CHUỖI LŨY THỪA

CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng 0 1 ( ) ,nn n a x x ∞ = −∑ na R∈ là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp 0 1 ( )nn n E x R a x x[.]

CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng: ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =1 n , an ∈ R giá trị cho trước Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập hợp: ∞   n E =  x ∈ R : ∑ an ( x − x0 ) hộ i tụ n =1   Định lý Abel ∞ Nế u ∑ an x hộ i tụtại x0 ≠ hộ i tu & n =1 n tuyệ t đố i ( − x0 , x0 ) Hệ quả: ∞ n Neá u ∑ an x phâ n kỳtại x0 phâ n kỳ n =1 tai moi x ∉ [ − x0 , x0 ] & & ∞ n a ( x − x ) x cụ thể n Xét chuỗi ∑ , với giá trị n =1 chuỗi trở thành chuỗi số ( có dấu bất kỳ) Xét chuỗi TTĐ: ∞ ∞ ∑ A = ∑ a (x − x ) n =1 n n n =1 ∞ Nhắc lại: Hai chuỗi ∞ ∑a , ∑ a n =1 n n n =1 n hội tụ phân kỳ theo tiêu chuẩn C-D Tiêu chuẩn Cauchy: D = lim n An = lim n | an |.| x − x0 | n→∞ n→∞ Chuỗi hội tụ: D < ⇒ x − x0 < = R ⇒ x0 − R < x < x0 + R lim n | an | n→∞ Chuỗi phân kỳ: D > ⇒ x < x0 − R or x > x0 + R D = ⇒ x = x0 ± R Chưa biết nên phải xét riêng Bán kính hội tụ Số R = lim > gọi bán kính hội tụ n→∞ n | a | n chuỗi ng hoä i tụcủ a chuỗ i ( x0 − R, x0 + R ) gọi làkhoả Vậy biết BKHT miền hội tụ chuỗi cần xét thêm x0 ± R Tiêu chuẩn D’ALEMBERT: An+1 an+1 D = lim = lim | x − x0 | n→∞ A n→∞ a n n Chuỗi hội tụ: an D < ⇒ x − x0 < lim = R ⇒ x0 − R < x < x0 + R n→∞ a n +1 Chuỗi phân kỳ: D > ⇒ x < x0 − R or x > x0 + R D = ⇒ x = x0 ± R Chưa biết nên phải xét riêng Bán kính hội tụ Số an R = lim > gọi bán kính hội tụ n→∞ a n +1 chuỗi ng hộ i tụcủ a chuỗ i ( x0 − R, x0 + R ) gọi làkhoả Vậy biết BKHT miền hội tụ chuỗi cần xét thêm x0 ± R Tổng kết công thức tính bán kính hội tụ R = lim n →∞ n a n an R = lim n→∞ an +1  R = : MHT ={ x0 }   R = ∞ : MHT = ( −∞, +∞ ) Chú ý: Cơng thức tính bán kính hội tụ nghịch đảo cơng thức Cauchy-D’A Chuỗi lũy thừa tổng quát ∞ ∞ n =1 n =1 kn +α α n k a ( x − x ) = ( x − x ) a X , X = ( x − x ) ∑ n ∑ n 0