(Luận văn thạc sĩ) một số phương trình hàm liên quan đến định lý giá trị trung bình largrange

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU TÍN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỮU TÍN MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE h Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định - 2020 Mục lục Mục lục MỞ ĐẦU 1 Hàm cộng tính song cộng tính Hàm cộng tính liên tục 1.2 Hàm cộng tính gián đoạn 1.3 Tiêu chuẩn khác cho tính tuyến tính 10 1.4 Hàm cộng tính mặt phẳng thực phức 11 1.5 Hàm song cộng tính 16 h 1.1 Định lý giá trị trung bình Lagrange phương trình hàm liên quan 20 2.1 Định lý giá trị trung bình 20 2.2 Ứng dụng Định lý giá trị trung bình Lagrange 22 2.3 Phương trình hàm sinh định lý Lagrange 29 Một số toán lời giải 3.1 49 Một số phương trình hàm liên quan Định lý giá trị trung bình Lagrange 49 3.2 Một số phương trình hàm liên quan khác 57 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 62 MỞ ĐẦU Định lý giá trị trung bình định lý quan trọng có nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Trong chương trình tốn học phổ thơng, Định lý giá trị trung bình ứng dụng khai thác nhiều kì thi Olympic chọn học sinh giỏi, chẳng hạn chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số, chứng minh phương trình có nghiệm, Tuy nhiên vấn đề phương trình hàm sinh định lý giá trị trung bình chưa đề cập đến hầu hết sách tham khảo phổ thơng Trong chương trình tốn học phổ thơng, phương trình hàm chuyên đề quan trọng chương trình chuyên Toán bậc THPT sử dụng nhiều h kì thi học sinh giỏi cấp, Olympic khu vực, Olympic Quốc tế([1, 2]) Đó tốn khó mẻ học sinh, địi hỏi học sinh có tư cao cách tiếp cận sáng tạo Trong thực tiễn, phương trình hàm ứng dụng ln chun đề cần thiết việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn bậc học phổ thơng, đồng thời phát ứng dụng đa dạng lm đem lại hấp dẫn nhiều đối tượng học sinh giáo viên nghiên cứu vấn đề Lấy ý tưởng từ Định lý giá trị trung bình Lagrange giá trị trung bình x+y cho trước, ta có tốn xuất nhiều giáo trình Giải tích bậc đại học, là: tìm hàm số khả vi f : R → R cho c = f (x) − f (y) x+y = f 0( ), x−y ∀x, y ∈ R, x 6= y (1) Lời giải cho toán hàm số f (x) = ax2 + bx + c, với a, b, c ∈ R Tổng qt ta có tốn, tìm hàm số khả vi f : R → R cho f (x) − f (y) = f (sx + ty), x−y s, t ∈ R cho trước ∀x, y ∈ R, x 6= y, (2) Mục tiêu luận văn nghiên cứu phương trình hàm (2), tức nghiên cứu phương tình hàm sinh định lý giá trị trung bình Lagrange, số tập áp dụng Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm ba chương Chương trình bày số kiến thức sở liên quan đến nội dung luận văn Chương trình bày phương tình hàm sinh định lý giá trị trung bình Lagrange số vấn đề liên quan Một số tập áp dụng trình bày Chương Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy Lương Đăng Kỳ Thầy người cổ vũ, động viên tơi q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn q thầy Khoa Tốn - Thống kê, Phịng Sau đại học Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 Cuối tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè ln ủng hộ, giúp đỡ mặt suốt thời gian tơi học thạc sĩ hồn h thành luận văn Mặc dù cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Hữu Tín Chương Hàm cộng tính song cộng tính Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số kiến thức hàm cộng liên tục, hàm cộng tính gián đoạn, vài tiêu chuẩn khác cho hàm cộng tính, hàm cộng tính mặt phẳng phức cuối giới thiệu hàm song cộng tính Tài liệu sử dụng cho chương [6] 1.1 Hàm cộng tính liên tục h Định nghĩa 1.1 Hàm f : R → R gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với x, y ∈ R Định nghĩa 1.2 Hàm f : R → R gọi hàm tuyến tính có dạng f (x) = mx (∀x ∈ R) với m số tùy ý Các ví dụ hàm cộng tính dễ hiểu hàm tuyến tính Vậy câu hỏi đặt có hàm cộng tính khác hay khơng? Câu trả lời có hàm cộng tính liên tục tuyến tính Đây kết chứng minh Cauchy vào năm 1821 Định lý 1.1 Cho hàm f : R → R hàm cộng tính liên tục Khi f hàm tuyến tính hay f (x) = mx với m số Chứng minh Đầu tiên, ta viết lại x kết hợp với (1.1), ta Z f (x) = f (x)dy 1 Z =  f (x + y) − f (y) dy x+1 Z Z f (u)du − = x f (y)dy, u = x + y Do f liên tục, ta có f (x) = f (1 + x) − f (x) (1.2) Từ tính cộng tính f , ta có f (1 + x) = f (1) + f (x) (1.3) Từ (1.2) (1.3), ta có f (x) = m, m = f (1) Từ suy h f (x) = mx + c, (1.4) c số Từ (1.4) (1.1) cho x = ta thu c = 2c c = Vậy f (x) = mx Từ Định lí 1.1, sử dụng tính liên tục f để kết luận f khả tích Tính khả tích f bắt buộc hàm cộng tính f tuyến tính Do hàm cộng tính khả tích tuyến tính Định nghĩa 1.3 Hàm f : R → R gọi khả tích địa phương khả tích khoảng hữu hạn Chú ý 1.1.1 Mọi hàm cộng tính khả tích địa phương tuyến tính Chứng minh Chúng ta chứng minh điều cách sử dụng đối số đưa Shapiro (1973) Giả sử f hàm cộng tính khả tích địa phương Do đó, f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R Từ tính khả tích địa phương f , ta có Z yf (x) = y f (x)dz y Z   f (x + z) − f (z) dz = Z0 x+y y Z f (u)du − = f (z)dz x Z x+y x Z f (u)du − = y Z f (u)du − f (u)du Vai trò x y vế phải nhau, ta có yf (x) = xf (y) với x, y ∈ R Từ đó, với x 6= 0, ta thu f (x) = m, x với m số Suy f (x) = mx, ∀x ∈ R\{0}.Và f hàm cộng tính nên ta có f (0) = Cùng với điều kiện này, ta có f (x) = mx, ∀x ∈ R Để làm rõ hàm cộng tính, bắt đầu với định nghĩa sau Định nghĩa 1.4 Hàm f : R → R gọi hữu tỉ h f (rx) = rf (x) (1.5) với x ∈ R số hữu tỉ r Định lý sau cho ta thấy hàm cộng tính hữu tỉ Định lý 1.2 Cho f : R → R hàm cộng tính Khi f hữu tỉ Hơn nữa, f tuyến tính tập số hữu tỉ Q Chứng minh Cho x = = y (1.1) ta có, f (0) = f (0) + f (0) từ suy f (0) = (1.6) Thay y = −x (1.1) sử dụng (1.6), ta thấy f hàm lẻ R, hay f (−x) = −f (x) (1.7) với x ∈ R Chúng ta hàm cộng tính x = hàm lẻ Tiếp theo, chứng ta chứng minh hàm cộng tính hữu tỉ Với x ta có, f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x) Từ f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 3f (x); tổng quát, ta có f (nx) = nf (x) (1.8) với số nguyên dương n Nếu n số nguyên âm −n số ngun dương từ (1.8) (1.7), ta có f (nx) = f (−(−n)x) = −f ((−n)x) = −(−n)f (x) = nf (x) Từ ta có, f (nx) = nf (x) với số nguyên n x ∈ R Tiếp theo, cho r số hữu tỉ Ta có r= k l k số nguyên l số tự nhiên Hơn nữa, kx = l(rx) Sử dụng tính nguyên f , ta kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx) h suy k f (x) = rf (x) l Do đó, f hữu tỉ Hơn nữa, cho x = phương trình f (rx) = định nghĩa m = f (1), ta thấy f (r) = mr với số hữu tỉ r ∈ Q Vì f tuyến tính tập số hữu tỉ chứng minh hồn thành Định lý 1.3 Nếu hàm cộng tính liên tục điểm liên tục nơi Chứng minh Cho f hàm liên tục t x điểm Vì vậy, ta có lim f (y) = f (t) Tiếp theo, ta chứng f liên tục x Xét y→t lim f (y) = lim f (y − x + t + x − t) y→x y→x = lim f (y − x + t) + f (x − t) y→x = lim y−x+t→t f (y − x + t) + f (x − t) = f (t) + f (x − t) = f (t) + f (x) − f (t) = f (x) Điều chứng tỏ f liên tục x tính x, f liên tục nơi 1.2 Hàm cộng tính gián đoạn Định nghĩa 1.5 Đồ thị hàm số f : R → R tập G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)} Dễ thấy đồ thị G hàm số f : R → R tập R2 Định lý 1.4 Đồ thị hàm cộng tính phi tuyến f : R → R trù mật khắp nơi R2 h Chứng minh Đồ thị G hàm f cho G = {(x, y)|x ∈ R, y = f (x)} Chọn x1 ∈ R, x1 6= Từ f hàm cộng tính phi tuyến, với số m, tồn x2 ∈ R, x2 6= cho không viết m = f (x1 ) x1 f (x1 ) f (x2 ) 6= , x1 x2 cho x1 = x, ta có f (x) = mx, ∀x 6= 0, từ f (0) = điều ngụ ý f hàm tuyến tính trái với giả thiết f hàm phi tuyến Từ