i Mục lục Mục lục i Bảng một số ký hiệu iii Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 11 1 1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 2 11 1 2 Tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk 13 1 3 Một số hàm[.]
i Mục lục Mục lục i Bảng số ký hiệu iii Mở đầu Chương Một số kiến thức sở 11 1.1 Cấu trúc đại số Steenrod mod 11 1.2 Tác động đại số Steenrod đại số đa thức Pk 1.3 Một số hàm số học 14 1.4 Đồng cấu Kameko 1.5 Quan hệ thứ tự đơn thức đơn thức chấp nhận 1.6 Tiêu chuẩn đơn thức hit Singer 22 1.7 Một số kết toán hit 23 1.8 Kết luận Chương 25 13 16 18 Chương Bài toán hit đại số đa thức bậc (k − 1)(2d − 1) 26 2.1 Một số đồng cấu 26 2.2 Chứng minh Định lý 2.1 30 2.3 Kết luận Chương 39 Chương Bài toán hit đại số đa thức năm biến số dạng bậc 40 3.1 Chứng minh Định lý 3.1 42 3.2 Chứng minh Định lý 3.2 52 3.3 Kết luận Chương 73 Chương Ứng dụng toán hit cho đồng cấu chuyển đại số ii thứ năm Singer 74 4.1 Đồng cấu chuyển đại số giả thuyết Singer 74 4.2 Chứng minh Định lý 4.1.4 78 4.3 Kết luận Chương 86 Kết luận kiến nghị 87 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 89 Tài liệu tham khảo 90 Phụ lục A 96 A.1 Các đơn thức chấp nhận bậc 4(2d − 1) P5 96 A.2 Các đơn thức chấp nhận bậc P5 106 A.3 Các đơn thức chấp nhận bậc 17 P5 107 A.4 Các đơn thức chấp nhận bậc 18 P5 112 A.5 Các đơn thức chấp nhận bậc 39 P5 115 iii Bảng số ký hiệu F2 : Trường hữu hạn có hai phần tử Pk : Đại số đa thức k biến x1 , x2 , , xk trường F2 (Z/2)k : Khơng gian véctơ k chiều trường F2 , 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k B(Z/2)k : Không gian phân loại (Z/2)k GLk : Nhóm tuyến tính tổng quátgồm tự đẳng cấu (Z/2)k H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Đồng điều kỳ dị B(Z/2)k , với hệ số F2 H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Đối đồng điều kỳ dị B(Z/2)k , với hệ số F2 A : Đại số Steenrod mod TorA ∗,∗ (F2 , F2 ) : Đồng điều A , với hệ số F2 Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) : Đối đồng điều A , với hệ số F2 P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Không gian H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất phần tử bị triệt tiêu tác động toán tử Steenrod bậc dương Nk : Tập hợp tất số nguyên dương không vượt k Nk : Tập hợp tất các cặp (i; I), với I = (i1 , i2 , , ir ) ⊆ Nk , XI i < i1 < i2 < < ir k, r < k Q : Đơn thức x1 xˆi1 xˆir xk = xi , i∈Nk \I với I = (i1 , i2 , , ir ) ⊆ Nk X{i} : Đơn thức x1 xˆi xk Pk với i k X∅ : Đơn thức x1 x2 xk Pk X : Đơn thức x1 x2 xk−1 Pk−1 αi (n) : Hệ số thứ i > khai triển nhị phân số nguyên dương n α(n) : Số hệ số khai tiển nhị phân n µ(n) : Số min{m ∈ N| α(n + m) m} |S| : Lực lượng tập hợp S Mở đầu Ký hiệu H • (X, F2 ) đối đồng điều kỳ dị không gian tôpô X, lấy hệ số trường nguyên tố F2 , có hai phần tử Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng toán tử đối đồng điều mà ngày mang tên ông, tác động tự nhiên lên H • (X, F2 ): Sq k : H • (X, F2 ) → H •+k (X, F2 ), k số ngun khơng âm Trong nhiều trường hợp, toán tử công cụ hữu hiệu để nhận biết khác kiểu đồng luân không gian tơpơ Chẳng hạn, thấy hai không gian CP /CP S6 ∨ S8 có vành đối đồng điều không tương đương đồng luân (hay không kiểu đồng ln) tốn tử Sq tác động tầm thường nhóm đối đồng điều H (S6 ∨ S8 , F2 ) không tầm thường H (CP /CP , F2 ) Trong trình nghiên cứu đối đồng điều khơng gian Eilenberg-Mac Lane, Serre [70] với phép cộng thông thường phép hợp thành ánh xạ, toán tử Steenrod Sq k sinh tất toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod gọi đại số Steenrod mod 2, ký hiệu A Cấu trúc đại số khảo sát đại số thương k F2 -đại số kết hợp tự do, phân bậc, sinh ký hiệu Sq , k > chia cho iđêan hai phía sinh tập tất phần tử có dạng: X m − − t k+m−t k m t Sq ⊗F2 Sq + Sq ⊗F2 Sq , k < 2m Sq + 1, k − 2t 06t6[k/2] đó, ký hiệu [k/2] phần nguyên k/2 m k hệ số nhị thức tính k k theo mod Khi đó, phần tử trong đại số A Sq k := [Sq ], với [Sq ] k lớp A có đại diện Sq Vì thế, tốn tử Steenrod Sq tốn tử đồng toán tử Sq k (với k > 0) thỏa mãn quan hệ Adem [2] sau: X m − − t k m Sq Sq = Sq k+m−t Sq t , với < k < 2m k − 2t 06t6[k/2] Sau đó, đại số Steenrod nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu trở thành công cụ quan trọng để giải toán phân loại kiểu đồng luân khơng gian tơpơ, tốn trung tâm Tôpô đại số Từ việc nghiên cứu toán dẫn tới toán khó lý thuyết đồng luân ổn định, tính tốn tường minh đối đồng điều (mod 2) đại số Steenrod, H ∗,∗ (A , F2 ) := Ext∗,∗ A (F2 , F2 ), F2 -đại số song phân bậc-giao hoán trang E2 dãy phổ Adams [1] hội tụ thành phần 2-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu π∗S (S0 ) Cấu trúc đại số nhiều tác giả nghiên cứu sâu sắc gần nửa kỷ, nhiên khó để nắm bắt Vào năm 1989, Singer [38] cố gắng sử dụng công cụ lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod, ông thiết lập đồng cấu đại số mà ngày gọi đồng cấu chuyển hạng k (hay thứ k) Singer: ∗ k GLk ϕk : TorA , k,k+∗ (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A H (B(Z/2) , F2 )) từ đồng điều (mod 2) đại số A đến không gian F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất lớp bất biến tác động thông thường nhóm tuyến tính tổng qt GLk := GL(k, F2 ) Ở đây, (Z/2)k 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k xem F2 -không gian véctơ k chiều B(Z/2)k khơng gian phân loại Đồng cấu đối ngẫu T rk : F2 ⊗GLk P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) → Extk,k+∗ (F2 , F2 ) A gọi đồng cấu chuyển Singer Chú ý P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) = (F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ))∗ không gian đại số đồng điều H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm tất phần tử bị triệt tiêu tác động toán tử Steenrod bậc dương Singer [38] T rk đẳng cấu với k số bậc với k = 3, Trong trường hợp hạng năm, ơng chứng minh T r5 khơng tồn cấu bậc Các kết Singer giá trị không tầm thường đồng cấu chuyển Vì vậy, kỳ vọng cơng cụ hữu ích để mơ tả đối đồng điều đại số Steenrod, Extk,∗ A (F2 , F2 ) Đặc biệt, [38], Singer đưa giả thuyết sau Giả thuyết 4.1.1 (Singer [38]) Đồng cấu T rk đơn cấu, với số nguyên dương k Giả thuyết quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Tôpô đại số (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh [17], Chơn-Hà [9, 10, 11], Minami [23], Quỳnh [34], Sum [47, 49, 50, 51], Sum-Tín [52] số tác giả khác) Cơng trình [3] Boardman năm 1993 giả thuyết Singer với k = 3, cụ thể Boardman chứng minh T r3 đẳng cấu Gần đây, N H V Hưng cộng xác định hoàn toàn ảnh T r4 (xem Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh [17]) Đáng ý, N H V Hưng chứng minh [14] với k > có vơ số bậc mà T rk không đẳng cấu Tuy nhiên, ông không khẳng định T rk đơn cấu Vì vậy, giả thuyết Singer để ngỏ Để chứng minh phủ định giả thuyết Singer việc nắm rõ cấu trúc tích tensor F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) yếu tố định Vì vậy, việc giải giả thuyết Singer có mối liên hệ mật thiết với toán xác định tường minh hệ sinh tối tiểu F2 -đại số phân bậc Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 ; x2 ; ; xk ], xét môđun đại số Steenrod A , ký hiệu F2 [x1 ; ; xk ] F2 -đại số đa thức k-biến x1 , x2 , , xk , biến có bậc Cấu trúc A môđun trái (không ổn định) đại số Pk xác định tường minh công thức: Sq m (xt ) = xt m = 0, x2t m = 1, m > 1, P công thức Cartan [67]: Sq m (f g) = Sq t (f )Sq m−t (g), với f, g đa 06t6m thức Pk Nếu xét F2 A -mơđun tầm thường tốn quy tìm sở F2 -không gian véctơ phân bậc M Pk /A + Pk = F2 ⊗A Pk = (F2 ⊗A Pk )n , n>0 (F2 ⊗A Pk )n := (Pk )n / (Pk )n ∩ A + Pk , với (Pk )n F2 -không gian Pk gồm đa thức bậc n Ngày nay, toán gọi toán "hit" đại số đa thức Peterson [28] tác giả nghiên cứu tốn vào năm 1987 Ơng đưa giả thuyết (F2 ⊗A Pk )n = α(n + k) > k, ký hiệu α(n) số chữ số khai triển nhị phân n Giả thuyết ông chứng minh cho trường hợp k Sau đó, Wood [64] chứng minh cho trường hợp tổng qt vào năm 1989 Sau cơng trình này, toán hit thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Carlisle-Wood [6], Crabb-Hubbuck [8], Hà [12], Hưng [13], Hưng-Nam [15, 16], Kameko [18, 19], Minami [23], Mothebe [25, 26], Nam [68, 69], Repka-Seilck [35], Silverman [36], Silverman-Singer [37], Singer [39], Walker-Wood [58, 59, 60], Wood [64], Sum [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50], Tín [54, 55, 56], Tín-Sum [57] số tác giả khác) Có thể nói tốn hit tốn mang tính thời ứng dụng quan trọng Cụ thể hơn, tốn khơng cơng cụ hữu ích để nghiên cứu ảnh đồng cấu chuyển Singer mà cịn ứng dụng để nghiên cứu số toán kinh điển lý thuyết đồng luân lý thuyết cobordism đa tạp thể qua cơng trình Peterson [29]; tốn phân tích ổn định khơng gian phân loại 2-nhóm Abel sơ cấp qua cơng trình Priddy [33]; lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính qua cơng trình Wood [66], Walker-Wood [59] Cho đến nay, toán hit giải tường minh cho trường hợp k Trong trường hợp tổng quát, tốn mở Trong luận án này, chúng tơi tập trung nghiên cứu tốn hit Peterson; từ sở sử dụng kết toán này, nghiên cứu kiểm chứng giả thuyết Singer cho trường hợp k = số bậc Một cách cụ thể, tập trung nghiên cứu cấu trúc không gian véctơ F2 ⊗A Pk , với k > 5, số dạng bậc ứng dụng kết để kiểm chứng giả thuyết Singer đồng cấu chuyển thứ năm T r5 , bậc tương ứng Như chúng tơi trình bày trên, tốn hit giải hoàn toàn cho số biến k Cụ thể hơn, trường hợp k tính tốn tường minh cơng trình [28] Peterson Trường hợp k = kết Kameko thực Luận án [18] trường Đại học Johns Hopkins vào năm 1990 Đặc biệt, cơng trình Kameko đưa giả thuyết cận số chiều không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n phụ thuộc vào số biến đại số đa thức Pk , Q cụ thể dim(F2 ⊗A Pk )n (2i − 1), với n số nguyên dương tùy ý Giả 16i6k thuyết Kameko chứng minh số biến k Năm 2007, N Sum [43] giải trọn vẹn toán hit cho trường hợp k = thảo dài 240 trang Cơng trình sau rút gọn lại cơng bố thức vào năm 2015 (xem Sum [48]) Dựa vào kết này, giả thuyết Kameko với k = Tuy nhiên, giả thuyết khơng cịn k > 5; kết N Sum chứng minh đầy đủ công bố cơng trình [44, 45] Một cơng cụ hữu hiệu để tính tốn tốn hit nghiên f ∗ : (F2 ⊗A Pk )k+2d → cứu đồng cấu chuyển Singer đồng cấu Kameko Sq (F2 ⊗A Pk )d , với d số nguyên dương tùy ý Đồng cấu cảm sinh từ F2 -đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định sau: ψ(x) = u x = x1 x2 xk u2 , 0 trường hợp khác, với đơn thức x ∈ Pk Ngồi cơng cụ này, hàm số học sau ứng dụng để giải tốn hit P dt µ(n) = r ∈ N : n = (2 − 1), dt > 0, t r 16t6r = r ∈ N : α(n + r) r , đó, n số nguyên dương tùy ý Chú ý rằng, tác động đại số A GLk Pk giao hoán với Vì vậy, khơng gian véctơ (F2 ⊗A Pk ) có cấu trúc GLk -mơđun Kameko chứng minh [18], µ(n) = k n − k số chẵn đồng cấu f : (F2 ⊗A Pk )n −→ (F2 ⊗A Pk ) n−k Sq ∗ đẳng cấu GLk -mơđun Từ tính chất sơ cấp hàm µ, ta thấy với số ngun khơng âm m, tồn số nguyên t > cho µ(k(2d − 1) + 2d m) = k, với d > t Do đó, từ kết Kameko, suy đồng cấu lặp g0 )d−t : (F2 ⊗A Pk ) d (Sq k(2 −1)+2d m −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t m ∗ (0.1) phép đẳng cấu GLk -môđun với d > t Tuy nhiên, giá trị t chưa xác định cụ thể Trong cơng trình [14], N H V Hưng đồng cấu lặp (0.1) đẳng cấu với d > k − Gần đây, trình nghiên cứu đồng cấu chuyển hạng năm Singer, Tín-Sum [57] mở rộng kết Hưng việc chứng minh đồng cấu lặp (0.1) đẳng cấu với d > t t > t(k, m) := max{0, k − α(m + k) − ς(m + k)}, ký hiệu ς(n) số ngun khơng âm lớn u cho số nguyên dương n chia hết cho 2u Ở đây, số t(k, m) không vượt (k − 2), với số ngun khơng âm m Kết Tín-Sum đóng vai trị quan trọng việc rút ngắn tính toán toán hit số dạng bậc Từ kết Wood cơng trình [64], tốn hit rút gọn tính tốn bậc có dạng n = s(2d − 1) + 2d m, (0.2) với s, d, m số nguyên không âm cho s k, m = s − µ(m) s − Ta biết rằng, giải toán hit dạng bậc n có dạng (0.2) tương đương với tìm sở khơng gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n Tuy nhiên, việc xác định tường minh sở (F2 ⊗A Pk )n phức tạp, có hỗ trợ máy tính điện tử Trong nhiều trường hợp, đánh giá ước lượng số chiều không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n giúp cho thuận lợi việc tính tốn Một kết liên quan đến kiện bất đẳng thức sau cho số chiều không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) : d dim(F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) > N (k, (k − 1)(2 − 1)) + min{k,d} X i=2 k , i Ở đây, ký hiệu N (k, n) dùng để số đơn thức spike bậc n Pk (xem Định nghĩa 1.6.1) n = (k − 1)(2d − 1) tương ứng (0.2) cho trường hợp s = k−1, m = Bất đẳng thức thiết lập Mothebe luận án [25] ông thực trường Đại học Manchester năm 1997 cơng bố thức [26] vào năm 2013 Cấu trúc không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) khảo sát luận án thu kết sau (kết công bố báo [30]) Định lý 2.1 Cho n = (k − 1)(2d − 1) với d số nguyên dương tùy ý Đặt p = min{k, d} q = min{k, d − 1} Nếu k > X X k k k dim(F2 ⊗A Pk )n > + (k − 3) ` t 16t6p 16`6q Dấu “=” xảy k = k = 4, d > k = 5, d > Từ định lý tính chất đơn thức spike, dễ dàng thu hệ sau Hệ 2.2.10 Cho n, p, q Định lý 2.1 Khi X X k k k dim(F2 ⊗A Pk )n > N (k, n) + + (k − 3) ` t 26t6p 26`6q Như vậy, bất đẳng thức Mothebe suy trực tiếp từ hệ Kết hợp kết Kameko [18], N Sum [47] kết Định lý 2.1, việc giải toán hit số biến k > dạng bậc (k − 1)(2d − 1) thuận lợi thu gọn lại cách đáng kể Ứng dụng Định lý 2.1, chúng tơi tính tốn tường minh đơn thức chấp nhận bậc (k − 1)(2d − 1) Pk với k = 5, d số nguyên dương Kết thu định lý sau (kết công bố báo [32]) Định lý 3.1 Số chiều F2 -không gian véctơ (F2 ⊗A P5 )4(2d −1) xác định bảng đây: n = 4(2d − 1) dim(F2 ⊗A P5 )n d=1 d=2 d=3 d=4 d>5 45 190 480 650 651 Gần đây, cơng trình [54, 55, 56], N K Tín cách sử dụng tính đẳng cấu đồng cấu lặp đồng cấu Kameko (0.1) tính tốn tường minh tốn hit P5 dạng bậc (0.2) với s = 5, m ∈ {1, 2, 3} Trường hợp s = 5, m = N Sum tính tốn cụ thể báo [50] Tiếp nối cơng trình này, nghiên cứu cho trường hợp m = Cụ thể, xác định tường minh sở F2 -không gian véctơ F2 ⊗A P5 bậc 5(2d − 1) + 6.2d , với d số nguyên dương tùy ý Kết đạt định lý (kết với d = cơng bố thức báo [31]) ... chứng minh thu số kỹ thuật thú vị để giải toán hit số biến k = Trên sở sử dụng kết nghiên cứu toán hit đại số P5 bậc có dạng (0.2), kiểm chứng giả thuyết Singer trường hợp hạng năm bậc 4(2d −1)... thành ánh xạ, toán tử Steenrod Sq k sinh tất toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod gọi đại số Steenrod mod 2, ký hiệu A Cấu trúc đại số khảo sát đại số thương k F2 -đại số. .. cứu kiểm chứng giả thuyết Singer cho trường hợp k = số bậc Một cách cụ thể, tập trung nghiên cứu cấu trúc không gian véctơ F2 ⊗A Pk , với k > 5, số dạng bậc ứng dụng kết để kiểm chứng giả thuyết