ặ90, 16
Ủ> f;\u2 fÍ PGS TS NGUYEN NHẬT LỆ, PGS TS NGUYỄN VĂN VƯỢNG
BÀI TẬP
cơ HỌC ỨNG DỤNG (Giáo trình đã được Hội đông duyệt sách trường Đại học Bách khoa Hà Nội duyệt)
(IN LAN THUTUCO SUA CHUA & BO SUNG)
TRUGNG CAO DANG KTKT PHU LAM
Trang 2LÍ I il "\
.2/0UW 30: i alton ait 2090 Thi ersane 1l
|
q AT iAg
on Ud ONY OH OD
(Iuởnh io oR hàng Ộh4 kinh tiền Yosh malyb tuy 'SENG h (ed niệ
(One G8 a 149 Nie OOU UAT MAruD
Wir | I
|
Pin ouear]
Trang 3
LỜI NÓI ĐẦU
Trong mỗi chương của quyển sách này đều có cóc phần: Cơ sở ly thuyết
- Hướng dẫn dp dung - Những bài giải mẫu - Bài tệp Các bài tệp đều có trả lời Ngoài ra trong quyển sách cịn có phần bài tệp cho mỗi hỳ thi, cóc bài này được hướng dẫn phương pháp giải ở cuối súch
Quyển này cùng uới quyển "Cơ học ứng dụng - phần lý thuyết" của GS TSKH Dé Sanh lam chủ biên tạo thành một bộ tời liệu học tệp cho sinh
uiên đợi học cúc ngành phi cơ khắ uà cao dang ky thuat Nó cũng có thể làm
tài liệu tham khảo cho sinh uiên cóc ngành cơ khắ, cóc ngành kỹ thuật khóc của hé tap trung va hé tai chúc
Chúng tôi chân thành cảm on Truong Dai hoc Bach khoa Ha Néi va Bộ môn Cơ học ứng dụng của Trường dã góp ý hiến xây dụng uờ tạo diều hiện thuận lợi cho uiệc biên soạn quyển sách này
Chúng tôi mong nhận dược sự nhận xét của cúc bạn đồng nghiệp uồ các bạn đọc để quyển sách dược hoàn thiện hơn trong lần xuất bản sơu Cóc nhận xét, góp ý xin gửi uề: Nhà xuất bản Khoa học uà Kỹ thuệột, 70 Trần Hung Đạo, Hà Nội hoặc Bộ môn Cơ hoc ứng dụng, Khoa Cơ khắ - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Hà Nội - 2006
Trang 4MỤC LỤC
Trang
Lời nối đầu 3
Chương 1: Chuyển động của điểm 5
Chương 2: Chuyển động của vật rắn quanh trục cố định 14
Chương 3: Chuyển động song phẳng của vật rắn 21
Chương 4: Hợp chuyển động của điểm 37
Chương đ: Hợp chuyển động quay của vật rắn quanh các trục 50
Chương 6: Cân bằng của hệ lực phẳng 57
Chương 7: Cân bằng của hệ lực không gian 77
Cac bai tap 6n thi ky I
82
Chuong 8: Déng luc hoc chat diém 87
Chuong 9: Dac trung hinh học của vật rắn 98 Chương 10: Nguyên lý di chuyển khả di - Nguyên lý Dalămbe 110 Chương 11: Các định lý tổng quát của động lực học 127 Chương 19: Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn và cơ hệ 151 Chuong 13: Kéo - Nén đúng tâm 161
Chương 14: Xoán thuần túy thanh thẳng 183
Chương 1õ: Uốn phẳng
203
Chuong 16: Tinh thanh chiu luc phức tạp 228
Các bài tập ôn thi kỳ II
247 Trả lời các bài tập và hướng dẫn bài tập ôn thi 251
Tài liệu tham khảo
Trang 5
Chương ỉ
CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM
-l CO SO LY THUYET:
ể giải bài toán về chuyển động của điểm, ta thường dùng hai phương pháp: phương
áp tọa độ Đề Các và phương pháp tọa độ tự nhiên hương pháp tọa độ Đề Các
j trắ của điểm M được xác định bởi các tọa độ: xu, Yụ; ZẤ (hình 1-1) 1) Phương trình chuyển động biểu diễn sự liên hệ giữa tọa độ theo thời gian:
XM = x(t)
ym = y(t) (1-1)
ty = alt)
Nếu khử thời gian t ở phương trỉnh chuyển động và tìm quan hệ các tọa độ, ta nhận
ợc phương trỉnh quỹ đạo của điểm
2) Van tốc Véc tơ vận tốc Ỳ của điểm được xác định a các hình chiếu của nơ trên các trục tọa độ:
Vy Se Vy = ya Vp =e
q dx
O day x = Ở
dt
Tri so: V = V V2 + Vy? + VẤ? (1-2)
Các côsin chỉ phương: cosa = V/V; cosB = V,/V; ý Hình +1 cosy = V,/V
3) Gia tốc Vectơ gia tốc đ của điểm được xác định qua các hình chiếu của nớ trên các
hc tọa độ:
- _ dx a =X a= ya, = 2 SR
Tris6 a = v HUẾ + ay? + a? (1-3) Các côsin chỉ phương: cosỦ = a/a; cosổ = ala; cosy = aja
d) Tắnh chất chuyển động: xét tắch vô huéng V a:
> 0: chuyển động nhanh dần Vida es + yytaz < 0: chuyển động chậm dần
=0, Yt: chuyển động đều
Trang 6II- Phương pháp tọa độ tự nhiên
Khi biết quỹ đạo, chọn gốc O và chiều dương (+) Vị trắ của điểm M được xác định bởi tọa độ cong của điểm trên quỹ đạo 5 = OM (hinh 1-2)
1 Phuong trinh chuyén déng theo quy dao
Biểu diễn sự liên hệ giữa tọa độ cong theo thời gian:
58 =5) (1-5) >
= ồ ee 2 3 m SẼ Zo 2 Vận tốc Vectơ vận tốc Ỳ có phương tiếp tuyến với qui ~ A đạo, chiều phụ thuộc S:
ợ ì ậ>0:3 hướng theo chiều dương của qui đạo
= Sar
Hinh 1-2
Ổ (1-6)
S < 0: V huéng theo chiều âm của qui đạo
Trị số Vice |s | ở đây $= et Pva nr la vecto don vi ctia tiép tuyén va
pháp tuyến tại M Ọ
3 Gia tốc Vectơ gia tốc đ có hai thành phần: gia tốc pháp tuyến a
tuyến 4Ì (hình 1-3) và gia tốc tiếp > a=a%+aỎ ; ể ves ụ TU) # 2
e= 7 hướng vào tâm cong của quỹ dạo
p ve" 9ặ 4 `
Trị số aỢ =ỞỞ aod) alte
P
ử- bán kắnh cong của quỹ đạo tại M
Tiếp tuyến với quy đạo tại M
Hình 1+3
a=8.7 Jùng chiều hoặc ngược chiều với ? phụ thuộc vào $>0 hoac SI< 0;
ả Pann sic
i s6 a S| 8 |, ee day 5 < (1-8)
dt
4) Tắnh chất chuyển động Xét tắch vô hướng VaỔ > 0: chuyển động nhanh dần
vg < 0: chuyển động chậm dần (1-9) =0, Yt: chuyển động đều
5) Các dạng chuyển động đặc biệt: a) Chuyển động đều: V = const
Suy ra: a" = 0; S = Vt (1-10)
b) Chuyển động biến đổi đều: a'Ợ = const 1
Trang 7
trong đó: qui ước chọn gốc của quỹ đạo ở vị trắ đầu; chiều dương của quỹ đạo theo chiều
chuyển động ban đầu của điểm
dấu +: ứng với chuyển động nhanh dần đều
dấu Ở: ứng với chuyển động chậm dần đều
ậI-2 HƯỚNG DẪN ÁP DỤNG
Co hai loại bài tốn:
I- Tìm phương trình chuyển động, tìm các đặc trưng của chuyển động như: qui đạo, vận
, tắnh chất chuyển động
>
TI- Bài toán tổng hợp dùng cả hai phương pháp (tọa độ Đề các và tọa độ tự nhiên) trong nột bài toán
Phương pháp giải bài toán:
1 Chọn phương pháp Tùy đầu bài mà ta chọn phương pháp tọa độ Đề các hay tọa độ ự nhiên Phương pháp tọa độ tự nhiên được dùng khi đã biết quỹ đạo của điểm
2 Tìm phương trình chuyển động:
Xét điểm ở vị trắ bất kì Tìm quan hệ giữa các đại lượng định vị theo thời gian t
- Nếu biết gia tốc thì dùng phép tắnh tắch phân, nhận được vận tốc, tắch phân lần nữa ta nhận được phương trình chuyển động
- Nếu biết chuyển động là đều hay biến đổi đều ta viết được phương trình chuyển động
dạng (1- 10) hoặc (1-11)
3 Tìm qui đạo Khử thời gian t khỏi phương trình chuyển động và tìm liên hệ giữa các
oa độ khơng cịn chứa t nữa
4 Tìm vận tốc và gia tốc:
Áp dụng (1-2) và (1-3) khi dùng phương pháp tọa độ Đề Các
Ấp dụng (1-6), (1-7) và (1-8) khi dùng phương pháp tọa độ tự nhiên
5 Tim tắnh chất của chuyển động:
re dụng (1-4) khi dùng phương pháp tọa độ Đề Các Áp dụng (1-9) khi dùng phương pháp tọa độ tự nhiên, 6 Tim bán kắnh cong của qui dao:
- Ap dung (1-7)
- Nếu bài toán cho ở dạng tọa độ Đề Các, thì cần phải chuyển sang dạng tọa độ tự nhiên
ang cach dat:
av V=V3#?+jỮ2+i2 ot a
dt
Trang 8a= điệu uyên a" =V a2 ~(a')2 (1-12)
ậ1-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU
I- Tìm phương trình chuyển động và các đặc trưng của chuyển động:
Thắ dụ 1-1 (Phương pháp tọa độ Đề Các Bài toán thuận)
Cơ cấu tay quay - con trượt OAB có OA = ÁB = 8b Tay quay OA quay quanh O theo luật @ = kt làm cho con trượt B chuyển động theo rãnh ngang
Tìm phương trình chuyển động, qui đạo, vận tốc, gia tốc của điểm B và điểm M; MB=b
Xét sự nhanh chậm của điểm B và M khi 0 < ụ <a Ị
Bài giải Xét điểm B
1 Phương trình chuyển động Tìm xp() Xp = 6bcosọ = 6bcoskt
Qui đạo B là đoạn thẳng dọc trục x 2 Vận tốc: Vụ = xe = -6bksinkt Vectơ
Hình 14 V, hướng về O (va 0 <p = kt < 5)
3 Gia tốc: an = Xp = - 6bk*coskt Vecto ay hướng về 0
4, Xét nhanh cham: V, a, = 36bỢksinktcoskt > 0, do đó B chuyển động sang trái,
nhanh dần
Xét điểm M
1 Phương trình chuyén dong Tim x(t) va yạ(È)
Xy = Sbcosp = 5đbcoskt ym = bsing = bsinkt
Tim qui đạo điểm M Rút sinkt và coskt từ phương trình chuyển động, bình phương hai
vế rồi cộng lại:
ẨM YM (6h bắ
Trang 9
Vụ = ầ Vas + Vay? = bkVầ 25sin2kt + cosỢkt
Vectơ Via tiép tuyén vdi qui dao elip 3 Gia tốc:
> { aux
any Xy = - 5bk*coskt = -k*xy | 2wy = YM = ~bk^sinkt = - ky,
ay = Vay + apy = bk? V 25cos"kt + sinỘkt
ny có các hình chiếu tỷ lệ và ngược dấu với toa do, do do ay hướng về tâm O,
4 Xét nhanh cham: Via ; an > 0 (vÌ góc Ủ < 5 ) do đó điểm M đang chuyển động hãnh dần
Ló thể thấy: Vụ đụ = Vy any + VWy-auyy > Ú
Thắ dụ 1-2 (Phương pháp tọa độ Dề Các Bài toán ngược)
Một điểm chuyển động trong mạt phẳng Oxy, gia tốc có hình chiếu a =4 cms; = 2t cm/s?
Tìm phương trình chuyển dong ctia diém, biét lic t = 2 5 thi vecta vận tốc của điểm
ạo với trục x góc Ủ = 45ồ va trị số vận toc V = 12V2 ems Bài giải 1 Xác định vận tốc của điểm: dv, dv ì a=Ở |; a =Ở : dt Suy ra: dv, = a,.dt = 4 dt dv, = ay.dt = 2tdt
utic t = 2s thi V, = V, 12v2 cos45ồ = 12 cm/s,
Ve t vy 1 do đó: Ặ dV, = J 4dt; JdV = Ặ 2t dt l3 II - = nh a được: Vv, = 4t + 4 X Vi = t+ 8 Ư Xác định phương trình chuyển động: : dx dy i Vv === | v= Ở dt : dt
Suy ra: dx = Vidt = (4t + 4)dt; dy = Vdt = (t2 8idt Luc t = 0 thix = y = 0, do dé:
x 1 y is
fdx= [Uiewdy Fdy = fe? aaa
Ụ Ụ 0 0
9g
Trang 10ta được phương trình chuyển động của điểm: x= 9(2 + 2Đ)
1
y =Ở t+ 8t
3
II- Bài toán tổng hợp:
Thắ dụ 1-3 (Dùng cả hai phương pháp: tọa độ Đề Các và tọa độ tự nhiên)
Điểm M chuyển động trên đường tròn, bán kắnh R = 8 Ủ tâm Ạ có tọa độ (8m; 0) Vị
trắ của M được xác định bởi góc giữa bán kắnh CM và trục x (hình 1-5):
a It
yg = Ở sin Ởt
2 2
1 Lập phương trình chuyển động của điểm ở dạng tọa độ tự nhiên Xác định vận tốc,
gia tốc của điểm lúc hướng chuyển động thay đổi 2 Lập phương trình chuyển động của điểm ở dạng
tọa độ Đề Các và viết phương trình qui đạo của điểm
Bài giải
1 Dùng phương pháp tọa độ tự nhiên: - Phương trình chuyển động theo qui đạo:
x x a S = Re = 8 sin Ởt = 4asin Ở t (m) 2 2 2 ` k2 - Vận tốc: V = 8 = 2z eos Ở t (mis) 2 Hình +5 ve a Ấ: #
- Gia tốc: gia tốc pháp tuyến aỢ =Ở = Ở cosỢ t
R 2 2 Ộ 3 1
Gia tốc tiếp tuyến a' = ậ = zSin Ở t
ở
- Tìm lúc chuyển động đổi hướng:
=0 khit= 1
+>r 9 ute Bi, VU 5
ViaỖ =-2n* cosỞ t.a'sinỞ t ==z sinrt < 0 khit < 1 2 2
> 0 khit > 1
Khi t = 1 thi vecto V déi huéng, lic do:
Đ_ Tr +
V=0;a? =Ở ;a =0;a=ah=Ở (m2 2 Dùng phương pháp tọa độ Đề Các:
Trang 11
I It Xy = R+ Reosp = 8 + 8cos( Ở sin Ở t)
2 2
4L It
Ym = Rsing = 8sinp = 8 sin(Ở sin Ở t) 2 2
: h i et i _ it : E 5
y
- Qui dao: Rut cos(Ở sing t) va sin sin = t) từ hai phương trình trên, bình phương lai vế rồi cộng lại, ta được phương trình qui đạo:
2 Ỉ
my TỞ 8)Ẽ Yu _
8Ẽ 82
Đố chắnh là đường tròn có bán kắnh R = 8 và tam C(8; 0),
Thi dw 1-4 (Ding ca hai phương pháp: tọa độ Đề Các và tọa độ tự nhiên)
Biết phương trình chuyển động của một điểm có dạng:
x = a,cost ; y = ajsint ; z = byt; a, va bị là các hằng số
Tim phương trình chuyển dong theo qui đạo và bán kắnh cong của qui dao
Bài giải
1 Dùng phương pháp tọa độ Đề Các: - Vận tốc
Vy = Ọ = -aisint
v V, = ầ = ajcost; V=Vv#Ì+ x +e = Vv a," + bể = const
Vy = Ư m bị z
- Gia tốc:
ay = X = -aicost
Ặ i aS =5
a ay = Y =-aysint ; a=VXệ+Ữ 2+ = ai= const
ứ, S% 7.2 IÚ
2 Dùng phương pháp tọa độ tự nhiên: - Phương trình chuyển động theo qui dao:
f ể 5 8= Ặ Vdt = Ặ vai + bị dt =tV mi + bị 0 oO - Gia tốc: dV gia t6c tiép tuyén aỖ = Ở- = 0
dt
gia tốc pháp tuyến: aỢ = Vv a? Ở a")? = a, = const
- Ban kinh cong ctia qui đạo:
Trang 12ậ1-4 BÀI TẬP
I- Tìm phương trình chuyển động, tìm các đặc trưng chuyển động
1-1 Xác định qui đạo, vận tốc, gia tốc của điểm, nếu phương trình chuyển động của
điểm đã cho như sau (x, y, z tinh bang cm, t tinh bang giây):
2x 4 a) x=t?+ 29 b) x = 10 cosỞt; ec) x = Ở 5 ặ) -& y=8-t 2x y = 10sin Ởt y =-Á4t- 4 5 z= 2t +2 1-2 Một điểm chuyển động trên vòng tròn bán kắnh R theo luật:
1
x 2
S = Vt - a at! a) Xác định trị số gia tốc của điểm
b) Xác định thời điểm t mà trị số gia tốc bằng a, và số vòng N mà điểm chuyển động được lúc đạt đến gia tốc đớ
1-3 Con lắc chuyển động theo vòng tròn bán kắnh I theo luật 5 = bsinkt, trong đó b và k là các hằng số (hình bài 1-3) Xác
định vận tốc gia tốc tiếp, gia tốc pháp của con lắc và các vị trắ, Hình bài +3
A
tại đó các đại lượng này bằng không
1-4 Cơ cấu cam như hình bài 1-4, cam 1A dia trịn có bán
kắnh r, trục quay O cách tâm C một đoạn OC = d, cam quay
quanh O theo luật ụ = Ủ.t Tìm phương trình chuyển động và AS
vận tốc của thanh AB Trục x hướng dọc thanh, gốc ở O
1-5 Cơ cấu tay quay thanh truyền như hình bài 1-5 Biết ONG Pp = wot va coi
AO r Hình bài 1-4
Ả=ỞỞ=_Ở là rất nhỏ
AB ]
a) Tìm phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc điểm B
b) Tìm phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trung điểm M của thanh AB
1-6 Con chạy chuyển động thẳng với gia tốc
a, = =x? sing t m/s?
Tìm phương trình chuyển động, biết vận tốc đầu của con chạy là VÀ = 2z (m/ậ) và vị trắ ban đầu của nó trùng với gốc tọa độ Vẽ đường biểu diễn khoảng cies, vận tốc, gia tốc
của nó theo thời gian t
Trang 13
Bản đầu vận tốc có các hình chiếu: Vox = VoỪ Voy = 0 Xác định qui đạo, trị số nhỏ nhất của vận tốc
II- Bài toán tổng hợp
1-8 Một điểm chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng theo luật:
300 t
400 t ~ Bt?
x
y
(t: tắnh bằng giây, y tắnh bằng mét)
Tìm: a) Vận tốc và gia tốc của điểm ở thời điểm đầu
b) Độ cao và độ xa của điểm
c) Ban kắnh cong của qui đạo ở điểm đầu và điểm cao nhất 1-9 Một điểm chuyển động theo đường đỉnh ốc có phương trình: x =
z= 2t (đơn vị là mét) Tắnh bán kắnh cong qui đạo
vận tốc, gia tốc và bán kắnh cong của qui đạo tại vị trắ ụ = 0
Hình bài I-ậ
cos4t, y = 2sin4t,
1-10 Điểm M trên thanh truyền của cơ cấu tay quay thanh truyền OAB với
l : : 2 :
OA = AB = l = 60 cm; MB gif = 4zt (t tắnh bằng giây) Tìm qui đạo của M Tắnh
Trang 14Chương 2
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN
QUANH TRỤC CÔ ĐỊNH
ậ2-1 CO SO LY THUYET
Đối với một vật rắn quay quanh trục cố định, ta phải xét chuyển động toàn vật và chuyển động từng điểm thuộc vật Sau đớ ta xét sự truyền chuyển động quay giữa các vật
I- Xét chuyển động toàn vật 2
Chọn chiều quay dương quanh trục (nhìn từ chiều dương trục ae
z thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ),
Vị trắ của vật được xác định bởi góc định hướng ụ giữa mặt
phẳng cố định và mặt phẳng gắn cứng với vật cũng qua trục quay (hình 2- 1)
1 Phương trình chuyển động của vật: ?
yp = ằ (t) (2-1)
2 Vận tốc góc của vật là lượng đại số biểu thị tốc độ và chiều nh
quay của vật, Ủ đo bằng rad/s (radian/giây): Hinh 2-1 @ > 0: vật quay theo chiéu duong da chon dé tinh ằ
dy
ụ=Ở (2-2)
dt @ < 0: vật quay theo chiều âm
Gọi n là số vịng/phút thì trị số của vận tốc góc: an
w= rad/s (2-3)
30
3 Gia tốc góc của vật là lượng đại số biểu thị sự biến thiên của ụ về trị số và dấu; z đo bằng rad/sỢ (radian/giâyỢ)
_ da dp ặ=Ở= Ở (2-4) dt dt 4 Tắnh chất của chuyển động > 0: Vật quay nhanh dần Xét we (2-5)
< 0: Vat quay cham dan
Trang 15_ '
5 Chuyển động quay đặc biệt:
- Quay đều: Ủ = Ủạ suy ra: e = 0; p = wot (2-6)
- Quay biến đổi đều: chọn chiều quay ban đầu làm chiều dương và vị trắ đầu làm gốc:
ặ = const
Suy ra: w = wy + et (2-7)
etỢ
Ữ =ữa 0 = Ở 3
(Dấu +: chuyển động nhanh dần đều Dấu - : chậm dần đều)
IƯ Xét chuyển động của điểm thuộc vật quay: 1 Phương trình chuyển động của điểm (hình 2-2)
S = ƠM = Rẹ() (2-8)
2 Vận tốc của điểm: 2
1 CM NY i
Ữ Theo chiều quay (2-9) ay
+ Tri sé V = Rw Ế
3 Gia tốc của điểm cớ thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến: ic
ES yea sik 4 FRE aa Hinh 2-2
@=a'+a a = V (a")* + (aỔ)*
>Ấ |Ƒ Hướng vào trục quay
Gia tốc pháp tuyén aỢ:
V
(2-10)
- Tri sé a" = Rw? - Cùng phương với Ỳ
Gia tốc tiếp tuyến đ": J- Chiều: phù hop = (2-11)
Tri s6 a" = Re
Truyền chuyển động quay quanh hai trục cố định: Tỷ số vận tốc góc giữa hai bánh: #Ị 2 Z2 lạ =Ở =-Ởẹ =- (2-12) Ws Tị ZỊ rị: bán kắnh; z¡: số răng Hình 2-3a
ruyền chuyển động quay cùng chiều
ình 2- 3a)
Truyền chuyển động quay ngược chiều (
inh 2- 3b) = aM DOs)
Hình 2-3b
15
Trang 16ậ2-2 HƯỚNG DẪN ÁP DỤNG
Các loại bài toán
Đối với vật rắn quay quanh trục cố định, khi biết chuyển động của vật thì hồn tồn xác định được chuyển động của điểm thuộc vật và ngược lại Có hai bài tốn:
1 Biết chuyển động của vật (hoặc của điểm thuộc vật),tìm các đặc trưng khác của chuyển
động
Il Truyền chuyển động quay quanh các trục cố định Tìm quan hệ chuyển động giữa trục dân và trục bị dẫn
Phương pháp giải bài tốn
* Tìm ụỦ e: áp dụng các công thức (2-2), (2-3), (2-4) hoặc suy từ (2-9), (2-10) Trường hợp vật quay biến đổi đều áp dụng công thức (2-7)
* Tìm tắnh chất của chuyển động: áp dụng công thức (2-5), (2-6), (2-7)
* Tìm vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật: áp dụng các công thức (2-9), (2-10), (2-11)
* Tìm sự liên hệ về chuyển động quay quanh các trục cố định: áp dụng (2-12)
ậ2-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU
I- Biết chuyển động của vật (hoặc của điểm thuộc vật), tìm các đặc trưng khác của chuyển động
Thắ dụ 2-1 Một trục máy đang quay với vận tốc góc n = 600 vịng/phút thì tắt máy và sau 20 giây thì ngừng hẳn Tìm gia tốc góc và số vòng mà trục còn quay được sau khi tất máy, giả sử trong quá trình đó trục máy quay biến đổi đều
Bài giải
Sau khi tắt máy, trục máy quay chậm dần đều Vì vậy theo (2-7):
@ = wo Ở et
iL
ep = wtỞỞ et? 2
trong dé wy 73007 20 x rad/s Lic t = 20s thi w = 0, ụ = ụ¡ Vậy thay vào hệ phương
trình trên, ta có: 0 = 20z- c.20 20? ụ¡ = 20x.20 - e 8 Giải hệ phương trình này ta được:
Ạ = x rad/sỖ , y, = 200m rad Vậy số vòng trục máy còn quay được là:
Trang 17
ụ
N =Ở = 100 vòng 2z
Thắ du 2-2 Thanh OA quay quanh trục O theo luật @ = 5 t? Tim tắnh chất chuyển ộng của thanh OA và vận tốc, gia tốc của điểm A lúc thanh quay được 18 vòng
Biét OA = 1 = 20 cm (hinh 2-4) Bài giải
1) Trước hết ta cần tÌm vận tốc góc và gia tốc của thanh Theo (2-2) và (2-4):
It
ụ=Ư=Ở t
2
Ạ= 9 = at
Gọi t¡ là thời điểm mà thanh quay được 18 vòng,
lức là quay được góc ụ,¡ = 18.2z = 36z Từ phương
rình chuyển động ta cớ: It 36x = Ở tỶ 6 Rut ra: tị = 3/366 = 6s i % 3 n Ứng với lúc đó: ụ¡ =Ở 6Ộ = 18x rad/s Hình 2-4 2 = 67 rad/sỢ ụ¡.ặ¡> 0: vật quay nhanh dần
2) Tìm vận tốc, gia tốc điểm A Theo (2-9), (2-10) và (2-11):
V = lw, = 0,2 18% = 11,3 m/s
= le; = 0,2 6x = 3,8 m/sỢ aỢ = lw,Ợ = 0,2 (187)? = 648 m/s?
Các vectơ vẽ ở hình 2-4
I Truyền chuyển động quay:
Thắ dụ 2-3 Cơ cấu tời như hình 2-5 Do hãm bị hỏng, nên vật M rơi xuống với qui luật: x=38t
x tắnh bằng m; t tắnh bằng giây)
Tìm vận tốc và gia tốc mút A của tay quay lúc t = 2 giây Biết đường kắnh của trống
à d = 40 cm, độ dài tay quay l = 40 cm, số răng của bánh 1 vA 2 1a Z, = 72; 2 = 24 hinh 2-5)
Fài giải TRƯỜNG CAO VỮNG CAO ĐẲNG KTKT PHÚ LÂM SS
1) Trước hết xét vật M TẠI w
Vận tốc Vụ, = x = 6t cm/s 1 TAY ứ J7 VIÊN
Trang 18Gia téc ay, = ầ = 6 cm/s?
2) Bánh 1 chuyển động được nhờ dây cuốn quanh
trống Gọi N là điểm trên vành trống, ta cớ:
ỔVy = Vy = 6t ems ayỖ = ay = 6 cm/sỢ Vụ 6t Suy ra vận tốc góc: ụ¡ =ỞỞ = Ở =0,3t rad/s d/2 20 ay 6 h Gia tốc góc: Ạ) =~ = Ở = 0,3 rad/s d/2 20
Chiều của @,, Ạ, nhu hinh 2-5
3) Banh 2 quay dugc nhd an khép voi banh 1, Ỏ Hinh 2-5
Tri số vận tốc góc của bánh 2 tắnh theo công thức:
@2 zy zy 72
Ở =Ở 34, =Ởw, =Ở 0,3t = 0,9 t rad/s wo, Z2 Z2 24
Suy ra gia tốc góc: e; = 0,9 rad/sỢ
Lúc t = 2s thi w, = 1,8 rad/s, e; = 0,9 rad/sỢ
4) Biết chuyển động của bánh 2, xác định được chuyển động điểm A:
Van téc V, = lw, = 40.1,8 = 72 cm/s
Gia tốc tiép tuyén a, = le, = 40 0,9 = 36 cm/sỢ Gia tốc pháp tuyến aẢ = lw,Ợ = 40.(1,8)* = 130 cm/s?
Gia téc a, = V (36)? + (130)? = 135 cm/sỢ : ậ2-4 BÀI TẬP
I- Biết chuyển động của vật (hoặc điểm thuộc vật), tìm các đặc trưng khác của chuyển động
2-1 Rôto của tuabin quay nhanh đều, ở thời điểm t, va t; cố vận tốc tương ứng là
n¡ = 1300 vòng/phút và n; = 4000 vòng/phút Xác định gia tốc góc e và số vòng quay mà
roto quay được trong thời gian t = t;~ tị = 30s
2-2 Một trục máy đang quay với tốc độ n = 1200 vịng/phút thì hãm Sau khi hãm trục
máy quay được 80 vịng thì dừng hẳn
Tìm thời gian hãm, biết rằng trục quay chậm dần đều 2-3 vat quay quanh trục cố định theo phương trình
= Lỗ tẼ- 4t (@ Ởradian, t - giây)
Trang 19
ác định:
1) Tắnh chất của chuyển động ở các thời điểm tị = 1s; t, = 2s
2) Vận tốc và gia tốc của điểm cách trục quay một khoảng r = 0,2 m ở những thời điểm Án Quả cầu A treo ở đầu một sợi dây có chiều dài ] = 398 cm, dao động trong mặt
g thẳng đứng theo luật:
It It
ụ =Ở sin Ở t, (py - radian, t - giây)
8 2
ỔAc dinh:
X
1) Thời điểm đầu tiên từ khi bắt đầu chuyển động để gia tốc pháp a.quả cầu bằng không
2 Thời điểm đầu tiên để gia tốc tiếp bằng khơng
Hình bài 2-6
3) Gia tốc toàn phan lic t = 2s
225 Một vật quay nhanh dần đều từ trạng thái nghỉ Lúc t = 1s, điểm cách trục quay
lột khoảng R¡ = 2m, có gia tốc a = 2v2 m/sỘ Tìm gia tốc của điểm cách trục quay một oẩng R = 4 m, lúc t = 2 s
2:6 Gia tốc một điểm trên vành vô lăng làm với bán kắnh góc 60ồ Gia tốc tiếp của
mì ấy ở thời điểm khảo sát la a" = 10 V8`m/sỢ (hình bài 2-6) Tìm gia tốc pháp của điểm ch trục quay một khoảng r = 0,B m Bán kắnh vô lăng R = 1 m
- Truyền chuyển động quay quanh các trục cố định
bo -7 Ba bánh răng ăn khớp với nhau (hình bài 2-7) Bán kắnh các bánh là rị = 20 cm,
12 cm, r; = 15 cm Bánh đầu quay với vận tốc góc n¡ = 90 vịng/phút Tìm vận tốc c của bánh thứ ba
28 Cơ cấu như hình bài 2-8 Chuyển động
thanh 1 truyền vào bánh răng 2, bánh răng
lễ cứng cùng trục với bánh răng 2 và ăn YEG
ki với bánh răng 4 cố mang kim (hình vẽ)
tác định vận tốc góc của kim nếu thanh 1
uyển động theo phương trình:
IL
Hinh bai 2-7
| x = dsinkt
|,
án kắnh các bánh răng tương ứng là rạ, ry va ry :
9 Cơ cấu như hình bài 2-9 Vật 1 chuyển động theo luật x = 2 + 70t? (x tắnh bằng
n; t - gidy); R, = 50 cm; r, = 30 cm; R; = 60 cm Tinh van téc goc, gia téc góc của ny ở và vận tốc, gia tốc điểm M cach truc quay 1 khodng r, = 40 cm lúc vặt nặng 1 di i được một đoạn bang 40 cm
10 Hộp biến tốc có các bánh răng với số răng tương ứng là Z¡ = 1O; z; = 60; z;Ư =12; 4 70
19
Trang 2020
Tìm tỷ số truyền động của hai trục A và B
Trang 21
1l
b A
2
Các yếu tố đạc trưng cho chuyển động song phẳng là: lộng đố Ủỏ, ặ không phụ thuộc vào việc chọn điểm cực
Quan hệ van tée hai diểm thể hiện bằng công thức:
Công thức hình chiếu van téc
Tam 0uận tốc tức thời P
Chương 3
CHUYEN DONG SONG PHANG CUA VAT RAN
CÓ SỞ LÝ THUYẾT
chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà mỗi điểm thuộc vật chỉ chuyển trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng cố định
Phân tắch chuyển động song phẳng
Chuyển động song phẳng cớ thể phân tắch thành chuyển động tịnh tiến cùng với điểm và chuyển động quay xung quanh cực do (hinh 3-1)
- Phương trình chuyển động: X, = x(t)
Yq = y(t) (3-1)
p = ptt)
la doan thang bat ky thudc vat
sc, gia t6c cuc A va van téc góc, gia tốc góc của vật
Vv EE Dap R= % lận tốc của điểm thuộc vật
Vy, = Vy + Đụ (3-2) Hình 3-1
rong dd View 4 BA, chiéu cia View phụ thudc @,, tri sé
E BA, (hình 3-3)
iếu hai vế của (3-2) lên phương AB, ta cớ:
H.chay Vy = Hichay.Va (8-8)
ái mỗi thời điểm hình phẳng có một điểm P, tại do 0 - vận tốc mọi điểm phân bố giống như hình phẳng
quay quanh P với vận tốc góc ws ae
Trang 22Vp = PBwy Va = PAw, (hình 3-3) Win |e BB Ở =Ở (8-4) VÀ ĐÀ * Phương pháp xác định P: (xem hình 3-4) Hình 3-4
HI- Gia tốc của điểm thuộc vật
1 Quan hệ gia tốc hai điểm thể hiện bằng công thức:
đp = 8A + hq + FHA (3-5) trong đó: e n hướng từ B đến A # BA hot Bale SBA Ws BA,
đa 4 chidu: phi hop &,, hoac gia thiét apa = BAe, (hinh 3-5)
2 Chú ý Hình 3-5
* Nếu qui đạo của A và B là cong, thì tiếp tục phân tắch:
Gy = ant + dạ" ; đA =:GA)D2PRGAE (3-6)
* Đối với đĩa phẳng (bánh xe, bánh răng, ròng rọc động), gia tốc góc của đĩa tìm được
bằng cách lấy đạo hàm vận tốc góc của đỉa theo thời gian:
2,~Ở (3-7)
Trang 23
Đặc biệt đối với đỉa phẳng lăn khơng trượt (hÌnh 3-4a) ở đây AP = R = const:
r
a
Ệ, = ae (khi A chuyén dong thang: a) = a,) (3-8)
R
V V,
Vi khi nay: w, =Ở =Ở nên:
` PA R
điỢ s6 dốidy 1d! say:
Bae ee
ae dt R dt R
342 HƯỚNG DẪN ÁP DỤNG Bac loại bùi toán
Cơ 3 loại bài toán Trong mỗi loại thường phải tìm Wy &y Vg, dy O day B la diém bat
ỳ trên hình phẳng
L Biết vận tốc, gia tốc điểm A và tâm vận tốc P với AP = const
Loại này thường gặp ở cơ cấu đĩa phẳng - thắ dụ hình 3-6a ei Biết vận tốc, gia tốc một điểm và qui đạo điểm khác Loại này thường gặp ở cơ cấu thanh - thắ dụ hình 3-6b
HH Bài tốn hỗn hợp
Biet đặc trưng chuyển động của hai điểm:
ie này thường gặp ở cơ cấu hỗn hợp gồm thanh và đĩa lăn không trượt, hoặc tấm, đĩa huyển động song phẳng, thắ dụ hình 3-6c, 3-6d | | | | | +Ỉ | d) i Hinh 3-6
Phuong phap gidi bai toan
| 2 x
1 Phân tắch chuyển động các khâu của cơ cấu (tịnh tiến; quay; song phẳng) Trong mỗi
ấu song phẳng cần biết đặc trưng chuyển động (vận tốc, gia tốc, qui đạo) của hai điểm 2 Vận tốc Cần phải xác định vận tốc góc các khâu và vận tốc điểm bất kỳ, dựa vào
6t trong ba cach sau:
Đ Tâm vận tốc tức thời P: xác định như ở hình 3-4 và công thức (3-4)
| 23
Trang 24b) Hình chiếu vận tốc: áp dụng công thức (3-3)
c) Quan hệ vận tốc: áp dụng công thức (3-2)
3 Gia tốc Cần phải xác định gia tốc góc các khâu và gia tốc điểm bất kỳ Theo trình tự: - chọn 1 điểm làm cực và viết biểu thức gia tốc (3-5) với chú ý (3-6), (3-7), (3-8)
- Vẽ các vectơ gia tốc
Trường hợp có hai vectơ não đó chỉ biết phương thì chiều của chúng được giả thiết
Trường hợp có một vectơ chưa biết phương thì phân tắch vectơ đó ra hai thành phần vng góc, chiều của chúng được giả thiết
- Tắnh trị số gia tốc chưa biết bằng cách chiếu hai vế của (3-5) lên hai trục tùy ý sao cho triệt tiêu bớt một ẩn
Chú ý Đối với đĩa phẳng: tìm gia tốc góc của đĩa từ (3-7), đối với đĩa phẳng lăn không
trượt - từ (3-8) Đối với hình phẳng khác, tìm gia tốc góc của hình từ thành phân a,Ấ trong (3-5)
ậ3-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU
I- Viết vận tốc, gia tốc điểm A va tam vận tốc P với ÁP = const (có cấu dia lăn không trượt)
Thi du 3-1 Tay quay OA quay.xung
quanh truc O lam bánh 2 lăn không trượt theo vành bánh 1 cố định (hình 3-7) Biết T;ạ = 0,2 m và rị = 0,3m Tại thời điểm tay quay có vận tốc góc Ủ = | rad/s và
gia tốc góc e = 4 rad/sỢ Hãy tìm:
z
ag,
- Vận tốc gốc bánh 2 và vận tốc điểm
B trên vành bánh 2 (AB 1 OA)
- Gia tốc góc bánh 2 và gia tốc điểm
B
Bài giải
1 Phân tắch chuyển dộng các khâu Hình 3-7
Tay quay OA chuyển động quay, bánh 2 chuyển động song phẳng, điểm tiếp xúc chắnh
là tâm vận tốc tức thời P Đối với bánh 2 ta biết Vis ay va P véi AP = const 2 Vận tốc
Dùng phương pháp tâm vận tốc tức thời
Trang 25
Vận tốc góc bánh 2: Ww =Ở = = ỞỞw = 25
ụ; ngược chiều kim đồng hồ
Vận tốc điểm B: Vz = BP w, = r, V2 w, = Ở mis 2 2 2 2
Vy có chiều như hình 3-7a
3 Gia tốc
Vì AP =const (cơ cấu bánh lăn không trượt) nên theo (3-8) ta có gia tốc góc bánh 2: an OA (eg) oF nde
by = So AP SP 2 = 10 wae
AP T;
#; thuận chiều kim đồng hồ
Chọn điểm A làm cực, biểu thức gia tốc:
Gy = Gh +a +) + na (a)
a huéng vé O, a} = OAw? = 0,5 mis?
ỲA 1 OA, chidu phù hợp & a = OAe = 2 mis?
Fi, hudng tt B ve A; a= BAw,Ợ = 1,25 m/s
Fe 4 BA chiéu pht hop %; a, = BA ặ; = 2 misỖ Vẽ các vectơ gia tốc như hình 3-7b
Tắnh ap: ay chưa biết phương chiều, được phân tắch làm hai thành phần vng góc
tị số tìm được bàng cách chiếu hai vế của (a) lên hai trục vng góc?
any = ak + ay = 3,25 m/s?
2
apy =-ak + ag, = 1,5 m/s?
[a q Ư
ag = Vay + apy = 3,58 m/s
I- Biết vận tốc, gia tốc một điểm va qui đạo điểm khác (Cơ cấu thanh)
[hi dy 3-2 Có cơ cấu bốn khâu như hình 3-8 Cho: OA = r, AB = 2r; O,B = 2rv3 Tai điểm thanh OA thẳng đứng, các điểm O, B, O, cing nam trén đường ngang, khi do y quay cố vận tốc góc ụỦy và gìa tốc góc & = wy V3 Hãy xác định vận tốc góc và gia tốc lóc của thanh AB lúc đớ
&
Bài giải
- Phân tắch chuyển động
Thanh OA và OB quay xung quanh các trục cố định Thanh AB chuyển động song phẳng ối với thanh này, ta biết được đặc trưng chuyển động của hai điểm: Vi tg va qui dao B
2 Van téc
có thể dùng các phương pháp tắnh vận tốc sau:
Trang 26a) Tâm vận tốc tức thời: - Xác định tâm P, biết Vy, 1 OA; Vs 1 O,B, do đó từ A và B kẻ các đường tương ứng vng góc với Ve và Vp, giao diém cua hai đường này là tâm vận
tốc tức thời P, ở đây P trùng với O (hình 3-8)
- Xác định vận tốc góc các khâu và vận tốc các
điểm:
Điểm A thuộc OA nên: VÀ = Two
Mặt khác A thuộc AB nên: VẠ = PA.uAI;
Do đó vận tốc góc khâu AB là:
Va TH
w AB =Ở = PA a =w 0
Điểm B thuộc AB nên:
Va = PB wag = tr v3
Mặt khác, B thuộc BO; nên: VỊ, = BOI.Ủpoi Do đớ vận tốc góc khâu BO; là:
NHÀ rVầ Buy ul '@o
o =Ở = =Ở
Pol BO, 2wv8 2
b) Co thé ding quan hé van téc hai điểm:
- Chọn điểm A có chuyển động đã biết làm Hình 3-8
điểm cực
Biểu thức vận tốc là:
Va = Va + Von (a)
Vx 1 OA, Va = tap
Vea + AB, Vpq = AB wap chua biét
Ủy L OIB, Vụ = BOI ụpo, chưa biết
- Vẽ các vectơ vận tốc, đưa vectơ vy vé B (hinh 3-8a)
- Tìm trị số Vụ và Vị: trị số VẠ, VụA, Vụ; là độ dài ba cạnh của tam giác vuông (Ủz = 30ồ) nên: < < A Vea ểỞ.= 21w 9; Va =ỞỞ = 1v3 wy sing tga Sica Via Va %0 : Ủ@ AB =ỞỞ ~=U; w AB 02 BO I a BO, 2 c) Có thể dùng cơng thức hình chiếu vận tốc để tìm ae
Ta cd: H.chap Va = Hchup vA hay là: Vị, cos60Ợ = V, cos30ồ
Suy ra: Vp = rv8` Wo
Trang 27
- 8 Gia tốc
xi S NI "` Ộ - >n >r a Chọn điểm A làm cực, ta cớ biểu thức gia t6c: a, = ay + Apa + Apa
Do qui đạo của A và B là tròn nên:
> > = a > >
Ộnến =đA + OA + Ghy + Cha ệ)
rv3
~>n 4 a n_ AT 2 ap hướng về O,, ay = BO, Deon Sa Oy
> a 3 3
ai, huéng về O, ay = OA Wy = To:
on 4 ì os 2, 2
@ 3, huéng ti B vé A; apy = AB why = 2rwyỖ
>
a, 1L O¡B, chiều giả thiết, a, = BO} Ạg0, chua biét
re
@pa + BA, chiều giả thiét, a,, = BA e,, chua biét
- Vẽ các vectơ gia tốc như hình 3-8b
- Tắnh ana: chiếu hai vế của (b) lên trục OO, ta duge
ay"Ợ = -aA' - anAcos30Ợ + ancos60ồ giải ra: abA = 5Vỗ ro > 0
Gan chon ding chiều, từ đó tìm được gia tốc góc thanh AB:
đuaỢ 5v8
Fan > AB HP 9 tu
ặAn ngược chiều kim đồng hồ
Nếu chiếu (b) lên trục vng góc với O,B (1 O,B) ta sé tim duge a," va do do tim duge tốc góc thanh O¡B:
ử¡B ia O,B
IÍI- BÀI TOÁN HỒN HỢP (cơ cấu loại đĩa và thanh)
Thắ dụ 3-3 Tay quay OA quay đều quanh trục O với vận tốc góc wy làm bánh 1 lăn ông trượt theo vành ngoài bánh 2 cố định Hai bánh cùng bán kắnh r Thanh truyền BD
và cần lắc DC cùng độ dài l Khi BD L OA, góc BDC = 45ồ (hình 3-9) Xác định: - Các vận tốc gốc ửI, Opp, Ope
- Gia tốc điểm B
Bài giải
1 Phân tắch chuyển động
Các thanh OA và CD chuyển động quay quanh trục cố định Bánh 1 và thanh BD chuyển
động song phẳng
27
Trang 282 Vận tốc
Dùng phương pháp tâm vận tốc tức
thời
a) Xét bánh I (bánh lăn không trượt)
- Xác định tâm vận tốc: điểm tiếp xúc giữa hai bánh là tâm vận tốc tức thời P¡ của bánh 1 - Xúc định vận tốc góc bánh 1 và vận tốc điểm B: Vận tốc góc bánh 1: Vi 2rw,y = = 26 P\A r 0=
ụ, thuận chiều kim đồng hồ Vận tốc điểm B:
Vi, = P\Bw, = 2rv2 wy;
Va + PB, chiều phù hợp ơi
b) Xét thanh BD, biết Ỳ, và qui đạo
D (vòng tròn tâm C)
- Xác định tâm vận tốc tức thời
Từ B và D kẻ các đường tương ứng Hình 3-9
vng góc với Va va Vy ; giao điểm của hai đường đó là tâm vận tốc tức thời P, ctia thanh
DB O day BP, = =)
- Xác định vận tốc góc của thanh BD và vận tốc điểm D:
Vụ 4r
ORD = ỞỞ = 0g; 3p ngược chiều kim đồng hồ
P;B ]
Ap dung hé qua hinh chiéu tim Vp:
Hechpg Vy = Hechpy Vy
hay: Vụcos46Ợ = Vụ cos45ồ
Vận tốc góc thanh BD:
Vp = Vụ = 2r V2 `6; Ủy có chiều như ở hình 8-9a
Suy ra vận tốc góc thanh DC: Vụ 2rv2
One Same
DC l
3 Gia tốc Xét bánh 1:
Trang 29
- VÌ AP, =const (cơ cấu bánh lăn không trượt) nên theo (3-8) ta cớ gia tốc góc bánh 1: al
e, = ene 0; (OA quay déu) x
- Chon diém A lam cực, ta có biểu thức gia tốc: =
đụ = đẠ + đhA + đhaA (a) #2 hướng từ A đến O; ah" = OAw,2 = 2rw,2 A ig tu en O; a, = Wy = 210g
>n 4 > ee fai Di os 2 @p~a huéng từ B đến A; aga = BAw,Ợ = 4ray
@ha - BA; a, = BA c, = 0
# BA > aBA aoe eae
- Vẽ các vectơ gia tốc: (hình 3-9b) - Tinh a,: Vi an alt an, nén:
ag = Vv (IA ee (ana y= 2V5 rw,"
Chú ý: Muốn tìm Epp Và ặIyc ta xét thanh DB và chọn điểm B làm cực:
=> > = = >
#pb Ẩđp= an + đDy + Cp
trong do: aj, = DB Epp aD = Dene
Thắ dụ 3-4 Hệ rong roc như hình 3-10 Ỏ thời điểm khảo sát, vật I được nâng lên với h tốc 5, gia tốc a, vật II hạ xuống với vận tốc Vos gia tốc a> TÌm vận tốc góc, vận tốc à gia tốc tâm C của ròng rọc di động bán kắnh R và gia tốc điểm B trên vành của ròng Ổoc di déng
>
Bai giai
1 Phan tich chuyén dong
Vật I va II chuyển động tịnh tiến, hai ròng rọc quay xung quanh trục cố định Ròng rọc ¡ động chuyển động song phẳng Khi khơng có trượt giữa dây và rịng rọc thì trị số vận
ốc của vat nang bang trị số vận tốc
lểm tiếp xúc; trị số gia tốc vật nặng
ằng trị số gia tốc tiếp của điểm tiếp úe, nghĩa là: Mi = Vài Bị = 8A; V2 = Vpi a2 = ag" 2 Van tốc Trên ròng rọc động ta vận tốc hai điểm do đớ xác định ỹc tâm vận tốc tức thời P (hình - 10a) bà: Hình 3-10 - Vận tốc góc của rịng rọc là: VỊ, Va Va + Vy V, + V;
De pa ap pe ee, ta (a)
PB PA PB + PA 2R
29
Trang 30- Vận tốc tâm C Do tắnh chất đồng dạng (hình 3-10a) ta có:
Vp = Vig Vy Vy
lờ: ĐH 7 ee
Nếu V; > Vị, tâm C đang được nâng lên; nếu V, < Vị thì tâm C sẽ hạ xuống, nếu
V= V, thì Vụ = 0
3 Gia tốc
Vea = a (b)
- Biểu thức (a) đúng cho bất kỳ thời điểm nào, nên theo (3-7) ta có gia tốc góc của rong roc:
dw 1 d a, +a,
Ạ=Ở_= ỞỞ WV, + V,) = ỞỞ
dt 2R dt 2R
e thuận chiều kim đồng hồ
Vì C chuyển động thẳng nên gia tốc cùng phương với vận tốc, từ biểu thức (b) ta có:
d d VẤ- Vị, a,- a,
a ey ee eee ee
cde tal N dai 2 2
Néu a, > a, thi ae hwéng lén
- Chon diém C lam cuc, ta co gia téc diém B:
Gy = A + Fhe + Fie (c) đặc hướng từ B đến C;
anc = BÚ Ư đ2 = aii ap NE
2R 4R
đc L BƠ, chiều phù hợp #;
- Các vectơ được vẽ như hình 3- 10b
- Tắnh trị số ap Chiếu hai vế của (c) lên hai trục vng góc:
(Vị + VẤ?
ay ỔBx = akc coe ee 6 #
4R
age By-Ở} = ae + at SC BC Ee 2 AME = a,
" 2 2
Gia tốc điểm B: ap = Veet nà,
ậ3-4 BÀI TẬP
I1- Biết vận tốc và gia tốc điểm A và tâm vận tốc tức thời P với AP = const (cơ cấu đĩa
phẳng)
Trang 31
|
hài điểm khảo sát tâm của đĩa có vận tốc vụ = l mW và gia tốc aA = 3 m/sỖ,
Tìm: - Vận tốc góc của đắa, vận tốc các điểm C, D, E
|
+ Gia tốc góc của đắa, gia tốc các điểm B, C Biết BD L CE; CE song song véi mat
hang nghiéng
-4 Cơ cấu hành tỉnh có tay quay OA quay với vận tốc goc wy = const làm cho bánh I
án kắnh r lăn không trượt theo vành trong của bánh cố định,
án kắnh R = 8r
Tìm: - Vận tốc các điểm C, D, E thuộc bánh I
+ Gia tốc các điểm B, C Cho BD 1 CE
8-3 Một đĩa phẳng được cuốn bằng sợi dây có một đầu B
lố định Đĩa cớ bán kắnh r rơi xuống không vận tốc đầu và ở dân dây ra
Tâm của đĩa có vận tốc
| 2
Hinh bai 3-1 | v =Ở v 3gh
| 3
trong đó, h là khoảng cách của tâm đĩa từ vị trắ đầu đến i trắ khảo sát
Tìm vận tốc, gia tốc của các điểm D và E Biết DE I1 CH |
-4 Con lăn hai tầng, bán kắnh R = 20 em và r = 10 em
n không trượt theo mặt phẳng ngang Tầng trong được cuốn
lây và buộc vào vật M Tìm gia tốc điểm cao nhất A lic
= 1s khi vật M rơi xuống với vận tốc v = 3t m/s
3-5 Hệ ròng rọc như hình bài 3-5 Các ròng rọc l và 4
g bán kỉnh R, các ròng rọc 2 và 3 cùng bán kắnh r Lúc khảo At, vật M đang chuyển động lên với vận tốc v và gia tốc a
Ổa - Vận tốc đầu dây A
Gia tốc góc của các ròng rọc 3 và 4 (coi các dây tiếp xúc với
ng roc 6 hai đầu của đường kắnh ngang)
I
đ-6 Vật M rơi xuống theo luật x = 2t? m làm chuyển động ròng A rọc cố định 2, ròng rọc
động 1 Rong roc 1 co ban
Hinh bai 3-3
|
{
|
Ị X7 kắnh bằng 0,2 m Tim gia
| Ở tốc các điểm C, B và D ở trên vành của ròng rọc
i 1 lac t = 0,5 s; OB L CD (hình bai 3-6)
3-7 Tay quay OA quay với gia tốc e, = 8 #4 rad/sỖ, lúc khảo sát có vận tốc góc w, = 2 rad/s Bánh II lăn không trượt theo vành ctia banh I cố
T2 định Hai bánh có cùng bán kắnh R = 12 em
Hình bài 3-4
31
Trang 32N là điểm đầu của đường kắnh MN (hình bài 30-7)
Tim gia tốc điểm M và điểm N của bánh II; M là điểm tiếp xúc,
3-8 Cơ cấu dùng để quay nhanh bánh 1 như hình bài 8-8, khi tay quay với vận tốc góc ỦẤ thì bánh 2 lăn không trượt trong bánh 3 cố định làm cho bánh I quay xung quanh trục O
Tìm: - Quan hệ về vận tốc góc và quan hệ về gia tốc góc giữa A bánh I và tay quay
w
- Bán kắnh rụ theo rạ để cho Ở = 12,
Oey
Il- Biét van tốc, gia tốc một điểm và quý đạo điểm khác ir
(c0 cấu thanh)
3-9 Tay quay OA dai 20 cm, quay đều với vận tốc góc ỦẤ = 10
rad/s, thanh truyền AB dài 100 cm, con chạy B chuyển động theo
phương thẳng đứng Tìm vận tốc góc, gia tốc góc của thanh truyền và
gia tốc con chạy B tại thời điểm tay quay và thanh truyền vng
góc với nhau, góc Ủ = 4đồ (hình bài 3-9) M
3-10 Cơ cấu bốn khâu như hình bài 3-10 Tay quay OA quay thahề Bay l6
Hình bài 3-6 Hình bài 3-7
đều với vận tốc góc ỦẤ = 4 rad/s; OA = r = 0,5 m; AB = 2r; BC = rv2 ỘTại thời điểm
TH 1 art Ạ 5 3 ^ < ` Z z -
OAB = 90ồ; ABC = 45ồ, hay tìm vận tốc góc, gia tốc góc thanh AB và BC 3-11 Cơ cấu bốn khâu như hình bài 3-11 Các thanh AB
và CD cùng độ dài 40 em Thanh BC đài 20 em, khoảng cách AD bang 20 cm Tay quay AB quay déu với vận tốc gớc oa
ns 4 i =o
Tìm vận tốc góc và gia tốc góc của thanh BC lúc gốc ÁDC = 90ồ
3-12 Tay quay OA quay đều với vận tốc gốc ỦẤ làm chuyển động thanh truyền AB gắn cứng với bánh L bán kắnh r Bánh L làm chuyển động bánh K cũng có bán kắnh r và lắp trơn trên trục O (hình bài 3- 12)
Hình bài 3-8
Trang 3345ồ
Hinh bai 3-9 Hình bai 3-10 Hinh bai 3-11
=| Ìm vận tốc góc và gia tốc góc của bánh K tại vị trắ OA thẳng đứng và nằm ngang Cho
L1
3-13 Tay quay OA quay với gia tốc góc không đổi Ộ=5 rad/sỢ vA tại thời điểm khảo sát
vận tốc gốc ỦẤ = 10 rad/s; Biết OA = r = 20 em; O¡B = R = 100 cm; AB = 1 = 120 em
Tim vận tốc điểm B, điểm C và gia tốc (tiếp và pháp) của điểm B khi OA và O,B thẳng
ng (hinh bai 3-13)
3-14 Tay quay OA quay đều với vận tốc góc 1 rad/s Biét OA = 20 cm; AB = 50 cm;
24 cm Khi cơ cấu co vị trắ như hình bài 3-14,
địa
Ộtt
-' Vận tốc con chạy B, con chạy C, vận tốc góc
h BC
i) Hình bài 3-12
- Gia tốc con chạy B
3-15 Tay quay OA quay đều với vận tốc góc Ủ = 8 rad/s Biết OA = 25 cm; CD = 15 cm
= CB = 50 cm; DE = 100 cm Ỏ thời điểm khảo sát CDE = 90ồ; OA va AB thang ng, (hinh bai 3-15)
Tìm: - Vận tốc góc các thanh AB và DE
Hình bài 3-13 Hình bài 3-14
- BTCH 33
Trang 34- Gia tốc các điểm B và C
3-16 Cơ cấu hình bài 3-16 Biết: AB = EF = KD = 10 cm; BC = 25 cm; DC = CE
Thanh AB có vận tốc goc wa, = 10 rad/s Lic y = 90ồ; ề = 30ồ; 6 = 90ồ, hay tim vận
tốẻ góc và gia tốc góc thành EEF
3-17 Thanh OA dao động theo luật = = sin
6 t (rad) lam cho dia K quay quanh truc O, Cho biét OA = 20,B = 24 cm và lúc t = 4 s thanh OA và O,B nằm ngang, Ủ = 60ồ, tim:
- Vận tốc góc và gia tốc góc của dĩa - Vận tốc và gia tốc của trung điểm M của
thanh AB (hình bài 3-17)
3-18 Pittông D của máy ép thủy lực được
truyền chuyển động từ đòn OL Lúc cơ cấu có
vị trắ như hình bài 3-18, địn OL có vận tốc góc
Ủ = 9 rad/s và gia tốc góc e = rad/sỢ Tìm:
- Vận tốc pittông D, vận tốc thanh AB Độ dài OA = 15 em
- Gia tốc pittơng D, gia tốc góc thanh AB
Hình bài 3-16
HI- BÀI TOÁN HỐN HỘP
(Cơ cấu thanh và đĩa lăn khơng trượt Hình phẳng bất kỳ) 3-19 Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ỦẤ = V3 rad/s làm cho đĩa lăn không trượt lên đường ngang Cho OA = v3 m; R = 1m Lie Ừ = 60ồ; OAB = 90ồ, tim vận tốc các điểm
B, M va gia tốc của chúng (hình bài 3-19)
3-20 Đĩa bán kắnh R lăn không trượt trên đường ngang Ộlàm cho con chạy B trượt trong rãnh ngang Thanh AB dài l, khi đầu A ở vị trắ cao nhất, tâm O có vận tốc vị và gia tốc
a, Tim gia tốc điểm A, điểm B và gia tốc góc của thanh AB
Trang 35
3-21 Tay quay OA quay đều với vận tốc góc ỦẤ cho bánh II bán kắnh r lăn không trượt theo
h bánh I cố định, bán kắnh R = %, Thanh BD r gắn cứng với bánh II, thanh BC nối với con y C Tìm gia tốc điểm B, điểm C va gia tốc góc
anh BC lic a = 30ồ, lic dd OA vA DB nam
ng (hinh bai 3-21)
3-22 Thanh AB dai 0,2 m
yển động trong mặt phẳng bài 3-22) Vectơ gia tốc 4h A va dau B tao với phuong
gốc 45ồ va 60ồ, tri sé an =
JS; ay = 4,42 m/s Tim van gốc, gìa tốc góc của thanh a Ổ tốc điểm giữa C của AB
z2
h bài 3-22)
3-23 Hình vng ABCD có
ha =
mật phẳng của hình vẽ
hảo sát điểm A và điểm B
/ứvectơ gia tốc như trên hình
3-23, trị số a, = 2 cm/s"; 4V2 cm/s* Tim vận tốc ia tốc góc và gia tốc điểm lúc đó (hÌnh bài 3-23) 2 em chuyển động A Và vn; CÁ = a, CB = b (hinh bai 3-24) 3:25) Hình bài 3-23 Hình bài 3-24 Hình bài 3-21 a Hinh bai 3-20 ag ay 60ồ Af 45ồ B BEE Sd Hinh bai 3-22 722 ỞỞ 2 My đa Hình bài 3-25
-Đ4 Hai con chạy A và B chuyển động đều dọc theo hai phương vuông gốc, cùng hướng TÌm vận tốc va gia tốc của điểm C hic hai thanh AC và BC vng góc với hai g chuyển động của con chạy Biết rằng lúc đơ các con chạy cố vận tốc tương ứng -25 Banh răng bán kắnh r kẹp giữa hai thanh răng song song chuyển động nhanh dần, tùng một phắa Lúc khảo sát các thanh có vận tốc Vis Mộ và gia tốc a, a>
Trang 363-26 Cơ cấu vi sai (hình bài 3-26) tay quay OA có vận tốc góc ỦạẤ, gia tốc góc ặẤ; đĩa 1 quay
cùng chiều tay quay với vận tốc góc Ủỏ¡ = 3ỦẤ, gia
tốc góc ặ¡ = 3ặ; các bán kắnh Rị = 2RƯ = 2r Tim vận tốc góc, gia tốc góc đắa 2 và gia
tốc điểm M trên vành đĩa 2; AM L OA
3-27 Cơ cấu vi sai (hình bài 3-27), tay quay OA = 3R có vận tốc góc ỦẤ, gia tốc góc ặẤ; đĩa
1 quay ngược chiều tay quay với vận tốc góc
@, = Wo, gia tốc góc ặ¡ = ặẤ; các bán kắnh R, = R,= R
Trang 37đưc
| Chương 4
| HOP CHUYEN DONG CUA DIEM
/- Dinh nghia
iểm M chuyển động đối với vat A, vat A chuyển động đối với A 6 ột hệ tọa độ - gọi là hệ động Gắn vào B một
og độ - gọi là hệ cố định Ta cớ các định nghĩa inh 4-1) sau:
>
huyển động của điểm M đối với hệ cố định huyển động tuyệt đối Vận tốc và gia tốc của trong chuyển động này là vận tốc tuyệt val gia tốc tuyệt đối Ký hiệu vi, Ga
ie động của điểm M đối với hệ động là h động tương đối Vận tốc và gia tốc của n I trong chuyển động này là vận tốc tương
8
7
O
à gia tốc tương đối Ký hiệu Vis a
uyển động của hệ động đối với hệ cố định
oi trừng điểm của M là một diểm M` thuộc Hing 4-1
ông, tại thời điểm khảo sát M' trùng với M
ay tốc và gia tốc của trùng điểm MỢ là vận tốc, gia tốc điểm M bị hệ động mang theo
a là vận tốc theo và gia tốc theo của M Ký hiệu Vas a: vo = Wr, @ = ys
hu vậy, chuyển động tuyệt đối, chuyển động tương đối là chuyển động của diém Do ứng chuyển động: thẳng, cong, tròn Chuyển động theo là chuyển động của vat Do là g chuyển động: tịnh tiến, quay xung quanh trục cố định, song phẳng,
/- Định lý hợp vận tốc thể hiện bằng công thức:
Ù.=ĐỲ.+Đ, T (4-1)
1⁄2 Định lý hợp gia tốc thể hiện bằng các công thức sau:
Nếu hệ động chuyển động tịnh tiến:
a, =a, + & a (4-2)
Neu hệ động quay xung quanh trục cố định: |
37
Trang 38a@,=0,+ 4" +@' +@, (4-3) trong dé: a,Ợ = R ws a,Ợ = Re,
Gia téc Coridlit: a, = 20, a V, (4-4)
Ể, & - vận tốc góc, gia tốc góc của hệ qui chiếu động; R - khoảng cách giữa trục quay đến trùng điểm MÌ)
Chú ý Trong (4-2) và (4-3), nếu chuyển động tuyệt đối và chuyển động tương đối là cong thì tiếp tục phân tắch chúng thành hai thành phần: tiếp tuyến và pháp tuyến:
a, =a, 4 ai (4-5)
a, =a" +a" (4-6)
* Phương pháp xác định gia tốc CôriôliL ae
Dùng qui tắc tắch vectơ để tắnh (4-4) hoạc dùng quy tác thực hành sau:
- Đối với bài toán phẳng @, L Vd
Quay Vv, đi một góc 90Ợ theo chiều quay của hệ động, ta nhận được vectơ biểu diễn
phương, chiều ae còn trị số bằng (hình 4-2a): a, = 20.V, (4-7a)
- Đối với bài tốn khơng gian @, tạo với Vv góc 0):
Chiếu ? xuống mặt phẳng L trục quay, nhận được Ặ?; quay Ữ? đi một
góc 90Ợ theo chiều quay của hệ động,
ta nhận được đ, (hình 4-2b), trị số :
a, = 2w, V,sing (4-7b)
ậ4-2 HUONG DAN AP DUNG ae
J- Bài toán phan tắch chuyển động của điểm
Biết một chuyển động (tuyệt đối hoặc theo) và phương vận tốc, gia tốc của hai chuyển động cịn lại TÌm các giá trị vận tốc và gia tốc đớ
H/- Bài toán tổng hợp chuyển động của điểm
Biết các chuyển động tương đối và theo Tìm vận tốc, gia tốc tuyệt đối Phương pháp giải bài toán i
Khi thấy trong bài tốn có một điểm M (tự do hoặc thuộc một vat nao dd) chuyển động đối với vật A, vật Á chuyển động đối với vật B cố định thi do la bài toán tổng hợp chuyển động của điểm Khi giải các bài toán kỹ thuật, ta thường chọn vật cố định là giá đỡ nối liền với mặt đất và qua các bước sau:
Trang 39
Phân tắch chuyển động
1 Chuyển động tuyệt đối là chuyển động của điểm M đối với vật cố định B Đớ là chuyển nữ thẳng, cong, tròn, hoặc chưa biết
- Chuyển động tương đối là chuyển động củụ điểm M đối với vật chuyển động A Đó là
a động thẳng, cong, tròn, hoặc chưa biết
1
Chuyển động theo là chuyển động của uật A đối với vật B Do là chuyển động tịnh quay, song phẳng
2 Tim van téc
- Viét biéu thtic van téc (4-1) Xde dinh phuong, chiéu, trị số các vận tốc -' Vẽ các vectơ vận tốc
- Tim trị số vận tốc chưa biết bằng phương pháp hình học (tắnh tam giác) hoặc chiếu
¡ vế của (4-1) lên hai trục vuông gốc
3
Tìm gia tốc
|
|
+ trục cố định, viết (4-3)) Chú ý đến (4-5) và (4-6) Sau đó xác định phương, chiều, các gia tốc
-.Viết biểu thức gia tốc (nếu chuyển động theo là tịnh tiến, viết (4- 2); nếu là quay xung ;
- Ve các vectơ gia tốc:
as hop có hai vectơ nào đó chỉ biết phương (bài toán phân tắch) thì chiều của chúng
fof
ường hợp có một vectơ chưa biết phương (bài tốn tổng hợp), thì phân tắch vectơ đớ ác thành phần theo các trục tọa độ Đề Các, chiều của chúng được giả thiết
- Tìm trị số gia tốc chưa biết bằng cách chiếu hai vế của biểu thức gia tốc lên các trục
sao cho triệt tiêu bớt ẩn số
ae vậy, đối với bài toán phẳng, ta nhận được hai phương trình hình chiếu, do đó xác
gauge hai trị số gia tốc nào đơ Nếu trị số là dương thì chiều giả thiết là đúng, nếu là
h t chiều giả thiết là sai (Đối với bài tốn khơng gian, nhận được ba phương trình hình
liếu)
>
-3 NHUNG BAI GIAI MAU
Bai toan phan tắch chuyển động của điểm
Thắ du 4-1 Co cấu culit như hình vẽ (hình 4-3) Tay quay OA quay với vận tốc góc Wy
ơng đổi
Ìm vận tốc trượt và gia tốc trượt của con chạy A trên culit K và vận tốc, gia tốc của
lit K
iét OA = 1 và thời điểm khảo sát Ừ = 60ồ
Trang 40Bài giải
1 Phân tắch chuyển động điểm A
Điểm A chuyển động
đối với culit K, culit K
chuyển động đối với giá cố định Vì vậy ta chọn culit
K làm hệ động - Chuyển động tuyệt
đối là chuyển động của A
đối với giá cố định Đớ là chuyển động tròn đều, tâm O, bán kắnh OA
Hình 4-3
- Chuyển động tương đối là chuyển động của A đối với culit K Do la chuyển động thẳng
dọc theo nhánh trên của E
- Chuyển động theo là chuyển động của K đối với giá Đó là chuyển động tịnh tiến
2 Vận tốc
- Biểu thức vận tốc: V= Vv + vz (a)
Trong đó: V, có phương chiều đã biết, trị số VẤ = lo, Còn Ứ, và V, = Vas chi bist
phương (trùng điểm AỢ là điểm thuộc culit)
- Căn cứ vào (a) có thể vẽ được các vectơ vận tốc (hình 4-3a)
- Tắnh V, và V, Từ hình 4-3a, ta có:
i égod pig ibid 9/3)
V,= Nứ cos60ồ = Ở lw, ; V = V, sin60ồ = ỞỞ lw,
2 2
Vv, là vận tốc trượt của A trên culit, Vv là vận tốc của culit tại thời điểm khảo sát
3 Gia tốc
: Biểu thức gia tốc: vì chuyển động theo là tịnh tiến, chuyển động tuyệt đối tròn đều,
nên:
a! =a, + a (b)
2
Dựa vào phân tắch chuyển động ta thay: a," hudng vé 0, tri sé a," = lw,Ợ
Con G@, va a, = @,+ chỉ biết phương, chiều được giả thiết
- Các vectơ được vẽ ở hình 4-đb
- Tắnh a, và a.: chiếu cả hai vế của (b) lên hai trục A¡ và AƯ, ta được:
Ởa,".cos60ồ = a, ; Ởa,".sin60ồ = a,
1 v3
Suy ra: a, = - 5 logỢ; đụ mi lw,Ợ Vectơ a, va a, cùng giả thiết sai chiều Vậy ở thời điểm kháo sát con chạy A trượt chậm dần về phắa trên, culit K tịnh tiến nhanh dần về bên trái