Tìm hiểu cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong khí tượng thủy văn

Đại học quốc gia h nội Trờng đại học khoa học tự nhiên Đ I KAZAKEVITS sở lý thuyết hm ngẫu nhiên v ứng dụng khí tợng thủy văn Ngời dịch: Phan Văn Tân Phạm Văn Huấn Nguyễn Thanh Sơn Hiệu đính: Nguyễn Văn Tuyên Nh xuất ®¹i häc quèc gia Hμ Néi                                         Môc Lôc Môc Lôc Lêi giíi thiƯu Lời nói đầu Chơng 1: Một số khái niệm lý thuyết xác suất 1.1 Đại lợng ngẫu nhiên v luật phân bè 1.2 Các đặc trng số đại lợng ngẫu nhiên 12 1.3 LuËt phân bố Poatxông 15 1.4 Luật phân bố 16 1.5 LuËt ph©n bè chuÈn .18 1.6 Luật phân bố Rơle v Macxoen 21 1.7 HƯ c¸c đại lợng ngẫu nhiên v luật phân bố chúng 24 1.8 Các đặc trng số hệ đại lợng ngẫu nhiên 29 1.9 Các định lý đặc tr−ng sè 32 1.10 Lt ph©n bè chn cđa hƯ đại lợng ngẫu nhiên 34 1.11 Luật phân bố hm đối số ngÉu nhiªn .39 1.12 Hm đặc trng 45 Ch−¬ng 2: Hμm ngÉu nhiên v đặc trng chúng .50 2.1 Định nghĩa hm ngẫu nhiên 50 2.2 Các qui luật phân bố trình nhẫu nhiên .51 2.3 C¸c đặc trng trình ngẫu nhiên 53 2.4 HƯ c¸c qu¸ trình ngẫu nhiên Hm tơng quan quan hệ .57 2.5 Quá trình ngẫu nhiên dừng .60 2.6 Tính egodic trình ngẫu nhiên dừng 65 2.7 Hμm cÊu tróc 67 2.8 Giới hạn trình ngẫu nhiên 69 2.9 Đạo hm hm ngẫu nhiên 70 2.10 Tích phân hm ngẫu nhiên .74 2.11 C¸c hμm ngÉu nhiªn phøc 76 2.12 Tr−êng ngÉu nhiªn vμ đặc trng 78 2.13 Trờng ngẫu nhiên đồng v ®¼ng h−íng 80 2.14 Trờng véctơ ngẫu nhiên 83 Chơng 3: Phân tích điều ho trình ngẫu nhiên dừng v trờng đồng 85 3.1 Các trình dừng có phổ rời r¹c 86 3.2 Các trình dừng có phổ liên tục 89 3.3 Phân tích điều ho trờng ngẫu nhiên đồng 99 Ch−¬ng 4: BiÕn đổi tuyến tính trình ngẫu nhiên dừng 104 4.1 Biến đổi hm ngẫu nhiên b»ng to¸n tư tun tÝnh 104 4.2 Biến đổi tuyến tính dới dạng phổ 105 4.3 Mật độ phổ phép biến đổi tuyến tính trình ngẫu nhiên dừng 108 4.4 nghiệm dừng phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số 110 Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên .115 5.1 Đặt bi toán 115 5.2 Néi, ngo¹i suy tuyÕn tÝnh tèi −u vμ lμm trơn hm ngẫu nhiên cho số điểm hữu h¹n 117 5.3 Ngo¹i suy tuyÕn tÝnh tối u v lm trơn trình ngẫu nhiên cho khoảng vô hạn .122 5.4 Lm trơn trình ngẫu nhiên cho khoảng vô hạn (,+) .126 5.5 Ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên cho khoảng (,t) nhờ sử dụng phơng pháp lý thuyết hm biến phức 128 5.6 Ngo¹i suy v lm trơn trình ngẫu nhiên biểu diễn hm tơng quan dới dạng tổng hm mũ 138 Chơng 6: Xác định đặc trng hm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm 143 6.1 Các đặc tr−ng thèng kª cđa hμm ngÉu nhiªn 143 6.2 Các đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên có tính Egođic 146 Chơng 7: Nghiên cứu cấu trúc thống kê trờng khí tợng 159 7.1 Nhận xét chung cấu trúc trờng khí tợng 159 7.2 CÊu tróc thống kê trờng địa vị 162 7.3 CÊu tróc thèng kª trờng nhiệt độ không khí 165 7.4 CÊu tróc thèng kª tr−êng giã 168 7.5 Cấu trúc thống kê trờng độ cao thảm tuyết v tối u hoá công tác quan trắc thảm tuyết 170 Ch−¬ng 8: Khai triển trình ngẫu nhiên v trờng ngẫu nhiên thnh thnh phần trực giao tự nhiên 173 8.1 ThiÕt lËp bμi to¸n 173 8.2 Mét sè kiÕn thức lý thuyết phơng trình tích phân 176 8.3 Tìm thnh phần trực giao tù nhiªn 178 8.4 Biểu diễn trờng khí tợng dới dạng tổng thnh phần trực giao tự nhiên 186 Chơng 9: Những ví dụ ngoại suy tuyến tính tối u trình khí tợng thủy văn 189 9.1 Ngoại suy tối u dòng chảy sông theo phơng pháp I M Alekhin .189 9.2 Ph©n tÝch phỉ vμ ngo¹i suy chØ sè hoμn l−u vÜ h−íng 192 Ch−¬ng 10: Mét sè vÊn đề mô tả trờng tốc độ gió 198 10.1 Hμm t−¬ng quan cđa tèc ®é giã 198 10.2 KhuÕch t¸n rèi 203 Ch−¬ng 11: Về việc tính mật độ phổ trình ngẫu nhiên dừng Phổ sóng biển 206 11.1 Xác định mật ®é phỉ theo sè liƯu thùc nghiƯm 206 11.2 Ph©n tÝch phỉ sãng biĨn 211 Tμi liƯu tham kh¶o .213 Lêi giíi thiƯu Lý thut x¸c st vμ to¸n häc thèng kê nói chung v lý thuyết hm ngẫu nhiên nói riêng l công cụ toán học quan trọng đợc sử dụng rộng rÃi v hiệu khoa học khí tợng, thủy văn v hải dơng học Trong chơng trình đo tạo chuyên ngnh khí tợng, thủy văn v hải dơng học việc ứng dụng phơng pháp thống kê v lý thuyết trình ngẫu nhiên có mặt nhiều môn học v thể dới hình thức khác Tuy nhiên, ë n−íc ta ch−a cã mét tμi liƯu gi¶ng dạy dùng chuyên cho ngnh khí tợng thủy văn, sở lý thuyết xác suất, toán học thống kê đợc trình by đầy đủ, hệ thống nhng dễ hiểu trình độ toán tơng ứng sinh viên nhóm ngnh ny Cuốn Cơ sở lý thut hμm ngÉu nhiªn vμ øng dơng khÝ tợng thủy văn Đ I Kazakevits, ngời đà giảng dạy toán học cao cấp v lý thuyết xác suất thống kê nhiều năm Trờng đại học khí tợng thủy văn Lêningrat, tỏ đáp ứng tốt yêu cầu Ngoi ra, tác giả giáo trình ny am hiểu v có công tổng quan ứng dụng công cụ lý thuyết hm ngẫu nhiên nghiên cứu khí tợng, thủy văn, hải dơng học, vấn đề no v no phơng pháp ny áp dụng hợp lý v hiệu quả, đặc thù thao tác với liệu khí tợng thủy văn tÝnh to¸n Nh− vËy cuèn s¸ch võa cã tÝnh chất giáo khoa vừa l chuyên khảo có ích cho sinh viên học tập m l ti liệu tham khảo cho nghiên cứu sinh v ngời nghiên cứu Hội đồng khoa học Khoa Khí tợng thủy văn v hải dơng học định dịch nguyên sách ny lm giáo trình giảng dạy môn học Lý thuyết trình ngẫu nhiên chuyên ngnh ny Trờng đại học khoa học tự nhiên Bản dịch chắn thiếu sót liên quan đến dịch thuật v in ấn Rất mong đợc thầy giáo v bạn đọc góp ý Những ngời dịch Lời nói đầu Trong hai chục năm gần ngời ta thấy công cụ toán học lý thuyết hm ngẫu nhiên đợc sư dơng réng r·i khÝ t−ỵng häc vμ thủ văn học Cơ sở điều ny l ý tởng xem xét giá trị tức thời ghi đợc trình v trờng không gian khí tợng thuỷ văn nh thể riêng biệt trình ngẫu nhiên hay trờng ngẫu nhiên no Cách tiếp cận nh cho phép không cần xét đặc điểm giá trị tức thời riêng rẽ trờng khí tợng thuỷ văn với mối phụ thuộc vo toạ độ không gian v biến trình thời gian phức tạp v không rõ nét v chuyển sang nghiên cứu số tính chất trung bình tập hợp thống kê thể ứng với tập điều kiện bên ngoi cụ thể no Quan điểm lý thuyết xác suất nghiên cứu tợng khí tợng v thuỷ văn học có sử dụng công cụ lý thuyết hm ngẫu nhiên tỏ hiệu lĩnh vực: lý thuyết rối, xây dựng phơng pháp dự báo thời tiết hạn di, phân tích khách quan trờng khí tợng, đánh giá tính đại diện số liệu quan trắc, độ xác dụng cụ đo, giải vấn đề hợp lý hoá phân bố mạng lới trạm khí tợng, xây dựng phơng pháp dự báo dòng chảy sông v đặc trng khí tợng thuỷ văn, nh nhiều vấn đề khác Đóng góp to lớn vo hớng ny l công trình đặt móng A.N Kolmogorov nh kết nghiên cứu A.M Obukhov, A.S Monin, A.M Iaglom, M.I Iuđin, L.S Ganđin, N.A Bagrov, O.A Đrozđov, E.P Borisenkov, N.A Kartvelishvili, I.M Alekhin vμ c¸c nhμ khoa häc khí tợng thuỷ văn hng đầu nớc ta Từ dẫn đến phải mở rộng giáo trình lý thuyết xác suất trờng khí tợng thuỷ văn v đa khoá chuyên đề sở lý thuyết hm ngẫu nhiên v điều ny đợc thực lần vo năm 1961 Trờng khí tợng thuỷ văn Leningrat Cuốn sách ny đợc viết sở giáo trình lý thuyết hm ngẫu nhiên m tác giả đà giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngnh dự báo thời tiết phơng pháp số trị Trờng khí tợng thuỷ văn Leningrat, v l giáo trình học tập cho sinh viên v nghiên cứu sinh trờng đại học khí tợng thuỷ văn v khoa tơng ứng trờng đại học tổng hợp nh cho rộng rÃi chuyên gia khí tợng thuỷ văn Cuốn sách ®−ỵc sư dơng nh− lμ tμi liƯu häc tËp cho sinh viên v kỹ s chuyên ngnh khác quan tâm đến lý thuyết hm ngẫu nhiên v ứng dụng Lý biên soạn sách nh xuất phát từ chỗ cha có ti liệu giáo khoa lý thuyết hm ngẫu nhiên đáp ứng cách đầy đủ nhu cầu chuyên gia v sinh viên ngnh khí tợng thuỷ văn Hơn nữa, thâm nhập ngy cng tăng lý thuyết hm ngẫu nhiên vo khí tợng học v thuỷ văn học đòi hỏi chuyên gia khí tợng, thuỷ văn phải nhanh chóng v chủ động chiếm lĩnh Lý thuyết hm ngẫu nhiên, phận lý thuyết xác suất, đà phát triển nhanh chóng thập niên gần v đợc ứng dụng réng r·i nhiÒu lÜnh vùc khoa häc vμ kü thuật Trớc hết phải kể đến ứng dụng lý thuyết hm ngẫu nhiên kỹ thuật vô tuyến, ®Ỉc biƯt lý thut ®iỊu khiĨn tù ®éng mμ nhu cầu chúng, đến lợt mình, lại thúc ®Èy sù ph¸t triĨn cđa chÝnh lý thut nμy Sù øng dơng réng r·i cđa lý thut hμm ngÉu nhiªn khí tợng thuỷ văn muộn chút Do có hai loại giáo trình lý thuyết hm ngẫu nhiên Ti liệu loại thứ trình by chặt chẽ lý thuyết trình xác suất dựa toán học trình độ cao (thí dụ nh J Dub "Các trình xác suất", I A Rozanov "Các trình ngẫu nhiên dừng") Những sách ny dùng cho chuyên gia toán nên khó sinh viên trờng khí tợng thuỷ văn nh kỹ s cha đợc trang bị toán học đầy đủ Loại thứ hai l chuyên khảo v sách giáo khoa trình by sở lý thuyết hm ngẫu nhiên tơng ứng với nhu cầu lý thuyết điều khiển tự động v kỹ thuật vô tuyến Việc sử dụng sách loại ny chuyên gia khí tợng thuỷ văn bị khó khăn lý thuyết hm ngẫu nhiên v phơng pháp lý thuyết điều khiển tự động hay kỹ thuật vô tuyến gắn chặt với nhau, khó tách biệt đợc Ngoi ra, cha phản ánh đợc khía cạnh hết søc quan träng øng dông lý thuyÕt nμy vμo khí tợng thuỷ văn học Cuốn sách ny nhằm độc giả với kiến thức toán đợc trang bị mức giáo trình toán cao cấp dnh trờng đại học chuyên ngnh khí tợng thuỷ văn Trong trình by, buộc phải dùng đến phơng pháp v khái niệm quen thuộc, chúng đợc diễn giải cách ngắn gọn (ví dụ, số dẫn liệu từ lý thuyết phơng trình tích phân, vi khái niệm đại số tuyến tính, hm đelta v.v ) Vì số chuyên gia khí tợng thuỷ văn cha có đủ kiến thức lý thuyết xác suất, chơng khái quát số kiến thức từ lý thuyết xác suất m sau ny dùng đến trình by lý thuyết hm ngẫu nhiên Việc trình by chi tiết vấn đề ny đà có sách giáo khoa lý thuyết xác suất, chẳng hạn giáo trình tiếng E.S Ventxel [4] Độc giả no đà quen với lý thuyết xác suất bỏ qua chơng ny Nội dung trình by sách không nhằm bao quát đầy đủ lý thuyết hm ngẫu nhiên, m chủ yếu xét khía cạnh no lý thuyết có ứng dụng rộng rÃi khí tợng thuỷ văn học Ngoi ra, tác giả chủ yếu tập trung trình by cho đơn giản v dễ hiểu, không bị gò bó yêu cầu chặt chẽ ton diện mặt toán học Cuốn sách gồm hai phần Phần thứ trình by sở lý thuyết hm ngẫu nhiên, bên cạnh việc xét trình ngẫu nhiên chiều, đà ý nhiều đến trờng ngẫu nhiên không gian Phần thứ hai xét số bi toán khí tợng, thuỷ văn đợc giải phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên Tuy nhiên hon ton không đặt mục tiêu tổng quan hệ thống tất công trình nghiên cứu giải đà bi toán khí tợng thuỷ văn phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên Những tổng quan nh− vËy vỊ øng dơng lý thut hμm ngÉu nhiên khí tợng thuỷ văn tìm thấy nhiều công trình tác giả v ngoμi n−íc [5,18,20, 14,45,9,57 ] Trong cn s¸ch nμy chØ lựa chọn số bi toán khí tợng v thuỷ văn tiêu biểu cho phép minh hoạ ứng dụng phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên đà trình by phần đầu sách V tập trung chủ yếu vo vấn đề phơng pháp luận Tác giả hy vọng sách giúp đông đảo nh khí tợng thuỷ văn lĩnh hội ý tởng v phơng pháp lý thuyết hm ngẫu nhiên v ứng dụng chúng vo thực tiễn khí tợng thủy văn học Tác giả xin by tỏ lòng biết ơn tới N.A Bagrov, O.A Đrozđov v M.I Iuđin đà có góp ý q gi¸ vỊ néi dung vμ cÊu tróc cn sách Tác giả đặc biệt cảm ơn L.S Ganđin đà đọc ton văn thảo v nêu nhiều nhận xét giúp tác giả lu ý chuẩn bị xuất Phần - Cơ sở lý thuyết hm ngẫu nhiên Chơng 1: Một số khái niệm lý thuyết xác suất 1.1 Đại lợng ngẫu nhiên v luật phân bố Đại lợng ngẫu nhiên l đại lợng m tiến hnh loạt phép thử điều kiện nh lần nhận đợc giá trị ny giá trị khác hon ton trớc đợc Ngời ta chia đại lợng ngẫu nhiên thnh hai dạng l đại lợng ngẫu nhiên rời rạc v đại lợng ngẫu nhiên liên tục Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc l đại lợng ngẫu nhiên m giá trị liệt kê đợc, tức l đánh số thứ tự tập số tự nhiên Còn đại lợng ngẫu nhiên liên tục l đại lợng ngẫu nhiên m giá trị phủ đầy đoạn trục số, v đánh số đợc Ví dụ đại lợng ngẫu nhiên rời rạc l số điểm gieo xúc xắc Đại lợng ngẫu nhiên ny với lần thí nghiệm nhận sáu giá trị: 1, 2, 3, 4, Đại lợng ngẫu nhiên đợc xem l rời rạc nhận số nguyên, số hữu tỷ Khi tập giá trị đại lợng ngẫu nhiên l vô hạn Đại lợng ngẫu nhiên liên tục l đại lợng ngẫu nhiên m kết thí nghiệm nhận giá trị số thực no khoảng vi khoảng no Ví dụ nhiệt độ không khí, áp suất không khí độ lệch chúng so với trung bình chuẩn nhiều năm, thnh phần vectơ vận tốc gió coi l đại lợng ngẫu nhiên liên tục Sai số dụng cụ đo xem l đại lợng ngẫu nhiên Thông thờng, sai số ny l đại lợng ngẫu nhiên dạng liên tục Ta qui ớc ký hiệu đại lợng ngẫu nhiên chữ hoa: A, B, C, X, Y giá trị chúng l chữ in thờng tơng ứng: a, b, c, x, y Giả sử đại lợng ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1, x2, , xn víi x¸c st p1, p2, , pn Khi đà liệt kê đợc giá trị m đại lợng ngẫu nhiên có v cho trớc xác suất m giá trị nhận, ta hon ton xác định đợc đại lợng ngẫu nhiên Hệ thức xác lập mối liên hệ giá trị đại lợng ngẫu nhiên v xác suất tơng ứng chúng gọi l luật phân bố đại lợng ngẫu nhiên Đối với đại lợng ngẫu nhiên rời rạc, luật phân bố cho dới dạng bảng m hng l giá trị có đại lợng ngẫu nhiên xi, v hng khác l xác suất tơng ứng pi x1x2x3 xn p1p2p3 pn Khi số lợng giá trị đại lợng ngẫu nhiên l hữu hạn vô hạn, tổng xác suất hng thứ hai bảng, giống nh tổng xác suất nhóm đầy đủ kiện xung khắc, pi = Đối với đại lợng ngẫu nhiên liên tục lập bảng tơng tự nh vậy, liệt kê đợc giá trị nã Ngoμi ra, nh− chóng ta cã thĨ thÊy sau ny, xác suất đại lợng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị cụ thể không, xác suất m nhận giá trị khoảng vô bé xung quanh giá trị khác không Để đặc trng đầy đủ cho đại lợng ngẫu nhiên, loại rời rạc lẫn loại liên tục, ngời ta sử dụng luật phân bố tích phân, gọi l hm phân bố Luật phân bố tích phân F(x) đại lợng ngẫu nhiên X đợc định nghĩa l xác suất đại lợng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ số x no đó: F(x) = P(X