(Luận văn) tính đẳng cấu của đồng cấu chuyển đại số thứ tư tại một số dạng bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN CÔNG TỊNH lu an n va p ie gh tn to TÍNH ĐẲNG CẤU CỦA ĐỒNG CẤU CHUYỂN ĐẠI SỐ THỨ TƯ TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC d oa nl w m ll fu an nv a lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi at nh z z om l.c gm @ an Lu Bình Định - Năm 2019 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN CÔNG TỊNH lu an n va ĐẠI SỐ THỨ TƯ TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC p ie gh tn to TÍNH ĐẲNG CẤU CỦA ĐỒNG CẤU CHUYỂN nl w Chuyên ngành : oa : d Mã số Đại số lí thuyết số 46 01 04 oi m ll fu an nv a lu at nh z z Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM om l.c gm @ an Lu n va ac th si i Mục lục lu an Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị n va Cấu trúc đại số Steenrod 1.2 Cấu trúc A-môđun đại số Pk 1.3 Một số kiến thức toán hit Một số hàm số học thường dùng Đồng cấu Kameko gh tn to 1.1 1.4 p ie 1.5 Định nghĩa đồng cấu chuyển đại số Singer 10 Đại số Lambda đồng cấu chuyển đại số 11 d oa nl w 1.7 1.6 a lu Tính đẳng cấu T rk với k 14 an nv 2.1 Xác định T rk với k 14 2.2 Xác định T r3 16 m ll fu Trường hợp n = 2t+1 − 2.2.2 Trường hợp n = 2t+u + 2u − oi 2.2.1 nh 2s+u+1 + 2u+1 + 2u 17 18 Trường hợp n = −3 20 2.2.4 Trường hợp tổng quát 21 at 2.2.3 z z gm @ Tính đẳng cấu T r4 số dạng bậc 24 Trường hợp n = 2s+1 − 24 3.2 Trường hợp n = 2s+1 − 27 3.3 Trường hợp n = 2s+1 − 31 om l.c 3.1 an Lu n va ac th si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an ii Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Lời mở đầu Ký hiệu (Z/2)k 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k B(Z/2)k khơng gian phân loại Ta biết lu an Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 , x2 , , xk ] n va điều B(Z/2)k H ∗ (B(Z/2)k ; F2 ) lấy hệ số trường F2 có phần tử Đại gh tn to đại số đa thức F2 với k biến x1 , x2 , , xk biến bậc Ở đối đồng số xét môđun đại số Steenrod modulo 2, A Tác động A ie p Pk xác định công thức tường minh nl w d oa Sq i (xj ) =    x   j x2 i = 1, i > 1, an nv a lu j    0 i = 0, công thức Cartan fu n X m ll n Sq (f g) = oi i=0 Sq i (f )Sq n−i (g) với f, g ∈ Pk nh P i (f i ), với đa thức fi ∈ Pk , n ∈ N Nghĩa f ∈ A+ Pk z i>0 Sq z hạn f = at Một đa thức f Pk gọi hit biểu diễn f dạng tổng hữu gm @ A+ iđêan bổ sung đại số A sinh toán tử Steenrod bậc dương Bài toán xác định tập sinh cực tiểu F2 -đại số đa thức Pk xét om l.c môđun đại số Steenrod A gọi toán “hit” đại số đa thức Bài toán “hit” Frank Peterson trình bày lần hội thảo Hội toán học Mỹ vào Lu năm 1986 xuất vào năm 1987, tốn “hit” xác định tường an minh k = 1, [9] Với k = 3, toán hit xác định hoàn toàn n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an luận án Kameko [7] vào năm 1990 trường Đại học John Hopkins Trường hợp k = 4, toán xác định tường minh Sum [12] Đến toán toán mở với k > Bài toán “hit” tương đương với tốn tìm sở F2 -khơng gian vectơ Pk /A+ Pk = F2 ⊗A Pk = M (F2 ⊗A Pk )n , n>0 F2 A-môđun tầm thường (F2 ⊗A Pk )n F2 -không gian F2 ⊗A Pk sinh lớp biểu diễn đa thức bậc n > Từ kết Wood [18] suy (F2 ⊗A Pk )n = α(n + k) > k với α(m) số hệ số lu an khai triển nhị phân m Kết giả thuyết Peterson chứng n va minh Wood [18] vào năm 1989 tn to Ký hiệu GLk nhóm tuyến tính tổng quát hạng k F2 Đại số Pk có cấu trúc gh GLk -mơđun, GLk tác động Pk theo quy tắc thông thường Vì p ie tác động A GLk giao hoán với nên F2 ⊗A Pk GLk -môđun Một ứng dụng quan trọng tốn “hit” sử dụng việc oa nl w nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số thiết lập Singer vào năm 1989 Trong [10], Singer định nghĩa đồng cấu chuyển hạng k: d a lu an nv GLk ϕk : TorA , k,k+∗ (F2 , F2 ) −→ (F2 ⊗A Pk )∗ m ll fu từ đồng điều đại số Steenrod, TorA k,k+∗ (F2 , F2 ), đến không gian F2 ⊗A Pk gồm lớp bất biến tác động nhóm tuyến tính tổng qt GLk Singer [10] oi chứng minh ϕk đẳng cấu với k số bậc với k = 3, nh at đồng cấu ϕ5 không đẳng cấu bậc Singer đưa giả thuyết sau z z Giả thuyết (Singer [10]) Đồng cấu ϕk toàn cấu, với số nguyên dương k @ gm Boardman [3] chứng minh ϕ3 đẳng cấu Nhưng nay, giả l.c thuyết toán mở với trường hợp k > Mặc dù, N H V Hưng [5] om chứng minh với moi k > 5, đồng cấu ϕk không đẳng cấu vô số bậc Lu không ϕk khơng tồn cấu hay khơng đơn cấu bậc an xét n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Trong luận văn chúng tơi trình bày lại kết tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số Singer với k số dạng bậc với k = Kết Singer [10] chứng minh với k Boardman [3] với k = Chúng tơi trình bày phép chứng minh tính đẳng cấu đồng cấu chuyển đại số Singer thứ tư dạng bậc 2s+1 − i với i = 1, 2, s số nguyên dương tùy ý Ngoài phần Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành chương với nội dung sau: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị lu Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức số kết an để chuẩn bị cho chương sau va n • Chương 2: Đồng cấu chuyển đại số Singer đại số lambda tn to Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt định nghĩa phép chuyển Singer p ie gh nhắc lại đồng cấu Kameko’s phần tử sinh nhóm tuyến tính tổng qt GLk nl w • Chương 3: Tính đẳng cấu T rk với k oa d Trong chương này, chúng tơi trình bày lại chứng minh chi tiết tính đẳng cấu a lu an nv đồng cấu chuyển đại số Singer thứ k với k m ll fu • Chương 4: Tính đẳng cấu T r4 số dạng bậc Trong chương này, chúng tơi trình bày phép chứng minh chi tiết việc kiểm oi nh định giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số thứ số dạng at bậc n ∈ {2s+1 − i| s ∈ N∗ , i = 1, 2, 3} z z @ Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Sum, người tận tình giúp gm đỡ hướng dẫn tơi hồn thành suốt q trình hồn thành luận văn này, đồng thời om động nghiên cứu khoa học l.c truyền thụ nhiều kiến thức chuyên môn kinh nghiệm quý báu hoạt an Lu Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa tốn, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an học Tốn khóa 20 giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi m ll fu an nv a lu at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an va Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức đại số Steenrod, n đại số đa thức nhóm tuyến tính tổng qt trường nguyên tố có hai phần tử, gh tn to cấu trúc môđun đại số Steenrod đại số đa thức tác động nhóm tuyến tính tổng quát đại số đa thức Chúng nhắc lại kết Kameko ie p [7], Singer [10], Wood [18] đồng cấu Kameko số kết đơn thức hit, Cấu trúc đại số Steenrod an nv a lu 1.1 d oa nl w đơn thức chấp nhận b đại số kết hợp, tự trường F2 gồm hai phần tử sinh tập Ký hiệu A m ll fu b sinh tập tất hợp ký hiệu Sq i bậc i, với i ∈ N∗ Gọi B ideal A phần tử có dạng oi [a/2]  Sq Sq − X b − − j Sq a+b−j j Sq , < a < 2b, Sq − 1, z j=0 a − 2j at b nh a z
hệ số nhị thức tính theo mod quy ước gm n k @ ký hiệu n k
= l.c b gọi đại số Steenrod mod Ký hiệu Sq i lớp n < k Đại số thương A = A/B A có đại diện Sq i Khi đại số A có quan hệ Sq Sq = [a/2]  X b − − j Sq a+b−j Sq j , < a < 2b, Sq = 1, an j=0 a − 2j Lu b om a n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an gọi quan hệ Adem đại số Steenrod A Các ký hiệu Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i Cấu trúc A-môđun đại số Pk 1.2 Trong mục này, nhắc lại số công thức tác động đại số Steenrod đại số đa thức Ký hiệu Pk = H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼ = F2 [x1 , x2 , · · · , xk ] đại số đa thức k biến x1 , x2 , · · · , xk trường F2 Ta có, lu an i n va Sq (xj ) =    x   j i = x2 (1.1) i = i > tn to j    0 ie gh công thức tác động đại số A phần tử sinh Pk Đối với phần tử p khác Pk , ta sử dụng công thức Cartan: nl w Sq t (f g) = t X Sq t (f )Sq t−i (g) d oa i=0 a lu với đa thức f g thuộc Pk Khi Pk A-mơđun trái an nv Tiếp theo số kết cổ điển tác động A Pk m ll fu Mệnh đề 1.2.1 Cho f đa thức Pk oi (i) Nếu i > degf Sq i (f ) = Nếu i = degf Sq i (f ) = f nh s s s s at (ii) Nếu i không chia hết cho 2s , Sq i (f ) = Sq r2 (f ) = (Sq r (f ))2 z z gm @ (iii) Sq Sq 2k (f ) = Sq 2k+1 (f ) Sq Sq 2k+1 (f ) = với k ≥ 0, k ∈ Z Chứng minh l.c om (i) Cho f đa thức Pk , giả sử degf = n Chứng minh quy nạp theo n an Do đó, (i) với n = Lu Nếu n = f ∈ F2 Vì F2 A-mơđun tầm thường nên Sq i (f ) = với i > n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 23 Ta đặt  P u 16j 621,j6=13,15 ψ (vs,2,j ), p3,s,t,u = P  u 16j 621 ψ với t = 2, (vs,t,j ), với t > Bằng tính tốn trực tiếp với sở trên, ta Mệnh đề 2.2.6 Với số nguyên s, t > 1, u > n = 2s+t+u + 2t+u + 2u − 3, ta = [p3,s,t,u ] có (QP3 )GL n Bởi Định lý 1.7.1, ta có lu an Ext3,2 A s+t+u va u n Chú ý ψ u (vs,t,1 ) = x21 +2t+u +2u (F2 , F2 ) = hhu ht+u hs+t+u i −1 2t+u −1 2s+t+u −1 x2 x3 Xét phần tử to tn (2u −1) (2t+u −1) (2s+t+u −1) a2 a3 ∈ F2 ⊗GL3 P ((P3 )∗n ) ie gh q3,s,t,u = a1 p Vì hp3,s,t,u , q3,s,t,u i = 1, từ Mệnh đề 2.2.6, ta oa nl w F2 ⊗GL3 P ((P3 )∗n ) = h[q3,s,t,u ]i d Dễ dàng thấy φ3 (q3,s,t,u ) = λu λt+u λs+t+u , sử dụng Định lý 1.7.2, ta an nv a lu T r3 ([q3,s,t,u ]) = [λu λt+u λs+t+u ] = hu ht+u hs+t+u fu oi m ll Định lý 2.2.1 chứng minh at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 24 Chương Tính đẳng cấu T r4 số lu dạng bậc an n va gh tn to Trong chương này, chúng tơi trình bày phép chứng minh T r4 đẳng cấu bậc 2s+1 − i với i = 1, 2, s số ngun dương tùy ý Kết mà chúng tơi ie p trình bày sau: nl w Định lý 3.0.1 Giả sử s số nguyên dương n bậc 2s+1 −1, 2s+1 − oa 2, 2s+1 − Khi đó, đồng cấu: d a lu an nv T r4 : F2 ⊗GL4 P ((P4 )∗n ) → Ext4,n+4 (F2 , F2 ) A m ll fu đẳng cấu oi Ta chứng minh định lý cách tính khơng gian (QP4 )GL n at nh Trường hợp n = 2s+1 − z 3.1 z @ gm Mệnh đề 3.1.1 (xem [13]) Giả sử n = 2s+1 − với s số nguyên dương Khi n = 2s+1 − s = s = s = s > 4 15 35 45 an Lu dim(QP4 )n om l.c đó, số chiều F2 -khơng gian vectơ (QP4 )n xác định bảng sau: n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 25 Cơ sở (QP4 )n tập hợp tất lớp đại diện đơn thức aj = as,j xác định sau: Với s = 1, a1,1 = x4 , a1,2 = x3 , a1,3 = x2 , a1,4 = x1 Với s > 2, −1 2s−1 −1 2s −1 x3 x4 2s −1 2s−1 −1 2s−1 −1 as,3 = x2 x3 x4 2s−1 −1 2s −1 2s−1 −1 as,5 = x1 x3 x4 s−1 s−1 s as,7 = x21 −1 x22 −1 x23 −1 s−1 s s−1 as,9 = x21 −1 x22 −1 x23 −1 s s−1 s−1 as,11 = x21 −1 x22 −1 x24 −1 as,1 = x22 s−1 lu −1 2s −1 2s−1 −1 x3 x4 2s−1 −1 2s−1 −1 2s −1 as,4 = x1 x3 x4 2s−1 −1 2s−1 −1 2s −1 as,6 = x1 x2 x4 s−1 s s−1 as,8 = x21 −1 x22 −1 x24 −1 s s−1 s−1 as,10 = x21 −1 x23 −1 x24 −1 s s−1 s−1 as,12 = x21 −1 x22 −1 x23 −1 as,2 = x22 s−1 an Với s = 2, a2,13 = x1 x2 x3 x24 , a2,14 = x1 x2 x23 x4 , a2,15 = x1 x22 x3 x4 va n Với s > 3, to −2 2s−1 −1 2s −1 x3 x4 2s−1 −1 2s−1 −2 2s −1 x1 x2 x3 x4 2s −1 2s−1 −1 2s−1 −1 x1 x2 x3 x4 2s−1 −1 2s−1 −1 2s −1 x1 x2 x3 x4 2s−1 −1 2s −1 2s−1 −2 x1 x2 x3 x4 s−1 s−1 2s −1 x1 x2 x23 −1 x42 −2 s−1 s−1 s x1 x22 −1 x23 −1 x24 −2 s s−1 s−1 x1 x22 −2 x23 −1 x42 −1 s−1 s s−1 x12 −1 x2 x23 −2 x24 −1 tn as,13 = x1 x22 p ie gh as,15 = as,17 = as,19 = s−1 as,16 = as,18 = as,20 = nl w as,21 = as,22 = oa as,23 = as,24 = d as,26 = a lu as,25 = as,28 = an nv as,27 = as,29 = −2 2s −1 2s−1 −1 x x4 2s−1 −1 2s −1 2s−1 −2 x x2 x x4 2s −1 2s−1 −1 2s−1 −2 x x2 x3 x4 2s−1 −1 2s −1 2s−1 −2 x1 x x3 x s−1 s−1 2s −1 x1 x2 x23 −2 x24 −1 s s−1 s−1 x21 −1 x22 −1 x3 x24 −2 s−1 s s−1 x1 x22 −1 x23 −2 x24 −1 s−1 s−1 s x21 −1 x2 x23 −1 x24 −2 s−1 s−1 s x21 −1 x22 −1 x3 x24 −2 as,14 = x1 x22 as,30 = s−1 a3,13 = x31 x52 x33 x24 a3,35 = x31 x32 x43 x34 at nh a3,34 = x31 x32 x33 x44 a3,32 = x31 x52 x23 x34 oi a3,31 = x31 x32 x53 x24 m ll fu Với s = 3, z Với s > 4, as,40 = an as,42 = Lu n va as,43 = as,38 = om as,41 = as,36 = l.c as,39 = as,34 = as,37 = −3 2s −1 2s−1 −2 x3 x4 2s −1 2s−1 −3 2s−1 −2 x1 x2 x3 x4 s−1 s s−1 −3 −2 x31 x2 x3 x42 −1 s−1 s−1 s x21 −1 x32 x23 −3 x24 −2 s s−1 s−1 x31 x22 −3 x23 −2 x42 −1 s−1 s s−1 x21 −1 x32 x23 −3 x24 −2 gm as,35 = s−1 as,32 = x31 x22 @ as,33 = s−1 z −3 2s−1 −2 2s −1 x3 x4 2s −1 2s−1 −3 2s−1 −2 x1 x2 x3 x4 s−1 s−1 s −3 −1 x31 x2 x3 x24 −2 s−1 s−1 s x31 x22 −1 x23 −3 x24 −2 s−1 s s−1 x31 x22 −1 x23 −3 x42 −2 s s−1 s−1 x31 x22 −3 x23 −1 x42 −2 s s−1 s−1 x71 x22 −5 x23 −3 x24 −2 as,31 = x31 x22 ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 26 Với s = 4, a4,44 = x71 x72 x93 x64 , a4,45 = x71 x72 x73 x84 s−1 Với s > 5, as,44 = x71 x22 −5 2s −3 2s−1 −2 x3 x4 , as,45 = x71 x22 s−1 −5 2s−1 −3 2s −2 x3 x4 Mệnh đề 3.1.2 Giả sử s số nguyên dương Khi đó, (QP4 )GL 2s+1 −3 = Để đơn giản, ta chứng minh mệnh đề cách chi tiết với s > Những trường hợp khác chứng minh tính tốn tương tự Với đơn thức z1 , z2 , · · · , zm Pk nhóm G ⊂ GLk , ta định nghĩa G(z1 , z2 , · · · , zm ) G-môđun QPk sinh tập {[zi ] : i m} Ta có điều lu an Bổ đề 3.1.3 (i) Với s > Tồn phân tích tổng trực tiếp Σ4 -môđun: va n (QP4 )2s+1 −3 = Σ4 (as,1 ) ⊕ Σ4 (as,13 ) ⊕ Σ4 (as,31 ) ⊕ Σ4 (as,25 , as,35 , as,43 ) P12 gh tn to (ii) Σ4 (as,1 )Σ4 = h[p4,s,1 ]i với p4,s,1 = P24 j=13 as,j p ie (iii) Σ4 (as,13 )Σ4 = h[p4,s,2 ]i với p4,s,2 = j=1 as,j P34 nl w (iv) Σ4 (as,31 )Σ4 = h[p4,s,3 ]i với p4,s,3 = j=31 as,j P30 j=25 as,j + P43 j=39 as,j + as,45 d oa (v) Σ4 (as,25 , as,35 , as,43 )Σ4 = h[p4,s,4 ]i với p4,s,4 = a lu Chứng minh Ta nhận Phần i) tính đơn giản sử dụng Mệnh đề 3.1.1 an nv Ta chứng minh Phần v) cách chi tiết Các trường hợp khác chứng minh m ll fu tính tốn tương tự Bằng tính tốn đơn giản ta thấy tập {[as,j ] : j = 25, , 30, 35, , 45} sở Σ4 (as,25 , as,35 , as,43 ) Giả sử [f ] ∈ Σ4 (as,25 , as,35 , as,43 )Σ4 , oi γj as,j + 45 X γj as,j z j=35 z j=25 at f≡ 30 X nh nên om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 27 với γj ∈ F2 Bằng tính tốn đơn giản, ta ρ1 (f ) + f ≡ (γ25 + γ28 )(as,25 + as,28 ) + (γ26 + γ29 )(as,26 + as,29 + (γ27 + γ41 )as,35 + (γ27 + γ40 )as,36 + (γ37 + γ38 )(as,37 + as,38 ) + (γ39 + γ42 )(as,39 + as,42 ) + +(γ41 + γ43 )as,44 + +(γ40 + γ43 )as,45 ≡ 0, ρ2 (f ) + f ≡ (γ26 + γ27 )(as,26 + as,27 ) + (γ28 + γ30 )(as,28 + as,30 ) + (γ35 + γ37 )(as,35 + as,37 ) + (γ29 + γ36 + γ40 )(as,36 + as,40 ) + (γ39 + γ41 )(as,39 + as,41 ) + (γ42 + γ43 + γ44 )(as,43 + as,44 ) + (γ29 + γ42 )(as,38 + as,45 ) ≡ 0, lu an ρ3 (f ) + f ≡ (γ25 + γ26 )(as,25 + as,26 ) + (γ28 + γ29 )(as,28 + as,29 n va + (γ35 + γ36 )(as,35 + as,36 ) + (γ30 + γ37 + γ39 )(as,37 + as,39 ) tn to + (γ30 + γ38 + γ42 )(as,38 + as,42 ) + (γ40 + γ41 )(as,40 + as,41 ) ie gh + (γ30 + γ44 + γ45 )(as,44 + as,45 ) ≡ p Các đẳng thức suy γj = với j = 35, 36, 37, 38, 44 γj = γ2 với j 6= nl w 35, 36, 37, 38, 44 Như vậy, bổ đề chứng minh d oa Chứng minh mệnh đề 3.1.2 Giả sử f ∈ P4 cho [f ] ∈ (QP4 )GL 2s+1 −3 Vì Σ4 ⊂ P4 j=1 γj p4,s,j với γj ∈ F2 Bằng tính tốn trực an nv tiếp, ta a lu GL4 , ta có [f ] ∈ (QP4 )Σ 2s+1 −3 Nên, f ≡ m ll fu ρ4 (f ) + f ≡(γ1 + γ4 )as,3 + γ1 as,9 + (γ2 + γ3 )as,15 + γ2 as,21 + số hạng khác ≡ oi nh Đẳng thức cuối γj = với j = 1, 2, 3, Mệnh đề sau s+1 =1 at (F2 , F2 ) = Do đó, Định lý 3.0.1 với z Từ Định lý 1.7.1, ta có Ext4,2 A z Trường hợp n = 2s+1 − an n va f∗ )2s+1 −2 : (QP4 )2s+1 −2 → (QP4 )2s −3 (Sq Lu Vì đồng cấu Kameko với bậc 2s+1 − 2, om l.c 3.2 gm @ n = 2s+1 − ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 28 toàn cấu GL4 -mơđun, sử dụng Mệnh đề 3.1.2, ta có f s+1 GL4 (QP4 )GL 2s+1 −2 ⊂ (Ker(Sq ∗ )2 −2 ) Từ [13, 14], ta có điều sau Mệnh đề 3.2.1 Giả sử s số nguyên dương Khi đó, f∗ )2s+1 −2 ) dim(Ker(Sq =    6,   s = 1, 20, s = 2,    35, s > lu an f∗ )2s+1 −2 ) tập bao gồm lớp đại diện đơn thức Cở sở (Ker(Sq va n bj = bs,j xác định sau: s −1 2s −1 x4 , 2s −1 2s −1 x1 x4 , −1 2s −1 x4 , 2s −1 2s −1 x1 x3 , bs,1 = x23 bs,2 = x22 bs,4 = bs,5 = p ie gh tn to Với s > 1, s −1 2s −1 x3 , 2s −1 2s −1 x1 x2 bs,3 = x22 bs,6 = s Với s > 2, oa nl w −2 2s −1 x4 , 2s −2 2s −1 x1 x3 x4 , s s x1 x22 −2 x23 −1 , s s x21 −1 x3 x24 −2 , s d bs,7 = x2 x23 a lu bs,10 = an nv bs,13 = bs,16 = −1 2s −2 x4 , 2s −1 2s −2 x1 x3 x4 , s s x1 x22 −1 x24 −2 , s s x21 −1 x2 x24 −2 , bs,8 = x2 x23 bs,11 = bs,14 = bs,17 = s bs,9 = x22 bs,12 = bs,15 = bs,18 = s −1 x3 x24 s −2 , s s x1 x22 −2 x24 −1 , s s x1 x22 −1 x23 −2 , s s x21 −1 x2 x23 −2 fu oi m ll Với s = 2, b2,19 = x1 x2 x23 x24 , b2,20 = x1 x22 x3 x24 s nh Với s > 3, at s s s s −3 2s −2 x4 , bs,20 = x31 x23 −3 x24 −2 , bs,21 = x1 x22 −3 x24 −2 , s s s s s s bs,22 = x31 x22 −3 x23 −2 , bs,23 = x1 x22 x23 −4 x24 −1 , bs,24 = x1 x22 x23 −1 x24 −4 , s s s s s s bs,25 = x1 x22 −1 x23 x24 −4 , bs,26 = x21 −1 x2 x23 x24 −4 , bs,27 = x1 x2 x23 −2 x24 −2 , s s s s s bs,28 = x1 x22 −2 x3 x24 −2 , bs,29 = x31 x52 x3 2s − 6x24 −4 , bs,30 = x1 x22 x23 −3 x24 −2 , s s s s s bs,31 = x1 x32 x23 −4 x24 −2 , bs,32 = x1 x32 x3 2s − 2x24 −4 , bs,30 = x31 x2 x23 −4 x24 −2 , s s bs,34 = x31 x2 x23 −2 x24 −4 s s Với s = 3, b3,35 = x31 x32 x43 x44 , với s > 4, bs,35 = x31 x22 −3 x23 x24 −4 bs,19 = x32 x23 z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 29 Ta đặt,  x1 x2 x6 x6 + x3 x3 x4 x4 , 4 p4,s = P 35  s = 3, s > j=1 bs,j Bằng tính tốn trực tiếp, sử dụng Mệnh đề 3.2.1, ta nhận điều sau Mệnh đề 3.2.2 f∗ )2s+1 −2 )GL4 = (Ker(Sq  0, s 2, h[p4,s ]i s > lu an Để thuận tiện, ta chứng minh mệnh đề cách chi tiết với s > Các n va trường hợp khác chứng minh tính tốn tương tự Ta có điều sau: mơđun: ie gh tn to (i) Với s > Tồn phân tích hạng tử trực tiếp Σ4 - Bổ đề 3.2.3 p f∗ )2s+1 −2 ) = Σ4 (bs,1 ) ⊕ Σ4 (bs,7 ) ⊕ Σ4 (bs,19 ) ⊕ Σ4 (bs,23 ) ⊕ Σ4 (bs,29 , bs,30 ) (Ker(Sq nl w P6 j=1 bs,j d oa (ii) Σ4 (bs,1 )Σ4 = h[p4,s,1 ]i với p4,s,1 = P18 j=7 bs,j an nv a lu (iii) Σ4 (bs,7 )Σ4 = h[p4,s,2 ]i với p4,s,2 = (iv) Σ4 (bs,19 )Σ4 = h[p4,s,3 ]i với p4,s,3 = fu j=19 as,j P26 j=23 bs,j oi m ll (v) Σ4 (bs,23 )Σ4 = h[p4,s,4 ]i với p4,s,4 = P22 P29 j=27 bs,j , p4,s,6 = P35 j=30 bs,j at p4,s,5 = nh (vi) Σ4 (bs,29 , as,30 )Σ4 = h[p4,s,5 ], [p4,s,6 ]i với z z gm @ Chứng minh Từ Mệnh đề 3.2.1 ta dễ dàng có Phần i) Bây ta chứng minh chi tiết Phần Các trường hợp lại chứng minh tính tốn tương tự P35 27 γj bs,j om Σ4 (bs,29 , bs,30 ) Giả sử [f ] ∈ Σ4 (bs,29 , bs,30 )Σ4 , f ≡ l.c Bằng tính tốn trực tiếp, ta thấy tập hợp {[bs,j : j = 27 j 35]} sở với γj ∈ F2 Bằng an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 30 tính tốn trực tiếp, ta ρ1 (f ) + f ≡ (ρ28 + ρ29 + ρ30 + ρ35 )bs,27 + (ρ31 + ρ33 )(bs,31 + bs,33 ) + (ρ32 + ρ34 )(bs,32 + bs,34 ) ≡ 0, ρ2 (f ) + f ≡ (ρ27 + ρ28 + ρ32 + ρ33 )(bs,27 + bs,28 ) + (ρ30 + ρ31 )(bs,30 + bs,31 ) + (ρ34 + ρ35 )(bs,34 + bs,35 ) ≡ 0, ρ3 (f ) + f ≡ (ρ28 + ρ29 + ρ30 + ρ35 )bs,27 + (ρ31 + ρ32 )(bs,31 + bs,32 ) + (ρ33 + ρ34 )(bs,33 + bs,34 ) ≡ lu Các đẳng thức suy γj = γ27 với j = 27, 28, 29 γj = γ30 với 30 j 35 Bổ an đề chứng minh n va Nhận xét 3.2.4 Với s = 3, Phần i) đến Phần v) Bổ đề 3.2.3 Ta thay gh tn to phần vi) Σ4 (b3,29 , a3,30 )Σ4 = [p4,3 ] p ie f∗ )GL Chứng minh Mệnh đề 3.2.2 Giả sử f ∈ P4 cho [f ] ∈ Ker(Sq 2s+1 −2 Nên, [f ] ∈ f∗ )Σs+1 Ker(Sq −2 Do đó, f ≡ j=1 γj p4,s,j với γj ∈ F2 Bằng tính tốn trực tiếp, ta d oa nl w P6 a lu ρ4 (f ) + f ≡(γ1 + γ2 )(bs,2 + bs,3 ) + (γ2 + γ4 )(bs,7 + bs,8 ) + (γ2 + γ5 )bs,9 an nv + (γ2 + γ3 )(bs,14 + bs,15 ) + (γ3 + γ6 )bs,19 + (γ4 + γ6 )bs,25 m ll fu + (γ2 + γ3 + γ4 + γ5 )bs,27 + (γ5 + γ6 )(bs,31 + bs,32 ) ≡ oi Đẳng thức cuối γj = γ1 với j 6 Mệnh đề sau at nh Từ Định lý 1.7.1 Ta có z    0,  @ hd i, s = 3,    hh2 h2 i, s > s om l.c gm = s 2, z s+1 +2 Ext4,2 (F2 , F2 ) A an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 31 Kí hiệu q4,s = P ((P4∗ )2s+1 −2 ) cách đặt (1) (1) (6) (6) (1) (2) (5) (6) (1) (3) (4) (6) (1) (4) (3) (6) (1) (5) (2) (6) q4,3 =a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 (1) (6) (1) (6) (2) (1) (6) (5) (2) (2) (5) (5) (2) (3) (4) (5) (2) (4) (3) (5) (2) (5) (2) (5) (2) (6) (1) (5) (3) (1) (5) (5) (3) (2) (6) (3) (3) (3) (2) (6) (3) (4) (1) (6) (3) (4) (2) (5) (3) (4) (4) (3) (3) (6) (2) (3) (4) (1) (6) (3) (4) (2) (5) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (4) (3) (3) (4) (5) (2) (3) (4) (6) (1) (3) (5) (1) (3) (5) (5) (2) (1) (6) (5) (2) (2) (5) (5) (2) (4) (3) (5) (3) (1) (5) (5) (3) (3) (3) (5) (5) (1) (3) (6) (1) (1) (6) (6) (1) (2) (5) (6) (1) (4) (3) + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 + a1 a2 a3 a4 lu (6) (2) (3) (3) an + a1 a2 a3 a4 , va (0) (0) (2s −1) (2s −1) , a4 n q4,s = a1 a2 a3 với s > Vì h[p4,s ], [q4,s ]i = với s > 3, ta tn to s 2, h[q4,s ]i s > p ie gh F2 ⊗GL4 P ((P4 )∗2s+1 −2 ) =  0, Bằng tính tốn trực tiếp, ta có nl w oa φ4 (q4,s ) =  d0 + δ(λ1 λ9 λ2 + λ1 λ3 λ9 λ3 ), s = 3, λ2 λ2s s > 3 d −1 a lu Từ đẳng thức Định lý 1.7.2, ta an nv s = 3, [λ2 λ2s ] = h2 h2 , s > −1 s oi m ll fu T r4 ([q4,s ]) = [φ3 (q4,s )] =  [d0 ] = d0 , Định lý 3.0.1 chứng minh với n = 2s+1 − at nh z Trường hợp n = 2s+1 − z 3.3 gm @ Đầu tiên, ta nhắc lại: l.c Mệnh đề 3.3.1 Giả sử n = 2s+1 − với s số nguyên dương Khi đó, số chiều om 14 35 75 89 85 n va dim(QP4 )n an Lu F2 -vectơ không gian (QP4 )n xác định theo bảng sau: n = 2s − s = s = s = s = s > ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 32 Một sở (QP4 )n gồm đơn thức cj = cs,j xác định tường minh sau: Với s > 1, s+1 c1 = x24 −1 c5 = x3 x24 s+1 c9 = x1 x23 Với s = 1, s+1 c2 = x23 s+1 s+1 −2 c6 = x2 x24 −2 c10 = x1 x22 c11 = x2 x3 x4 s+1 −1 c3 = x22 s+1 −2 s+1 −1 c7 = x2 x23 −2 c4 = x21 −2 s+1 c8 = x1 x24 −1 s+1 −2 c12 = x1 x3 x4 c13 = x1 x2 x4 c14 = x1 x2 x3 Với s > 2, lu an c11 = x2 x23 x24 s+1 −4 c12 = x1 x23 x42 c14 = x1 x22 x23 s+1 −4 c15 = x2 x23 s s −1 −1 x3 x4 2s −1 2s −1 x1 x2 x3 s s x21 −1 x2 x24 −1 s s x21 −1 x22 −1 x3 va c17 = x22 n c20 = to tn c23 = c21 = c24 = −4 s −1 2s −1 x4 2s −1 2s −1 x1 x3 x4 s s x21 −1 x3 x24 −1 s s x21 −1 x2 x23 −1 c13 = x1 x22 x42 c16 = x22 s −1 c25 = −4 x3 x24 s s −1 s −1 −1 x4 −1 2s −1 x1 x3 x4 s s x21 −1 x22 −1 x4 c19 = x1 x22 c22 = s+1 s ie gh c26 = c18 = s+1 p Với s = 2, c28 = x1 x2 x23 x34 c29 = x1 x2 x33 x24 c30 = x1 x22 x3 x34 c31 = x1 x22 x33 x4 c32 = x1 x32 x3 x24 c33 = x1 x32 x23 x4 c34 = x31 x2 x3 x24 oa nl w c27 = x1 x22 x23 x24 d c35 = x31 x2 x23 x4 c30 = c37 = −1 2s −3 x3 x4 2s −3 2s −1 x1 x2 x4 s s x31 x22 −1 x23 −3 s s x21 −1 x32 x23 −3 c29 = x22 c32 = c35 = c38 = s at nh Với s = 3, c34 = s oi c36 = c31 = m ll c33 = −1 2s −3 x4 2s −1 2s −3 x1 x3 x4 s s x31 x22 −1 x24 −3 s s x21 −1 x32 x24 −3 c28 = x32 x23 fu −3 2s −1 x4 2s −3 2s −1 x1 x3 x4 s s x31 x22 −3 x23 −1 s s x21 −1 x33 x24 −3 c27 = x32 x23 s an nv a lu Với s > 3, z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 33 c39 = x1 x22 x43 x84 c40 = x1 x2 x63 x74 c41 = x1 x2 x73 x64 c42 = x1 x62 x3 x74 c43 = x1 x62 x73 x4 c44 = x1 x72 x3 x64 c45 = x1 x72 x63 x4 c46 = x71 x2 x3 x64 c47 = x71 x2 x63 x4 c48 = x1 x22 x53 x74 c49 = x1 x22 x73 x54 c50 = x1 x72 x23 x54 c51 = x71 x2 x23 x54 c52 = x1 x32 x43 x74 c53 = x1 x32 x73 x44 c54 = x1 x72 x33 x44 c55 = x31 x2 x43 x74 c56 = x31 x2 x73 x44 c57 = x31 x42 x3 x74 c58 = x31 x42 x73 x4 c59 = x31 x72 x3 x44 c60 = x31 x72 x43 x4 c61 = x71 x2 x33 x44 c62 = x71 x32 x3 x44 c63 = x71 x32 x43 x4 c64 = x1 x32 x53 x64 c65 = x1 x32 x63 x54 c66 = x1 x62 x33 x54 c67 = x31 x2 x53 x64 c68 = x31 x2 x63 x54 c69 = x31 x52 x3 x64 c70 = x31 x52 x63 x4 c71 = x31 x52 x23 x54 c72 = x31 x32 x43 x54 c73 = x31 x32 x53 x44 c74 = x31 x42 x33 x54 c75 = x31 x52 x33 x44 lu Với s > 4, an va n c42 = to tn c45 = p ie gh c48 = c51 = c54 = s c43 = c46 = c49 = c52 = c55 = nl w c57 = c44 = c47 = c50 = c53 = c56 = c59 = c62 = c65 = c68 = c71 = c74 = c77 = c82 = c85 = c80 = c83 = s z c84 = c79 = −5 2s −3 x4 2s −2 2s −1 x1 x2 x3 x4 s s x1 x22 −2 x23 −1 x4 s s x21 −1 x2 x3 x24 −2 s s x1 x22 x23 −1 x24 −3 s s x1 x32 x23 −4 x24 −1 s s x31 x2 x23 −4 x24 −1 s s x21 −1 x2 x33 x24 −4 s s x1 x32 x23 −2 x24 −3 s s x31 x2 x23 −2 x24 −3 s s x1 x62 x23 −5 x24 −3 s s x71 x2 x23 −6 x24 −3 s s x71 x22 −5 x3 x24 −4 s s x31 x22 −3 x33 x24 −4 s s x31 x52 x23 −5 x24 −4 c41 = x71 x22 at c81 = c76 = s oi c78 = c73 = m ll c75 = c70 = fu c72 = c67 = an nv c69 = c64 = a lu c66 = c61 = d c63 = c58 = oa c60 = −5 2s −3 x4 s+1 x1 x2 x3 x24 −8 s s x1 x22 −2 x3 x24 −1 s s x1 x22 −1 x23 −2 x4 s s x1 x22 x23 −3 x24 −1 s s x21 −1 x2 x23 x24 −3 s s x1 x22 −1 x33 x24 −4 s s x31 x22 −1 x3 x24 −4 s s x1 x32 x23 −3 x24 −2 s s x31 x2 x23 −3 x24 −2 s s x31 x22 −3 x23 −2 x4 s s x1 x72 x23 −6 x24 −3 s s x71 x2 x23 −5 x24 −4 s s x31 x32 x23 −3 x24 −4 s s x31 x52 x23 −6 x24 −3 s s x71 x32 x23 −7 x24 −4 c40 = x71 x23 nh −5 2s −3 x4 2s −5 2s −3 x1 x2 x3 s s x1 x2 x23 −1 x24 −2 s s x1 x22 −1 x3 x24 −2 s s x21 −1 x2 x23 −2 x4 s s x1 x22 −1 x23 x24 −3 s s x1 x32 x23 −1 x24 −4 s s x31 x2 x23 −1 x24 −4 s s x21 −1 x32 x3 x24 −4 s s x1 x22 −2 x33 x24 −3 s s x31 x22 −3 x3 x24 −2 s s x31 x22 −3 x23 x24 −3 s s x1 x72 x23 −5 x24 −4 s s x31 x32 x23 −4 x24 −3 s s x31 x42 x23 −5 x24 −3 s s x31 x72 x23 −7 x24 −4 c39 = x72 x23 z c87 = x71 x32 x83 x13 c88 = x71 x72 x83 x94 X m−2 s+1 −2m−1 m=1 16i1 < k − 2, ta đặt k−1 X c89 = x71 x72 x93 x84 l.c c86 = x31 x72 x83 x13 gm @ Với s = 4, n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 34 Với k = 4, ta định nghĩa p4,s =  η4,s + x1 x2 x2 x2 , s = 2, s+1 η4,s + x1 x2 x4 x2 −8 , s > Bằng tính tốn tương tự Mệnh đề 3.2.1 sử dụng cở sở cj = cs,j trên, ta nhận điều sau Mệnh đề 3.3.2 Giả sử s số nguyên dương Khi đó, (QP4 )GL 2s+1 −1 =  0, s = 1, lu h[p ]i s > 4,s an n va Từ định lý 1.7.1, ta có to +3 (F2 , F2 ) = ie gh tn Ext4,2 A s+1 p (0) (0) (0) (2s+1 −1) Ký hiệu q 4,s = a1 a2 a3 a4  0, s = 1, hh3 hs+1 i, s > ∈ P ((P4∗ )2s+1 −1 ), với s > Dễ dàng thấy d oa nl w h[p4,s ], [q 4,s ]i = Do đó, ta s = 1, h[q ]i s > 4,s an nv a lu F2 ⊗GL4 P ((P4 )∗2s+1 −1 ) =  0, Bằng tính tốn đơn giản, ta có φ4 (q 4,s ) = λ30 λ2s+1 −1 Do đó, sử dụng Định lý 1.7.2, m ll fu ta oi T r4 ([q 4,s ] = [φ4 ([q 4,s ])] = [λ30 λ2s+1 −1 ] = h30 hs+1 at nh Định lý 4.1 chứng minh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 35 Kết luận Trong luận văn trình bày vấn đề sau: • Trình bày hệ thống kiến thức đại số Steenrod, cấu trúc A-môđun lu an đại số Pk đại số Steenrod, ứng dụng số hàm số học thường va dùng đồng cấu Kameko việc tính tốn tốn “hit” n tiêu chuẩn đơn thức hit p ie gh tn to • Trình bày cụ thể việc xây dựng đại số chuyển Singer, kết Singer [10] • Trình bày chứng minh chi tiết toán “hit” Pk với k số d oa nl w dạng bậc n ∈ {2s+1 − i| s ∈ N∗ , i = 1, 2, 3} oi m ll fu an nv a lu at nh z z om l.c gm @ an Lu n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an 36 Tài liệu tham khảo [1] J.F Adams (1960), “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann of Math., 72(1), pp.20-104 lu an [2] J Adem (1952),“The iteration of the Steenrod squares in algebraic topology”, Proc va Nat Acad Sci U.S.A., 38(8), pp.720-726 n gh tn to [3] J M Boardman (1993) , “Modular representations on the homology of powers of real projective spacess”, Contemp Math., 146, pp.49-70 p ie [4] P.H Chon, L.M Ha (2011), “Lambda algebra and the Singer transfer”, Comptes nl w Rendus Mathematique, 349(21-23), pp.21-23 oa d [5] N.H.V Hung (2005), “The cohomology of the Steenrod algebra and representations a lu of the general linear groups”, Trans of the Amer Math Soc., 357(10), pp.4065- an nv 4089 fu oi 231(4), pp.727-743 m ll [6] N.H.V Hung (1999), “The weak conjecture on spherical classes”, Math Zeit., nh at [7] M Kameko (1990), Products of projective spaces as Steenrod modules, PhD Thesis, z z The Johns Hopkins University, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 29 pp @ om l.c pp.459-496 gm 5,∗ [8] W.H Lin (2008) “Ext4,∗ A (Z2 , Z2 ) and ExtA (Z2 , Z2 )”, Topology Appl., 155(5), [9] F.P Peterson (1987), “Generators of H ∗ (RP ∞ × RP ∞ ) as a module over the Steen- an Lu rod algebra”, Abstracts Amer Math Soc., 833, pp.55-89 n va ac Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn si C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn