BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH NĂM 2021 e[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ——————————— TRẦN NGỌC THANH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ CHUẨN CỦA ĐA THỨC MA TRẬN Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH e Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy trực tiếp bảo, hướng dẫn suốt thời gian qua Cảm ơn thầy dẫn tận tình, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi hồn thành luận văn Chúng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy chúng tôi, đặc biệt thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ tận tình, truyền đạt kiến thức quý báu suốt hai năm học tập vừa qua Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè bạn tập thể lớp Cao học Tốn học khóa 22 ln động viên, giúp đỡ chúng tơi suốt q trình học tập thực luận văn Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa q Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn e Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức cho số thực 1.2 Một số kiến thức ma trận 1.2.1 Ma trận Hermite ma trận unita 1.2.2 Giá trị riêng ma trận 1.2.3 Ma trận xác định dương nửa xác định dương 1.2.4 Chuẩn ma trận 1.3 Đa thức ma trận biến 10 1.4 Tích ten-xơ ma trận 11 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận đa thức ma trận 2.1 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô hướng 2.1.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng ma trận vô hướng 2.1.2 13 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận vô hướng 17 2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn đa thức ma trận i e 26 ii Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận 29 3.1 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng 29 3.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Tài liệu tham khảo 40 48 e Lời nói đầu Giải tích ma trận hướng nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Bất đẳng thức ma trận (còn gọi bất đẳng thức ma trận), đặc biệt, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), đối tượng nghiên cứu quan trọng Giải tích ma trận, với nhiều ứng dụng, chẳng hạn tính tốn khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, đặc biệt lĩnh vực Lý thuyết thông tin lượng tử Các đa thức ma trận đa thức biến với hệ số ma trận vng, cịn gọi λ-ma trận Các đa thức ma trận xem ma trận với hệ tử đa thức biến số Các vấn đề liên quan đến đa thức ma trận nghiên cứu nhiều nhà Tốn học có uy tín giới, có nhiều ứng dụng quan trọng Phương trình đạo hàm riêng, Khoa học Kỹ thuật Mục tiêu đề tài nghiên cứu số bất đẳng thức ma trận có hệ tử số phức (còn gọi ma trận vô hướng), đa thức ma trận Ngoài mở đầu, mục lục, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn bố cục thành chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ma trận đa thức ma trận biến, với số kết liên quan đến chương sau luận văn Chương 2: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn e ma trận đa thức ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tơi tổng hợp trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô hướng Trên sở chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận Chương 3: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận Trong chương này, phần đầu chúng tơi trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận vô hướng Phần tiếp theo, trình bày lại số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận Vì kiến thức cịn hạn chế nên luận văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót nội dung hình thức Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp, chỉnh sửa quý Thầy, Cô bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Học viên Trần Ngọc Thanh e Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức ma trận đa thức ma trận biến, với số kết liên quan đến chương sau luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [3], [5], [7], [9], [12] 1.1 Một số bất đẳng thức cho số thực Cho véc tơ thực x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ta xếp thành phần véc tơ theo thứ tự giảm dần sau x[1] ≥ x[2] ≥ · · · ≥ x[n] Định nghĩa 1.1.1 Với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , k X x[i] ≤ i=1 k X y[i] , k = 1, 2, , n i=1 ta nói x trội yếu y ký hiệu x ≺w y Nếu x ≺w y Pn i=1 xi = Pn i=1 yi ta nói x trội y ký hiệu x ≺ y Định nghĩa 1.1.2 Cho x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) số không âm Nếu k Y x[i] ≤ i=1 k Y y[i] , k = 1, 2, , n i=1 ta nói x log-trội yếu y ký hiệu x ≺wlog y Nếu x ≺wlog y Qn i=1 xi = Qn i=1 yi x ≺log y e ta nói x log-trội y ký hiệu Định lý 1.1.3 (Bất ng thc Hăolder (Hardy, Littlewood v Polya (1952, trang 22))) Cho số thực dương xij αj cho α1 + α2 + · · · + αm = với i = 1, 2, , n j = 1, 2, , m Khi m n Y X i=1 ! xij ≤ (xij )1/αj j=1 j=1 #αj " n m X Y i=1 Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Minkowski (xem Marshall Olkin (1979, trang 459))) Cho x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn số thực tùy ý p số thực dương Khi n X !1/p |xk + yk |p k=1 1.2 ≤ n X !1/p |xk |p + n X !1/p |yk |p k=1 k=1 Một số kiến thức ma trận Trong toàn luận văn, ma trận vô hướng xét ma trận vuông cấp n với hạng tử số phức Không gian ma trận phức cấp n kí hiệu Cn×n Cho A = (aij ) ∈ Cn×n , ma trận chuyển vị liên hợp A A∗ = (aji ) Nhắc lại tích vơ hướng hai véc tơ x = (xi ), y = (yi ) ∈ Cn định nghĩa hx, yi := n X xi y i i=1 Chuẩn Euclide véc tơ x = (xi ) ∈ Cn định nghĩa kxk = hx, xi1/2 Tích Hadamard (tích Schur) hai ma trận A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×n , kí hiệu A ◦ B, định nghĩa sau A ◦ B = (aij bij ) 1.2.1 Ma trận Hermite ma trận unita Định nghĩa 1.2.1 Một ma trận A ∈ Cn×n gọi ma trận Hermite A∗ = A e Từ định nghĩa ma trận Hermite ma trận chuyển vị liên hợp, ta rút hai nhận xét sau Nhận xét 1.2.2 Ma trận A ∈ Cn×n ma trận Hermite hAx, yi = hx, Ayi với x, y ∈ Cn Nhận xét 1.2.3 Một ma trận A ∈ Cn×n ma trận Hermite A có phần tử đường chéo số thực, phần tử đối xứng qua đường chéo liên hợp Định nghĩa 1.2.4 Một ma trận A ∈ Cn×n gọi ma trận unita AA∗ = A∗ A = I −i Ví dụ A = ∈ C2×2 1 B = i 2 −i 1 + i −1 + i −1 + i 3×3 1+i ∈ C ma trận unita Nhận xét 1.2.5 Nếu A ∈ Cn×n ma trận unita A khả nghịch | det A| = 1.2.2 Giá trị riêng ma trận Định nghĩa 1.2.6 Số phức λ ∈ C gọi giá trị riêng ma trận A ∈ Cn×n tồn véc tơ v ∈ Cn , v 6= cho Av = λv Khi véc tơ v gọi véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A Nhận xét 1.2.7 Nếu v véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A αv véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ ma trận A Vì svậy, sau ta thường xét véc tơ riêng chuẩn hóa, tức kvk = p hv, vi = n P vi ¯ vi = i=1 Nhận xét 1.2.8 Phương trình Av = λv ⇔ (A − λI)v = có nghiệm khơng tầm thường v 6= Suy det(A − λI) = Như vậy, giá trị riêng ma trận A e ... đẳng thức liên quan đến giá trị riêng đa thức ma trận 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn đa thức ma trận i e 26 ii Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma trận. .. 11 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận đa thức ma trận 2.1 13 Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn ma trận vô hướng ... riêng chuẩn ma trận vơ hướng Trên sở chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị riêng chuẩn đa thức ma trận Chương 3: Một số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị vết ma trận ma