BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VÕ PHÚC BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VÕ PHÚC BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG VÕ PHÚC BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS Lê Minh Hà Phản biện 2: TS Phan Hoàng Chơn Phản biện 3: PGS TS Đoàn Thế Hiếu Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sum Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa cơng bố trước Tác giả Đặng Võ Phúc Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Sum Thầy nghiêm khắc mẫu mực, Thầy không hướng dẫn cách tận tình, định hướng, giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn bước làm nghiên cứu sinh mà quan tâm giúp đỡ mặt vật chất lẫn tinh thần Thầy sống để tác giả hoàn thành luận án cách tốt Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn q Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp nghiên cứu sinh Toán Đại số Lý thuyết số khóa tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập nghiên cứu khoa học Trường đại học Quy Nhơn Tác giả xin tỏ lịng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè gần xa, đặc biệt bạn NCS Trần Đình Phụng, NCS Dư Thị Hịa Bình NCS Lưu Thị Hiệp sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ nhiều cho tác giả, để tác giả vượt qua biến cố sức khỏe có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Tác giả Đặng Võ Phúc i Mục lục Mục lục i Bảng số ký hiệu iii Mở đầu Chương Một số kiến thức sở 11 1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 11 1.2 Tác động đại số Steenrod đại số đa thức Pk 1.3 Một số hàm số học 14 1.4 Đồng cấu Kameko 1.5 Quan hệ thứ tự đơn thức đơn thức chấp nhận 1.6 Tiêu chuẩn đơn thức hit Singer 22 1.7 Một số kết toán hit 23 1.8 Kết luận Chương 25 13 16 18 Chương Bài toán hit đại số đa thức bậc (k − 1)(2d − 1) 26 2.1 Một số đồng cấu 26 2.2 Chứng minh Định lý 2.1 30 2.3 Kết luận Chương 39 Chương Bài toán hit đại số đa thức năm biến số dạng bậc 40 3.1 Chứng minh Định lý 3.1 42 3.2 Chứng minh Định lý 3.2 52 3.3 Kết luận Chương 73 Chương Ứng dụng toán hit cho đồng cấu chuyển đại số ii thứ năm Singer 74 4.1 Đồng cấu chuyển đại số giả thuyết Singer 74 4.2 Chứng minh Định lý 4.1.4 78 4.3 Kết luận Chương 86 Kết luận kiến nghị 87 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 89 Tài liệu tham khảo 90 Phụ lục A 96 A.1 Các đơn thức chấp nhận bậc 4(2d − 1) P5 96 A.2 Các đơn thức chấp nhận bậc P5 106 A.3 Các đơn thức chấp nhận bậc 17 P5 107 A.4 Các đơn thức chấp nhận bậc 18 P5 112 A.5 Các đơn thức chấp nhận bậc 39 P5 115 iii Bảng số ký hiệu F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử Pk : Đại số đa thức k biến x1 , x2 , , xk trường F2 (Z/2)k : Không gian véctơ k chiều trường F2 , 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k B(Z/2)k : Không gian phân loại (Z/2)k GLk : Nhóm tuyến tính tổng qtgồm tự đẳng cấu (Z/2)k H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Đồng điều kỳ dị B(Z/2)k , với hệ số F2 H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Đối đồng điều kỳ dị B(Z/2)k , với hệ số F2 A : Đại số Steenrod mod TorA ∗,∗ (F2 , F2 ) : Đồng điều A , với hệ số F2 Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) : Đối đồng điều A , với hệ số F2 P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Không gian H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất phần tử bị triệt tiêu tác động toán tử Steenrod bậc dương Nk : Tập hợp tất số nguyên dương không vượt k Nk : Tập hợp tất các cặp (i; I), với I = (i1 , i2 , , ir ) ⊆ Nk , XI i < i1 < i2 < < ir k, r < k Q : Đơn thức x1 xˆi1 xˆir xk = xi , i∈Nk \I với I = (i1 , i2 , , ir ) ⊆ Nk X{i} : Đơn thức x1 xˆi xk Pk với i k X∅ : Đơn thức x1 x2 xk Pk X : Đơn thức x1 x2 xk−1 Pk−1 αi (n) : Hệ số thứ i > khai triển nhị phân số nguyên dương n α(n) : Số hệ số khai tiển nhị phân n µ(n) : Số min{m ∈ N| α(n + m) m} |S| : Lực lượng tập hợp S Mở đầu Ký hiệu H • (X, F2 ) đối đồng điều kỳ dị không gian tôpô X, lấy hệ số trường nguyên tố F2 , có hai phần tử Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng toán tử đối đồng điều mà ngày mang tên ông, tác động tự nhiên lên H • (X, F2 ): Sq k : H • (X, F2 ) → H •+k (X, F2 ), k số ngun khơng âm Trong nhiều trường hợp, toán tử công cụ hữu hiệu để nhận biết khác kiểu đồng luân không gian tơpơ Chẳng hạn, thấy hai không gian CP /CP S6 ∨ S8 có vành đối đồng điều khơng tương đương đồng luân (hay không kiểu đồng luân) tốn tử Sq tác động tầm thường nhóm đối đồng điều H (S6 ∨ S8 , F2 ) không tầm thường H (CP /CP , F2 ) Trong trình nghiên cứu đối đồng điều không gian Eilenberg-Mac Lane, Serre [70] với phép cộng thông thường phép hợp thành ánh xạ, toán tử Steenrod Sq k sinh tất toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod gọi đại số Steenrod mod 2, ký hiệu A Cấu trúc đại số khảo sát đại số thương k F2 -đại số kết hợp tự do, phân bậc, sinh ký hiệu Sq , k > chia cho iđêan hai phía sinh tập tất phần tử có dạng: X m − − t k+m−t k m t Sq ⊗F2 Sq + Sq ⊗F2 Sq , k < 2m Sq + 1, k − 2t 06t6[k/2] đó, ký hiệu [k/2] phần nguyên k/2 m k hệ số nhị thức tính k k theo mod Khi đó, phần tử trong đại số A Sq k := [Sq ], với [Sq ] k lớp A có đại diện Sq Vì thế, toán tử Steenrod Sq toán tử đồng toán tử Sq k (với k > 0) thỏa mãn quan hệ Adem [2] sau: X m − − t k m Sq Sq = Sq k+m−t Sq t , với < k < 2m k − 2t 06t6[k/2] Sau đó, đại số Steenrod nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu trở thành công cụ quan trọng để giải toán phân loại kiểu đồng luân khơng gian tơpơ, tốn trung tâm Tôpô đại số Từ việc nghiên cứu toán dẫn tới toán khó lý thuyết đồng luân ổn định, tính tốn tường minh đối đồng điều (mod 2) đại số Steenrod, H ∗,∗ (A , F2 ) := Ext∗,∗ A (F2 , F2 ), F2 -đại số song phân bậc-giao hoán trang E2 dãy phổ Adams [1] hội tụ thành phần 2-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu π∗S (S0 ) Cấu trúc đại số nhiều tác giả nghiên cứu sâu sắc gần nửa kỷ, nhiên khó để nắm bắt Vào năm 1989, Singer [38] cố gắng sử dụng công cụ lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod, ông thiết lập đồng cấu đại số mà ngày gọi đồng cấu chuyển hạng k (hay thứ k) Singer: ∗ k GLk ϕk : TorA , k,k+∗ (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A H (B(Z/2) , F2 )) từ đồng điều (mod 2) đại số A đến không gian F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất lớp bất biến tác động thơng thường nhóm tuyến tính tổng quát GLk := GL(k, F2 ) Ở đây, (Z/2)k 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k xem F2 -không gian véctơ k chiều B(Z/2)k khơng gian phân loại Đồng cấu đối ngẫu T rk : F2 ⊗GLk P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) → Extk,k+∗ (F2 , F2 ) A gọi đồng cấu chuyển Singer Chú ý P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) = (F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ))∗ không gian đại số đồng điều H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất phần tử bị triệt tiêu tác động toán tử Steenrod bậc dương Singer [38] T rk đẳng cấu với k số bậc với k = 3, Trong trường hợp hạng năm, ơng chứng minh T r5 khơng tồn cấu bậc Các kết Singer giá trị không tầm thường đồng cấu chuyển Vì vậy, kỳ vọng cơng cụ hữu ích để mơ tả đối đồng điều đại số Steenrod, Extk,∗ A (F2 , F2 ) Đặc biệt, [38], Singer đưa giả thuyết sau Giả thuyết 4.1.1 (Singer [38]) Đồng cấu T rk đơn cấu, với số nguyên dương k Giả thuyết quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tôpô đại số (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh [17], Chơn-Hà [9, 10, 11], Minami [23], Quỳnh [34], Sum [47, 49, 50, 51], Sum-Tín [52] số tác giả khác) Cơng trình [3] Boardman năm 1993 giả thuyết Singer với k = 3, cụ thể Boardman chứng minh T r3 đẳng cấu Gần đây, N H V Hưng cộng xác định hoàn toàn ảnh T r4 (xem Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh [17]) Đáng ý, N H V Hưng chứng minh [14] với k > có vơ số bậc mà T rk khơng đẳng cấu Tuy nhiên, ông không khẳng định T rk đơn cấu Vì vậy, giả thuyết Singer để ngỏ Để chứng minh phủ định giả thuyết Singer việc nắm rõ cấu trúc tích tensor F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) yếu tố định Vì vậy, việc giải giả thuyết Singer có mối liên hệ mật thiết với toán xác định tường minh hệ sinh tối tiểu F2 -đại số phân bậc Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 ; x2 ; ; xk ], xét môđun đại số Steenrod A , ký hiệu F2 [x1 ; ; xk ] F2 -đại số đa thức k-biến x1 , x2 , , xk , biến có bậc Cấu trúc A mơđun trái (không ổn định) đại số Pk xác định tường minh công thức: Sq m (xt ) = xt m = 0, x2t m = 1, m > 1, P công thức Cartan [67]: Sq m (f g) = Sq t (f )Sq m−t (g), với f, g đa 06t6m thức Pk Nếu xét F2 A -mơđun tầm thường tốn quy tìm sở F2 -khơng gian véctơ phân bậc M Pk /A + Pk = F2 ⊗A Pk = (F2 ⊗A Pk )n , n>0 (F2 ⊗A Pk )n := (Pk )n / (Pk )n ∩ A + Pk , với (Pk )n F2 -không gian Pk gồm đa thức bậc n Ngày nay, toán gọi toán "hit" đại số đa thức Peterson [28] tác giả nghiên cứu tốn vào năm 1987 Ơng đưa giả thuyết (F2 ⊗A Pk )n = α(n + k) > k, ký hiệu α(n) số chữ số khai triển nhị