Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: 0 1 ( ) , n n n a x x = − n a R là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: 0 1 : ( ) hoäi tuï n n n D x R a x x = = − Không mất tính tổng quát ta chỉ xétChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: 0 1 ( ) , n n n a x x = − n a R là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: 0 1 : ( ) hoäi tuï n n n D x R a x x = = − Không mất tính tổng quát ta chỉ xétChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: 0 1 ( ) , n n n a x x = − n a R là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: 0 1 : ( ) hoäi tuï n n n D x R a x x = = − Không mất tính tổng quát ta chỉ xétChuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: 0 1 ( ) , n n n a x x = − n a R là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: 0 1 : ( ) hoäi tuï n n n D x R a x x = = − Không mất tính tổng quát ta chỉ xét
CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: an ( x − x0 ) n =1 n , an R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: n D = x R : an ( x − x0 ) hội tụ n =1 Khơng tính tổng qt ta xét an X n =1 n , Định lý Abel Neáu an x hội tụ x0 hội tu n n =1 tuyệt đối ( − x0 , x0 ) Hệ quả: Neáu an x phân kỳ x0 phân kỳ n =1 n tai moi x − x0 , x0 Chứng minh định lý Neáu n n a x hộ i tụ tạ i x lim a x n n =0 n→ n =1 M : an x0n M , n an x = n n =0 n an x0 x x0 n x x M x0 x0 n hội tụ n =0 n x x ( − x0 , x0 ) : x0 an x n hội tụ Bán kính hội tụ Số R >0 cho n x a n hoäi tụ ( − R, R ) n =1 phân kỳ bên − R, R gọi bán kính hội tụ chuỗi ( − R, R ) gọi khoảng hội tụ chuỗi Vậy biết BKHT miền hội tụ chuỗi cần xét thêm R Trường hợp chuỗi tổng quát an ( x − x0 ) n n =1 Soá R >0 cho n a ( x − x ) hội tụ n n =1 ( x0 − R, x0 + R ) phân kỳ bên x0 − R, x0 + R gọi bán kính hội tụ chuỗi Khoảng hội tụ: ( x0 − R, x0 + R) Cách tìm bán kính hội tụ Tính = lim n→ n an 0, = + R = , + +, = an +1 = lim n→ an (BKHT) R = : MHT =0 ( hoặc x0 cho chuỗi TQ ) R = : MHT = ( −, + ) Lưu ý Có thể tính bán kính hội tụ sau: R = lim n→ n an hay R = lim x → an +1 an Trường hợp R = hay R = , khơng gọi bán kính hội tụ gọi tạm cho dễ sử dụng Ví dụ (−1)n n / Tìm miền hội tụ x n =1 n (−1)n an = n n R = lim = lim n = n→ n a n→ n Khoảng ht: (−1,1) (−1)n x = : chuỗi trở thành , ht theo tc L n =1 n x = −1: chuỗi trở thành , phân kỳ n =1 n Vậy miền hội tụ là: D = ( −1,1 (n!)2 n / Tìm bán kính hội tụ: x n =1 (2n)! an R = lim n→ an +1 (n!)2 an = (2n)! (n!) (2n)! = lim n→ ( n + 1)!2 (2n + 2)! (2n + 1)(2n + 2) = lim =4 n→ (n + 1) n n+3 b) ( x − 1) n=1 2n + n Khoảng hội tụ: R=2 (1 − 2,1 + ) = ( −1,3) x = −1 n n n+3 2n + ( −2 ) = ( −1) = an n=1 2n + n=1 2n + n=1 n 2n + 1 2n + n n an → Chuỗi pk theo đk cần n n+3 ( x − 1) n=1 2n + n x=3 n + n + n = = an n=1 2n + n=1 2n + n=1 an → n n Chuỗi pk theo đk cần MHT : D = ( −1,3) c) ( x + 5) n2 n R=0 n =0 Chuỗi hội tụ tại: x = −5 2n 3n n+1 d ) n + x n n=1 2n.n + 9n n+1 = x n n n=1 R= x=− n + − n n n=1 n n n n ( −1)n = − + n n=1 HT HT HT x= n + n n n=1 n n n n = + n =1 n HT 1 MHT : D = − , 3 HT HT ( x − 8) 2n n =1 ( n !) e) n R = + MHT : D = ( −, + ) Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau: a) f ( x ) = sin x b) f ( x ) = c) f ( x ) = ( − x ) ln (1 − x ) 2x d ) f ( x) = 3+ x 2x (1 − x ) Hướng dẫn a) f ( x ) = sin x = (1 − cos x ) 2n n ( 2x) = 1 − ( −1) n=0 ( 2n )! b) f ( x ) = 2x (1 − x ) −2 )( −3) ( ( −2 )( −3)( −4 ) = x 1 − ( − x ) + (−x) + (−x) + 2! 3! = x (1 + x + 3x + x + ĐKKT: − x ( −1,1) + ( n + 1) x + n ) c) f ( x ) = ( − x ) ln (1 − x ) = ( − x ) ( −1) n−1 ( −2 x ) n n n=1 n+1 n n n+1 = ( −2 x + x ) n=1 n n+1 −2 x n = x + n n=1 n=2 n − n −1 n −1 −2 x Tìm khai triển Taylor hàm số sau: a) f ( x ) = , x0 = x −1 b) f ( x ) = sin x, x = c) f ( x ) = arctan x − , x = 4 Tính tổng chuỗi lũy thừa sau: xn 1) n=1 n ( n + 1) n ( x + 3) 2) (n + 1)! n=1 n−1 Tính tổng chuỗi số sau: 1) ( −3) n=1 2) n ( −1) n n! n=1 n 3) (n + 1)! ( −3) n=1 n (2n + 1)! CHUỖI TAYLOR Nhận xét: chuỗi đạo hàm chuỗi lũy thừa có khoảng htụ với chuỗi ban đầu nên tổng chuỗi lũy thừa hàm khả vi vô hạn khoảng htụ f ( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + f ( x) = a1 + 2.a2 ( x − x0 ) + 3.a3 ( x − x0 ) + f ( n) ( x) = n!an + (n + 1)!an+1( x − x0 ) + + an ( x − x0 )n + f ( x0 ) = a0 , f ( x0 ) = a1, f ( x0 ) = 2!a2 , (n) f ( x0 ) = n!an , a0 = a2 = an = f ( x0 ), a1 = f ( x0 ) f ( x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) , n! ,