Áp dụng nhân tử lagrange cải tiến phân tích tĩnh dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (tóm tắt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI ***** - NGUYỄN THỊ HƯỜNG KHÓA: 2021 - 2023 ÁP DỤNG NHÂN TỬ LAGRANGE CẢI TIẾN PHÂN TÍCH TĨNH DÀN PHẲNG CĨ ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐA BẬC TỰ DO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ XÂY DỰNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1.PGS.TS VŨ THỊ BÍCH QUYÊN TS.PHẠM VĂN TRUNG XÁC NHẬN CỦA CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN HÀ NỘI_2023 LỜI CẢM ƠN Để thực hồn thành đề tài luận văn này, tơi nhận hỗ trợ, giúp đỡ tạo điều kiện từ nhiều quan, tổ chức cá nhân Luận văn hoàn thành dựa tham khảo, học tập kinh nghiệm từ kết nghiên cứu liên quan, tạp chí chuyên ngành nhiều tác giả trường Đại học, tổ chức nghiên cứu, tổ chức trị…Đặc biệt giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất tinh thần từ phía gia đình, bạn bè đồng nghiệp Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến hai thầy cô giáo, cô PGS.TS Vũ Thị Bích Quyên thầy TS Phạm Văn Trung – người hướng dẫn khoa học trực tiếp dành nhiều thời gian, cơng sức hướng dẫn tơi q trình thực nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, lãnh đạo Khoa sau Đại học tồn thể thầy giáo tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tuy có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Tơi kính mong Q thầy cơ, chun gia, người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình bạn bè tiếp tục có ý kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài hoàn thiện Một lần xin chân thành cám ơn! TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Thị Hường LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sỹ cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập Các số liệu khoa học, kết nghiên cứu luận văn trung thực có nguồn gốc rõ ràng TÁC GIẢ LUẬN VĂN Nguyễn Thị Hường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC HÌNH VẼ MỞ ĐẦU * Lý chọn đề tài * Mục đích nghiên cứu * Đối tượng phạm vi nghiên cứu * Phương pháp nghiên cứu * Ý nghĩa khoa học đề tài * Cấu trúc luận văn NỘI DUNG CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan hệ dàn phẳng 1.1.1 Tổng quan sử dụng dàn phẳng kết cấu cơng trình…………….4 1.1.2 Các phương pháp phân tích tĩnh dàn phẳng…………………………….6 1.2 Tổng quan điều kiện biên dàn phẳng 1.2.1 Khái niệm điều kiện biên, bậc tự do, ràng buộc đa tự do……………….9 1.2.2 Phân loại điều kiện biên …………………………………………… 15 1.2.3 Xử lý điều kiện biên toán phân tích kết cấu phương pháp phần tử hữu hạn………………………………………………………………25 1.2.4 Các phương pháp xử lý điều kiện biên đa bậc tự dàn phẳng……….26 1.2.4 Nhận xét……………………………………………………………….38 CHƯƠNG SỬ DỤNG NHÂN TỬ LAGRANGE CẢI TIẾN PHÂN TÍCH TĨNH DÀN PHẲNG CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐA BẬC TỰ DO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH 39 2.1 Phương pháp phần tủ hữu hạn giải toán dàn phẳng 39 2.1.1 Khái niệm phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)…………………39 2.1.2 Trình tự giải tốn kết cấu dàn theo phương pháp phần tử hữu hạn………………………………………………………………………… 40 2.2 Phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến (Augmented Lagrangian Methods) xử lý điều kiện biên 42 2.2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange Multiplier Adjunction)………………………………………………………………… 42 2.2.2 Phương pháp hàm phạt …………………………………………… 47 2.2.3 Phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến (Augmented Lagrangian Methods) xử lý điều kiện biên……………………………………………… 56 2.3 Thiết lập trình tự thuật tốn phân tích tĩnh dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự 57 2.3.1 Thiết lập trình tự thuật tốn…………………………………… 57 2.3.2 Ví dụ………………………………………………………………… 58 CHƯƠNG VÍ DỤ TÍNH TỐN 64 3.1 Bài toán khảo sát [11] 64 3.2 Giải toán theo phương pháp hàm phạt[11] 65 3.3 Giải toán theo phương pháp nhân tử Lagrange[11] 71 3.4 Giải toán theo phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến 77 3.5 Nhận xét 85 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt BC FEM Tên đầy đủ Boundary conditions Phương pháp phần tử hữu hạn HTĐC Hệ tọa độ chung HTĐR Hệ tọa độ riêng KUBCs Kinematic uniform boundary conditions –Điều kiện biên động học PBC Periodic boundary conditions – Điều kiện biên chu kỳ PTHH Phần tử hữu hạn RVE 2D Phần tử khối 2D SFC Single freedom constraints – Ràng buộc đơn tự SUBCs Static uniform boundary conditions – Điều kiện biên tĩnh học MFC Multi-freedoms constraints – Ràng buộc đa tự ALM Augmented Lagrange Method - Phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến DANH MỤC HÌNH VẼ Số hiệu hình Tên hình Trang Hình 1.1 Hình minh họa kết cấu dàn phẳng Hình 1.2 Hình minh họa kết cấu dàn khơng gian Hình 1.3 Điều kiên biên phân tố vơ nhỏ 11 sát biên Hình 1.4 Dàn phẳng có ràng buộc đơn tự 15 ràng buộc đa tự Hình 1.5 Minh họa điều kiện biên Dirichlet điển 17 hình biến dạng Hình 1.6 Hình ảnh thực tế yêu cầu điều kiện biên 18 Dirichlet: Hình 1.7 Điều kiện biên Neumann điển hình 20 biến dạng liên quan Hình 1.8 Điều kiện biên Robin điển hình biến 21 dạng liên quan Hình 1.9 Điều kiện biên chu kỳ điển hình biến 22 dạng Hình 1.10 Miền ảo mơ tả điều kiện biên chu kỳ 23 áp đặt chuyển vị Hình 1.11 (a) Loại lưới chu kỳ (b) không chu kỳ 24 cho polymer khuyết Hình 1.12 Ví dụ phương pháp số mã 27 Hình 1.13 Trình tự xử lý điều kiện biên ràng buộc 30 đa tự Hình 1.14 Phần tử hữu hạn chiều, 07 bậc tự 31 Hình 1.15 Sơ đồ khối thuật tốn xử lý điều kiện biên 34 đa ràng buộc tự theo phương pháp – phụ Hình 2.1 Ý nghĩa vật lý phương pháp nhân tử 42 Lagrange Hình 2.2 Sơ đồ khối thuật toán xử lý điều kiện biên 46 theo phương pháp nhân tử Lagrange Hình 2.3 Phần tử phạt (7) với độ cứng w 47 Hình 2.4 Sơ đồ khối thuật toán xử lý điều kiện biên 55 theo phương pháp Hàm phạt Hình 2.5 Sơ đồ khối thuật toán xử lý điều kiện biên 58 theo phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến Hình 3.1 Dàn phẳng 64 Hình 3.2 So sánh chuyển vị nút theo PP hàm phạt 86 PP nhân tử Lagrange với PP nhân tử Lagrange cải tiến (w = 10E2~10E7) Hình 3.3 So sánh chuyển vị nút theo PP hàm phạt 87 PP nhân tử Lagrange với PP nhân tử Lagrange cải tiến (w = 10E8~10E12) Hình 3.4 So sánh chuyển vị nút theo PP hàm phạt PP nhân tử Lagrange với PP nhân tử Lagrange cải tiến (w > 10E12) 87 DANH MỤC BẢNG, BIỂU Số hiệu bảng, Tên bảng, biểu Trang Kết phân tích tĩnh hệ khung phẳng 69 biểu Bảng 3.1 theo PP hàm phạt Bảng 3.2 Kết phân tích tĩnh hệ khung phẳng 77 theo PP nhân tử Lagrange Bảng 3.3 Kết phân tích tĩnh hệ khung phẳng theo PP nhân tử Lagrange cải tiến 84 MỞ ĐẦU * Lý chọn đề tài Hệ kết cấu dàn sử dụng nhiều cơng trình xây dựng, giao thơng có nhiều ưu điểm vượt nhịp lớn, tải trọng nhẹ, giảm độ võng, chịu tải trọng lớn, tiết kiệm vật liệu có tính thẩm mỹ cao Hiện nay, kết cấu dàn chủ yếu chế tạo từ vật liệu thép, thường chế tạo sẵn nhà máy lắp ráp công trường Trong q trình gia cơng chế tạo lắp ráp, nhiều nguyên nhân khác thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng liên kết, chế tạo cấu kiện khơng xác kích thước hình học, gây chuyển vị nội lực ban đầu cho dàn Khi tính tốn thiết kế hệ dàn hệ dàn trên, điều kiện biên không độc lập mà có mối quan hệ ràng buộc cần phải kể đến tốn phân tích nội lực chuyển vị Phương pháp PTHH phương pháp số phổ biến hiệu để giải tốn phân tích kết cấu bao gồm kết cấu dàn Xử lý điều kiện biên bước khơng thể thiếu trình tự giải tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng phương pháp PTHH Hiện nay, đa phần nghiên cứu phương pháp PTHH chủ yếu tập trung giải toán phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên đơn bậc tự (single-freedom constrains) Đối với hệ dàn có diều kiện biên ràng buộc đa tự (multi-freedom constrains), để xử lý điều kiện biên cần thuật toán xử lý ràng buộc, đưa vào vào phương trình cân hệ thiết lập hệ phương trình giải có kể đến điều kiện biên constrains) Ba phương pháp phổ biến để xử lý điều kiện biên ràng buộc đa tự bao gồm: Phương pháp phụ (Master – Slave Elimination), phương pháp hàm phạt (Penalty Augmentation) phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange Multiplier Adjuntion) Trong phương pháp chính-phụ phù hợp cho việc giải tồn đơn giản, cịn phương pháp hàm phạt phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng phổ biến có nhiều ưu điểm Phương pháp hàm phạt có ưu điểm thực đơn giản dễ dàng sử dụng việc xử lý ràng buộc phi tuyến Tuy nhiên, phương pháp hàm phạt có nhược điểm khó lựa chọn giá trị trọng số cân độ xác lời giải với việc vi phạm điều kiện ràng buộc Ngược lại với phương pháp hàm phạt, phương pháp nhân tử Lagrange có ưu điểm xác, cung cấp lực lượng ràng buộc, khơng yêu cầu đoán liên quan đến trọng số sử dụng hiệu để xử lý ràng buộc phi tuyến Nhưng phương pháp khơng phải khơng có nhược điểm Sử dụng phương pháp tính từ cấp số nhân Lagrange yêu cầu thêm ẩn số thủ tục cấp phát lưu trữ phức tạp Phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến (Augmented Lagrangian methods) kết hợp hoàn hảo ưu điểm khắc phục nhược điểm phương pháp hàm phạt phương pháp nhân tử Lagrange Vì vậy, học viên chọn đề tài nghiên cứu “Áp dụng nhân tử Lagrange cải tiến phân tích tĩnh dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự phương pháp PTHH” để hoàn thành luận văn * Mục đích nghiên cứu - Thiết lập đường lối, trình tự giải tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên đa ràng buộc tự phương pháp PTHH với việc sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến - Thiết lập thuật toán, viết chương trình tính nội lực chuyển vị dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc ửu phần mềm lập trình MathCad * Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Hệ dàn phẳng có liên kết biên ràng buộc 3 -Phạm vi nghiên cứu: Hệ dàn phẳng chịu tải trọng tĩnh Sử dụng lý thuyết tuyến tính hình học, vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi Các điều kiện biên ràng buộc tuyến tính * Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp mô số sử dụng phần mềm lập trình MathCAD * Ý nghĩa khoa học đề tài Đề xuất phương pháp giải tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc Các kết nghiên cứu áp dụng việc thiết kế tính tốn kết cấu cơng trình * Cấu trúc luận văn Ngồi phần Mở đầu, Kết luận kiến nghị, Tài liệu tham khảo Phụ lục, nội dung luận văn gồm 03 chương: - Chương 1: Tổng quan vấn đề nghiên cứu - Chương 2: Thiết lập đường lối giải toán phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến - Chương 3: Các ví dụ tính toán Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping THÔNG BÁO Để xem phần văn tài liệu này, vui lịng liên hệ với Trung Tâm Thơng tin Thư viện Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Địa chỉ: T.1 - Nhà F - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Đ/c: Km 10 - Nguyễn Trãi - Thanh Xuân Hà Nội Email: huongdtl@hau.edu.vn ĐT: 0243.8545.649 TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ  KẾT LUẬN Trong luận văn tác giả nghiên cứu phương pháp xử lý điều kiện biên có ràng buộc đa bậc tự (bao gồm phương pháp phụ, phương pháp hàm phạt phương pháp thừa số Lagrange) tốn phân tích kết cấu phương pháp phần tử hữu hạn Từ luận văn đề xuất thêm phương pháp khắc phục nhược điểm phương pháp phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến Luận văn thiết lập thuật tốn xử lý điều kiện biên trình tự giải tốn phân tích dàn phẳng có biên đa bậc tự phương pháp phụ, phương pháp hàm phạt, phương pháp nhân tử Lagrange phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến Trên sở viết chương trình phân tích kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự thực khảo sát số phân tích tĩnh dàn phẳng phương pháp nhân tử Lagrange, phương pháp hàm phạt phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến Trên sở phân tích phương pháp xử lý điều kiện biện đa bậc tự kết nhận từ khảo sát số đưa số nhận xét sau đây: Phương pháp hàm phạt có ưu điểm việc thực máy tính đơn giản, phương trình độ cứng tổng thể khơng cần phải xếp lại Trong thực tế, sử dụng phương pháp khơng cần phân biệt phương trình ràng buộc khơng ràng buộc Ngồi ra, phương pháp không bị ảnh hưởng phụ thuộc tuyến tính phương trình hệ phương trình điều kiện biên Phương pháp mở rộng để xử lý ràng buộc phi tuyến Tuy nhiên, nhược điểm phương pháp mức độ xác kết tính phụ thuộc vào lựa chọn trọng số w người tính tốn Đối với toán phức tạp, việc lựa chọn trọng số w thực cách thử nghiệm nhiều 90 lựa chọn để chọn miền trọng số w hợp lý Mặc dù vậy, trọng số chọn tối ưu, sai số kết tính khơng thể thấp giá trị ngưỡng định Phương pháp nhân tử Lagrange có ưu điểm cung cấp trực tiếp phản lực liên kết, không yêu cầu người tính tốn đốn trọng số, mở rộng cho ràng buộc phi tuyến kết tính tốn có mức độ xác cao Nhược điểm phương pháp đưa thêm ẩn số, yêu cầu phương pháp mở rộng độ cứng ban đầu trình phân bổ lưu trữ phức tạp Phương pháp tạo ma trận độ cứng bổ sung khơng xác định, gây thất bại phương pháp giải phương trình tuyến tính dựa vào mức độ xác định Phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến đề xuất luận văn khắc phục nhược điểm  KIẾN NGHỊ Các phương pháp xử lý điều kiện biên thuật toán đề xuất luận văn áp dụng tốn phân tích thiết kế kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự phức tạp Hướng nghiên cứu tiếp theo: Áp dụng phương pháp xử lý điều biên đề xuất tốn phân tích phi tuyến loại kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự phi tuyến phương pháp phần tử hữu hạn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Vũ Khắc Bảy (2012), Bài giảng phương pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn), Bộ môn Toán, Trường Đại học Lâm nghiệp, Hà Nội Võ Như Cầu (2012), Tính kết cấu theo phương pháp ma trận, NXB Xây dựng, Hà Nội Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Xây dựng, Hà Nội Nguyễn Tiến Cường (1985), Phương pháp số học kết cấu, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Xuân Lựu (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB GTVT, Hà Nội Vũ Như Phan Thiện, Nguyễn Hoài Sơn, Đỗ Thanh Việt (2001), Phương pháp phần tử hữu hạn với Matlab, NXB ĐH Quốc gia, Hồ Chí Minh Hồ Thuần, Nguyễn Ngọc Huỳnh (1976), Ứng dụng ma trận kỹ thuật, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Trần Ích Thịnh, Ngơ Như Khoa (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, Đại học Bách Khoa, Hà Nội 10 Nguyễn Mạnh Yên (1996), Phương pháp số học kết cấu, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 11 Nguyễn Như Dũng (2020), Phân tích hệ dàn phẳng có điều kiện biên rang buộc đa tự phương pháp phần tử hữu hạn ,Luận văn thạc sĩ kỹ thuật xây dựng, Đại học kiến trúc Hà Nội Tiếng Anh: 12 A.R.Melro, P.P.Camanho S.T.Pinho (2008), "Generation of random distribution of fibres in long-fibre reinforced composites", Composites Science and Technology 68(9), tr 10 13 A Akpoyomare, M Okereke M Bingley (2017), "Virtual testing of composites: imposing periodic boundary conditions on general finite element meshes.", Compos Struct 160 14 Al Kassem G D Weichert (2009), "Micromechanical material models for polymer composites through advanced numerical simulation techniques", PAMM 9, tr 15 Argyris J H (1964), Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis, Progress in Aeronautical Science, Vol 4, Pergamon Press, New York 16 Auricchio F (2017), Mixed Finite Element Methods, Second, Encyclopedia of Computational Mechanics, John Wiley & Sons, Ltd 17 Brezzi F (1985), Two families of mixed finite elements for second order elliptic problems, Vol 47 18 Brezzi F (1987), Efficient rectangular mixed finite elements in two and three space variables Vol 21 19 I.M.Gitman, H.Askes L.J.Sluys (2007), "Representative volume: Existence and size determination", Engineering Fracture Mechanics 74(16), tr 20 C.T.Sun R.S.Vaidya (1996), "Prediction of composite properties from a representative volume element", Composites Science and Technology 56(2), tr 21 Gusev Andrei A (2001), "Numerical Identification of the Potential of Whisker- and Platelet-Filled Polymers", Macromolecules 34(9), tr 12 22 He Qichang (2011), "Effects of size and boundary conditions on the yield strength of heterogeneous materials", Journal of the Mechanics and Physics of Solids 49(11), tr 18 23 O.van der Sluis cộng (2000), "Overall behaviour of heterogeneous elastoviscoplastic materials: effect of microstructural modelling", Mechanics of Materials 32(8), tr 13 24 I.M.Gitman, H.Askes L.J.Sluys (2007), "Representative volume: Existence and size determination", Engineering Fracture Mechanics 74(16), tr 25 J K Bathe (2016), Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jersey 26 J.M.Tyrus, M.Gosz E.DeSantiago (2007), "A local finite element implementation for imposing periodic boundary conditions on composite micromechanical models", International Journal of Solids and Structures 44(9), tr 17 27 Kenjiro Terada cộng (2000), "Simulation of the multi-scale convergence in computational homogenization approaches",International Journal of Solids and Structures 37(16), tr 26 28 M.I.Okereke A.I.Akpoyomare (2013), "A virtual framework for prediction of full-field elastic response of unidirectional composites", Computational Materials Science 70, tr 17 29 Morais Alfredo Balacos de (2000), "Transverse moduli of continuous- fibre-reinforced polymers", Composites Science and Technology 60(7), tr 30 O C Zienkiewicz R L Taylor (2000), The Finite Element Method, 15, Vol 1: The Basic, Butterworth-Heinemann 31 O.van der Sluis cộng (2000), "Overall behaviour of heterogeneous elastoviscoplastic materials: effect of microstructural modelling", Mechanics of Materials 32(8), tr 13 32 Okereke Michael Simeon Keates (2018), Finite Element Applications, Springer Nature, Switzerland 33 Otiaba K.C., M Okereke R Bhatti (2014), "Numerical assessment of the effect of void morphology on thermo-mechanical performance of solder thermal interface material", Appl Thermal Eng 64(1), tr 12 34 Qin S cộng (1999), "The effect of particle shape on ductility of sicp reinforced 6061 al matrix composites", Mater Sci Eng 272(2), tr 35 R C Hibbeler K S Vijay Sekar (2013), Mechanics of Materials, Vol 9, Pearson Education South Asia Pte Limited 36 S.Jacques, I.De Baere W.Van Paepegem (2014), "Application of periodic boundary conditions on multiple part finite element meshes for the meso-scale homogenization of textile fabric composites", Composites Science and Technology 92, tr 13 37 T.Kanit cộng (2003), "Determination of the size of the representative volume element for random composites: statistical and numerical approach", International Journal of Solids and Structures 40(13-14), tr 32 38 V.-D.Nguyen cộng (2012), "Imposing periodic boundary condition on arbitrary meshes by polynomial interpolation",Computational Materials Science 55, tr 16 39 V Kouznetsova, W A M Brekelmans F P T Baaijens (2001), "An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials",Computational Mechanics 27, tr 11 40 41 Zihui Xia, Yunfa Zhang Fernand Ellyin (2003), "A unified periodical boundary conditions for representative volume elements of composites and applications", International Journal of Solids and Structures 40(8), tr 14 1