Chuong V
CAT - DAP
5.1 HIẾN TƯỢNG CẮT
5.1.1 Khái niệm — ứng suất và biến dạng
Một thanh được gọi là chịu cắt nếu nó P
chịu tác dụng của hai lực song song P có {
trị số bằng nhau nhưng ngược chiều và Y— — +T——` nằm: trong 2 mặt cắt gần nhau của thanh |
(hinh 5-1) - |
Dùng Phương pháp mặt cắt, tưởng
| 4 oo a : Hinh 5.1
tượng cát thanh tại một mật cat nao đó
_ giữa hai lực P (hình 5.2) p
_ Bỏ phần phải thi tren mat cat F, của nó x 4 re
— phải xuất hiện các nội lực nảm trong mặt ih ih
cát, nội lực trên mặt cất chỉ có ứng suất = —_ it II ——+z tiếp và ứng suất tiếp t có hợp lực bang P —— |
Với giả thiết ứng suất t phân bố đều trên
mat cat, ta có : Hình 5.2
t.F.=P
Vay: T= K | | (5.1)
Trong đó :
+ - Ứng suất tiếp, còn gọi là ứng suất cat; P — Luc gay ra cat;
F - Dién tich mat bi cat
Trong quá trình phát sinh hiện tượng cắt, ta thấy hình hộp giới hạn bởi hai mặt cất ab
và cd trở thành hình hộp lệch abc”d” (hình 5.3) Để dễ quan sát, ta coi ab là cố định và
cd di chuyển đến vị tri c’d’
Trang 2
Ta goi cc’ = dd” = As là độ trượt tương đối P
( OTS ed
eg , - AS |,
Độ trượt tương đối xác định theo tỷ số be tuc `
là bằng tỷ số giữa độ trượt tuyệt đối của hai mặt a d cắt nằm rất gần nhau và khoảng cách giữa hai mặt cắt đó p
Vì ta xét trong điều kiện biến dạng bé nên : , b
OS x Y^*Y
bc
Vậy y cũng là độ trượt tương đối và được tính
bằng radian (hình 5.4) Cũng như hiện tượng kéo Hình 5.3
(nén) đúng tâm, đối với hiện tượng cắt, nếu ứng bar tt
suất cắt không vượt quá một giới hạn nào đó (giới ye
han cat tỷ lệ) thì ta cũng có định luật Hooke về cat
như sau : “Ứng suất cất + tỷ lệ thuận với độ trượt 2 4
tương đối y” oy
Biểu thức của đinh luật Hooke về cắt là: Hình 5.4
t=y.G a (5.2)
Trong đó: G là modun đàn hồi khi cắt, biểu thị cho tính chống lại biến dạng cắt của
vật liệu Don vi tinh 1a MN/m’ |
Bang 5.1 : Trị số trung bình của môđun đàn hồi G của một số vật liệu
Vật liệu G(MN/m’) Vat liéu G(MN/m’)
Thép 8,1.10° Đồng (4-4,9).10°
Gang 4,5.10 | Gỗ 0,055.10"
5.1.2 Điều kiện cường độ về cắt |
Cấu kiên chịu cất được gọi là đảm bảo điều kiện bền khi thoả mãn điều kiện
r=—s{t,] (5.3)
C
Trong đó: [t,] ứng suất cắt cho phép
Từ điều kiên bền (5.3) ta cũng có các bài toán cơ ban: - Bài toán chọn mặt cắt :
P
Trang 3
_ Bai todn x4c dinh luc tac dung cho phép :
P<F [t,] (5.5)
5.2 HIEN TUGNG DAP
s 2.1 Khái niệm — ứng suất dập
Dập là hiện tượng nén cục bộ xảy ra trên một diện tích truyền lực tương đối nhỏ của hai cấu kiện nén vào nhau lrên mật bị dập của cấu kiện phát sinh những ứng suất pháp gọi là ứng suất đập ký hiệu ơạ Trong thực tế hiện tượng cắt thường đi đôi với hiện
tượng dập : Z¬
Ví dụ : Đinh rive trong mối nối chịu ~——+ =
cát, thành lỗ của thanh chính ép vào = PSG
thân rivê gây hiện tượng đập, đồng thời el
than dinh ciing bi cat ngang Hinh 5.5
Với giả thiết ứng suất dập phân bố đều trên mặt bị đập, thì ứng suất dập được tính
theo cơng thức : |
6, =— (5.6)
F, : Dién tich mat bị dap
5.2.2 Diéu kién bén vé dap
Khi tính tốn về dập, cần phải đảm bảo điều kiện như sau :
P
Tụ =m slo] (5.7)
d [œ,] : Là ứng suất cho phép về dập
Từ điều kiên (5.7) ta cũng có các bài toán cơ bản như sau :
- Chọn kích thước mặt cat :
Py
[ou| ~ Tinh luc tac dung cho phep :
P, <[o,] F, 9)
5.3 Vi DU TINH TOAN VE CAT - DAP /
“Tính rivê trong trường hợp ghép nối các cấu kiện
Cho hai thanh được nối trực tiếp với nhau bằng 6 định rivê như hình vẽ
Trang 4) ) ) ( Ạ ( © @ @ GO © @ a Hinh 5.6
Gia thiét luc P phan déu cho 6 định rivê thì mỗi rivê chịu một lực là P, Đ=—
6
Dưới tác dụng của lực P, mỗi rivê đều phát sinh hiện tượng cắt và dập
a) Tinh vé cat
-_ Lực P, có tác dụng làm cho 2 phần của rivê trượt lên nhau theo mặt cắt mn Nếu ta gọi d là đường kính rivê, áp dụng công thức cho mỗi TIVÊ, ta CÓ :
P, P rg sled Nhung: P, = = 4 Nên: - — <sịt.| 4
Nếu gọi n là số rivê thì ta có cơng thức trong trường hợp tổng quát là :
T= 2 <|t, | ne 4 Hay: | r= <|t, |
Từ điều kiện cường độ về cắt, khi biết đường kính rivê ta có thể tìm được số rivê _ cần thiết
4P
|r.|md” |
Hoặc biết số rivê là n, ta tìm được đường kính của rivê : 4P
nt]
n=
Trang 5
i) Tinh iodn vé dap
Trong lúc gây hiện tượng vắt lực P, đồng thời gây ra hiện tượng dập, vì khi chịu lực thì thành lỗ của tấm ép sát vào thân rivé Sự phân bố ứng suất dập tuy không đều nhưng để đơn giản trong tính tốn ngudi ta gia thiết ung suat dap phan b6 déu tren mat cat di
qua truc rive |
Nếu gọi t là bề dày của mỗi tấm chinn và d là đường kính của mỗi rivê, ta Có ứng suất
dập phát sinh trên mỗi rivê là :
P, P Oy = - _— txd- 6xtxd Và điều kiện bền về dập là | 6,=—<s|90 d tx | d | Nếu gọ: n là số rivê , ta cũng CÓ : P nxtxd Từ điều kiện bền về dập, ta cũng suy Ta :
c) Chú ÿ : |
Vì hiện tượng cắt và dập phat sinh đồng thời, nên trong khi tính tốn, cần phải đảm
bảo an toàn cả vẻ cắt và dập Tức là phải chọn số rivê lớn nhất, hoặc đường kính rivê lớn
Trang 6
Chuong VI
XOAN THUAN TUY THANH THANG CO MAT CAT NGANG TRON 6.1 BINH NGHIA
Một thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang thanh chỉ có một thành phần ứng lực là mômen xoắn M
| Ta quy ước M, mang dấu (+) nếu nhìn vào mặt cắt thì M, quay thuận chièu
.— CO
Ví dụ: Cho thanh ABCDE chịu lực các mơmen tập trung như hình 6.1 Nếu „ét một
y trên mặt cắt ngang đó chỉ có một thành phần ứng lực là mômen xoắn M, Do vay thanh đã cho chịu xoắn thuần tuý,
_ Để tính tốn bên, cứng cho thanh ta cần biết IM,| Muốn vậy ta phải tiến hành vé
được biểu đồ M; Bằng phương pháp mặt cắt biến thiên ta có thể về được biểu đồ M, đối
voi thanh đã cho như hình 6.2
Trang 7
Trong thuc té ta gap nhiều chỉ tiết máy, bộ phận cơng trình chịu xoắn
thuần tuý như
trục truyền động, truc các tuốc bin ca nha may thuỷ điện, mũi khoan Trong
phạm vi _giáo trình này chỉ trình bày nghiên cứu thanh có mặt cắt ngang tròn chịu xoắn
thuần tuý 6 2 UNG SUAT TREN MAT CAT NGANG
Gia sit thanh mat cat ngang trịn (đường kính là D) chịu xoắn thuần tuý như hình 6.3
Trước hết ta quan sát thí nghiệm sau:
+ Trước khi cho thanh chịu lực ta vạch ra | eee M
bên ngoài của thanh những đường thang fe
song song va những đường trịn vng góc M lee
với trục thanh G ` Ne
+ Sau khi thanh chịu mơmecn xốn M ta thấy: |
Chiéu dai thanh va khoang cách giữa các đường trịn hầu như khơng thay
đổi Các góc vng thay đổi
Các đường tròn vẫn phang, ban kinh khong thay đổi Mặt phẳng của các vòng
tròn có chuyền động quay quanh trục thanh và góc quay của các vòng tròn khác
nhau Từ thí nghiệm trên nếu coi biến dạng bên trong và bên ngoài của thanh như
nhau ta chấp nhận các giả thuyết sau:
1 Giả thuyết về mặt cắt ngang:
Mặt cắt ngang của thanh trước và sau khi biến dạng luôn phẳng và vng gĨC
VỚI {TỤC
thanh, đồng thời khoảng cách giữa chúng không đổi
2_ Giả thiết về các bán kính của mặt cắt ngang:
Trong quá trình biến dạng các bán kính của mặt cất ngang của thanh trước
va sau
biến dang van thang và có độ dài khơng đổi
Ngồi ra hai giả thiết trên ta còn xem rằng vật liệu thanh vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi
Bây giờ xét ứng suất tại điểm A
trên mặt cắt ngang bất kì của thanh E va cach trong tam cua mat cất một
khoảng là p Pre
Trang 8
_~ Hai mặt trụ đồng trục z có bán kính là p vàp + dp
- Hai mặt phẳng qua trục z làm với nhau một góc 1a da
Phân tố này được biểu diễn trên hình 6.4 là ABCDEFGH
Theo giả thuyết 1 ta co:
AE =BF= CG= DH= dZ = const Suy ra phân tố khơng có biến dạng dọc theo truc z
Do vay trén mat cat ABCD (hay EFGH) khong có ứng suất pháp, nghĩa là trên mặt cắt ngang thanh chỉ có ứng suất tiép T
Phân ứng suất tiếp + thành hai thành phần:
+ 1, vng góc bán kính + 1ạ hướng theo bán kính
Nhưng theo giả thuyết 2 thì ta suy ra tạ =0 Do vậy 1 = Tụ
Bây giờ ta xét biến dạng của phân tố Giả sử do tác dụng của mơmen xốn M, thì | phan tố bị biến dạng Theo giả thuyết 2 thì A ở vị trí mới A” có:
OAˆ=OA=p;OD'=OD-= p+dp
- Ta xét các góc sau:
dọ = (OA, OA’) gọi là góc xoắn tương đối giữa các mặt cắt 1-1 va 2-2
yp= (AE, A'E) gọi là góc trượt do T, gay ra: Từ hình 6.4 và do biến dạng nhỏ ta suy ra:
AA' pdo | |
{ & YP * yp AE ~ = = dz (a)
Theo dinh luat Hooke vé truot ta có:
1p =G yp (b)
Tw (a) và (b) ta suy ra:
dọ
+, =G.Yp= G.| — p YP ( dz Jp (c)
Trang 9
Ở đây J,= |p" dE 1a momen quan tinh doc cuc của mặt cắt ngang thanh
F
Từ (c) ta suy ra:
_do_ Me dz GJp (6.1)
Người ta gọi 9 la góc xốn tỈ đối nghĩa là góc xoắn tương đối giữa các mật cắt ngang ˆ cách nhau một khoảng bằng một đơn Vi
Trong đó G.]; gọi là độ cứng cuả thanh khi xoắn Dem thay (6.1) vao (c) ta được:
Gdop' Mz
t= dz =P Jp (6.2)
Từ công thức (6.2) ta co mấy nhận xét sau đây:
- Luật phân bố ứng suất tiếp t„ là bac nhất đối với p
Khi p =2 =R thi t, dat giá trị lớn nhất là:
(max — Mz D = Mz * (6.3) J, 2 W, 7 Trong do: ¬ J J, _ W.=—=È-.=— _ | 6.4 P D/2 R wo)
Goi là mômen chống xoắn của mặt cất ngang
Cơng thức tít h W, la:
- Đối với mat cat l pang hinh tron:
4 D 4 Ta co: , = 2 = * 3 = 0,1D" 1, dD Suy ra p =—'-= r D/2 16 = 0,2D"
+ Đối với mặt cắt ngang hình vành khẽn:
Trang 10Hinh 6.5
Biểu đồ ứng suất tiếp t„ đối với mặt cắt ngang tròn và mặt cắt ngang hình vành khăn
được biểu diễn trên hình 6.5
6.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN KHI XOÁN
Giả sử cho thanh mặt cắt ngang tròn, chiều dài là l, chịu xoắn thuần tu 7 Người ta gọi góc xoắn tồn phần của thanh (nghĩa là góc xoắn tương đối giữa hai đầu thanh) lào Để
tính @ ta xét đoạn thanh dz có góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt đầu đoạn này dọ
theo (6.L) là: | do = 0.dz = M, dz GJ, | Suy ra là: (= Ma, (6.3) ạO@d, - a’? M ` `
Nếu G — = const trong toàn thanh thì: Pp
M,,.£
=— 6.6
= Gy (6.6)
Nếu thanh được chia ra n phần ở đoạn thứ ¡ có chiều dài Iva G ji = const thi: | LJ,
2 GML
o=) i= Et (6.7)
i=l i=] GiJ, Don vi tinh cua @ 1a (rad)
Trang 116.4 KIEM TRA CHO THANH TRON KHI XOAN
Đối với thanh chịu xoắn thuần tuý ta phải kiểm tra hai điều kiện: Điều kiện bền và điều kiện cứng
1 Điều kiện bền
Thanh đảm bảo điều kiện bên khi:
- JM;|maX _ [L1 To
Umax ~ W, <|t| — n | (6.8)
— Trong do:
rạ là ứng suất tiếp nguy hiểm đối với vật liệu được xác định từ thực nghiệm
n >l là hệ số an toàn |
Mặt khác [| cũng có thể được xác định qua |o] theo các thuyết bền
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lén nhàt ta có:
2T max = (7 -Ø) <[o]
Suy ra: : TOS lơi max | 2 | (6.9)
So sánh với điều kiên bền (6.8) ta thấy: Theo lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất thì:
lơi
tỊ=— |="
Từ điều kiên bền (6.8) ta có ba bài tốn cơ bản về bền cho thanh khi xoắn là: Kiểm
¿ a bền, chọn kích thước mặt cắt ngang và xác định gia ‘ri của tải trọng cho phép
2 Điều kiện cứng -
Dấi với thanh tròn chịu xoắn người ta thường quy định góc xoắn ti đối Ð không được
vượ? quá giới hạn cho phép nào đó: |0|ad /m) Do vậy độ cứng sẽ là: IM, | max
g = MelmaX <9) GJ, (6.10)
Nếu [ð|được cho với don vj [a (/m) thi ta déi ra don vị (rad/m) như sau: [9](rad /m) =[0]——C/m)
Từ (6.10) ta cũng có ba bài tốn cơ bản về cứng là kiểm tra cứng, chọn kích thước mặt cắt ngang và xác định giá trị của tải trọng cho phép
Trang 12
— _ Chú ý rằng muốn thanh chịu xoắn đảm bảo bền và cứng thì các 6 10) đồng thời phải thoả mãn điều kiện (6.8) và
Vi du
Hay xác định đường kính mặt cắt ngang cuả thanh trịn chịu xoắn như hình vẽ 6 6 Bét [t] = 5kN/cm2,[0]= 0, 25rad ‘m,G =8.10°KN/cm? 1.5D M M D te | _— +¬ 2 1 1, _— 1 @ +— Im pO 1m —+ 2 | (Mz)/KNm Hình 6.6 eo 2s Giải: 1 Vẽ biểu đồ M,
- Dùng phương pháp mặt cắt biến thiên ta vẽ được (M,) cho thanh như hình 6.6 Từ
"biểu đồ ta suy r Ta: |
M)”|max = = 2kNm =2.10ˆkNcm
2 Xác định đường kính mặt cắt ngang D
_ Do thanh có hai đoạn có đường kính và mơmen xoắn khá a) Doan |:
Theo điều kiên bên ta có:
May
Tmax = 0.2D' <[t]
_
=> D> of Mama = 3 110" = 46cm 0,2[t] 0,2.5 Theo điều kiện cứng ta có:
áC nhau nên ta phải xét từng đoạn
Trang 13
b) Doan 2:
Theo điều kiện bên ta có:
M — mau < “may 0.2(,5D) sỉ co —>D oh — > — 1.5 0.2[t| Theo điều kiện cứng ta có:
y= — zms — <[Ủ| ` 0,1.//5Đ}.G Mims by 1.10° O.1.f0].G Lễ \ 0.1.0,25.107.8.10” — => >——4 >2 lcm
Vậy để cho thanh thoa mãn điều kiên bên và cứng ta chọn Ù = 4.6cm CẬU HỎI TỰ ÔN TẬP
-1 Hãy nêu định nghĩa và cho ví dụ vẻ thanh chịu xoắn thuần tuý
xanh có tiết diện trịn chịu xoắn thuần tuý có mấy thành 2 Trên mat cat ngang cua tÍ
ật phân bố của ứng suất trê: mật cắt ngang
phần ứng suất? Công thức tính và quy lu
3 Đại lượng nào được gọi là mômen chống xoắn, độ cứng chống xoắn của tiết diện s
thanh, viết biểu thức tính mơmen chống xoắn của tiết diện tròn, vành khán
oắn thuần tuý
4 Viết điều kiên bền, điều kiện cứng của thanh có tiết điện tròn chịu x
Nêu ba bài toán cơ bản tương ứng với các điều kiện này
82
xc ca a Poe
Trang 14
Chuong VII
THANH CHIU UON PHANG
7.1 KHAI NIEM CHUNG
Ta nói thanh chịu uốn nếu (rục của nó bị thay đổi độ cong trên tiết điện có ứng
lực mơmen uốn nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh, mặt phẳng đó gỌI là mặi phang tai trong
Ngoại lực gây uốn có thể là P, q có hướng vng góc và nằm trong mặt phẳng chứa
trục thanh hoặc mômen nằm trong mặt phảng chứa trục thanh Hinh 7.1
Nếu ngoại lực cùng nằm trong một mặt
phẳng thì mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng tải trọng Giao tuyến giữa mat phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là
_ đường tải trọng
_ Mật phẳng chứa trục z của thanh và một - ~ truc quan tinh chinh trung tam x hoặc y _ :
của mặt cắt ngang được gọi là mặt phẳng yl
_ quán tính chính | a Mat “hàng vi ủi trọng
Nếu mặt phẳng uốn trùng với mặt
phẳng quán tính chính thì ta nói thanh 4 z
ằ chịu uốn phẳng Thanh có thể chịu uốn
trong mặt phẳng yz bởi ứng lực mômen : >< pusng
udn M, (Momen quay quanh trục x) hoặc : a a có thể chịu uốn trong mat phăng xz bởi | _
ứng lực mômen uốn M, (Mômen quay
quanh trục y) | Hình 7.1
Nếu mặt phẳng uốn không trùng với mặt phang quan tính chính thì ta nói thanh chịu
uốn không gian (uốn xiên) Thanh chịu uốn bởi ứng lực mômen uốn nằm trong mat
phẳng chứa trục dầm M, (Mômen quay quanh trục trung tâm u) Mômen uốn M, ln có thể phân tích thành hai thành phần mômen uốn nằm trong hai mặt phẳng quán tính chính M, và M, do vay bài toán uốn xiên là tổ hợp của hai bài toán uốn phẳng Trong chương này ta nghiên cứu bài toán uốn phẳng trên cơ sở đó bài tốn uốn xiên sẽ được nghiên cứu ở chuơng sau
Trang 15
Ta xét 2 truong hop:
+ Uốn thuần tuý phẳng + Uốn ngang phẳng
7.2 UON THUAN TUY PHANG
7.2.1 Dinh nghia
Đoạn dâm được gọi là chịu uốn thuần
tuý phẳng nếu trên mỗi mặt cắt ngang của
nó chỉ có một thành phần ứng lực là
-mômen uốn nằm trong mặt phẳng quán
tính chính
Ví dụ:
- Đoạn thanh CD chịu uốn thuần tuý phẳng
Vì: Qe =9 Mop = P.a # 0
1.2.2 Biến dang của dầm uốn thuần tuý phẳng Xét đoạn dầm chịu uốn thuần tuý phẳng Hình 7.3
- Trước khi cho nó chịu lực
ta kẻ ra mặt ngoài của những
đường thẳng song song và
vuông góc với trục thanh
- Sau khi cho mômen uốn M,
M, tác dụng quan sát biến ( dạng của đoạn thanh ta thấy:
+ Những đường thẳng song
song với trục dầm bị uốn cong
đi nhưng vẫn song song với
("| mm “ C D ap | 9 4 {Fa | cs “ Ị 4 7 L _k TT 7 P + P | (Q) P.a A (M) Hinh 7.2 hy Đường trung _ hoà ) : | Mat trung hoa Hinh 7.3
trục dầm bị uốn cong, các đường phía trên co lại, các đường phía dưới dẫn ra nhưng vân cách đều nhau
+ Những đường thắng vuông góc với trục dầm vẫn thẳng và các góc vng vẫn bảo toàn „ Trên cơ sở đó ta đề ra những giả thuyết sau:
1 Trước và sau biến dạng tiết điện thanh vẫn phẳng và vng góc với trục
2 Trong quá trình biến dạng các lớp vật liệu dọc trục không ép lên nhau hoặc day
nhau, có thể bỏ qua ứng suất pháp trên các mặt song song với truc 6, * 0, = 0
84
Trang 16
-_ 3 Quan sat bién dang ta thấy các lớp vật liệu dọc trục phía trên trục dầm bị co lại và các lớp phía dưới bị dãn ra, như vậy đi từ những lớp bị co lại đến những lớp bị dãn ra chắc chắn phải qua một lớp khơng biến dạng, lớp đó được gọi là lớp trung hoà Giao tuyến của lớp trung hoà và mặt cắt ngang gọi là đường trung hoà |
Nếu coi trong quá trình biến dạng mặt cắt ngang khơng thay doi hình dáng thì đường
trung hồ là một đường thẳng và có thể coi biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý phẳng
chính là sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường trung hoà
_ _- Duong trung hoà chia mặt cắt ngang thành hai miền: Kéo và nén
7.2.3 Công thức tính ứng suất
Xét phân tố thanh có chiều dài dz
như hình 7 4, kí hiệu:
dọ- Góc hợp thành giữa hai tiết diện
hy
giới hạn của phân tố sau biến dạng | Đường
p- Bán kính cong của lớp trung hoà ps
b- b qe
x - Duong trung hoa trén tiét dién “
Biến dạng dài tỷ đối theo phuong z :
tại điểm có khoảng cách y tới đường
| ee -_ trung hoà sẽ là: a Hình74_-
- E, = -_ 914; ~aa _ aja; ~bb _(p+y)dọ-pdọ _ y aa bb =4 pdọ == p (7-1)
Các góc vng không thay đổi nên ứng suất tiếp trên tiết diện tại điểm đang xét bằng
khơng Vì ơ,~ Gy ~ƠƯ nên ứng suất pháp trên tiết diện bằng
ky
p
Khi uốn trong mặt phẳng yz đang xét, trong ba ứng lực liên quan tới ứng suất pháp thì
lực dọc N và mômen uốn M, xác định bằng phương pháp mặt cắt, các điều kiện này
Trang 17) ” , - `
se , 7 E ` ` , ow
Thay biêu thức của ứng suất theo (7-2) vào (a), (b) với chú ý — là hãng Số trên tiết p
diện, ta tìm được hai điều kiện:
JydF =0: [xydF
F F
Nhu vay, momen tinh đối v6i truc trung hoa x va momen quan tinh ly tam đốt với hệ
trục xy của tiết diện bang khong
Trục trung hoà x là trục đi qua trọng tâm vng góc với mặt t phang uốn, hệ trục xy là
hệ trục quán tính chính trung tâm
Sau khi đã xác định vị trí đường trung hồ, ta tìm được biểu thức của bán kính cong nhờ công thức:
M= |yodF "- | y dF = EI.) My (7-3)
Thay (7-3) vào (7-2) ta có cơng thức để tính ứng suất pháp :
M
Š o=—y (7.4)
oO Ms |
eee - “Tổng quát ta có: G= + ——— ly|
J,
+ Lay dấu công nếu điểm cần tính ting suat nam trong miền chịu kéo của tiết diện
+ Lấy dấu trừ nếu điểm cần tính ứng suất năm trong miền chịu nén của tiết diện 7.2.4 Biểu đồ, trị số lớn nhất của ứng suất
Theo công thức (7-4), trị số ứng suất pháp ty lệ bậc nhất với khoảng cách đến đường trung hồ và có dấu khác nhau về hai phía của đường trung hoà Theo chiều cao tiết
diện, biểu đồ ứng suất pháp là đường bac nhất, bằng không tại đường trung hoà và có trỊ
số lớn nhất tại hai mép như trên hình 7-5
Kí hiệu y, và y„ là toạ độ tương ứng của mép tiết diện chiu kéo và mép tiết diện chịu nén thì tri số lớn nhất của ứng suất pháp bằng:
M M, Omax ~ ` Y« = + _ (7-5) min J n Wyk
Lấy dấu cộng trong (7-5) khi tinh O,,, lấy dấu trừ khi tính Ø„¡n
poe J J
Cac tri so: es en Le ee (7.6)
Yk Yn
Trang 18
— Nếu tết diện đối xứng qua trục x thì:
— J,
Wyk - Wyn =W, h/2
Khi đó các (Ị SỐ Gmax › Omin bang nhau
+ IM,
Omax= = (7.7)
min Ww,
Đối với tiết diện chữ nhật bx h:
bh" /12 bh’
Ww = =
7.8
" h/2 6 (3)
Đối với tiết diện tròn đặc đường kính D:
4 2
w, = 2 (64_XD 0p! * p/2 32 (7.9)
Đối với tiết diện vành khăn, đường kính ngồi D, tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngồi là œ -< ,
G
, |
W, = TS 0-6!) ~ 0,1D°(1—a*) (7.10)
“Tri s6 momen chéng u6n cla cdc tiét diện thep dinh hinh dugc tim theo bang tiéu
chuẩn (phụ lục [)
Đối với tiết diện có hình dạng ghép từ nhiều hình đơn giản, trước hết, ta tìm mơmen
qn tính trung tâm J,, sau d6 tinh W, theo công thức định nghĩa (7-6)
7.2.5 Điêu kiện bền
Khi uốn thuần tuý, TTƯS của thanh là TTUS đơn, điều kiện bên là:
max “ Thy <[o], | (7-1la)
X < lo] | (7-11b) yy X min | ~ lơ
Khi kiểm tra bền với ứng suất nén, ta lấy giá trị tuyệt đối của ứng suất vì ø„.„ <0
Tiết diện kiểm tra là những tiết diện có trị số mômen dương và mômen âm lớn nhất
Nhi tiết diện đối xứng qua trục x thì trị số ơ,„ và ơ„ bằng nhau, điều kiện bền có đạng '?n giản là:
O =—— <|o], (7.12)
Trang 19
Với vật liệu dẻo khả năng chịu kéo và chịu nén như nhau [ø], = [o], = |] nên điều
kiện bền có dạng:
Ø„„=—* X|S] max (7.13) mins: = X
Với vật liệu đòn, khả năng chịu kéo và chịu nén khác nhau [ø] <[ø|, nên điều kiện
bến có dạng:
max = Ww <[o], | (7.14)
1.2.6 Hình dáng hợp lý của tiết diện
Tiết diện hợp lý là tiết diện cho phép tận dụng khả năng làm việc của vật liệu, có độ
bền chịu uốn cao khi diện tích tiết diện là nhỏ nhất Ta có thể xét hình dạng hợp lý từ hai
khía cạnh sau :
| Theo biểu đồ ứng suất pháp, mép dưới của tiết diện có ơ„„„ và mép trên Øm¡n-
Hình dáng tiết diện sẽ hợp lý khi hai mép cùng đồng thời phá hông, tức là đạt đồng thời hai đẳng thức: M max J = Yx =[o|, M, IS in| = J Yn =[o|
Lập tỷ số của hai đăng thức, ta nhận được điều kiện hợp lý
ly =-—k=q<l [>],
va| |9],
+ Với dầm làm từ vật liệu dòn œ< 1 nên Yy < Y„ tiết diện không đối xứng qua trục X -
+Với dầm làm từ vật liệu dẻoœ=Ì nên y, =y,=h/2, tiết diện đối xứng qua trục X -
2 Trị số ứng suất pháp khi uốn tỷ lệ nghịch với mômen chống uốn W, Ta có thể
tăng J„ do đó tăng W, bằng cách đưa vật liệu ra xa trục trung hoà X
Ví dụ:
Cho dâm chịu lực như hình vẽ 7.5
[o| =16KN/cm” - -a) Kiểm tra bền cho dầm biết:
M=6KNm; b = 4cm; h = Š cm
Trang 20Se ERBAERDBI Bas Cl ht TA) fh TE A ee TOUT ce piso TERE Bg SOAR h — EN
Tìm kích thước của tiết diện với M=8KNm:h= 2b
b) Với b = 4cm; h = 8cm Hãy tìm mômen tác dụng lớn nhất mà M @œ dầm có thể chịu được A Ao ` J} 4 - Bài giải: im FT L Bằng phương pháp mặt cắt biến thiên ta có thể dễ dàng vẽ được |
biểu đồ mơmen uốn (M,) nhưhình M JIỊM (Mx)
1.5 |
a) Với M =6KNm _ Hình 7.5
Theo điều kiện bền ta có:
Øm„=—* <[ø] Với hình chữ nhật W, = b.h2/6 6.100.6 => 4.8 2
Kết luận: Dầm thoả mãn điều kiện bền
$16 314,06 <16
b) Theo điều kiện bền ta có: mas = Le] Zs =e M, To] b> [OM _ = 6 = =42em 4|ø] Kết luận: Chọn b = 4,2 cm; h = 8,4 cm
c) Theo điều kiện bền ta có:
2
=M,<W,Íø Jom st, 16 = 682,67KN.cm
Két luan:
V6ib=4cm;h=8 cm, thi dim chịu được mômen lớn nhất M, = 6,8267KNm
Trang 21Hee
“=
ravownemomie psf whee
—>-
mặt phẳng quán tính chính của thanh
7.3.1 Định nghĩa A C
„1W Il2
Một thanh chịu uốn ngang phang = ơđ-
nu trờn mi mt cắt của nó tổn tại hai pr Pi2
thành phần ứng lực là M, Q nằm trong a” = > 2 (Q)
P.LIA \
Ví dụ: Dâm ở hình bên chịu uốn “I M
ngang phẳng (hình 7.6)
1.3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang Hình 7.6 Trước khi cho dầm chịu lực uốn P ta
kẻ ra mặt ngoài của dầm những đường
thang song song và vng øĨC VỚI trỤC
đầm (hình 7.7) ` 5
Sau khi cho P tác dụng quan sát biển
dạng ta thấy °
+ Những đường thẳng song song với ——¬—X—`
trục dầm bị cong đi nhưng vẫn song ~f - =
song với trục dầm bị uốn cong Td
+ Những đường thẳng vuông gốc |
trục dầm khơng cịn thắng và vng góc Hình 7.7
với trục dầm nữa |
- Nếu tại một điểm A bất kỳ ta tach ra một phân tố có các mặt song Song với các mặt khơng cịn vng góc nữa nghĩa là
⁄#
phẳng toa độ thì sau biến dạng các góc của phân tố
phân tố có biến dạng góc tức là trên mặt của phân tố ngoài thành phần ứng suất pháp Ø;
`
còn tồn tại ứng suất tiếp t,„ (thực tế còn tồn tại ø, nhưng VI Gy quá bé so với các thành
_ phần còn lại nên ta có thể bỏ qua)
1 Cơng thức tính ứng suất pháp
Trong trường hợp dâm chịu uốn ngang phang thi sau bién dang mat cat ngang bi vénh di khong còn pháng nữa Do vậy mọi lập luận để đưa tới cơng thức (7.4) khơng cịn phù
hợp Tuy nhiên bỏ qua sai số nhỏ ta vẫn có thể sử dụng cơng thức tính ứng suất pháp như
trong trường hợp chịu uốn thuần tuý:
M
on)
Trang 22
2, Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang(công thức Juravski)
Giả sử xét dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt cắt |
ngang là chữ nhật hẹp (b< h) Hình 7.8 Yh
Cần tính ting suat tiép tai mot diém A(x,y) bat ky
trên mặt cắt ngang nào đó của dầm
Trước hết ta tìm quy luật phân bố của ứng suất tiếp
— Qua điểm A ta kẻ đường thẳng song song với trục - | >;
Z ° 9 ~ = ° `
`
Ox cat biên cua mat cat tai B va C it]! 7
pose bee eRe YIN YY
+ Xét tại B: Giả sử ứng suất tiếp tại B có phương bất C[| cọi| A |B
kỳ trong mặt cắt, ta ln có thể phân tích ứng suất đó
ra hai thành phần: Một theo phương thẳng đứng (theo
Oy) và một theo phương ngang (theo Ox) Tuy nhiên Hình 7.8
theo luật đối ứng của ứng suất tiếp thì thành phần theo phương ngang bằng không vì mặt
bên khơng có ứng suất (Mặt ngồi của dầm khơng có tải trọng tiếp tuyến tác dụng) Như vậy ứng suất tiếp tại B chỉ có một thành phần theo phương của trục Oy Tương tự tại C
ứng suất tiếp cũng chỉ có một thành phần theo phương trục Oy
_ + V6i gia thiết mặt cắt ngang là chữ nhật hẹp nên ta có thể coi ứng suất tiếp phân bố đều dọc theo BC Điều này hồn tồn có thể chấp nhận được tương tự như viéc ta coi hàm là hằng số trong khoảng biến thiên nhỏ của biến số
Kết luận: Ủng suất tiếp trên mặt cắt ngang phân bố đều theo đường thẳng song song
với Ox và tại mỗi điểm trên đường thẳng đó ứng suất tiếp chỉ có một thành phần theo
phuong Oy
Dé tinh tri số của ứng suất tiếp tại A(x,y) ta xét cân bằng của phân tố giới hạn bởi các
mặt: (hình 7.9)
- Mat song song với trục z, vng góc với trục y, có tung độ y„
- Mặt vuông góc với trục z, có hồnh độ z, chịu mơmen uốn M,, tại điểm có tung độ
X
y* chiu ting suat phap o = ~ y*
X
- Mặt vuông góc với trục z, có hoành độ z + dz, chịu mômen uốn M, + dM,, tại điểm
M,+dM,
J Xx
có tung độ y* chịu ứng suất pháp o = y*
Toa độ y* biến thiên theo phần diện tích mặt bên của phân tố, ký hiệu F,
Trang 234 y ì Lo 0 0 a Z x A hú N ` AY tr | “ph Fc XK | | dz | Hinh 7.9
Nếu tại bề rộng b, trên bề mặt tiết diện có các ứng suất tiếp t, theo chiều của lực cắt
Q,, thi 6 mat trén song song với trục z của phân tố, theo định luật đối ứng của ứng suất
tiếp cũng tồn tại ứng suất tiếp t„, phân bố đều theo chiều rộng b Hợp lực của ứng suất
nầy ở mặt trên, theo phương z là T= t,.b.dz
Phương trình cân bằng hình chiếu theo phương z của tất cả các lực tác dụng lên phân tố:
[o,dF - Jo,dF-T=0 Fe Fy | C "1 `.— [ysr MS: * bdz? J, dz bJ, 5 dz bJ, Q.S: Hay: 1 =—— * bJ — ED) 7.15 Trong do:
-Q,: Tri s6 luc cat tai mat cat
- J: Mơmen qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hoa x
- S°; Trị số tuyệt đối mômen nh của phần diện tích bị cắt bởi một đường thăng:
song song trục trung hoà đi qua điểm cần tìm ứng suất đối với trục trung hoà
- b: Bề rộng của tiết diện tại điểm cần tìm ứng suất Chiều: r„ cùng chiều Q
3,Sw phân bố ứng suất tiếp trên l số mặt cắt ngang thường gấp
Trang 24
- ——— Giả sử mặt cất ngang dâm chịu uốn ngang ty
phẳng là hình bể rộng b, chiều ngang h Ta đi +
tìm luật phân bố của ứng suất tiếp t„ đối với
mặt cắt nếu lực cắt tại mặt cắt này là Q x ()
Ta xét diém bat ky A(x,y) trên mặt cắt | y Tmax
_
B
Ta có: 4
⁄⁄ yy
._(h Lh bh? | °
s;=(3-y}» y+—(—-y) =-(— —Yˆ) 2 2 2 b
2.4 +——+ Suy ra: | | Hinh 7.10 b{ h’ C Qy ^ TY 2 _QS% 724 _Q hs, (7.16) 7" J be Jb 21(4 7 _
Từ (7.16) ta nhận thấy rằng: Luật phân bố r„„ trên mặt cắt theo phương trục y là một Parabol bậc hai
ˆ Với y=0 (Những điểm nằm trêu đucng trung hồOx) thì:
| Q,hˆ 3Q
t„ 0) = Tmax 7 y( "` 8] > = 2F
(7.17)
h |
Kh y=+— thìt =0 « ° Y
Từ đó ta có thể vẽ được biểu đô T,y cho mặt cắt như (hình 7.10) b) Mặt cắt nsang hình trịn Ị
Gia sử dâm chịu uốn ngang
phẳng có mặt cất ngang hình trịn
bán kính R và lực cắt trên mặt cắt
ngang là Q_ Ta thừa nhận thành 3 p
phần ứng suất tiếp song song với
†-
trục y, t„ tại các điểm cách đều trục trung hồOxcó trị số bằng nhau Ta
đi tìm luật phân bố của nó: mu) 14 | ñ
y Xét ứng suất t„ tại các điểm
thuộc BC (hình 7.1 1) + Dy
BC =2R Cosa
Hinh 7.1]
Trang 25Sc = | pdF = [pbdp y Fe 1/2
= | Rsing.2R cosed( ik sin @)
ni2 x/2 2
=2.R° | cos” @.SHl0.d0 = ~2R° | cos” ¢.d(cos@) = ak cos’ a Suy ra:
Q 2 R3 yg 68 % QR“coœ Q,R-sm a) cos? p22 271 cin?
ly = = = (7.18)
J,.2R.cosa 3.J, 3J,,
Q
Hay: t,, =—-(R’-y’ y: Ty 33 yˆ)
Biểu đồ (r„) được vẽ như hình 7.11
R’ 4 4
Trong đó: tạ =ty (0) re 1 _^S, (7.19)
3) 3nR? 3F c) Mặt cắt hình chữ Ï
_Xét dầm chịu uốn ngang phẳng có ự
mặt cắt ngang hình chữ I (hình7 12) + —\
Tiết diện chữ I bao gồm phần lịng
có chiều rộng d và phần đế có chiều
rộng b 1 >y
A Tp TT
Lấy điểm bất kì A(x.y) thuộc lòng
ta CÓ: se =S, -—dy’ x “xX 2 y a ¬ 4 an
Với S, là momen tinh của một nửa
mặt cắt đối với x Hình 7.12
dy?
Q5; Q18 2
Suy ra: T,, = —= (7.20)
” ¥ J,.b.c J,.d
Từ (7.18) ta thấy luật phân bố 1„„ của phần lòng mặt cắt chit I là một parabol bậc 2 đối với y
94
Trang 26on nhat Q,-S, Yly=0| - Unax = J d (7.21) Đối với diểm C tIẾP giáp giữa long va dé cha chi | nhưng thuộc phần lòng thì ta có y= ¬ nen ta suy ra:
l,h
h_ Wl - 540-07]
Vì trên tiết diện của dầm chịu uốn tồn tại cả ứn
thể gặp các trạng thái ting su ất sau:
- } Kiểm tra phân tố ở trạng thái ing suất đơn 8 suất pháp và Ứng suất tiếp nên ta có
- Tại những điểm mÉp trên và mép dưới của tiết diện với trị số ứn
8 suất chính là Sàn hoặc ơ„„ Mặt cắt kiểm tra là mặt cất có |M, | lớn nhất
Điều kiện: M max — — S [o], W, Onin =—— < [o], (7.23) W;’
+ Khi dầm làm bang vật liêu dẻo tiết điện đối Xưñng qua trục trung hoà điều kiện bền là M
Max|ø|=—* < [ø] (7.24)
W,
2 Kiểm tra cho phân tố ở (rạng thái trượt thuần tuy:
Tai nhing diém nim tren truc trung hoa.Mat cat xiểm tra có IQ,| lớn nhất
Điều kiện:
Trax S [T]
(7.25)
Nếu [r] không cho, ta có thẻ tinh [+] qua [ơ] theo thuyết bền như sau:
Trang 27
3 Kiém tra cho phân tố ở trang thái ứng suất phẳng
đặc biệt: Mặt cắt chọn kiểm tra có |Q,| và IM,| càng lớn
Chọn điểm đặc biệt kiểm tra (D) có Øp Và Tp cùng lớn
(Ví dụ: đối với mặt cắt thép hình chữ I thì t2 chọn điểm
tiếp giáp 8:2 long va dé chit |
nhưng thuộc phần lòng chữ I)
_ Vi phân tố tại D là phân tố phang nén ta phai dung
các thuyết bên:
“Theo thuyết bên ứng suất tiếp lớn nhất ta CÓ:
Ơi= Jø} +415 <[o]
Tuy nhien viéc kiém tra cho phan tố ở TTUS phẳng đặc
biệt thường công kénh, mat
khac thong thuong khi phân tố ở TÌ ƯS đơn và TTUS trượt
thuần tuý đã thoả mãn thì
phan t6 6 TTUS phẳng đặc biệt cũng thoả mãn nên trong các
bài toán của giáo trinh nay
chỉ trình bày và yêu cầu kiểm tra bên cho hai loại phân tố:
- Phân tố ở TTUS đơn (Kiểm tra điều kiện bên theo ứng suất
pháp):
_ Phân tố ở TTUS trượt thuần tuý (Kiểm tra điều kiên bền theo
ứng suất tiếp)
Ví dụ I:- |
_ Cho dầm chịu lực như hình vẽ 7 l3
|
"Kiểm tra bên cho dầm biết: P = 16KN; q = 4KN/m; b
Trang 28
- Bai giai:
Ta vẽ được biểu đồ lực cắt (Q,) và biểu đồ mômen uốn (M,) như trên hình 7.1 3 Từ các biểu đồ ta có:
Qunax = 16,5 KN: IM,| =23KNm max
Kiéin tra bén:
a) Kiém tra bén theo ứng suất pháp:
Điều Kiện ơ, = “am <[o] o ars $16 15,97<16 Thoa man
b) Kiểm tra bền theo ứng suất tiếp:
` 3 max 10,
Điều kiện: t„,,= _— 2.b.h <[t] => 3.16,5 $8 0,34<8 Thoa man
2.6.12
Kết luận: Dâm đã cho thoả mãn điều kiện bền
Ví dụ 2:
Cho dầm chịu lực như hình vẽ 7.14_-
P= 12 KN: q=6KN/m; M=4KNm: [o] = I6KN/cm°,[r] =8KN/cm”
"hon s6 hiệu mat cắt ngang cho dầm
Trang 29~ Bai giải:
Ta vẽ được biểu đồ lực cắt (Q,) và biểu đồ mômen ::›:: (\I,) như trên hình 7.14
Từ các biểu đồ ta có:
Qy„„= 16 KN; Mo F0KNs
+ Theo điều kiện bền về ting suat phap ta cv
| 2U 0U
O max ~ “am W, <{ø] — Ww, 2 M xmax — [o| 16 cả: Sem* Tra bang chon thép |, cé: W, = 148cm’
3, =82,7cin'
.= 1320cr” d=0,5 cm
+ Kiểm tra lại theo điều kiện bền về ứng sus¡ tiếp: Điều kiện kiểm tra:
ax 16.83, 7
_ Qy max K Àà OP," es
Tay dJ, <[t] © 0,5.1330 <8 <> 2,01 <8 Thoa man
Kết luận: Với số hiệu mặt cắt Lis đã chọn đầm làm việc an toàn và tiết kiện
Ví dụ 3:
Cho dầm chịu lực như hình vẽ 7 5
ĐVA = 4875a q [ | “> VA=2,125qa
Trang 30
Số hiệu mặt cắt ngang ],„: P = 6qa; M = 4qa’; a = Im: [o] = 16KN/em?:
[t] = 8KN/cm’ Tim q,,, |
Bai gidi:
_ Tra bảng với mặt cat s6 hiéu I,, ta co: W, = 148cm’; S, = 83,7cm?
J, = 1330cm*; d = 0,5 cm
Ta vẽ được biểu đồ lực cắt (Q,) và biểu đồ mômen uốn (M, ) như trên hình 7 l 5,
° Từ các biểu đồ ta có:
Qvnax = 4,875qa; ` JM,| =8,25qa’
+ Theo điều kiện bền về ứng suất pháp ta có:
Sax = M xm <|o] > My max $ W,.[o]
W,
> 8,25qa* < 148.16 => qs sei =0,028KN/cm 8, 25.10
+ Theo điều kiện bền về ứng suất tiếp ta có:
Q\, max “Sx Sd [t] Tmax "an ca a SI TI SO ay 13300/58 - 0,5 S4,8/5qa<————— = qs 1330.0, 5.8 =0,13KN/cm 83,7 83, 7.4,875.100 Chon q,,., = 0,028KN/cm = 2,8KN/m Vi du 4:
Cho dam có sơ đồ chịu lực như hình 7 ló
P= 24KN;,M=6KNnm; q =6 KN/m;
Vật liệu có |ø|_= 0,6KN /cmỶ;[ø]_ = 1,2KN /cm? Hãy kiểm tra bên cho dầm theo điều kiện bền về ứng suất pháp
Bài giải: _
1 Vẽ các biều đồ ứng lực:
+ Tính các phản lực liên kết:
Bằng các phương trình cân bà, 18 tinh hoc ta tinh được các phản lực liên kết »Z= 0>H,=0
Trang 316+24.1+6.2.3
5°m, =0= Vụ = ° =22KN
YY =0= Vy =24+6.2-22 = 14KN
Bảng phương pháp nhận xét ta dé đàng vẽ được các biểu đồ ứng lực (Q,) và CM,) như
hình vẽ 7.16 | P | H, ` | ZL Š _ A C | f 44h yey D B E 8 | + im L im a † im v_ | 40cm 10cm, 10cm | YA Ive : - a © T" ‘Toe 14 | 10 x3 | le (M,JKN 2 Hinh 7.16
2 Tính các đặc trưng của tiết diện
Chia hình làm hai phần (J) và (ID) như hình 7.17 -
Hình có một trục đối xứng y, gắn hình vào hệ trục yc;X: Ta có:
_ 0,10.30-20.10.30 -
—— 10.30+10.30
Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm của hình là xcy —10cm
0.30” 10°
J _! + 10°.10.30+ LŨ 3 Kiểm tra bền cho dầm theo ứng suất pháp:
+102.10.30 = 55000cm'
X
eA a — X
Điều kiện bền Sia = wk < [o],
X
Trang 32
Onin = M, < [o],
W_
_ + Kiểm tra tiết diện tại C (Có mômen dương lớn
nhất) 10cm - 0D — 0 515 <0 6 O max 55000 nin 25 9 <1.7 a 55000
+ Kiểm tra tiết diện tại B (Có mơmen âm lớn nhất)
Hs 3.100.25 =0,1<0.6 55000
"` 535000
Kết luận: Dầm đã cho thoả mãn điều kiện bền
Trang 33CÂU HOI TU ON TAP 1, Nêu khái niệm về mặt phẳng tải trọng, đường tải trọng
2 Định nghĩa mặt phẳng quán tính chính của thanh, một thanh có bao nhiêu mặt
phẳng quán tính chính?
3 Những trường hợp nào được gọi là uốn thuần tuý, uốn phẳng, uốn không gian? 4 Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn
_ thuần tuý |
5 Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất trên mật cắt ngang của thanh chịu uốn
ngang phẳng _
6 Vẽ các biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn ngang
phẳng có tiết diện hình chữ nhật, chữ 1
7 Nêu các dạng tiết diện hợp lý của thanh chịu uốn
§ Viết các điều kiên bền và chi ra mặt cắt kiểm tra và điểm kiểm tra các điều kiện bền này của thanh chịu uốn
BÀI TẬP CHƯƠNG VI
1.Cho dầm chịu lực như hình vẽ 7 lỗ
h = 2b; P = 12KN; [ Ụ 2P- \ | q = 8 KN/m; a= Im: POP A NI [o] =16KN/cm’; +———+ ˆ } ˆ } [r]=8KN/cm/ ——— Hình7.18
Tim b = ? dé dầm làm việc an toàn, tiết kiệm
2 Cho dầm chịu lực như hình vẽ 7.19
P=20KN; q=4KN/m; a = Im; [ø] = 16KN/cm?; [t] = 8 KN/cm’ Tim b = ? để dầm làm việc an toàn, tiết kiệm
Trang 343,Cho dầm chịu lực như hình vẽ 7.20
P = 24KN; M = 8KNm; q = 6 KN/m; a= 1,2m;
[o] = 16KN /cm?:
[t]=8KN/cm*
'Kiểm tra bền cho dầm
P q LTTTTH TT] “> Hinh 7.20 - 4.Cho đầm chịu lực như hình vẽ 7.21
Trang 35Chuong VIII
CHUYỂN VỊ CỦA DẦM KHI UỐN
8.1 KHÁI NIÊM VỀ ĐƯỜNG ĐÀN HỔI, ĐỘ VÕNG, GÓC XOAY Cho dầm chịu uốn bởi lực tập trung P như hình vẽ 8.1
Dưới tác dụng của lực P trục dầm bị uốn
cong di y P
+ Đường cong của trục dầm sau khi uốn All |
được gọi là Đường đàn hồi 2 ———” ——_ sf z
Xét tiết diện tại A (Cách gốc toạ độ một Đường A’
đoạn z): Sau khi dầm chịu uốn A sẽ di nn chuyén xu6ng A’, do biến dang bé nên ta
coi AA” cùng nằm trên đường thẳng vng _, Zz
góc với trục dầm
+ AA' = y được gọi là Độ võng của dầm Hình 8.1
tại A
Trước và sau biến dạng tiết diện tại A sẽ bị xoay đi một góc @ (hình vẽ) + @ được gọi là góc xoay của tiết diện tại A
Ta thấy:
-Tập hợp của độ võng trên toàn dầm chính là đường đàn hồi có phương trình y = Yụ, - Theo quan hệ hình học : @*% tg@=y(,)
Trong thực tế ngoài việc tính tốn về bền, đối với dầm chịu uốn ta phải kiểm tra thêm
điều kiện cứng với điều kiện độ võng lớn nhất của dâm không vượt quá tri số giới hạn
Trang 36
_ Nhu vay muốn tính tốn về cứng cho dầm ta phải biết được độ võng, góc Xoay của
dầm Ta có thể biết được nếu ta xác định được phương trình của đường đàn hồi
8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Trong chương VỊI ta đã thiết lập được công thức:
1 M,
—= (1)
p EJ,
—_ Mặt khác vì đường đàn hồi là đường cong hình học nên theo hình học vi phân ta có
thể tính độ cong của đường đàn hồi theo công thức:
I _ + y tt ` p (I+y2Ï? (2) Tu (1) va (2) ta suy ra: — —y=‡ SẺ 2\2 EJ G) [I+y x
_Theo hình (8.2) ta thấy y°' và M, luôn ngược
dấu nhau nên trong (3) ta phải chọn dấu âm tức là: | |
————xz=-—* 6.2 mm l+y đó E2} (C— Mx>0 Mx<0 y"<0 y">0
Phương trình (8.2) được gọi là phương trình vị
phân của đường đàn hồi Do biến dạng là nhỏ nên ta có thể bỏ qua y" so 0 | X với đơn vị và ta được phương trình vị phân gần
đúng của đường đàn hồi như sau: „ M ye Hình 8.2 (8.3) x Trong do:
- M, la biểu thức của mômen uốn tại mặt cắt có hồnh độ z
- EJ, là độ cứng chống uốn của tiết điện |
Từ phương trình vi phân của đường đàn hồi ta có thể xác định phương trình của đường đàn hồi theo một số phương pháp sau
8.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN
Tích phân hai vế phương trình (8.3) ta được:
M, ¬
@=y(Z)= -lãd+€ (8.4)
X
Trang 37Tích phân tiếp ta được:
Yon) = 2 dz Chios D (8.5)
Trong đó: C và D là các hằng biến tích phân được xác định từ điều kiện biên và điều
kiện liên tục của dầm Nếu dầm đã chia làm n đoạn thì tương ting ta sé con biểu thức
(i)
My —
(1)
E J;
Và do đó theo cơng thức (8.6) ta sẽ có 2n biểu thức độ võng, góc xoay y,(z), y’,(Z)
Khi đó ta có 2n hằng số tích phân C,„, D, (=1,n) Từ các điều kiện biên và điều kiện liên
tục của dầm, ta sẽ thiết lập được hệ 2n phương trình đại số tuyến tính để xác định 2n an số là Ci, D, (i=1,n) Tuy nhiên khi đó bài tốn sẽ trở nên cổng kênh, phức tạp Ta nên su - dụng phương pháp khác để tính tốn
84 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TỐN (TẢI TRỌNG GIẢ TẠO)
Trong chương I ta đã thiết lập được quan hệ vi phân giữa Qy, Mx và tải trọng phân bố
q(z) trên dầm như sau:
dQ, dM dˆM ——=dq(Z); TT=qữ); = *=Q0); —2*=qữ) @) ~—= x ~*=qŒ a Mặt khác theo (8.3) ta có: dy„ _ M | Wo TN) _—_ _X | b 7 dz° EJ X ©)
Ta tưởng tượng có một dầm giả tạo nào đó chịu tác dụng của tải trọng phân bố giả tạo
với cường độ q, là:
M
đạt =~ BỊ, (8.6)
Khi đó nếu gọi lực cất và mômen uốn trên dầm giả tao la Q,, và M,, thì ta có từ (a),(b) và (8.6): 2 đ ẨM, " M,_ d’y(z) dz2 (z)gt EJ, dz (Cc)
Từ hê thức (c) ta suy ra là nếu chọn liên kết của dầm giả tạo tương ứng với sự làm
Trang 38— Nghĩa là ta không cần tích phân phương trình vi phân đường đàn hồi (8.3) để tìm
| y (Z) va y(z) ma dua vé bai todn tinh cdc thanh phần nội lực Q„(z) M,(2) đối với dầm
giả tao tai mặt cắt tương ứng
Việc chọn liên kết của dầm giả tạo phải thoả mãn điều kiện là: Nếu nơi nào tại dầm
thực có y = 0, y° = 0 thì liên kết của dầm giả tạo phải thoả mãn điều kiên sao cho ở đó
trên dầm giả tạo có M,.= 0, Q = 0 Nếu nơi nào trên dầm thực có y #0, y’ # O thi tuong
ứng dầm giả tạo phải có M,, #0, Q,, #0
_ Chú ý rằng dầm giả tạo chỉ chịu tác dụng của tải trọng phân bố gia tao q„ tính
theo (8.6) |
Một số trường hợp chọn dầm giả tao tương ứng với dầm thực:
Dam thuc Dam gia tao
a | ms
| y=0, y'+0 y=0,y'z0
M,=0, Q„ #0 My =9, Q,, #0 _YYY=U y#0y z0 - M, = 0 M, z 0 Qu = Qa #0 y=0 yz0 M,=0 M= M,, #0 y #0 y'z#0 Qa #0 Q„ z0 Q0 Chú ý: M, EJ Từ công thức (8.7) ta suy ra là:Tri số của da =
x
Nếu trên đoạn dầm nào đó có EJ, = const thi tir công thức trên suy ra dạng của tải trọng phân bố giả tạo trên đoạn dầm giả lạo tương ứng giống dạng biểu đồ M, trên đoạn
dầm ấy Đồng thời từ (5.7) ta thấy rằng d„(z) bao giờ cũng ngược dấu với mômen M,
nghĩa là q có chiều đi lên
Z Khi giải bài tốn tính y, y’ theo phương pháp đồ toán ta phải tìm hợp lực và điểm đặt
của hợp lực tải trọng phân bố giả tạo q„(Z) trên một đoạn nào đó nghĩa là ta phải tìm diện _
tích (Q) và hoành độ trọng tâm diện tích ©(z ) của những hình phẳng giới hạn bởi đường biểu diễn q„, VỚI các trục z và trục // y Dưới đây là bảng tính sẵn Q và Z Cho mot số
trường hợp q là đường cong bậc 2,3 n có tiếp tuyến tại đầu mút song SON VỚI trục z
Trang 39Dién Dién Hình tích | Hình tích | Z bậc hai = | M |! | 3 4 M | 4 5 +14 ¡ bậc hai Ỉ e| ||| | bc | 2M | 3 | 3 | 8 n+1 | ™* ư |—— f4 } , |
Vi du 1: Cho dam chiu luc nhu hinh vé 8.3a
Tính độ võng lớn nhất của dầm theo hai phương pháp: Tích phân khơng định hạn và Tải trọng giả tạo
Bài giải: Ị
a Giải theo phương pháp tích
hân khơng đinh han P
p g dinh he , | ¢
Chọn hệ trục toạ độ như trên B v Zz BỊ A
hinh 8.3a +———†
Ta có biểu thức tính mômen uốn
trên đoạn dầm là: M,=-P.z bị PM | || PA Dễ dàng ta thấy độ võng tại B của dầm là lớn nhất
Phương trình vi phân gần đúng : P.IIEJx
c) | y"=- M, Pz B A H, H, Hinh 8.3 P.z P.zˆ =>y'= |—dz+C= +C | , EJ, 2H, g) 2 3 =y= [_ -dz+Cz+D= pz +C.z+D (2) EJ, 6E),
Xác định các hằng số tích phân theo các điều kiện biên:
+ Tại A: (z= l) ta có độ võng và góc xoay của dầm bảng không nên:
Trang 40P.z? =0 2E), y=0 Pz' 6EJ, +C=0 +Cz+D=0 P/? 2E],
Thay z = Ï và giải hệ phương trình trên ta có: C=- P./ 3E), D= 3
_ Độ võng lớn nhất của dầm tại B: Thay z=0 va D= a vao (2) PP
Ta duoc: Sâu Ymax x= Yp Yg= D=
3E],
Giải theo phương pháp tải trọng giả tạo
+ Vẽ biểu đồ mômen uốn (M,)hnh 8.3b
+ Chọn dầm gia tao va dat tải trong giả tạo có giá trị bảng — lên dầm giả tạo
X
hình 8.3c (Do mơmen M, có giá trị âm nên q, có giá trị dương và có chiều hướng lên) + Bằng phương pháp r mặt cắt ta tính được M, lại B (Chính là độ võng thực tại B)
: Lê = PC " max ~~ ạ=MB =1, Yoo = Ye 2B, 3 3EJ, ch Nhận Xét:
- ~ Phương pháp tích phân khơng định hạn tuy đơn giản nhưng sẽ cổng kẻnh đối với những dầm có nhiều đoạn do phải xác định các hằng số tích phân, do đó chỉ nên dùng đối với những dầm có một đoạn
- Phương pháp tải trọng giả tạo tuy tính tốn phức tạp hơn nhưng!có thể giải quyết đối với mọi bài tốn thơng thường nên được á ap dụng rộng TÃI
| Vi du 2: Cho dầm chịu lực như hình vẽ 8.4a Tính độ võng lớynhất: của dầm „ Bài giải: Giải theo phương pháp tải trong gia tao
: + Bước I: VE biéu dé momen uốn (M,) hình §.4b
_ Bước2: Chọn dầm gia tao va dat tai trong gia co gid trị qu'> -M,.EJ tác dụng lên
dầm giả tạo như hình § 4c :