Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI LỚP CÁC HÀM HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TR[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI LỚP CÁC HÀM HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI LỚP CÁC HÀM HỢP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2019 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Tin q thầy, giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K11 tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Ninh Bình, trường THPT chuyên Lương Văn Tụy, nơi công tác, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân, bạn bè, đồng nghiệp ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Bích Ngọc ii Mục lục MỞ ĐẦU Chương CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 Các tính chất hàm số tập hợp 1.2 Đặc trưng hàm tính chất liên quan 1.2.1 Khái niệm phương trình hàm 1.2.2 Phép lặp 1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Đặc trưng hàm tuần hoàn 1.3.1 Hàm tuần hồn phản tuần hồn cộng tính 1.3.2 Hàm tuần hồn phản tuần hồn nhân tính 13 Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM HỢP VỚI CẶP BIẾN TỰ DO 17 2.1 Phương pháp quy nạp giải phương trình hàm 17 2.2 Sử dụng tính chất liên tục hàm số 21 2.3 Một số phương pháp khác 28 2.3.1 Sử dụng tính chất ánh xạ 28 2.3.2 Một số dạng phương trình giải phương pháp biến 36 2.3.3 Sử dụng miền giá trị đối số hàm số 48 2.3.4 Phương pháp thêm biến 51 Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HÀM HỢP MỘT BIẾN 3.1 Phương pháp sử dụng tính chất đặc thù hàm số 3.2 Phương pháp sử dụng điểm bất động hàm số 3.2.1 Tổng hợp số kiến thức điểm bất động 54 54 60 60 iii 3.3 3.4 3.2.2 Bài tập áp dụng Phương pháp đưa phương trình sai phân tuyến tính Một số phương pháp khác 63 65 66 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 Mở đầu Luận văn nhằm cung cấp số phương pháp giải phương trình hàm sinh lớp hàm hợp số dạng toán liên quan kỳ thi Olympic Toán năm gần Chuyên đề nằm chương trình bồi dưỡng HSG lớp chuyên Toán phục vụ kỳ thi HSG quốc gia, Olympic khu vực quốc tế Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp bậc trung học phổ thơng, Olympic Tốn sinh viên, tốn liên quan tới phương trình hàm với hàm hợp thường xuyên đề cập Những dạng tốn thường xem thuộc loại khó phần kiến thức phương trình hàm với hàm hợp khơng nằm chương trình thức giáo trình Đại số Giải tích bậc trung học phổ thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phương trình hàm, tơi chọn đề tài luận văn “Một số phương pháp giải phương trình hàm sinh lớp hàm hợp” Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chia thành chương: Chương Các tính chất hàm số phương trình hàm Chương Phương pháp giải phương trình hàm lớp hàm hợp với cặp biến tự Chương Phương pháp giải phương trình hàm với hàm hợp biến Cuối chương trình bày tập áp dụng giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan Chương CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trong chương này, tác giả hệ thống lại tính chất hàm số, đặc trưng hàm tính chất liên quan, khái niệm hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn đặc trưng hàm tuần hoàn Các kết chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [4] [8] 1.1 Các tính chất hàm số tập hợp Định nghĩa 1.1 (xem [2]) Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với (và một) phần tử Y Phần tử gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f (x) - Tập X gọi tập xác định f Tập hợp Y gọi tập giá trị f - Ánh xạ f từ X đến Y kí hiệu f :X→Y x 7→ y = f (x) - Khi X Y tập số thực, ánh xạ f gọi hàm số xác định X - Cho a ∈ X, y ∈ Y Nếu f (a) = y ta y nói ảnh a a nghịch ảnh y qua ánh xạ f - Tập hợp Y = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi tập ảnh f Nói cách khác, tập ảnh f (X) tập hợp tất phần tử Y mà có nghịch ảnh Định nghĩa 1.2 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh với a ∈ X, b ∈ X mà a 6= b f (a) 6= f (b), tức hai phần tử phân biệt có hai ảnh phân biệt Từ định nghĩa ta suy ánh xạ f đơn ánh với a ∈ X, b ∈ X mà f (a) = f (b), ta phải có a = b Định nghĩa 1.3 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh với phần tử y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho y = f (x) Như f toàn ánh Y = f (X) Định nghĩa 1.4 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh xạ f : X → Y song ánh với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X để y = f (x) Định nghĩa 1.5 (xem [2]) Ánh xạ ngược f , kí hiệu f −1 , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử y ∈ Y phần tử x ∈ X cho y = f (x) Như f −1 (x) = y ⇔ f (x) = y; Nếu f khơng phải song ánh ta khơng thể định nghĩa ánh xạ ngược f Do nói đến ánh xạ ngược f song ánh Nhận xét 1.1 Một số lưu ý áp dụng tính chất đơn ánh, tồn ánh, song ánh giải phương trình hàm - Nếu f : R → R đơn ánh từ f (x) = f (y) suy x = y - Nếu f : R → R tồn ánh với y ∈ R, tồn x ∈ R f (x) = y , tức phương trình (ẩn x) y = f (x) ln có nghiệm - Nếu f hàm số mà đơn ánh ta hay dùng thủ thuật tác động f vào hai vế, tạo f (ϕ (x)) = f (φ (x)) suy ϕ (x) = φ (x) Về sau, luận văn ta xét ánh xạ hàm số xác định nhận giá trị tập hợp số thực 1.2 1.2.1 Đặc trưng hàm tính chất liên quan Khái niệm phương trình hàm Phương trình hàm hiểu phương trình mà hai vế gồm số hữu hạn hàm chưa biết (của số hữu hạn biến) từ số hữu hạn biến độc lập Phép xây dựng thực từ số hữu hạn hàm biết (một hay nhiều biến) số hữu hạn phép thay từ chứa hàm biết hàm chưa biết thành từ chứa hàm biết chưa biết khác Trong [8], Kuczma trình bày chi tiết định nghĩa phương trình hàm sau: Định nghĩa 1.6 (xem [2],[8]) (Định nghĩa ”từ” phương trình hàm) Một từ định nghĩa theo điều kiện sau đây: 1◦ Các biến độc lập gọi từ 2◦ Nếu t1 , , từ f (x1 , , xp ) hàm p biến, f (t1 , , ) từ 3◦ Không tồn từ khác Khi đó, phương trình hàm định nghĩa sau: Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa phương trình hàm, xem [2],[8]) Phương trình hàm đẳng thức t1 = t2 hai từ t1 t2 chúng chứa ẩn hàm chưa biết số hữu hạn biến số độc lập xác định Vấn đề phân loại phương trình hàm phức tạp chưa giải thỏa đáng Định nghĩa 1.8 (xem [2],[8]) Phương trình hàm ẩn hàm hàm biến gọi phương trình hàm thơng thường Định nghĩa 1.9 (xem [2],[8]) Số biến độc lập xuất phương trình hàm gọi bậc phương trình Thơng thường, phương trình vi phân, tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tốn biên, dạng toán cần xác định hàm số Tuy nhiên, dạng tốn có chứa thêm yếu tố "từ" nên biểu thức tương ứng hai từ theo nghĩa nêu Như vậy, thông thường phương trình hàm tổng qt cho thường khơng kèm theo giả thiết quy (có đặc trưng giải tích lên hàm tính đo được, tính bị chặn, khả tích, khả vi, đơn điệu, liên tục, lồi, lõm, ) 1.2.2 Phép lặp Định nghĩa 1.10 (Phép lặp) Phép lặp f n (x) hàm f (x) định nghĩa sau: f (x) = x, f n+1 (x) = f (f n (x)), x ∈ R, n = 0, 1, 2, (Các hàm f n (x) (n = 0, 1, 2, ) xác định R) x Hãy xác định hàm số + x2 f n (x) = f [f [f [· · · [f (x)] · · · ]]] Ví dụ 1.1 Cho hàm số f (x) = √ Lời giải Ta giải toán phương pháp quy nạp Thật x √ f (x) x + x2 f (x) = f [f (x)] = p =√ =s 2 + 2x + (f (x))2 x 1+ + x2 x Giả sử ta chứng minh f k (x) = √ Khi đó, + kx2 x √ f k (x) + kx2 k+1 k p =s , f (x) = f [f (x)] = 2 + (f k (x))2 x 1+ √ + kx2 suy x f k+1 (x) = p + (k + 1)x2 x Vậy f n (x) = √ + nx2 Ví dụ 1.2 Giả sử f : R+ → R+ hàm liên tục, nghịch biến cho f (x + y) + f (f (x) + f (y)) = f (f (x + f (y)) + f (y + f (x))), ∀x, y ∈ R+ Chứng minh f (f (x)) = x Lời giải Với y = x ta có f (2x) + f (2f (x)) = f (2f (x + f (x))) (1.1) Thay x f (x) vào (1.1) ta f (2f (x)) + f (2f (f (x))) = f (2f (f (x) + f (f (x)))) (1.2) Từ (1.1) (1.2) suy f (2f (f (x))) − f (2x) = f (2f (f (x) + f (f (x)))) − f (2f (x + f (x))) Nếu f (f (x)) > x hàm f giảm thực nên vế trái phương trình nhận giá trị âm, f (f (x) + f (f (x))) > f (x + f (x)) f (x) + f (f (x)) < f (x) + x, điều mâu thuẫn với giả sử f (f (x)) > x Ta chứng minh điều tương tự với giả sử f (f (x)) < x Do ta có f (f (x)) = x