Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội[.]
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 z ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2014 z Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục 1.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Hàm số tuần hoàn phản tuần hoàn 1.4 Tính đơn điệu hàm số 1.5 Tính chất ánh xạ hàm số Chương Một số phương trình hàm 10 2.1 Phương trình hàm Cauchy 10 2.2 Phương trình hàm Jensen 17 2.3 Vận dụng phương trình hàm vào giải toán 20 Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm 39 3.1 Phương pháp 39 3.2 Sử dụng tính liên tục 56 3.3 Sử dụng tính đơn ánh, tồn ánh song ánh 62 3.4 Sử dụng tính đơn điệu 84 3.5 Sử dụng tính chất điểm bất động 97 3.6 Đưa phương trình sai phân 103 3.7 Các tập tổng hợp 108 3.8 Phương trình hàm tập số tự nhiên 117 z Kết luận 123 Tài liệu tham khảo 124 z LỜI NĨI ĐẦU Phương trình hàm lĩnh vực hay khó tốn sơ cấp Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc gia, Khu vực Quốc tế thường xuyên xuất tốn phương trình hàm Các tốn thường khó, đơi khó Để giải tốn trước tiên ta phải nắm vững tính chất hàm số, số phương trình hàm bản, phương pháp giải có vận dụng thích hợp Với mong muốn tiếp cận với tốn kì thi Olympic Toán, luận văn theo hướng Cụ thể, luận văn chia làm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức dùng chương sau như: Hàm số liên tục, hàm số chẵn hàm số lẻ, hàm số tuần hồn hàm số phản tuần hồn, tính đơn điệu hàm số, tính chất ánh xạ hàm số Chương Một số phương trình hàm Trình bày số phương trình hàm như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen ứng dụng chúng việc giải toán Chương Một số phương pháp giải phương trình hàm Trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thơng dụng Ở phương pháp bắt đầu phương pháp giải, sau tốn, cuối tốn vận dụng Để hồn thành luận văn, trước hết xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ q trình xây dựng đề tài hồn thiện luận văn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô, anh chị học viên cao học khóa 2009-2011, Ban giám hiệu, Phịng sau đại học, Khoa Toán-Cơ- Tin học trường địa học Khoa học Tự nhiên Hà Nội tạo điều kiện, giúp đỡ suốt q trình hồn thành khóa học Tuy có nhiều cố gắng thời gian có hạn khả cịn hạn chế nên vấn đề trình bày luận văn cịn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn z Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Ngọc Diệp z Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến hàm số phục vụ cho tốn trình bày chương sau Ta quan tâm tới hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊆ R tập giá trị R(f ) ⊆ R 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Định nghĩa hàm số liên tục Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định (a, b) ⊂ R x0 ∈ (a, b) Ta nói hàm số liên tục x0 với dãy {xn }∞ n=1 , xn ∈ (a, b) cho lim xn = x0 ta có lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ n→∞ Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f (x), xác định (a, b), gọi liên tục x0 ∈ (a, b) lim f (x) = f (x0 ) Điều có nghĩa là: với số ε > 0, tồn x→x0 số δ = δ(ε) > cho với x ∈ (a, b) thỏa mãn < |x − x0 | < δ |f (x) − f (x0 )| < Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 Định nghĩa 1.1.3 Giả sử hàm số f xác định tập J, tập J khoảng hợp khoảng thuộc R Ta nói hàm số f liên tục J z liên tục điểm thuộc J Định nghĩa 1.1.4 Hàm số f (x) xác định đoạn [a, b] gọi liên tục [a, b] liên tục khoảng (a, b) liên tục phải a, liên tục trái b 1.1.2 Tính chất hàm số liên tục Ở mục trên, ta có cách xác định hàm số liên tục Tuy nhiên việc sử dụng định nghĩa lúc đơn giản Do vậy, người ta chứng minh tính chất hữu ích, giúp ta xác định nhanh hàm liên tục, sau: Các hàm sơ cấp như: hàm lũy thừa, hàm thức, hàm lượng giác, hàm logarít liên tục miền xác định chúng Giả sử f (x) g(x) hàm liên tục D ⊆ R Khi (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f ◦ g)(x) = f (g(x)) hàm liên tục D f (x) Giả sử g(x) 6= với x ∈ R, hàm liên tục Trong g(x) trường hợp ngược lại, liên tục tập xác định Một số tính chất khác hàm số liên tục: Định lý 1.1.5 (Định lý giá trị trung gian) Giả sử f (x) liên tục đoạn [a, b] Nếu f (a) 6= f (b) với số thực M nằm f (a) f (b) tồn c ∈ (a, b) cho f (c) = M Mệnh đề 1.1.6 Giả sử f (x) g(x) hai hàm xác định liên tục R Khi f (x) = g(x) với x ∈ Q f (x) ≡ g(x) R Chứng minh Với x ∈ R, ta xét dãy số hữu tỷ sn , n ∈ N thỏa mãn lim sn = x Do f (r) = g(r) với r ∈ Q nên f (sn ) = g(sn ) với n→+∞ n ∈ N Lấy giới hạn hai vế n → +∞, ý f (x) g(x) hai hàm liên tục, ta có lim f (sn ) = lim g(sn ) ⇒ f n→+∞ n→+∞ lim sn n→+∞ =g lim sn n→+∞ ⇒ f (x) = g(x) Với x ∈ R ta có f (x) = g(x) Hay f (x) = g(x) với x ∈ R z Nhận xét 1.1.7 Trong mệnh đề ta thay giả thiết f (x) = g(x) với x ∈ Q giả thiết f (x) = g(x) với x ∈ A, A tập hợp trù mật R Với định nghĩa tập hợp trù mật sau Định nghĩa 1.1.8 Tập A ∈ R gọi tập trù mật R ∀x, y ∈ R, x < y tồn a ∈ A cho x < a < y Ví dụ 1.1.9 Q tập trù mậttrong R m ... điệu hàm số, tính chất ánh xạ hàm số Chương Một số phương trình hàm Trình bày số phương trình hàm như: phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen ứng dụng chúng việc giải toán Chương Một số. .. Một số phương pháp giải phương trình hàm Trình bày số phương pháp giải phương trình hàm thơng dụng Ở phương pháp bắt đầu phương pháp giải, sau tốn, cuối tốn vận dụng Để hồn thành luận văn, trước... NỘI NGUYỄN NGỌC DIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - 2014