Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUY[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2015 c Mục lục LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ii MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tính trù mật 1.2 Tính chất hàm số 1.2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.2.2 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính 1.2.3 Hàm số tuần hồn phản tuần hồn nhân tính 1.3 Một số đặc trưng hàm hàm số sơ cấp 1.4 Phương trình hàm Cauchy 1.5 Một số phương pháp giải phương trình hàm 1.5.1 Phương pháp 1.5.2 Phương pháp chuyển qua giới hạn 1.5.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng 10 1.5.4 Phương pháp quy nạp 12 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH SƠ CẤP 14 2.1 2.2 Biểu diễn số lớp hàm bất biến với phép biến hình 14 2.1.1 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 14 2.1.2 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn nhân tính 20 2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 22 2.1.4 Hàm số sinh phép nghịch đảo 24 Phương trình hàm với dịch chuyển bậc phân tuyến tính 26 2.2.1 26 Phương trình dạng f (αx + β) = af (x) + b c 32 Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi 36 2.2.2 2.2.3 2.3 ax + b Phương trình dạng f = αf (x) + β cx + d Phương trình dạng a (x) f (x) + b (x) f (ω (x)) = c (x) MỘT SỐ ÁP DỤNG 3.1 3.2 29 42 Phương trình hàm lớp hàm đa thức 42 3.1.1 Một số toán xác định đa thức 42 3.1.2 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) 45 3.1.3 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) + Q 50 Phương trình hàm lớp hàm lượng giác 53 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 c i LỜI CẢM ƠN Để hồn thành luận văn tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy truyền đạt cho kiến thức, kinh nghiệm quý báu học tập thầy trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn: - Ban giám hiệu, Phịng đào tạo sau đại học, khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học toán K7A - Sở giáo dục & Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu c ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ∀, ∃ : Các ký hiệu logic R : Tập hợp số thực R+ : Tập hợp số thực dương R− : Tập hợp số thực âm Q : Tập hợp số hữu tỷ Z : Tập hợp số nguyên Z+ : Tập hợp số nguyên dương N : Tập hợp số tự nhiên x ∈ M : x phần tử M ∩, ∪, ⊂, ⊃ : phép toán tập hợp c MỞ ĐẦU Phương trình hàm chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trường THPT chuyên Trong kỳ thi Olympic toán quốc gia, khu vực quốc tế thường xuất dạng tốn khác có liên quan đến phương trình hàm Chúng xem tốn khó mẻ học sinh THPT Những tài liệu tham khảo dành cho học sinh lĩnh vực không nhiều Đặc biệt tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT phương trình hàm với đối số biến đổi chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Xuất phát từ thực tế đó, luận văn tác giả trình bày cách hệ thống lớp phương trình hàm với đối số biến đổi phương pháp giải chúng Đồng thời nêu số áp dụng phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi vào lớp phương trình hàm đa thức đại số lượng giác Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương: Một số kiến thức - Tính trù mật - Tính chất hàm số - Một số đặc trưng hàm hàm số sơ cấp - Các phương trình hàm dạng Cauchy - Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương trình hàm với phép biến hình sơ cấp - Biểu diễn số lớp hàm bất biến với phép biến hình - Phương trình hàm với dịch chuyển bậc phân tuyến tính - Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi c Một số áp dụng - Phương trình hàm lớp hàm đa thức - Phương trình hàm lớp hàm lượng giác Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Phương Anh c Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tính trù mật Tập hợp A ⊂ R gọi trù mật R với x, y ∈ R, x < y tồn a ∈ A cho x < a < y Một số ví dụ tập trù mật a) Q trù mật R b) Tập hợp A = 1.2 nm , m ∈ Z, n ∈ N 2n o tập trù mật R Tính chất hàm số Xét hàm số f (x) với tập xác định D (f ) ⊂ R tập giá trị R (f ) ⊂ R 1.2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa 1.1 (Xem [4]) a) f (x) gọi hàm số chẵn M, M ⊂ D (f ) (gọi tắt hàm chẵn M ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x) , ∀x ∈ M b) f (x) gọi hàm số lẻ M, M ⊂ D (f ) (gọi tắt hàm lẻ M ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x) , ∀x ∈ M 1.2.2 Hàm số tuần hồn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.2 (Xem [4]) a) Hàm số f (x)được gọi hàm tuần hồn cộng tính chu kì a (a > 0) M M ⊂ D (f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x) , ∀x ∈ M c b) Cho f (x) hàm tuần hồn cộng tính M Khi T (T > 0) gọi chu kì sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kì T mà khơng hàm tuần hồn cộng tính với chu kì bé T Định nghĩa 1.3 (Xem [4]) a) Hàm số f (x)được gọi phản tuần hồn cộng tính chu kì b (b > 0) M M ⊂ D (f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x) , ∀x ∈ M b) Cho f (x) hàm phản tuần hồn cộng tính M Khi T (T > 0) gọi chu kì sở f (x) f (x) phản tuần hoàn cộng tính với chu kì T mà khơng hàm phản tuần hồn cộng tính với chu kì bé T 1.2.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.4 (Xem [4]) f (x) gọi hàm tuần hoàn nhân tính chu kì a (a ∈ / {0; 1; −1}) M M ⊂ D (f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x) , ∀x ∈ M Định nghĩa 1.5 (Xem [4]) f (x) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kì a (a ∈ / {0; 1; −1}) M M ⊂ D (f ) ±1 ∀x ∈ M ⇒ a x ∈ M f (ax) = −f (x) , ∀x ∈ M 1.3 Một số đặc trưng hàm hàm số sơ cấp Trong phần ta nêu đặc trưng số hàm số sơ cấp thường gặp chương trình phổ thơng Nhờ đặc trưng hàm mà ta dự đốn kết phương trình hàm tương ứng đề xuất dạng tập tương ứng với đặc trưng hàm Các hàm số xét phần thoả mãn điều kiện liên tục toàn miền xác định hàm số Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b(a 6= 0, b 6= 0) có tính chất x + y f = [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R 2 c ... biến với phép biến hình - Phương trình hàm với dịch chuyển bậc phân tuyến tính - Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi c Một số áp dụng - Phương trình hàm lớp hàm đa thức - Phương trình. .. chất hàm số - Một số đặc trưng hàm hàm số sơ cấp - Các phương trình hàm dạng Cauchy - Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương trình hàm với phép biến hình sơ cấp - Biểu diễn số lớp hàm. .. HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người