⇒ x2 f (x) + xf (x2 ) = f (x2 ) với x ∈ R √ −1 ± Do f ⇒ (x2 + x − 1)f (x) = với x ∈ R ⇒ f (x) = với x 6= liên tục R ⇒ f (x) = với x ∈ R Bài toán 3.2.2 Tìm f : R → R liên tục, thỏa mãn f (4x) + f (9x) = 2f (6x), ∀x ∈ R (1) x vào (1) ta có     f x +f x = 2f (x), ∀x ∈ R     x − f (x) = f (x) − f x , ∀x ∈ R ⇒f     Đặt g(x) = f x − f (x) ⇒ g liên tục R g(x) = g x ⇒   g x = g(x) với x ∈ R Quy nạp ta  n  g(x) = g x , ∀x ∈ R (*) Lời giải Thay x Với x ∈ R, ta có  n  g(x) = lim g x = g(0) = f (0) − f (0) = n→+∞ ⇒ g(x) = 0, ∀x ∈ R   ⇒f x − f (x) = 0, ∀x ∈ R   ⇒f x = f (x), ∀x ∈ R Tương tự ⇒ f (x) = f (0) với x ∈ R (thử lại thấy thỏa mãn) Vậy f (x) = c với x ∈ R (c = const) thỏa mãn toán 57 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Bài toán 3.2.3 Tìm f : R → R liên tục, thỏa mãn f (x2 ) + f (x) = x2 + x, ∀x ∈ R (1) Lời giải Đặt g(x) = f (x) − x với x ∈ R Khi đó, ta có g(x2 ) + g(x) = 0, ∀x ∈ R (2) Thay x −x ⇒ g(x2 ) + g(−x) = với x ∈ R ⇒ g(x) = g(−x) với x ∈ R ⇒ g hàm chẵn, ta cần tính g với x ≥ Thay x x2 vào (2) ⇒ g(x4 ) + g(x2 ) = ⇒ g(x4 ) = g(x) với x ∈ R Xét x > ⇒ g(x) = g(x1/4 ) với x > Lấy a > tùy ý, xét dãy số (xn ) xác định sau ∀n ∈ N∗ : xn+1 = xn4 , x0 = a 1 ⇒ xn = a 4n ⇒ lim xn = lim a 4n = a0 = n→+∞ n→+∞ 1/4 Có g(xn+1 ) = g(xn ) = g(xn ) = = g(a) ⇒ g(a) = lim g(xn ) = n→+∞ g( lim xn ) = g(1) = f (1) − = b Vậy g(x) = b với x > ⇒ g(x) = b với n→+∞ x 6= (do g chẵn) ⇒ f (x) = x + b với x 6= (b = const) Thay vào (1) ⇒ b = ⇒ f (x) = x với x 6= Thay x = vào (1) ⇒ f (0) = 0, f (x) = x với x ∈ R Bài toán 3.2.4 Tìm f : R → R liên tục, thỏa mãn   f (x) = f x + , ∀x ∈ R Lời giải Thay x −x, ta có     1 2 f (−x) = f (−x) + =f x + , 4 (1) ∀x ∈ R ⇒ f chẵn, ta cần tính f với x ≥ Ta muốn sử dụng dãy số để áp dụng tính liên tục nên ta quan tâm đến phương trình x = x2 + 1, Xét ≤ a ≤ 1 ⇔x= Ta xét dãy số x0 = a, xn+1 = x2n + , ∀n ∈ N 58 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (*) (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham Ta có 1 1 = a2 + ≤ + = 4 4 1 1 Giả sử xn ≤ ⇒ xn+1 = x2n + ≤ Vậy xn ≤ với n ∈ N Có xn+1 − 2 xn = xn + − xn ≥ ⇒ (xn ) tăng lại bị chặn nên tồn k = lim xn n→+∞ Lấy giới hạn hai vế (*) ta có x1 = x20 + 1 ⇒k= k = k2 + Ta lại có   f (xn+1 ) = f xn + = f (xn ) = = f (a)     ⇒ f (a) = lim f (xn ) = f lim xn = f n→+∞ n→+∞     1 Vậy f (x) = f với x ∈ 0, 2 2, Xét a ≥ Để ý với (*), viết lại sau r   1 xn = xn+1 − xn+1 > 4 Đảo lại thứ tự n n + 1, ta xét dãy sau r xn+1 = xn − , Tương tự, quy nạp ta xn ≥ x0 = a ≥ với n ∈ N xn − − x2n xn − − xn = q ≤ xn − 41 + xn r xn+1 − xn = Suy (xn ) dãy giảm, lại bị chặn nên tồn k = lim xn Lấy giới n→+∞ hạn hai vế ta có r k= k− 1 ⇒k= Ta có xn = x2n+1 + ⇒ f (xn ) = f  x2n+1 +  = f (xn+1 ) 59 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham ⇒ f (a) = f (x0 ) = f (x1 ) = = f (xn ) =     ⇒ f (a) = lim f (xn ) = f lim xn = f n→+∞ n→+∞     1 với a ≥ 0, có f chẵn ⇒ f (a) = f = c (c Vậy f (a) = f 2 số) với a ∈ R Thử lại thấy thỏa mãn 2x Bài toán 3.2.5 Cho g(x) = Hãy tìm tất hàm số f (x) xác định + x2 liên tục khoảng (−1, 1) thỏa mãn (1 − x2 )f (g(x)) = (1 + x2 )2 f (x), ∀x ∈ (−1, 1) Lời giải Hệ thức viết lại dạng (1 − x2 )2 f (g(x)) = (1 − x2 )f (x), 2 (1 + x ) ∀x ∈ (−1, 1) Đặt ϕ(x) = (1 − x2 )f (x) ⇒ f (x) liên tục (−1, 1) ⇔ ϕ(x) liên tục (−1, 1) Ta có f (g(x)) = ϕ(g(x))(1 − g (x))−1 = ϕ(g(x)) · ⇒ ϕ(g(x)) = ϕ(x), (1 + x2 )2 , (1 − x2 )2 ∀x ∈ (−1, 1) ∀x ∈ (−1, 1) Để ý: g(x) = 2x (1 + x) − (1 − x) = = + x2 (1 + x)2 + (1 − x)2 1−  1−x 1+x 1+  1−x 1+x 2 2 , ∀x ∈ (−1, 1) 1−x 1−t − t2 ⇒x= ⇒ g(x) = t ∈ (0, +∞) (do x ∈ (−1, 1)) 1+x 1+t + t2     − t2 1−t ⇒ϕ =ϕ , ∀t ∈ (0, +∞) + t2 1+t   1−t Đặt h(t) = ϕ với t ∈ (0, +∞) ⇒ h(t2 ) = h(t) với t ∈ 1+t (0, +∞) Ta thấy ϕ(x) liên tục (−1, 1) ⇔ h(x) liên tục (0, +∞) Quy √ √ nạp ta h(x) = h( 2n x) với x > 0, với n ∈ N∗ Do lim 2n x = Đặt t = n→+∞ ⇒ h(x) = h(1) với x > ⇒ ϕ(x) = const = a với x ∈ (−1, 1) ⇒ a f (x) = với x ∈ (−1, 1) (thử lại thấy thỏa mãn) − x2 60 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tốn 3.2.6 Tìm hàm f xác định liên tục R+ thỏa mãn f (x3 ) − x2 f (x) = − x, x3 ∀x > f (x) − = g(x) g liên tục R+ , đồng thời g(x3 ) = g(x) x x với x > Từ g(x) = g(1) = c với c ∈ R Suy f (x) = cx + x với x > Gợi ý Đặt Bài tập 3.2.7 Tìm hàm f xác định liên tục R+ thỏa mãn (f (x3 ) − x6 )(f (x2 ) − x4 ) = x5 , ∀x > f (x) − x với x > x Bài tập 3.2.8 Tìm tất hàm xác định liên tục R+ thỏa mãn   x(x2 + · 20112 ) f (x) = f , ∀x > 3x2 + 20112 Gợi ý Đặt g(x) = Gợi ý Với x > xét dãy x0 = x, xn+1 = x= xn (x2n + · 20112 ) Giải phương trình 3x2n + 20112 x(x2 + · 20112 ) 3x2 + 20112 ta nghiệm x = 2011 • Nếu < x < 2011 chứng minh dãy xn tăng bị chặn 2011 Dẫn đến xn hội tụ đến 2011 • Nếu x ≥ 2011 chứng minh dãy xn khơng giảm bị chặn 2011 Từ xn hội tụ đến 2011 Từ sử dụng tính liên tục f ta suy f (x) ≡ với x > Bài tập 3.2.9 Tìm tất hàm số liên tục thỏa mãn f (x) = f (1 − cos x), ∀x ∈ R Gợi ý Xét dãy xn+1 = − cos xn , n ∈ N x0 tùy ý Ta chứng minh xn hội tụ đến 0, từ sử dụng tính liên tục f suy f (x) = const 61 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham 3.3 Sử dụng tính đơn ánh, tồn ánh song ánh Xét phương trình f (g(x, y)) = xh(x, y) + t(x, y) g(x, y), h(x, y), t(x, y) hàm với ẩn x, y, f (x), f (y) biết Giả thiết h(x, y) ≡ với x, y ∈ R Nếu đến kết luận Nếu sai tồn y0 : h(x, y0 ) 6= ⇒ f (g(x, y0 )) − t(x, y0 ) toàn ánh, thay vào giải bình thường Nếu kết luận Nếu sai (tức khơng giải nghiệm) sử dụng tính chất tồn ánh, tính vài giá trị đặc biệt thay lại Nếu có tính chất đơn ánh sử dụng (tính giá trị đặc biệt dùng mệnh đề đảo) Đến dự đốn nghiệm sử dụng mệnh đề đảo để chứng minh Bước khơng giải đưa phương trình Cauchy (chứng minh hàm có tính chất Cauchy) chứng minh hàm Giả thiết Dự đoán f ≡ c nghiệm Tính a: f (a) = c Sau giả sử tồn x0 6= a: f (x0 ) = c +) Nếu f ≡ c kết luận: f (x) = c ⇔ x = a, dùng phép hợp lý, cuối kết luận +) Nếu sai kết luận khơng phù hợp Bài tốn 3.3.1 Tìm f : R → R thỏa mãn f (x − f (y)) = 2f (x) + x + f (y), ∀x, y ∈ R (1) Chú ý: Nếu có hàm g(x) thỏa mãn f (g(x)) = ax + b với a 6= f toàn ánh Lời giải Thay y = vào (1), ta có f (x − f (0)) − 2f (x) = x + f (0), ∀x ∈ R Suy h(x) = f (x − f (0)) − 2f (x) toàn ánh Đặt f (0) = a, tồn x0 : h(x0 ) = hay u, v cho f (u) − 2f (v) = t, u = v + a với t ∈ R Vậy ta có f (t) = f (f (u) − 2f (v)) = f (f (u) − f (v) − f (v)) = 2f (f (u) − f (v)) + f (u) − f (v) + f (v) 62 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham = 2[f (f (u)) + f (u) + f (v)] + f (u) Cần tính f (f (u)) Tại (1) thay x f (y), ⇒ a = 2f (f (y)) + 2f (y) ⇒ 2f (f (y)) = −2f (y) + a ⇒ f (t) = 2[−2f (u) + f (u) + f (v) + a] + f (u) = −f (u) + 2f (v) + 2a = −t + 2a, ∀t ∈ R Thay t = ⇒ a = 2a ⇒ a = Vậy f (x) = −x với x ∈ R Bài tốn 3.3.2 Tìm f : R → R thỏa mãn i, f (x − f (y)) + f (y) = f (x − y) với x, y ∈ R (1); ii, f −1 (0) tập hữu hạn Lời giải Dựa vào yêu cầu toán, ta liên tưởng đến giả thiết nêu trước Dễ thấy sử dụng, ta dùng giả thiết Thay x = y = ⇒ f (−f (0)) = Vậy tồn a: f (a) = Thay x = y = a ⇒ f (a − f (a)) + f (a) = f (0) ⇒ f (0) = Thay lại y = a vào (1), ta có f (x) = f (x − a), ∀x ∈ R (2) Vậy giả sử tồn a 6= 0: f (a) = Quy nạp từ (2) suy f (ka) = với k ∈ N (vô lý f −1 (0) hữu hạn) Vậy f (x) = ⇔ x = Thay x = 2y vào (1), ⇒ f (2y − f (y)) + f (y) = f (y), ⇔ 2y − f (y) = 0, ⇔ f (y) = 2y, ∀y ∈ R ∀y ∈ R ∀y ∈ R (thử lại thấy thỏa mãn) Bài tốn 3.3.3 Tìm f : (0, +∞) → (0, +∞) thỏa mãn   f (x) f = yf (y)f (f (x)), ∀x, y > y Lời giải Trước hết, ta thử tính giá trị đặc biệt Thay y = ⇒ f (f (x)) = f (1)f (f (x)) ∀x > ⇒ f (1) = 63 (LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham(LUAN.van.THAC.si).mot.so.phuong.phap.giai.phuong.trinh.ham TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (1)