(Luận văn thạc sĩ) tính đẳng cấu của đồng cấu chuyển đại số thứ tư tại một số dạng bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN CƠNG TỊNH TÍNH ĐẲNG CẤU CỦA ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ THỨ TƯ TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC h LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN CƠNG TỊNH TÍNH ĐẲNG CẤU CỦA ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ THỨ TƯ TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC h Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM i Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị Cấu trúc đại số Steenrod 1.2 Cấu trúc A-môđun đại số Pk 1.3 Một số kiến thức toán hit 1.4 Một số hàm số học thường dùng 1.5 Đồng cấu Kameko 1.6 Định nghĩa đồng cấu chuyển đại số Singer 10 1.7 Đại số Lambda đồng cấu chuyển đại số 11 h 1.1 Tính đẳng cấu T rk với k 14 2.1 Xác định T rk với k 14 2.2 Xác định T r3 16 2.2.1 Trường hợp n = 2t+1 − 17 2.2.2 Trường hợp n = 2t+u + 2u − 18 2.2.3 Trường hợp n = 2s+u+1 + 2u+1 + 2u − 20 2.2.4 Trường hợp tổng quát 21 Tính đẳng cấu T r4 số dạng bậc 24 3.1 Trường hợp n = 2s+1 − 24 3.2 Trường hợp n = 2s+1 − 27 3.3 Trường hợp n = 2s+1 − 31 ii Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 h Lời mở đầu Ký hiệu (Z/2)k 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k B(Z/2)k không gian phân loại Ta biết Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 , x2 , , xk ] đại số đa thức F2 với k biến x1 , x2 , , xk biến bậc Ở đối đồng điều B(Z/2)k H ∗ (B(Z/2)k ; F2 ) lấy hệ số trường F2 có phần tử Đại số xét môđun đại số Steenrod modulo 2, A Tác động A h Pk xác định công thức tường minh Sq i (xj ) =    x   j x2 j    0 i = 0, i = 1, i > 1, công thức Cartan n Sq (f g) = n X Sq i (f )Sq n−i (g) với f, g ∈ Pk i=0 Một đa thức f Pk gọi hit biểu diễn f dạng tổng hữu hạn f = P i>0 Sq i (f i ), với đa thức fi ∈ Pk , n ∈ N Nghĩa f ∈ A+ Pk A+ iđêan bổ sung đại số A sinh toán tử Steenrod bậc dương Bài toán xác định tập sinh cực tiểu F2 -đại số đa thức Pk xét môđun đại số Steenrod A gọi toán “hit” đại số đa thức Bài toán “hit” Frank Peterson trình bày lần hội thảo Hội toán học Mỹ vào năm 1986 xuất vào năm 1987, toán “hit” xác định tường minh k = 1, [9] Với k = 3, tốn hit xác định hồn tồn luận án Kameko [7] vào năm 1990 trường Đại học John Hopkins Trường hợp k = 4, toán xác định tường minh Sum [12] Đến toán toán mở với k > Bài toán “hit” tương đương với tốn tìm sở F2 -khơng gian vectơ Pk /A+ Pk = F2 ⊗A Pk = M (F2 ⊗A Pk )n , n>0 F2 A-mơđun tầm thường (F2 ⊗A Pk )n F2 -không gian F2 ⊗A Pk sinh lớp biểu diễn đa thức bậc n > Từ kết Wood [18] suy (F2 ⊗A Pk )n = α(n + k) > k với α(m) số hệ số khai triển nhị phân m Kết giả thuyết Peterson chứng minh Wood [18] vào năm 1989 Ký hiệu GLk nhóm tuyến tính tổng qt hạng k F2 Đại số Pk có cấu trúc GLk -mơđun, GLk tác động Pk theo quy tắc thơng thường Vì tác động A GLk giao hoán với nên F2 ⊗A Pk GLk -môđun h Một ứng dụng quan trọng tốn “hit” sử dụng việc nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số thiết lập Singer vào năm 1989 Trong [10], Singer định nghĩa đồng cấu chuyển hạng k: GLk , ϕk : TorA k,k+∗ (F2 , F2 ) −→ (F2 ⊗A Pk )∗ từ đồng điều đại số Steenrod, TorA k,k+∗ (F2 , F2 ), đến không gian F2 ⊗A Pk gồm lớp bất biến tác động nhóm tuyến tính tổng qt GLk Singer [10] chứng minh ϕk đẳng cấu với k số bậc với k = 3, đồng cấu ϕ5 không đẳng cấu bậc Singer đưa giả thuyết sau Giả thuyết (Singer [10]) Đồng cấu ϕk toàn cấu, với số nguyên dương k Boardman [3] chứng minh ϕ3 đẳng cấu Nhưng nay, giả thuyết toán mở với trường hợp k > Mặc dù, N H V Hưng [5] chứng minh với moi k > 5, đồng cấu ϕk không đẳng cấu vô số bậc không ϕk khơng tồn cấu hay khơng đơn cấu bậc xét Trong luận văn chúng tơi trình bày lại kết tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số Singer với k số dạng bậc với k = Kết Singer [10] chứng minh với k Boardman [3] với k = Chúng tơi trình bày phép chứng minh tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số Singer thứ tư dạng bậc 2s+1 − i với i = 1, 2, s số nguyên dương tùy ý Ngoài phần Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành chương với nội dung sau: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức số kết để chuẩn bị cho chương sau • Chương 2: Đồng cấu chuyển đại số Singer đại số lambda Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt định nghĩa phép chuyển Singer nhắc lại đồng cấu Kameko’s phần tử sinh nhóm tuyến tính h tổng qt GLk • Chương 3: Tính đẳng cấu T rk với k Trong chương này, chúng tơi trình bày lại chứng minh chi tiết tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số Singer thứ k với k • Chương 4: Tính đẳng cấu T r4 số dạng bậc Trong chương này, chúng tơi trình bày phép chứng minh chi tiết việc kiểm định giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số thứ số dạng bậc n ∈ {2s+1 − i| s ∈ N∗ , i = 1, 2, 3} Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Sum, người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi hồn thành suốt q trình hồn thành luận văn này, đồng thời truyền thụ nhiều kiến thức chuyên môn kinh nghiệm quý báu hoạt động nghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa tốn, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 20 giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận h Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức đại số Steenrod, đại số đa thức nhóm tuyến tính tổng qt trường nguyên tố có hai phần tử, cấu trúc môđun đại số Steenrod đại số đa thức tác động nhóm tuyến tính tổng qt đại số đa thức Chúng nhắc lại kết Kameko h [7], Singer [10], Wood [18] đồng cấu Kameko số kết đơn thức hit, đơn thức chấp nhận 1.1 Cấu trúc đại số Steenrod b đại số kết hợp, tự trường F2 gồm hai phần tử sinh tập Ký hiệu A b sinh tập tất hợp ký hiệu Sq i bậc i, với i ∈ N∗ Gọi B ideal A phần tử có dạng a [a/2]  b Sq Sq − X b − − j j=0 ký hiệu n k
a − 2j Sq a+b−j j Sq , < a < 2b, Sq − 1, hệ số nhị thức tính theo mod quy ước n k
= b gọi đại số Steenrod mod Ký hiệu Sq i lớp n < k Đại số thương A = A/B A có đại diện Sq i Khi đại số A có quan hệ Sq a Sq b = [a/2]  X b − − j j=0 a − 2j Sq a+b−j Sq j , < a < 2b, Sq = 1, gọi quan hệ Adem đại số Steenrod A Các ký hiệu Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i 1.2 Cấu trúc A-môđun đại số Pk Trong mục này, nhắc lại số công thức tác động đại số Steenrod đại số đa thức Ký hiệu Pk = H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 , x2 , · · · , xk ] đại số đa thức k biến x1 , x2 , · · · , xk trường F2 Ta có, Sq i (xj ) =    x   j i = x2 (1.1) i = j    0 i > công thức tác động đại số A phần tử sinh Pk Đối với phần tử khác Pk , ta sử dụng công thức Cartan: h t Sq (f g) = t X Sq t (f )Sq t−i (g) i=0 với đa thức f g thuộc Pk Khi Pk A-môđun trái Tiếp theo số kết cổ điển tác động A Pk Mệnh đề 1.2.1 Cho f đa thức Pk (i) Nếu i > degf Sq i (f ) = Nếu i = degf Sq i (f ) = f s s s s (ii) Nếu i không chia hết cho 2s , Sq i (f ) = Sq r2 (f ) = (Sq r (f ))2 (iii) Sq Sq 2k (f ) = Sq 2k+1 (f ) Sq Sq 2k+1 (f ) = với k ≥ 0, k ∈ Z Chứng minh (i) Cho f đa thức Pk , giả sử degf = n Chứng minh quy nạp theo n Nếu n = f ∈ F2 Vì F2 A-mơđun tầm thường nên Sq i (f ) = với i > Do đó, (i) với n =