(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Phân tích hệ mật mã RSA và các biến thế của nó

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ -  - NGUYỄN THỊ NGỌC ANH PHÂN TÍCH HỆ MẬT MÃ RSA VÀ CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SĨ Hà Nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ -  - NGUYỄN THỊ NGỌC ANH PHÂN TÍCH HỆ MẬT MÃ RSA VÀ CÁC BIẾN THỂ CỦA NĨ Ngành: Cơng nghệ thơng tin Chun ngành: Hệ thống thông tin Mã số: 60 48 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.Lê Phê Đô Hà Nội - 2011 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com -3MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ TOÁN HỌC CỦA HỆ MẬT MÃ RSA 1.1 Mật mã 1.1.1 Giới thiệu chung mật mã 1.1.2 Một số thuật ngữ sử dụng hệ mật mã 1.1.3 Hệ mật mã 1.1.4 Hệ mật mã khóa bí mật 11 1.1.5 Hệ mật mã khóa cơng khai 12 1.2 Một số cơng cụ tốn học hỗ trợ 14 1.2.1 Một số khái niệm toán học 14 1.2.1.1 Số nguyên tố 14 1.2.1.2 Ước chung lớn bội chung nhỏ 14 1.2.1.3 Nguyên tố 15 1.2.1.4 Tập Zn Z n* 15 1.2.1.5 Hàm- Phi EULER 15 1.2.1.6 Quan hệ “Đồng dư” 15 1.2.1.7 Phân số liên tục (Continued Fraction) 16 1.2.2 Các định lý 18 1.2.2.1 Định lý Fermat 18 1.2.2.2 Định lý Euler 18 1.2.2.3 Định lý phần dư Trung Hoa 19 1.2.3 Các phép 19 1.2.3.1 Thuật toán Soloway – Trassen 19 1.2.3.2 Thuật toán Miller - Rabin 20 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH TỔNG QUAN HỆ MẬT MÃ RSA 21 2.1 Phân tích tổng quan RSA 21 2.1.1 Lịch sử RSA 21 2.1.2 Sơ đồ hệ mật mã RSA 21 2.1.3 An ninh RSA 25 2.1.3.1 Phân tích số nguyên lớn thành thừa số nguyên tố 26 2.1.3.2 Phá vỡ RSA 27 2.1.5 Ứng dụng RSA 28 Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com -42.1.5.1 Chữ ký điện tử 28 2.1.5.2 Một số ứng dụng khác RSA 30 2.2 Các biến thể RSA 30 2.2.1 CRT-RSA 30 2.2.1.1 Sơ đồ CRT-RSA 31 2.2.1.2 An ninh CRT-RSA 34 2.2.2 Multi-Prime RSA 34 2.2.2.1 Sơ đồ Multi-Prime RSA 35 2.2.2.2 An ninh Multi_Prime RSA 37 2.2.3 Multi-Power RSA 37 2.2.3.1 Takagi 's Scheme 38 2.2.3.2 An toàn Takagi’s Scheme 40 CHƯƠNG 3: TẤN CÔNG RSA VÀ CÁC BIẾN THỂ CỦA RSA 41 3.1 Tấn công vào RSA 41 3.1.1 Một số công vào RSA 41 3.1.1.1 Các công khai thác sai sót hệ thống 41 3.1.1.2 Tấn công lặp 43 3.1.2 Tấn công số mũ công khai nhỏ 44 3.1.2.1 Tấn công thông điệp theo khuôn mẫu 44 3.1.2.2 Tấn cơng thơng điệp có quan hệ 45 3.1.2.3 Sự rị rỉ thơng tin 46 3.1.3 Tấn cơng số mũ bí mật nhỏ 46 3.1.4 Tấn công biết số thơng tin khóa 49 3.2 Tấn công vào biến thể RSA 49 3.2.1 Tấn công CRT-RSA 49 3.2.1.1 Tấn công số mũ CRT nhỏ 50 3.3.1.2 Tấn công biết số thông tin số mũ CRT 51 3.2.2 Tấn công Multi-Prime RSA 51 3.2.2.1 Phân tích Modulus thành thừa số 51 3.2.2.2 Tấn cơng số mũ bí mật nhỏ 52 3.2.3 Tấn công Multi-power RSA (lược đồ Takagi) 53 3.2.3.1 Phân tích Modulus thành thừa số 53 3.2.3.2 Tấn công biết số thông tin số mũ CRT 53 Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -5CHƯƠNG 4: ĐÁNH GIÁ VÀ SO SÁNH HỆ MẬT MÃ RSA VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ 55 4.1 Đánh giá chi phí thời gian thuật tốn 55 4.1.1 Kiểm tra số nguyên tố phép tính lũy thừa modular 55 4.1.1.1 Kiểm tra số nguyên tố 55 4.1.1.2 Tính Lũy thừa modular 55 4.1.2 Đánh giá thuật tốn tạo khóa 56 4.1.2.1 Thuật tốn tạo khóa RSA chuẩn 57 4.1.2.2 Thuật toán tạo khóa CRT-RSA 57 4.1.2.2 Thuật tốn tạo khóa Multi-Prime RSA 57 4.1.2.3 Thuật tốn tạo khóa Takagi's Scheme 57 4.1.3 Đánh giá thuật toán mã hóa 57 4.1.3 Đánh giá thuật toán giải mã 58 4.1.3.1 Thuật toán giải mã chuẩn RSA 58 4.1.3.1 Thuật toán giải mã CRT-RSA 58 4.1.3.2 Thuật toán giải mã Multi-Prime RSA 58 4.1.3.3 Thuật toán giải mã Takagi's scheme 59 4.2 Đánh giá chi phí nhớ giải thuật giải mã 61 4.2.1 Thuật toán giải mã RSA chuẩn 61 4.2.2 Thuật toán giải mã CRT-RSA 61 4.2.3 Thuật toán giải mã Multi – Prime RSA 62 4.2.3.4 Thuật toán giải mã Tagaki's Schem 62 4.3 So sánh RSA biến thể 63 KẾT LUẬN 65 Kết luận 65 Hướng phát triển 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -6MỞ ĐẦU Hệ mật mã RSA phát minh Ron Rivest, Adi Shamin Leonard Adleman hệ mật mã khóa cơng khai biết đến sử dụng rộng rãi giới RSA sử dụng hàng triệu lần ngày internet Nó sử dụng web servers Browers nhằm đảm bảo an ninh đường truyền, sử dụng việc tạo khóa xác thực mail, truy cập từ xa, RSA hệ mật mã công khai sử dụng giao thức SSL (Transport Layer Secure Sockets Layer) giao thức TLS (Transport Layer Security) Ngày nay, RSA phát triển ứng dụng rộng rãi thương mại điện tử Đặc biệt, hạt nhân hệ thống toán điện tử Hơn 30 năm sau lần công bố công khai, RSA lĩnh vực nghiên cứu tích cực mật mã học Trong thực tế, có nhiều nghiên cứu trực tiếp liên quan đến hệ mật mã RSA Điển nghiên cứu May, Ritzenhofen Aono trình bày PKC năm 2009; nghiên cứu Aggarwal Maurer trình bày EUROCRYPT năm 2009 Các RSA gốc, theo SiteSeer, trích dẫn 2100 lần Ngay từ cơng bố lần đầu tiên, RSA phân tích hệ số an toàn nhiều nhà nghiên cứu Cho đến nay, nhà nghiên cứu tìm số phương pháp công RSA mối nguy hiểm tiềm ẩn RSA, mà sử dụng RSA người dùng cần cải thiện Thực tế, vấn đề thám mã hệ mật mã RSA nhà nghiên cứu tập trung khai thác sở hở RSA, cơng có tính chất tốn học khai thác cấu trúc RSA như: công số mũ công khai nhỏ, cơng số mũ bí mật nhỏ, cơng biết số thơng tin khóa, Trong năm gần đây, biến thể RSA quan tâm Đây hệ mật mã dựa RSA nhưng, nói chung, có hiệu so với RSA mặt Một số biến thể tiếng RSA như: CRT-RSA, Multi-Prime RSA, Multi-power RSA, Common prime RSA, Dual RSA, Ba biến thể CRT-RSA, Multi-Prime RSA, Multi-power RSA RSA, thiết kế để giảm thiểu chi phí giải mã Common prime RSA biến thể thiết kế để chống lại công mũ bí mật nhỏ Dual RSA phiên thiết kế để giảm bớt yêu cầu nhớ RSA Hệ mật RSA hệ mật khóa cơng khai sử dụng rộng rãi nay, việc phân tích, đánh giá RSA biến thể nó, đặc biệt việc nghiên Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -7cứu các phương pháp cơng để tìm điểm yếu hệ mật RSA biến thể RSA, từ tìm cách khắc phục vấn đề thời mặt lý thuyết thực tiễn Vì vậy, em chọn đề tài “ Phân tích hệ mật mã RSA biến thể nó” làm luận văn tốt nghiệp Nội dung luận văn trình bày số vấn đề sau: Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết toán học hệ mật mã RSA Chương giới thiệu sơ lược số khái niệm mật mã như: hệ mật mã, hệ mật mã khóa bí mật, hệ mật mã khóa cơng khai, số kiến thức toán học như: khái niệm về: số nguyên tố, số nguyên tố nhau, tập Zn Z n* , hàm Phi - EULER, quan hệ “Đồng dư”, phân số liên tục, ; định lý: định lý Fermat, định lý Euler, định lý số dư Trung Hoa số thuật toán Qua chương này, cho ta kiến thức tảng để hiểu rõ RSA biến thể Chƣơng II: Phân tích tổng quan hệ mật mã RSA biến thể RSA Chương phân tích tổng quan RSA số biến thể RSA như: CRT-RSA, Multi-Prime RSA, Multi-Power RSA mặt như: đặc điểm, sơ đồ, an toàn Chƣơng III: Tấn công RSA biến thể RSA Chương trình bày số cơng có tính chất tốn học, khai thác cấu trúc RSA biến thể nó, qua cho ta nhìn tổng quát công thuộc loại Đầu tiên, luận văn trình bày số cơng biết đến sớm vào RSA như: công modulus phổ biến, công Hastad's Broadcats, công lặp Sau đó, luận văn trình bày số cơng điển hình số trường hợp như: cơng số mũ công khai nhỏ, công số mũ bí mật nhỏ, cơng biết số thơng tin khóa Cuối cùng, luận văn trình bày số công vào biến thể RSA Chƣơng IV: Đánh giá so sánh hệ mật mã RSA với biến thể Chương thực đánh giá so sánh tốc độ khơng gian nhớ sử dụng thuật tốn RSA biến thể: CRT-RSA, Multi-Prime RSA, Multi-Power RSA Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -8CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ TOÁN HỌC CỦA HỆ MẬT MÃ RSA Chương trình bày số khái niệm mã hóa thơng tin, thành phần hệ mật mã, hệ mật mã khóa đối xứng, hệ mật mã khóa bất đối xứng số khái niệm, định lý toán học làm sở để hiểu hệ mật mã RSA 1.1 Mật mã 1.1.1 Giới thiệu chung mật mã * Khái niệm mật mã [11]: M ) hiệu * Lịch sử mật mã: Có thể nói, mật mã có khoảng 4000 năm lịch sử, điều minh chứng cổ vật mà nhà khảo cổ thời cổ đại tìm Những người Ai Cập khắc mã hình vẽ lên ngơi mộ để tỏ lịng tơn kính người chết, chữ tượng hình dạng mã hóa đơn giản Khoảng 400 năm trước công nguyên, người Spactơ sử dụng hệ thống mã hóa thơng tin cách viết thông điệp lên gậy quyền trượng có băng giấy cói quấn quanh Thơng điệp viết theo cách thức thông thường từ trái sang phải từ xuống Khi băng giấy tháo khỏi quyền trượng, thông điệp trở thành dãy kí tự ngẫu nhiên Người Hi Lạp cổ đại sử dụng cách để trao đổi thông tin quân Khi nhận mã, đội quân Hi Lạp quấn mảnh giấy lên quyền trượng có đường kính chiều dài phù hợp dãy kí tự ngẫu nhiên biến thành thơng điệp hiểu Người ta cho rằng, người áp dụng mật mã cách có hệ thống để đảm bảo bí mật thơng tin qn nhà qn thiên tài La Mã cổ đại, Hoàng đế Julirs Caesar Caesar sử dụng phép mã thay quân sự, ký tự thay ký tự đứng sau vị trí bảng chữ alphabet Người xưa thường che dấu thông tin mã hiệu dạng, phương pháp che dấu thơng tin mà đối phương không phát được, cách biến đổi mã hiệu thành dạng cơng khai khó nhận biết nội dung Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -9Mã khối xem xuất vào năm đầu kỷ XX, với đời hệ mã British Playfair vào năm 1954, khối cặp chữ Hệ mã tích hợp (Product cipher) sử dụng sớm quân đội Đức Đại chiến giới lần thứ I, mang tên ADFGVX Trong Đại chiến Thế giới lần thứ II, người ta thấy hệ mã tích hợp an tồn Tuy nhiên, hệ mã ADFGVX có điểm yếu Chính vậy, hệ mã tích hợp khác, phức tạp hơn, sử dụng Đại chiến thứ II, ENIGMA Sự đời hệ mã Lucifer(1974) sau cải tiến thành hệ chuẩn mã liệu DES (1975) Tiếp sau đó, đời hệ mã với khóa cơng khai vào cuối năm 70 kỷ vừa qua , 1.1.2 Một số thuật ngữ đƣợc sử dụng hệ mật mã (1) Bản rõ (plaintext) Chứa xâu ký tự gốc đọc được, thơng tin rõ thơng tin cần mã hố để giữ bí mật (2) Bản mã (ciphertext) Chứa ký tự sau mã hoá, mà nội dung giữ bí mật (“khó” đọc được) (3) Mật mã học (Crytography) Là nghệ thuật khoa học để giữ thơng tin an tồn (4) Mã hố (Encryption) Mã hóa q trình chuyển thơng tin đọc ( rõ) thành thơng tin “khó” đọc theo cách thơng thường ( mã ) (5) Giải mã (Decryption) Quá trình biến đổi mã thành rõ gọi giải mã Trong phần có tham khảo tài liệu [2], [3] 1.1.3 Hệ mật mã Việc mã hoá phải theo quy tắc định, quy tắc gọi Hệ mật mã Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -10Hệ mật mã định nghĩa năm (P, C, K, E, D), đó: - P: tập hữu hạn rõ - C: tập hữu hạn mã - K: tập hữu hạn khố - E: tập hàm lập mã - D: tập hàm giải mã Với khóa lập mã ke K, có hàm lập mã ek Với khóa giải mã kd K, có hàm giải mã d k d k d (eke ( x))  E, e x, x D, d eke : P d kde : C C P , cho: P Vai trò hệ mật mã: Hệ mật mã phải thực vai trò sau: - Hệ mật mã phải che dấu nội dung văn rõ để đảm bảo cho người chủ hợp pháp thơng tin có quyền truy cập thơng tin, hay nói cách khác chống truy nhập khơng quyền hạn - Tạo yếu tố xác thực thông tin, đảm bảo thông tin lưu hành hệ thống đến người nhận hợp pháp xác thực - Tổ chức sơ đồ chữ ký điện tử, đảm bảo khơng có tượng giả mạo, mạo danh để gửi thông tin mạng Ưu điểm lớn hệ mật mã là: đánh giá độ phức tạp tính tốn mà “kẻ địch” phải giải tốn để lấy thơng tin liệu mã hố Tuy nhiên, hệ mật mã có số ưu nhược điểm khác nhau, nhờ đánh giá độ phức tạp tính tốn mà ta áp dụng thuật toán mã hoá khác cho ứng dụng cụ thể tuỳ theo độ yêu cầu độ an tồn  Phân loại hệ mật mã: Có nhiều loại hệ mật mã tùy theo cách phân loại Phân loại hệ mật mã dựa vào tính chất đối xứng khóa có hai loại là: - Hệ mật mã khóa đối xứng ( Hệ mật mã khóa bí mật) - Hệ mật mã khóa bất đối xứng (Hệ mật mã khóa cơng khai) Mỗi hệ mật mã có ưu điểm, khuyết điểm riêng Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -53Định lý 3.13: Với ε > r ≥ tồn n0 để với n > n0, ta gọi: N modulus r-prime RSA n – bít với số nguyên tố cân bằng, e số mũ công khai d = N δ số mũ bí mật tương ứng Cho khóa công khai 1≤ v ≤ r-2 số số nguyên tố thừa số N, v r modulus N bị phân tích thời gian đa thức n Nhận xét: Ràng buộc số mũ bí mật cơng rộng cơng với số mũ bí mật nhỏ Multi-prime RSA (với nhiều số nguyên tố modulus) Thậm chí, biết số nguyên tố, với số mũ bí mật < N1/r khơng an tồn 3.2.3 Tấn cơng Multi-power RSA (lƣợc đồ Takagi) 3.2.3.1 Phân tích Modulus thành thừa số Tương tự RSA Multi-prime RSA, modulus Multi-power RSA bị phân tích khi biết số gợi ý Cũng giống Multi-prime RSA, công trình bày trường hợp suy từ "tấn cơng phân tích thành thừa số với số gợi ý" RSA Định lý 3.14 [10]: Cho N = pb-1q (b≥ 2, p q số nguyên tố cân bằng) Nếu biết 1/b bít có ý nghĩa ý nghĩa p, biết (b-1)/b bít có ý nghĩa ý nghĩa q, N phân tích thời gian đa thức log N 3.2.3.2 Tấn công biết số thông tin số mũ CRT Khi số mũ công khai nhỏ N (b 1) / b biết số bít có ý nghĩa khơng có ý nghĩa số mũ CRT modulus phân tích thời gian đa thức Gốc công công May biết số bít có ý nghĩa dp Định lý 3.15 [10]: Gọi N= pb-1q modulus n-bit với số nguyên tố cân ( b≥ 3), e N N (b 1) / b số mũ công khai cho lược đồ Takagi, dp dq số mũ CRT thỏa mãn edp≡1(mod p-1) edq≡1(mod q-1) Cho d p để: b dp dp N b2 , Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -54Hoặc d q để: dq dq N b2 Modulus bị phân tích thời gian đa thức n Nhận xét: Tấn công công suy rộng từ công biết số thơng tin số mũ bí CRT (trong phần công CRT-RSA) Tuy nhiên, không giống cơng CRT- RSA, số bít cần biết cơng phụ thuộc vào bít biết dp hay dq Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -55CHƢƠNG 4: ĐÁNH GIÁ VÀ SO SÁNH HỆ MẬT MÃ RSA VỚI CÁC BIẾN THỂ CỦA NÓ 4.1 Đánh giá chi phí thời gian thuật tốn Để đánh giá chi phí thời gian (độ phức tạp thuật toán) thuật toán tạo khóa, mã hóa giải mã RSA biến thể nó, ta xét hai mặt sau: - Thứ là: chi phí tính tốn cho tạo số nguyên tố - Thứ hai là: phép tính lũy thừa modular chúng có ảnh hưởng lớn thuật toán 4.1.1 Kiểm tra số nguyên tố phép tính lũy thừa modular 4.1.1.1 Kiểm tra số nguyên tố Sử dụng cách Miller-Rabin, kiểm tra số nguyên tố ngẫu nhiên n-bit với thời gian chạy O(n4/ log(n) + tn3) [14] Phương pháp có nhược điểm là: đưa hợp số thay số nguyên tố với xác suất tối đa 4-t Đối với modulus lớn tính tốn với chi phí cao Có nhiều thuật toán kiểm tra số nguyên tố nhanh, khơng thuật tốn cải thiện đáng kể ràng buộc 4.1.1.2 Tính Lũy thừa modular Cho số mũ B (b-bit) modulus N (n-bit), ta xét lũy thừa đồng dư: XB mod N, với X ZN Có nhiều thuật tốn tính lũy thừa modular khác nhau, quan trọng phức tạp tính tốn giảm tính số lượng phép nhân modular Giả sử, ta sử dụng phương pháp nhân bình phương (Square – and – multiply) sau:  Thuật toán 2.1: Square – and –multiply [8]: - Input: N, x, B (B b i Bi 2i ) - Output: xB mod N - Thuật toán: z=1 For i = b-1 downto Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -562.1 z = z2 mod N 2.2 If Bi = then z = (z.x) mod N Retun (z) Ví dụ: Giả sử có N = 114113 B = 3533 Để thực mã hóa số 9726 ta cần tính: 97263533 mod 11413 Sử dụng thuật tốn Square – and – Multiply ta tính sau: i 11 10 Bi 11 1 1 0 1 z 12 = 9726 97262 * 9726 = 2659 26592 = 5634 56342 * 9726 = 9167 91672 * 9726 = 4958 49582 * 9726 = 7783 77832 = 6298 62982 = 4629 46292 * 9726 = 10185 101852 * 9726 = 105 1052 = 11025 110252 * 9726 = 5761 Trong thuật toán trên, bước lặp i thực hiện: - phép nhân - phép lũy thừa bình phương Khi số bit số bit dãy B tương đương có: - Trung bình có 1/2 phép nhân bước lặp (bước 2.2) - phép bình phương bước lặp (trong bước 2.1) Do có khoảng b phép nhân Nói chung, số phép nhân modulo cần tỉ lệ thuận với độ dài bit ( lenghtbit) số mũ, trừ ta lấy số mũ với tính tốn trước lưu trữ giá trị Khi so sánh chi phí tính tốn phép tính lũy thừa modular với modulus khác nhau, tổng chi phí phép nhân modular phải xem xét Gọi M(n) độ phức tạp phép nhân modular với số bị nhân có độ lớn n-bit modulus n-bit Ở đây, M(n) thể tổng số bít hoạt động thực phép nhân modular Chi phí tính tốn XB mod N là: bM (n) 4.1.2 Đánh giá thuật tốn tạo khóa Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -574.1.2.1 Thuật tốn tạo khóa RSA chuẩn Thuật tốn sinh khóa RSA cần phải sử dụng số nguyên tố ngẫu nhiên, có kích thước Đối với modulus N, số ngun tố cần sử dụng có kích thước khoảng N1/2 4.1.2.2 Thuật toán khoá CRT-RSA Thuật toán sinh khóa CRT-RSA giống hệt RSA chuẩn Vì vậy, thời gian sinh khóa cho CRT-RSA thời gian sinh khóa RSA 4.1.2.2 Thuật tốn tạo khóa Multi-Prime RSA Thuật tốn sinh khóa cho Multi-Prime RSA cần phải tạo r số nguyên tố ngẫu nhiên, có kích thước Đối với modulus N, số ngun tố cần tạo có kích thước khoảng N1/r Vì thuật tốn kiểm tra tính ngun tố tỉ lệ thuận với kích thước số nguyên tố, nên độ phức tạp để tạo tất số nguyên tố (n/r)-bit cho Multi-Prime RSA thấp so với tạo hai số nguyên tố (n /2)-bit cho RSA Sự khác biệt xác lần sinh khóa phụ thuộc vào thuật tốn cụ thể sử dụng để thực phép toán số học Nhìn chung, q trình tạo khóa cho Multi-Prime RSA giảm với gia tăng số lượng số nguyên tố so với RSA CRT-RSA 4.1.2.3 Thuật tốn tạo khóa Takagi's Scheme Đối với modulus kích thước định, Takagi'scheme cần sử dụng hai số nguyên tố ngẫu nhiên kích thước N1/b thay hai số ngun tố ngẫu nhiên kích thước N1/2 RSA Vì tạo số nguyên tố ngẫu nhiên tỉ lệ thuận với kích thước số nguyên tố, điều làm giảm thời gian sinh khóa Takagi's Scheme Chú ý rằng, điều kiện bổ sung số mũ công khai gcd(e,p) = không quan trọng chọn số mũ công khai nhỏ Đặc biệt, sử dụng số mũ công khai nhỏ nhiều so với N1/b luôn đảm bảo gcd (e, p) = Như vậy, phức tạp việc tạo modulus n-bit cho Takagi's Scheme tương đương với tạo modulus (2n / b)-bit cho RSA Do đó, q trình tạo khóa Takagi's Scheme giảm so với RSA CRT-RSA 4.1.3 Đánh giá thuật tốn mã hóa Thuật tốn mã hóa RSA chuẩn biến thể RSA là: CRTRSA, Multi-Prime RSA Takagi's scheme giống nhau: c = md mod N Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -58Do vậy, chi phí giải mã hệ mật mã 4.1.3 Đánh giá thuật toán giải mã 4.1.3.1 Thuật toán giải mã chuẩn RSA Trong phần trình bày 4.1.1.2, ta gọi M(n) độ phức tạp phép nhân modulo với số bị nhân có độ lớn n-bit modulus n-bit Ở đây, M(n) thể tổng số bít hoạt động thực phép nhân modulo Ta xét RSA với modulus n-bit số mũ bí mật d N Giả sử số mũ bí mật có số bít bit dãy biểu diễn nhị phân tương đương, độ phức tạp giải mã chuẩn RSA là: nM(n ) 4.1.3.1 Thuật toán giải mã CRT-RSA Đối với giải mã CRT, độ phức tạp bị chi phối hai lũy thừa modular cho phần giải mã mp mq Giả định rằng, nghịch đảo p-1 mod q tính tốn trước sử dụng thuật tốn Garner Các số mũ CRT xấp xỉ khoảng N d , với số < δp ≤ ½ Giả sử mũ CRT có số bít bít 1tương đương dãy biểu diễn nhị phân nó, độ phức tạp giải mã CRT là: p p n nM ( ) Vì vậy, việc giải mã CRT - RSA nhanh so với giải mã chuẩn RSA theo tỉ số: p M ( n) n M( ) Vì phức tạp M(n) coi tuyến tính bậc hai, tăng tốc độ nằm khoảng (δ/ δp, δ/δp) [10] Nếu phần giải mã CRT thực song song, hệ số tăng lên gấp hai lần 4.1.3.2 Thuật toán giải mã Multi-Prime RSA  Khi giải mã chuẩn sử dụng: Chi phí thời gian giải mã tương đương với RSA chuẩn Như vậy, lợi ích sử dụng Multi-Prime RSA với RSA chuẩn giảm chi phí tạo khóa  Khi giải mã với định lý phần dư Trung Hoa: Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -59Chi phí giải mã cho Multi-Prime RSA thấp chi phí giải mã với CRTRSA Các chi phí chủ yếu thuật tốn giải mã chi phí cho r phần giải mã Dựa theo lập luận phần 2.4, chi phí để giải mã khoảng: r ' n nM( ) r số mũ CRT có kích thước N với modulus n-bit Ở đây, ta giả sử số lượng bit bit dãy biểu diễn nhị phân số mũ CRT tương đương Trong chi phí giải mã CRT-RSA là: ' p n nM( ) Điều cho thấy, chi phí giải mã Multi- Prime RSA ln thấp so với chi phí giải mã CRT-RSA Ta xét hai trường hợp Multi-Prime RSA cách chi tiết sau: - Trường hợp 1: số mũ công khai bé sử dụng Khi số mũ công khai bé sử dụng, số mũ CRT có kích thước đủ lớn Vì vậy, thay δ' 1/r cho Multi-Prime RSA 1/2 cho CRT-RSA Trong trường hợp này, tỷ lệ chi phí giải mã CRT-RSA Multi-Prime RSA là: M(n/2) / M(n/r) Vì phức tạp M(n) biến đổi theo phương trình tuyến tính bậc hai, tỉ lệ nằm khoảng (r/2, r2/4] Như vậy, giải mã Multi-prime RSA nhanh CRT-RSA khoảng r/2 lần Trong thực tế, Boneh Shacham so sánh tốc độ giải mã Multi-Prime RSA (với r=3) CRT-RSA với modulus 1024-bit Kết thử nghiệm cho thấy giải mã Multil-Prime RSA nhanh giải mã CRT-RSA 1.73 lần [6] Tỉ lệ nằm phạm vi dự đoán (r/2, r2/4]=(1.5, 2.25] (với r = 3) - Trường hợp 2: số mũ CRT bé sử dụng Tỷ lệ chi phí giải mã cho CRT-RSA Multil-Prime RSA là: 2M(n/2) / (rM(n/r)) Vì M(n) biến đổi theo phương trình tuyến tính bậc hai, tỷ lệ nằm khoảng (1, r/2] 4.1.3.3 Thuật toán giải mã Takagi's scheme Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -60Trong thuật toán 2.3, ta thấy phần giải mã theo modulo p nâng lên thành phần giải mã theo modulo pb-1 Về bản, thuật toán giải mã tính tốn phần giải mã mp phần giải mã mq, sử dụng thuật tốn 2.3 để tính tốn mbp sau kết hợp với mq thuật toán Garner để phục hồi rõ Chú ý phức tạp thuật toán 2.3 phụ thuộc vào kích thước số mũ cơng khai Đặc biệt, lũy thừa modulo với số mũ e cần phải thực bước Tuy nhiên, cách sử dụng số mũ công khai nhỏ (e = 216 +1), loại bỏ phụ thuộc Ngoài ra, giả định p-1 mod q e-1 mod p tính tốn trước cung cấp đầu vào bổ sung cho thuật tốn, phức tạp thuật toán chủ yếu phụ thuộc vào lũy thừa modulo bước Do đó, phức tạp thuật tốn giải mã phụ thuộc chủ yếu vào hai lũy thừa modulo để tính tốn phần giải mã mp mq Vì số mũ cơng khai nhỏ, nên số mũ CRT có kích thước đủ lớn dp, dq ≈ N1/b Theo lý luận phần hiệu CRT-RSA, dự kiến chi phí giải mã Takagi's Scheme với modulus n-bit là: 3n n M( ) 2b b Điều dẫn đến, thời gian giải mã Takagi's Scheme nhanh thời gian giải mã CRT-RSA sử dụng số mũ công khai nhỏ theo tỉ lệ b M ( n / 2) , M ( n / b) Vì phức tạp M(n) biến thiên theo phương trình tuyến tính bậc hai, nên tỉ lệ nằm khoảng: b 2 , b Trong bảng 2.2, ta so sánh thuật toán giải mã CRT-RSA, MultiPrime RSA Takagi's Scheme RSA Sự so sánh dựa số mũ lũy thừa modulo kích thước modulus cho lũy thừa với modulus n-bit Cho r = b, giả sử tính tốn thực nối tiếp, giải mã Takagi's Scheme dự kiến nhanh r/2 lần so với giải mã Multi-Primne RSA Khi tính tốn song song, chi phí chi phối modulo lũy thừa n/b-bit chi phí giải mã gần Tuy nhiên, phải thêm phần tính tốn Hensel lifting, nên phương pháp giải mã Takagi chậm so với Multi-Prime RSA Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -61Với modulus 1024-bit, Takagi thực so sánh thời gian giải mã cho lược đồ ông (với N = p2q) Multi-prime RSA (với N = p1p2p3) Đối với việc thực nối tiếp, giải mã Takagi's Scheme nhanh 3/2= 1.5 lần (cho r = b = 3) giải mã Multi-Prime RSA Việc so sánh thời gian giải mã dựa vào việc Tagaki's Scheme sử dụng số mũ công khai nhỏ số mũ CRT cho tất biến thể có kích cỡ đủ lớn Tuy nhiên, thời gian giải mã cho CRT-RSA Multi-Prime RSA giảm đáng kể sử dụng số mũ CRT nhỏ Sử dụng số mũ CRT nhỏ Takagi's Scheme số mũ cơng khai có kích thước đủ lớn e≈N2/b điều làm tăng chi phí giải mã (bước thuật tốn 2.3) Phần tham khảo tài liệu [10], [15] 4.2 Đánh giá chi phí nhớ giải thuật giải mã Để đánh giá chi phí nhớ, ta dựa tổng số bit dành cho tham số giải thuật với giả thiết: - modulus N có kích thước n-bits - Các số ngun tố modulus có kích thước tương đương 4.2.1 Thuật tốn giải mã RSA chuẩn Tham số Số bit Tổng số bit c, m, n, d n 4n 4n Tổng 4.2.2 Thuật toán giải mã CRT-RSA Tham số c, m,n p, q, dq, dq, p-1 mod q mp, mq , cp, cq thuật toán Garner Số bit Tổng n 3n n/2 Tổng 10 n/2 8n Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -624.2.3 Thuật toán giải mã Multi – Prime RSA Tham số Số bit Tổng số bit n 3n d1, d2, , dr n/r n p1, p2, , pr n/r n n n( r-1) m1, m2, , mr n/r n c1, c2, , cr n/r n n( 1+1/r) n(1+1/r) c, m, n Tìm nghịch đảo: A2, A3, ,Ar Thuật toán Garner Tổng n( r + + 1/r) 4.2.3.4 Thuật toán giải mã Tagaki's Scheme Tham số Số bit Tổng số bit n 3n p,q, dp, dq n/b 4n/b (p*p)-1 mod q, e-1 mod p n/b 2n/b Pb (b-1) n/b n - n/b V n/b n/b cp, mp (b-1)n /b 2n -2n/b cq, mq n/b 2n/b Hensel 4(b-1)n/b 4n-4n/b c, m, n Tổng 11n+2n/b Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -634.3 So sánh RSA biến thể Từ phân tích, đánh giá trên, ta rút so sánh q trình: tạo khóa, mã hóa, giải mã sau: (1) Q trình tạo khóa : Số ngun tố cần tạo Modulus N Kích thước số nguyên tố RSA N = pq n/2 CRT-RSA N=pq n/2 Bằng RSA Multi-Prime RSA r N=p1p2 pr n/r Nhanh RSA N=pb-1q n/b Nhanh RSA Hệ mật mã Multi – Power RSA (Takagi' Scheme) Tốc độ (Modulus N có độ dài n bits) (2) Q trình mã hóa: Hệ mật mã Thuật toán Tốc độ CRT-RSA Giống RSA Bằng RSA Multi-Prime RSA Giống RSA Bằng RSA Giống RSA Bằng RSA Multi – Power RSA (Takagi' Scheme) (3) Quá trình giải mã: Hệ mật mã RSA chuẩn CRT-RSA Multi-Prime RSA Multi – Power RSA (Takagi' Scheme) Thuật tốn Khơng dùng định lý phần dư Trung Hoa Dùng định lý phần dư Trung Hoa Bộ nhớ Tốc độ nM(n ) n p nM( ) 2 (nhanh RSA) ị ầ - Không dùng đ nh lý ph n d Giống RSA ' n Trung Hoa r nM( ) - Dùng định lý phần dư Trung r Hoa (nhanh RSA) 3n n M( ) - Dùng định lý phần dư Trung 2b b Hoa (nhanh h n RSA) 4n 8n n( r + + 1/r) 11n + 2n/b Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -64(4) Số mũ modulo cho thuật toán giải mã: Hệ mật mã RSA chuẩn CRT-RSA Multi-Prime RSA Multi – Power RSA (Takagi' Scheme) r Kích thƣớc modulus với số mũ n n/2 n/r b n/b Số mũ Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -65KẾT LUẬN Kết luận RSA hệ mật mã khóa cơng khai biết đến đầu tiên, áp dụng rộng rãi, phổ biến nhiều nhà khoa học quan tâm nhiên cứu Với đề tài: " Phân tích hệ mật mã RSA biến thể nó", sau thời gian nghiên cứu, luận văn hoàn thành với kết đạt sau: - Tìm hiểu, phân tích tổng quan RSA biến thể: CRT- RSA, MultiPrime RSA, Multil-Power RSA (Takagi' s Scheme) nghiên cứu số kẽ hở công - Tập trung nghiên cứu cơng điển hình có tính chất tốn học, khai thác cấu trúc RSA biến thể Từ đó, tìm hiểu cách khắc phục sử dụng trường hợp cụ thể - Đánh giá, so sánh thuật tốn tạo khóa, mã hóa, giải mã RSA biến thể Hƣớng phát triển - Tiếp tục nghiên cứu sâu rộng phương pháp công RSA biến thể - Làm thực nghiệm để so sánh RSA biến thể - Nghiên cứu xây dựng chương trình ứng dụng biến thể RSA vào toán thực tế Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no -66TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Đình Diệu (2002), Lý thuyết mật mã an tồn thơng tin, Đại học quốc gia Hà Nội [2] Trịnh Nhật Tiến (2006), Giáo trình an tồn liệu, Đại học công nghệ Đại học quốc gia Hà Nội [3] Giáo trình an tồn bảo mật thơng tin, Đại học giao thơng [4] (2008),Giáo trình an tồn bảo mật liệu, mơn khoa học máy tính, khoa cơng nghệ thông tin, trường Đại học Hàng Hải Tiếng Anh [5] M Ali-Al-Mamun, M.m.Islam, S.M.M.Romman, and A.H.S.U.Ahmad (2008), Performance evaluation of several efficient RSA variants, IJC-SNS: International Journal of Computer Science and Network Security [6] D.Boneh, H.Shacham (2002), Fast variants of RSA, CryptoBytes [7] Glenn Durfee (2002), Cryptanalysis using algebraic and lattice methods, A dissertation submitted to the department of computer science and the committee on graduate studies of stanford university [8] Lucian Ilie (2006), Cryptography and Security, CS413b-634b [9] M.Jason Hinek (2007), On the Security of Some Variants of RSA, PhD thesis, University of Waterloo [10] M.Jason Hinek (2009), Cryptanalysis of RSA and its variants, CRC Press [11] A.J.Menzes, P.C van Oorshot, and S.A.Vanstone (1996), Handbook of Applied Cryptography, CRC Press [12] S.Sarkar and S.Maitra (2009), Partial key exposure attacks on RSA and its variant by guesing a gew bits of one of the prime factors, To appar in BKMS, the Bulletin of Korean Mathematical Society [13] R.Schoof (2008), Four primality testing algorithms, In J.P Buhler and P.Stevenhagen, editors, Algorithmic Number Theory, volume 44 of MSRI Publications, Cambridge University press [14] V.Shoup (2005), A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University press Nguyễn Thị Ngọc Anh – K16 – HTTT1 (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no (LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no(LUAN.VAN.THAC.SI).Phan.tich.he.mat.ma.RSA.va.cac.bien.the.cua.no