Cực trị

Cực trị Cực trị địa phương Cực trị địa phương Cho f : D  ℝ A  D0  Cực đại  f(0 < ||X – A|| < ) < f(A) Cực tiểu Cực trị = CD  CT  Tính địa phương : X  B*(A, ) Hiểu theo nghĩa hẹp : “  A CT 2) d2 A f <  A CD 3) d2Af ><  A  cực trị 4) d2Af  ()  A dừng cấp 2 (Qui tắc tìm cực trị) 1) Tìm điểm tới hạn  Tính f’x , f’y  ∄ f’x, f’y  ( , )=0  A, ( , )=0 2) Khảo sát điểm dừng  Tính d2 f = f”xxdx2 + 2f”xydxdy + f”yydy2  Tại A xét dấu d2Af  = f”xx(A),  = f”xy(A),  = f”yy(A),  = 2 –  a)  < 0,  >  A CT b)  < 0,  <  A CD c) >0  A  cực trị d) =0  A dừng cấp 3) Khảo sát điểm ghép  Tính f = f(x, y) – f(a, b)  Xét dấu f kết luận với d2f  Thường xét hướng x = a, y = b, x = y, chuyển qua tọa độ cực Ví dụ Tìm cực trị f(x, y) = x4 + y4 – x2 + 2xy – y2 Giải  Maple (2) Hàm f lớp C2(D = ℝ2) ′ =4 ′ =4 −2 +2 =0 −2 +2 =0  O(0, 0), A(1, ∓1)  Tìm DHR cấp hai f”xx = 12x2 – 2, f”xy = 2, f”yy = 12y2 –  Tại A :  = 10,  = 2,  = 10  = – 96 < Vậy A CT fmin = f(1, ∓1) = –2  Tại O :  = –2,  = 2,  = –2  = Vậy O dừng cấp hai f = f(x, y) – f(0, 0) = (x4 + y4) – (x – y)2 +) y = x : f = 2x4 > +) y = –x : f = 2x2(x2 – 2) < Do f đổi dấu nên O cực trị Cực trị có điều kiện Cực trị có điều kiện Cho z = f(x, y) với (x, y)  D (x, y) = với (x, y)  C  Maple (3) Cực trị có điều kiện z = f(x, y) với (x, y)  D  C  Chuyển cực trị điều kiện thành cực trị tự (Phương pháp thế)  (x, y) =   x = x(t), y = y(t) z = f(x(t), y(t)) = g(t)  g đạt cực trị   f đạt cực trị có điều kiện (x(), y()) Ví dụ Tìm cực trị z = x2 + y2 với x + y = Giải  x+y=1  y=1–x  z = g(x) = x2 + (1 – x)2 = 2x2 – 2x + g’(x) = 4x – =  x =  g CT x =  f CT DK (x = , y = ) fmin = f( , ) Phương pháp Lagrange Hàm Lagrange, nhân tử Lagrange L(x, y) = f(x, y) + .(x, y)  L đạt cực trị (a, b, )  f đạt cực trị có điều kiện (a, b) Cho f,   C2(D, ℝ) 1) Tìm điểm dừng  L’x, L’y, L’   ( , )+ ( , )=0 ( , )+ ( , )=0 ( , ) = = = =  A, 2) Tìm điểm cực trị  d2L = Lxxdx2 + 2Lxydxdy + Lyydy2 xdx + ydy = (dx, dy)  (0, 0)  Tại điểm dừng A(a, b, ) xét dấu d2L(A) = (dx, dy) a) d2 A L >  A CT b) d2 A L <  A CD c) d2AL ><  A  cực trị d) d2AL  ()  A dừng cấp Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện z = x + y với x2 + y2 = Giải a) Maple (4) Các hàm f,   C2(D = ℝ2)  L = x + y + (x2 + y2 – 1)   = + 2 = = + 2 =  = + − = =− = √ √ ,x = y = √ ,x = y = − √ b)  d2L = 2(dx2 + dy2) xdx + ydy =  =− √ : d2L = −√2(dx2 + dy2) <   = √ : fmax = f( √ , √ ) = √2 d2L = √2(dx2 + dy2) >  fmin = f(− √ ,− √ ) = −√2 c) Dùng phương pháp  x2 + y2 =  x = cos t , y = sin t , t  [0, 2] z = cos t + sin t = √2 sin z’(t) = −√2 cos + z”(t) = −√2 sin + + =0  t= ,  z”( ) = −√2 <  fmax = f( ) = √2 z”( ) = √2 >  fmin = f( ) = −√2 Trị lớn nhất, trị bé Cho f : D  ℝ  f đạt TLN   A  D : f(X  D)  f(A)  f đạt TBN   A  D : f(X  D)  f(A) DL f liên tục D compact  đạt TLN, TBN Cho f(A) = maxDf f(A) = minDf  A  D0  A CTDP  A dừng + ghép  A  D  A CTDK  A dừng + góc Qui trình tìm TLN, TBN 1) Tìm D0  ∄ f’x, f’y  f’x = 0, f’y =  A,  B, 2) Tìm D  Điểm góc  L’x = 0, L’y = 3) Kết luận maxDf = max{ f(A), , f(B), , } minDf = min{ f(A), , f(B), , } Ví dụ Tìm TLN, TBN z = x3 + y3 – 3xy D : x = 0, y = 0, x + y = Giải a) Maple (5) Hàm f lớp C1(ℝ2) =3 =3  −3 =0 −3 =0  A1(1, 1), f(A1) = –1 b)  O(0, 0), A(3, 0), B(0, 3) f(O) = 0, f(A) = f(B) = 27  (OA) : y = 0, < x < z = x3, z’(x) =  x = (loại)  (OB) : x = 0, < y < z = y3, z’(y) =  y = (loại)  (AB) : < x < 3, y = – x z = 12x2 – 36x + 27 z’(x) = 24x – 36 =  x =  B1( , ), f(B1) = c)  max(f) = max{0, –1, 27} = 27 = f(A) = f(B)  min(f) = min{0, –1, 27} = –1 = f(A1)