Đang tải... (xem toàn văn)
Phần 1 của giáo trình Sức bền vật liệu 1 trình bày những nội dung về: những khái niệm cơ bản; lý thuyết nội lực; thanh chịu kéo (nén) đúng tâm; trạng thái ứng suất; đặc trưng hình học của mặt cắt ngang;... Mời các bạn cùng tham khảo!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC ĐÀ NẴNG KHOA XÂY DỰNG - @& ? - Người biên soạn: Phan Xuân Bình Sức Bền Vật Liệu CHƯƠNG MỞ ĐẦU : NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 0.1) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - NHIỆM VỤ VÀ ĐẶC ĐIỂM: 0.1.1) Đối tượng nghiên cứu: Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức vật rắn có biến dạng a) d) b) c) d’) e) e’) Hình 0.1: Đối tượng nghiên cứu SBVL a- Khối; b,c- Tấm,vỏ; d-d’, e-e’ – Thanh cách biểu diễn Phân loại: - Vật thể hình khối: kích thước theo phương gần nhau.(Hình 0.1a) - Vật thể tấm, vỏ: kích thước theo phương lớn kích thước phương cịn lại nhiều.(Hình 0.1b,c) - Vật thể dạng thanh: kích thước theo phương lớn kích thước phương nhiều.(Hình 0.1d,e).Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu hệ Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động cho trọng tâm O trượt đường cong (C) thẳng góc (C), F qt khơng gian hình khối gọi có diện tích mặt cắt ngang F F O (C) Trong : (C) - trục thanh; F- diện tích mặt cắt ngang - Các loại thanh: Thanh có trục (C) thẳng ta gọi thẳng, trục (C) cong ta gọi cong.Mặt cắt thay đổi khơng thay đổi suốt chiều dài - Khung: hệ gồm nhiều ghép lại, có loại: khung phẳng khung khơng gian.(Hình 0.1) Trang : Sức Bền Vật Liệu a) Khung phẳng b) Khung khơng gian Hình 0.2: Khung 0.1.2) Nhiệm vụ: Sức bền vật liệu môn học kỹ thuật sở, nghiên cứu tính chất chịu lực vật liệu để đề phương pháp tính vật thể chịu tác dụng nghuyên nhân ngoài, nhằm thoả mãn yêu cầu an toàn tiết kiệm vật liệu Vật thể làm việc an toàn thoả mãn điều kiện: - Điều kiện bền: không bị phá hoại ( nứt gãy, sụp đổ…) - Điều kiện cứng: biến dạng chuyển vị nằm giới hạn cho phép - Điều kiện ổn định: bảo đảm hình thức biến dạng ban đầu Thường, kích thước vật thể lớn khả chịu lực tăng độ an tồn nâng cao; nhiên vật liệu phải dùng nhiều nên nặng nề tốn hơn.Kiến thức SBVL giúp giải hợp lý mâu thuẫn yêu cầu an toàn tiết kiệm vật liệu Ba toán SBVL: - Kiểm tra độ bền, độ cứng, độ ổn định tác nhân bên - Xác định tải trọng cho phép để đảm bảo độ bền, độ cứng, độ ổn định - Chọn kích thước hình dáng hợp lý mặt cắt ngang để đảm bảo độ bền, độ cứng, độ ổn định 0.1.3) Đặc điểm: Môn sức bền vật liệu môn khoa học thực nghiệm với phương pháp nghiên cứu sau: - Quan sát thực tế - Đề giả thuyết phương pháp tính tốn - Thí nghiệm kiểm tra Mơn sức bền vật liệu khảo sát nội lực biến dạng vật thể thực, áp dụng kết học lý thuyết ( cho phép sử dụng phương trình cân bằng) 0.2) CÁC NGUYÊN NHÂN NGOÀI TÁC DỤNG LÊN VẬT THỂ: 0.2.1) Ngoại lực: Định nghĩa: Ngoại lực lực tác dụng mơi trường bên ngồi hay vật thể khác lên vật thể xét Phân loại: - Tải trọng: biết trước ( vị trí, phương, độ lớn ), thường quy định quy phạm thiết kế tính tốn theo trạng thái chịu lực vật thể.Tải trọng gồm: + Lực phân bố: tác dụng thể tích, diện tích vật thể.(trọng lượng thân, áp lực nước lên thành bể…) · Lực phân bố theo thể tích có thứ nguyên lực/thể tích, hay [F/L3] Trang : Sức Bền Vật Liệu · Lực phân bố theo diện tích có thứ ngun lực/diện tích, hay [F/L2] · Lực phân bố theo chiều dài có thứ nguyên lực/chiều dài, hay [F/L] + Lực tập trung: tác dụng điểm vật thể, thứ nguyên [F] + Momen(ngẫu lực) có thứ nguyên lực x chiều dài hay [FxL] - Phản lực: lực phát sinh nơi tiếp xúc vật thể xét với vật thể khác tuỳ thuộc vào tải trọng Tính chất tải trọng: - Tải trọng tĩnh: giá trị lực tăng từ từ xem khơng gây lực qn tính - Tải trọng động: giá trị lực tăng đột ngột ( va chạm ) hay kể đến lực quán tính (dao động, chuyển động có gia tốc) 0.2.2) Các nguyên nhân khác: Do thay đổi nhiệt độ Do chế tạo khơng xác Do lún gối tựa cơng trình 0.2.3) Các loại liên kết phẳng phản lực liên kết: a) Gối di động: (khớp di động, lăn) (Hình 0.3a) Liên kết cho phép quay xung quanh điểm chuyển động tịnh tiến theo phương đó.Liên kết hạn chế di chuyển theo phương vng góc với phương V V V H chuyển động tịnh tiến, nên M H theo phương liên kết phát sinh phản lực V a) Gối di động b) Gối cố định c) Ngàm Hình 0.3: Liên kết phản lực liên kết b) Gối cố định: (khớp, lề) (Hình 0.3b) Liên kết cho phép quay xung quanh điểm chuyển động tịnh tiến mặt phẳng.Liên kết phát sinh phản lực theo phương mặt phẳng.Trong tính tốn ta thường phân lực thành thành phần vng góc H V c) Ngàm: (Hình 0.3c) Liên kết hạn chế chuyển động mặt phẳng.Tại ngàm phát sinh momen phản lực M phản lực theo phương bất kỳ, phản lực thường phân thành phần vng góc H V 0.3) CÁC GIẢ THUYẾT CƠ BẢN: Giả thuyết I: Vật liệu có tính liên tục, đồng đẳng hướng - Vật liệu liên tục nghĩa vật liệu chiếm đầy không gian vật thể - Vật liệu đồng tính chất học vật lý điểm giống - Vật liệu đẳng hướng nghĩa tính chất lý xung quanh điểm theo hướng Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối tuân theo định luật Hooke - Dưới tác dụng nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu.Tuy nhiên bỏ nguyên nhân vật thể có khuynh hướng trở hình dạng kích thước ban đầu Đó tính đàn hồi vật liệu vật thể tương ứng gọi vật thể đàn hồi.Nếu vật thể có khả trở ngun hình dạng kích thước ban đầu gọi vật thể đàn hồi tuyệt đối.Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke tương quan lực biến dạng tương quan bậc - Vật liệu thoả mãn giả thuyết II gọi vật liệu đàn hồi tuyến tính Trang : Sức Bền Vật Liệu Giả thuyết III: Vật thể có biến dạng bé Hệ quả: - Cho phép áp dụng phép vi phân, tích phân để xác định cho phân tố sau mở rộng cho tồn vật thể - Cho phép sử dụng sơ đồ khơng biến dạng để tính tốn, tức xem điểm đặt ngoại lực khơng đổi vật thể bị biến dạng - Áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng (hay gọi nguyên lý cộng tác dụng): “Tác dụng gây đồng thời nhiều yếu tố tổng tác dụng yếu tố riêng rẽ gây ra” Trang : Sức Bền Vật Liệu CHƯƠNG : LÝ THUYẾT NỘI LỰC 1.1) NỘI LỰC – PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT 1.1.1) Định nghĩa nội lực: Trong vật thể, phân tử có lực liên kết để giữ cho vật có hình dạng định.Khi có ngoại lực tác dụng, vật thể bị biến dạng, lực liên kết thay đổi để chống lại biến dạng ngoại lực gây ra.Lượng thay đổi lực liên kết gọi nội lực 1.1.2) Phương pháp mặt cắt: Ðể xác định nội lực điểm vật thể ta dùng phương pháp mặt cắt Xét vật thể ( S) trạng thái cân đàn hồi tác dụng lực hình vẽ (Hình 1.1) Hình 1.1: Vật thể (S) chịu lực Giả sử cần xác định nội lực điểm K thuộc vật thể Tưởng tượng mặt phẳng p qua K vng góc với trục thanh.Mặt phẳng p cắt vật thể (S) làm phần A B.(Hình 1.2) Hình 1.2: Phương pháp mặt cắt Xét cân phần A: (Hình 1.3) Hình 1.3: Sự cân lực phần A Phần A cân nhờ nội lực phần B tác dụng lên A Nội lực phân bố diện tích mặt cắt phần A hợp lực chúng cân với ngoại lực tác dụng lên phần A xét Ngược lại xét cân phần B phần A tác dụng lên B nội lực tương tự Trang : Sức Bền Vật Liệu 1.1.3) Khái niệm ứng suất: Xét phần A vật thể (S): Tại K, ta lấy phân tố diện tích vơ bé DF , hợp uv lực nội lực tác dụng lên DF D P (Hình 1.4) Từ đó, ta định nghĩa : Ứng suất điểm cường độ nội lực tác dụng điểm ur ur DP P = lim DF ®0 DF Hình 1.4: Hợp lực nội lực Thứ nguyên ứng suất là: (lực)/(chiều dài)2.Đơn vị thường dùng kN/m2,N/cm2 Thường người ta phân ứng suất thành phần: (Hình 1.5 ) Hình 1.5: Ứng suất ur s Thành phần vng góc với mặt cắt gọi ứng suất pháp, kí hiệu r Thành phần nằm mặt cắt gọi ứng suất tiếp, kí hiệu t Như vậy: p = s + t ( p: độ lớn ứng suất K ) Quy ước dấu: Hình 1.6: Quy ước dấu ứng suất v Ứng suất pháp : gọi dương chiều với pháp tuyến ngồi n mặt cắt (ứng suất kéo) ngược lại âm (gọi ứng suất nén ).(Hình 1.6) v Ứng suất tiếp : coi dương quay pháp tuyến ngồi n mặt cắt góc 900 theo thuận chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng pháp tuyến ứng suất tiếp) chiều pháp tuyến trùng với chiều ứng suất tiếp.Ngược lại ứng suất coi âm.(Hình 1.6) Nhận xét : · Ứng suất đại lượng học đặc trưng cho mức độ chịu lực vật liệu điểm; ứng suất vượt q giới hạn vật liệu bị phá hoại.Do đó, việc xác định ứng suất sở để đánh giá độ bền vật liệu, nội dung quan trọng môn SBVL · Ứng suất pháp s gây biến dạng dài · Ứng suất tiếp t gây biến dạng góc xoay hay biến dạng trượt Trang : Sức Bền Vật Liệu 1.2) CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC: uv uv Gọi R hợp lực nội lực phân bố mặt cắt ngang R có điểm đặt phương chiều chưa biết Hình 1.7: Các thành phần nội lực Đặt hệ trục tọa độ Descartes vng góc trọng tâm O mặt cắt ngang Oxyz Với : Oz trùng với trục Ox,Oy nằm mặt cắt ngang Oy hướng xuống ur uur ur trọng tâm O mặt cắt ngang có thành phần ( R , M ) Dời R ur uur Chiếu ( R , M ) lên Oxyz ta có thành phần nội lực Trong đó: ur R phân tích thành thành phần nội lực theo trục: Thành phần nằm trục z gọi lực dọc, ký hiệu Nz Thành phần nằm trục x,y gọi lực cắt, ký hiệu Qx , Qy uur M phân tích thành thành phần nội lực: Thành phần quay quanh trục z gọi momen xoắn, ký hiệu Mz Các thành quay quanh trục x,y gọi momen uốn, ký hiệu Mx , My Như vậy, thành phần nội lực mặt cắt ngang gồm: Nz , Qx , Qy , Mz , Mx , My.(Hình 1.7) Cách xác định: Để xác định thành phần nội lực ta áp dụng phương trình cân tĩnh học: n Qx + å Pix = i =1 n Qy + å Piy = i =1 n N z + å Piz = i =1 n M x + å mx ( Pi ) = i =1 n M y + å my ( Pi ) = i =1 n M z + å mz ( Pi ) = i =1 Trang : Sức Bền Vật Liệu Trong đó: n n n i =1 i =1 i =1 å Pix , å Piy , å Piz tổng hình chiếu tất ngoại lực thuộc phần xét lên trục x,y,z n n n i =1 i =1 i =1 å mx ( Pi ) , å my ( Pi ) , å mz ( Pi ) tổng momen ngoại lực thuộc phần xét quanh trục x,y,z 1.3) BÀI TOÁN PHẲNG – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC: 1.3.1) Bài toán phẳng: Nếu tất ngoại lực nằm mặt phẳng chứa trục ta có tốn phẳng nội lực thuộc mặt phẳng Ví dụ : (Pi) Ỵ Oyz , ta có thành phần nội lực Nz , Qy , Mx (Pi) Ỵ Oxz, ta có thành phần nội lực Nz , Qx , My Xét tốn phẳng thuộc mặt phẳng Oyz :(Hình 1.8) Hình 1.8: Vật thể chịu lực mp Oyz Chỉ có ba thành phần nội lực Nz , Qy , Mx nằm mặt phẳng Oyz Quy ước dấu: Quy ước dấu dương nội lực toán phẳng hình vẽ 1.9 1.10 Hình 1.9: Các thành phần nội lực chiều dương phần bên trái mặt cắt m-n Hình 1.10: Các thành phần nội lực chiều dương phần bên phải mặt cắt m-n Nz > có chiều hướng mặt cắt Qy > có khuynh hướng quay mặt cắt xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc dấu Qy giống dấu t ) Mx > làm căng thớ phía y > (phía dưới) Ngược lại nội lực âm 1.3.2) Biểu đồ nội lực: * Biểu đồ nội lực: đường biểu diễn biến thiên nội lực dọc trục * Ý nghĩa biểu đồ nội lực: · Xác định mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức mặt cắt ngang có nội lực lớn (Nz , Qy , Mx đạt cực trị) * Chú ý vẽ biểu đồ nội lực: · Với biểu đồ lực cắt (Nz), (Qy) tung độ dương biểu đồ biểu diễn phía trục hồnh có ghi dấu biểu đồ Trang : Sức Bền Vật Liệu · Với biểu đồ(Mx):Tung độ dương (Mx > 0) đặt phía y > (phía dưới) Tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < (phía trên) * Cách vẽ biểu đồ nội lực: gồm bước sau: Bước 1: Xác định phản lực liên kết Bước 2: Kiểm tra phản lực vừa tìm Bước 3: Chia đoạn :Ranh giới đoạn thường điểm có: o Tải trọng tập trung o Sự thay đổi cường độ tải trọng phân bố o Sự thay đổi mặt cắt ngang Bước 4: Xác định nội lực đoạn Áp dụng phương pháp mặt cắt Bước 5: Vẽ biểu đồ (Nz), (Qy), (Mx ) Bước 6: Kiểm tra lại biểu đồ vẽ Ví dụ: Cho dầm chịu lực hình vẽ: (Hình 1.11) Vẽ biểu đồ nội lực Nz , Qy , Mx Hình 1.11 Giải: B1: Xác định phản lực liên kết: Giải phóng liên kết A, B Þ VA, HA, VB Áp dụng phương trình cân tĩnh học: å z = Þ HA = åM A = Þ VB.2L – P.3L – q.2L.L + M = Þ VB = 2qL å y = Þ - VA – VB + q.2L + P = Þ VA = ql B2: Kiểm tra åM D =0 Û -VA.3L + q.2L.2L + M – VB.L = Û - 3qL2 +4qL2 + qL2 – 2qL2 = (đúng) Vậy phản lực VA,VB tìm B3: Chia đoạn : đoạn B4: Xác định nội lực đoạn: Dùng phương pháp mặt cắt Đoạn AC : $ mặt cắt 1-1(O1), A làm gốc: £ z £ L Xét cân AO1: Trang : Sức Bền Vật Liệu s2 = s3 = ỉs s - ỗ + t ữ = s è ø Þ s td = s - s = s + 4t £ [s ] 3.5.4) Thuyết bền biến đổi hình dạng ( thuyết bền IV): phân tố ứng suất phức tạp đơn có độ bền tương riêng biến đổi hình dạng chúng s td = s 12 + s 22 + s 32 - s 1s - s 2s - s 3s £ [s ] Đối với phân tố trạng thái ứng suất đặc biệt: s td = s + 3t £ [s ] 3.5.5) Thuyết bền Mohr( thuyết bền V): Điều kiện bền: s td = s - as £ [s ] với a = s 0k s 0n Vật liệu dẻo: a = ® thuyết bền III Vật liệu giòn: a < Đối với phân tố trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: s td = 1-a 1+ a s+ s + 4t £ [s ] 2 v Kết luận: - Thuyết bền I dùng trường hợp trạng thái ứng suất đơn gần với trạng thái ứng suất đơn - Thuyết bền III IV dùng vật liệu dẻo - Thuyết bền Vdùng vật liệu giòn Trang : 41 Sức Bền Vật Liệu CHƯƠNG : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 4.1) Khái niệm chung: Đặt vấn đề: Đối với chịu kéo, nén tâm khả chịu lực phụ thuộc vào tiết diện (với loại vật liệu, có tiết diện lớn chịu lực tốt hơn).Tuy nhiên chịu xoắn, uốn… khả chịu lực cịn phụ thuộc vào hình dạng cách bố trí mặt cắt ngang Ví dụ: 1) Xét dầm chịu lực P, có tiết diện chữ nhật bxh (h>b) trường hợp: Tiết diện để đứng (hình 4.1a) tiết diện nằm ngang (hình 4.1b) Hình 4.1a: Dầm có tiết diện đứng Hình 4.1b: Dầm có tiết diện ngang Kết thực nghiệm (hoặc trực giác), cho thấy trường hợp (a) chịu lực tốt trường hợp (b) 2) Xét trường hợp trục chịu xoắn (hình 4.2) mặt cắt ngang hình vành khăn chịu xoắn tốt Hình 4.2: Dầm có tiết diện hình trụ (a) hình vành khăn (b) Như vậy, khả chịu lực phụ thuộc: - Tiết diện mặt cắt ngang F - Hình dạng mặt cắt ngang - Cách bố trí mặt cắt ngang 4.2) Momen tĩnh momen qn tính: Giả sử ta có mặt cắt ngang có diện tích F.Xác định mặt phẳng mặt cắt hệ trục tọa độ (Oxy) Gọi (x,y) tọa độ điểm A Ỵ (F) Tại A tách phân tố có diện tích dF Hình 4.3: Xác định momen tĩnh Trang : 42 Sức Bền Vật Liệu 4.2.1) Momen tĩnh: Momen tĩnh diện tích F trục x hay trục y xác định theo biểu thức tích phân: 3 Sx = ò ydF ; Sy = ò xdF (Đơn vị: m , cm …) F F Chú ý: Sx, Sy âm, dương, Monem tĩnh trục trục gọi trục trung tâm Giao điểm trục trung tâm trọng tâm mặt cắt ngang Công thức xác định tọa độ trọng tâm diện tích F hệ trục Oxy: yo y F A y yo xo yc C x O xc xo x Hình 4.4: Xác định tọa độ trọng tâm mặt cắt ngang Giả sử có trục trung tâm Cx0, Cyo cắt trọng tâm C mặt cắt ngang.( Cx0//Ox; Cy0//Oy) Þ Sx = S y = Gọi C (xC, yC) Ỵ Oxy A (x0, y0) Ỵ Cx0y0 Liên hệ: x = xC + x0 y = yC + y0 Từ định nghĩa momen tĩnh trục x ta có: Sx = ò ydF = ò (yc +y0 )dF = y c ò dF+ ò y dF = yc F + Sx = y c F (vì Sx0 = ) F F F F Tương tự: Sy = x c F Vậy: Sx = y c F Û y c = Sy = x c F Û x c = Sx F Sy F Trang : 43 Sức Bền Vật Liệu * Tính chất: - Mọi trục đối xứng mặt cắt ngang trục trung tâm Do đó, momen tĩnh diện tích F trục đối xứng = Chứng minh: Hình 4.5: Trục đối xứng mặt cắt ngang trục trung tâm Nếu trục y trục đối xứng mặt cắt ngang thì: ị xdF = ị x dF = - ò xdF F1 F2 F2 Þ Sy = ò xdF = F ò F1 + F2 xdF = ò xdF + ò xdF = F1 F2 Vậy y trục đối xứng - Momen tĩnh hình phức tạp tổng đại số momen tĩnh hình đơn giản * Cách xác định trọng tâm C mặt cắt ngang (F)có hình phức tạp: - Chia (F) thành hình đơn giản có diện tích Fi.Xác định Ci(xCi, yCi) thuộc hệ qui chiếu ban đầu Oxy - Momen tĩnh (F) x,y: n n i=1 n i=1 n i=1 i=1 Sx = å S(i) x = å y Ci Fi Sy = å S(i) y = å x Ci Fi Gọi C (xC, yC) Ỵ Oxy trọng tâm mặt cắt ngang (F) n S yc = x = F åS (i) x i=1 n åF n = åy n i i=1 i=1 n xc = Sy F = i=1 n å Fi i=1 Fi åF i å S(i)y Ci i=1 n = åx Ci Fi i=1 n åF i i=1 Trang : 44 Sức Bền Vật Liệu Ví dụ 1: a) Xác định momen tĩnh tọa độ trọng tâm mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) trục qua cạnh (hình 4.6) Hình 4.6: Mặt cắt ngang hình chữ nhật bxh Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố có diện tích dF=b.dy h y2 Sx = ị ydF = ò ybdy = b F Tương tự: Sy = hb h bh = 2 Tọa độ trọng tâm: Sy hb b = F 2bh S bh h yc = x = = F 2bh xc = = b) Xác định momen tĩnh tung độ trọng tâm yC mặt cắt ngang hình tam giác trục x trùng với cạnh đáy (hình 4.7) h dF dy y y b(y) x O b Hình 4.7: Mặt cắt ngang hình tam giác b(y) h-y Ta có: dF = b(y)dy , mà = b h b(h-y) Þ dF = dy h h b bh Sx = ò ydF = ò (h-y)ydy = h F Trang : 45 Sức Bền Vật Liệu Sx bh / h yc = = = F bh/2 c) Xác định momen tĩnh tọa độ trọng tâm mặt cắt ngang dạng nửa hình trịn trục x qua đáy (hình 4.8) Hình 4.8: Mặt cắt ngang dạng nửa hình trịn Ta có: dF = b(y)dy mà y = Rsinj Þ dy = Rcosj dj b(y) = 2Rcosj Þ dF = 2R cos 2j dj Sx = ò ydF = p /2 F yc = ò Rsinj.2R cos j dj = R 2 Sx 2R / = = R F p R / 3p 4.2.2) Momen quán tính trục: (gọi tắt momen quán tính) Momen quán tính diện tích F trục x hay trục y biểu diễn tích phân sau: J x = ị y dF F J y = ò x dF F Đơn vị : m4, cm4 … Jx , Jy > Hình 4.9: Xác định momen qn tính 4.2.3) Momen quán tính độc cực: (đối với điểm) Momen quán tính độc cực momen quán tính tiết diện F gốc hệ trục tọa độ O 4 J P = ò r dF , đơn vị : m , cm … F JP > Trong đó: r = OA Þ r = x + y Þ J P = ị (x +y )dF F Þ J P = J x +J y Trang : 46 Sức Bền Vật Liệu y 4.2.4) Momen quán tính ly tâm: Momen quán tính ly tâm momen quán tính tiết diện F hệ trục tọa độ Oxy 4 J xy = ò xydF , đơn vị: m , cm … dF dF F1 F2 F J xy > 0, < 0, = Momen quán tính ly tâm hệ trục = Þ hệ trục gọi hệ trục Ví dụ: Oxy hệ trục Û J xy = x -x O x Hình 4.10: Xác định momen qn tính ly tâm *Tính chất: Nếu mặt cắt có trục đối xứng trục vng góc với trục đối xứng lập với hệ trục qn tính Hệ trục có gốc trùng với trọng tâm mặt cắt ngang gọi hệ trục trung tâm Ví dụ: Ox0y0 hệ trục trung tâm Û J x y = ; Sx = ; Sy = 4.3) Momen quán tính số hình đơn giản: a) Hình chữ nhật bxh: ( hình 4.11) 0 dy 0 dF h/2 Tương tự: J y = h bh J x = ò y dF = ò y bdy = 12 F -h/2 x y Ta có: dF = bdy C hb3 12 b Hình 4.11: Hình chữ nhật b) Hình tam giác đáy b, chiều cao h: (hình 4.12) b (h-y)dy h h/2 bh 2 b J x = ò y dF = ò y (h-y)dy = h 12 F -h/2 Jx = bh 36 b(y) y Nếu trục x qua trọng tâm hình tam giác tương tự ta có: dF h bh Jx = 12 dy y Ta có: dF = b(y)dy = x O b Hình 4.12: Hình tam giác Trang : 47 Sức Bền Vật Liệu c) Hình trịn: (hình 4.13) Ta có: dF = b(y)dy = R - y dy y p R4 J x = ò y dF = ò y R - y dy = F -R 2 b(y) Đối với hình trịn, đối xứng nên Jx = Jy = R O pR pD = ; 0, 05D 4 64 p D4 Þ J P = J x +J y = 2J x = ; 0,1D 32 4 y dy dF R R x R Hình 4.13: Hình trịn y d) Hình vành khăn: (hình 4.14) a= d D (2) Þ J P = J (1) P - JP = p D p d p D p D 4a = 32 32 32 32 pD (1 - a ) ; 0,1D (1 - a ) 32 J P p D4 Jx = Jy = = (1 - a ) ; 0, 05D (1 - a ) 64 = x O d D Hình 4.14: Hình vành khăn 4.4) Cơng thức chuyển trục song song momen quán tính: Giả sử biết momen qn tính mặt cắt ngang có diện tích F trục x,y.Xác định momen quán tính mặt cắt ngang trục X //x Y//y y Y X C b=yc y Y A x O a=xc x X Hình 4.15: Sơ đồ chuyển trục song song momen qn tính Ta có: x = X + a y=Y+b Trang : 48 Sức Bền Vật Liệu Momen quán tính trục x: J x = ò y dF = ò (Y+b) dF F F = ò Y dF + ò b dF + ò 2bYdF F F F = J X + b F + 2bSX Tương tự ta có: J y = J Y + a F + 2aSY J xy = J XY + abF + bSX +aSY Nếu X,Y trục trung tâm thì: SX = SY = ; a = x C ; b = yC Từ đó: J x = J X + yC2 F J y = J Y + x C2 F J xy = J XY + x C y C F Ví dụ 2:Xác định momen quán tính trục trung tâm x mặt cắt ngang sau: (hình 4.16 ) 2a 2a 8a 3a O C2 xo x2 x1 C1 C x yo y 6a Hình 4.16: Mặt cắt ngang Giải: Chọn hệ quy chiếu ban đầu: Ox0y0 (như hình vẽ) Xác định trọng tâm mặt cắt ngang (F): Gọi C (xC, yC) Ỵ Ox0y0 trọng tâm mặt cắt ngang (F) xc = yc = S y0 F Sx = (vì y0 la trục đối xứng nên Sy0 = ) F Tính Sx0 = ? Chia mặt cắt ngang (F) thành hình đơn giản hình chữ nhật chưa bị khoét (1) hình tam giác bị kht (2) Hình (1) có trọng tâm C1(0;4a), diện tích F1=48a2 Hình (2) có trọng tâm C2(0; a), diện tích F2=6a2 2 (2) Þ Sx = S(1) x - Sx = y C1 F1 - y C2 F2 = 4a.48a - a.6a = 186a Trang : 49 Sức Bền Vật Liệu Þ yc = Sx F = (2) S(1) x - Sx F1 - F2 = 186a ; 4, 43a 48a - 6a Kẻ Cx// Ox0 Cy º Oy0 ta có: Cxy hệ trục trung tâm mặt cắt ngang (F) Kẻ C1x1//Cx Þ x1: trục trung tâm hình (1) Kẻ C2x2//Cx Þ x2: trục trung tâm hình (2) Momen quán tính trục x: (2) J x = J (1) x - Jx Dùng công thức chuyển trục song song: 6a.(8a)3 + (4, 43a - 4a) 48a = 264,875a 12 4a.(3a)3 (2) (2) J x = J x + (y C - yC2 ) F2 = + (4, 43a - a) 6a = 73,59a 36 (1) (2) Þ J x = J x - J x = 264,875a - 73,59a = 191, 285a (1) J (1) x = J x1 + (y C - y C1 ) F1 = Ví dụ 3: Xác định momen quán tính trung tâm mặt cắt ngang sau: (hình 4.17) yo y 2a x1 a C1 4a x2 C2 x a 13a/6 C C3 6a x3 xo Hình 4.17: Mặt cắt ngang Giải: Chọn hệ quy chiếu ban đầu: Ox0y0 (như hình vẽ) Xác định trọng tâm mặt cắt ngang (F): Gọi C (xC, yC) Ỵ Ox0y0 trọng tâm mặt cắt ngang (F) xc = yc = S y0 F Sx = (vì y0 la trục đối xứng nên Sy0 = ) F Tính Sx = ? Chia mặt cắt ngang (F) thành hình đơn giản hình chữ nhật hình vẽ Hình (1) có trọng tâm C1(0;5,5a), diện tích F1=2a2 Hình (2) có trọng tâm C2(0; 3a), diện tích F2=4a2 Hình (3) có trọng tâm C3(0; 0,5a), diện tích F2=6a2 2 (2) (3) Þ Sx = S(1) x +Sx +Sx = y C1 F1 +y C2 F2 +y C3 F3 = 5,5a.2a +3a.4a +0,5a.6a = 26a Trang : 50 Sức Bền Vật Liệu Þ yc = Sx F = (2) (3) S(1) x + Sx + S x = 26a 13a = 2 2a + 4a + 6a F1 +F2 +F3 Kẻ Cx// Ox0 Cy º Oy0 ta có: Cxy hệ trục trung tâm mặt cắt ngang (F) Kẻ C1x1//Cx Þ x1: trục trung tâm hình (1) Kẻ C2x2//Cx Þ x2: trục trung tâm hình (2) Kẻ C3x3//Cx Þ x3: trục trung tâm hình (3) Momen qn tính trung tâm: Tính Jx: Trục x khơng qua trọng tâm hình chữ nhật nên phải dung phép chuyển trục // (2) (3) J x = J (1) x +J x + J x 2a.a 13 + (5,5a - a) 2a = 22,39a 12 a.(4a) 13 (2) J (2) + (3a - a) 4a = 8,11a x = J x + (y C - y C2 ) F2 = 12 6a.a 13 (3) J (3) + (0,5a - a) 6a = 17,17a x = J x3 + (y C - y C3 ) F3 = 12 (1) (2) (3) 4 Þ J x = J x +J x + J x = 22,39a + 8,11a + 17,17a = 47, 67a (1) J (1) x = J x1 + (y C - y C1 ) F1 = Tính Jy: Trục y trục qua trọng tâm cảu hình nên ta dùng cơng thức tính momen qn tính cho hình chữ nhật (2) (3) J y = J (1) y +J y + J y a.(2a)3 = 0, 67a 12 4a.a J (2) = = 0,33a y 12 a.(6a)3 J (3) = = 18a y 12 (1) (3) 4 4 Þ J y = J y +J (2) y + J y = 0, 67a + 0,33a + 18a = 19a J (1) y = Vậy J x = 47, 67a ; J y = 19a 4.5) Momen quán tính – Cơng thức xoay trục momen qn tính: 4.5.1) Hệ trục quán tính chính: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác định hệ trục vuông góc Oxy Định nghĩa: Oxy hệ trục qn tính trung tâm Û J xy = Sx = Sy = Khi đó, momen qn tính mặt cắt ngang trục quán tính trung tâm gọi : “momen quán tính trung tâm” Đối với toán SBVL, ta thường sử dụng hệ trục quán tính trung tâm momen qn tính trung tâm 4.5.2) Cơng thức xoay trục momen quán tính: Xét mặt cắt ngang hình 4.18 Trang : 51 Sức Bền Vật Liệu y v F A y v u u x x O x Hình 4.18: Sơ đồ xoay trục để tính momen quán tính Giả sử biết J x , J y ,J xy Bây chọn hệ trục Ouv xoay quanh O góc a Xác định mối liên hệ J x , J y ,J xy J u , J v ,J uv Công thức chuyển trục: u = x.cos a + y.sin a v = y.cos a - x.sin a Suy ra: J u = ò (y.cosa - x.sina ) dF=J x cos 2a + J y sin 2a - J xy sin 2a Dùng cơng thức: cos 2a = Þ Ju = Jx + Jy + Tương tự ta có: Ju = Jv = J uv = Jx + Jy + Jx + Jy Jx - Jy - Jx - Jy Jx - Jy Jx - Jy + cos2a - cos2a ; sin 2a = 2 cos2a - J xy sin 2a cos2a - J xy sin 2a cos2a + J xy sin 2a (*) sin2a + J xy cos2a Công thức (*) công thức xoay trục momen quán tính Từ , ta có nhận xét: Ju + Jv = Jx + Jy Các công thức giống công thức của: s u , s v ,t uv Điều kiện để xác định trục là: J uv = Þ giống với điều kiện xác định mặt trạng thái ứng suất t uv = Nên ta sử dụng cơng thức thiết lập chương để xác định hệ trục momen qn tính chính: Þ J max /min = Þ tga1/ = Jx + Jy J xy ± ( Jx - Jy ) + J xy J y - J max /min Trang : 52 Sức Bền Vật Liệu Ví dụ 4: Xác định momen quán tính phương hệ trục trung tâm mặt cắt ngang sau: (hình 4.19 ) Hình 4.19: Mặt cắt ngang Giải: Chọn hệ trục ban đầu Ox0y0 hình vẽ Chia mặt cắt ngang (F) thành hình chữ nhật hình vẽ Hình (F) = hình (1) - hình(2) Hình (1) có trọng tâm C1(2a; 3a), diện tích F1=24a2 Hình (2) có trọng tâm C2(2,5a; 2a), diện tích F2=12a2 Gọi C (xC, yC) Ỵ Ox0y0 trọng tâm mặt cắt ngang (F) xc = yc = S y0 F Sx = = (2) S(1) y0 - Sy0 F1 - F2 (2) S(1) x - Sx = = x C1 F1 - x C2 F2 F1 - F2 y C1 F1 - y C2 F2 = 2a.24a - 2,5a.12a = 1,5a 24a - 12a = 3a.24a - 2a.12a = 4a 24a - 12a F1 - F2 F1 - F2 Þ C (1,5a, 4a) Þ ta có hệ trục Cxy F Momen quán tính hệ trục Cxy: (2) J x = J (1) x - Jx 4a.(6a)3 Với: J = J + (y C - yC1 ) F1 = + (4a - 3a) 24a = 96a 12 3a.(4a)3 (2) J (2) = J + (y y ) F = + (4a - 2a) 12a = 64a x x2 C C2 12 (1) (2) 4 Þ J x = J x - J x = 96a - 64a = 32a (1) x (1) x1 (2) J y = J (1) y - Jy 6a.(4a)3 + (1,5a - 2a) 24a = 38a 1 12 4a.(3a)3 (2) J (2) = J + (x x ) F = + (1,5a - 2,5a) 12a = 21a y y2 C C2 12 (2) 4 Þ J y = J (1) y - J y = 38a - 21a = 17a (1) Với: J (1) y = J y + (x C - x C ) F1 = (2) J xy = J (1) xy - J xy (1) J (1) xy = J x1y1 + (x C - x C1 )(y C - y C1 ).F1 = + (1,5a - 2a)(4a - 3a).24a = -12a (2) J (2) xy = J x y + (x C - x C2 )(y C - y C2 ).F2 = + (1,5a - 2,5a)(4a - 2a).12a = -24a Trang : 53 Sức Bền Vật Liệu (2) 4 Þ J xy = J (1) xy - J xy = -12a - ( -24a ) = 12a Gọi Cuv hệ trục qn tính trung tâm có momen qn tính trung tâm Ta có: J max /min = Þ J max Jx + Jy ± ( = 38, 65a Jx - Jy ) + J xy = 32a + 17a 32a - 17a ± ( ) + (12a ) 2 J = 10,35a Các góc xoay để chuyển trục Cxy ® Cuv: tga1/2 = J xy J y - J max / Þ tga1 = Þ tga = J xy J y - J max J xy J y - J = 12a = -0,554 Þ a1 = -290 4 17a - 38, 65a 12a = = 1,804 Þ a = 610 4 17a - 10,35a 4.6) Vịng trịn Mohr qn tính: Để xác định trục chính, momen quán tính hình phẳng đó, ta sử dụng phương pháp đồ họa việc xác định phương chính, ứng suất tốn trạng thái ứng suất Từ (*) ,ta thực phép biến đổi tương tự xây dựng vòng tròn Mohr ứng suất Þ vịng trịn Mohr qn tính Biết Jx, Jy Jxy Jx + Jx ;0) J -J Þ bán kính: R= ( x y ) + J xy Þ tâm C ( Từ đó, ta dựng vịng trịn Mohr qn tính cách xác định trục ,momen quán tính hình (4.20) Hình 4.20: Vịng Mohr qn tính Chú ý: Vịng trịn Mohr qn tính nằm bên phải trục tung, giá trị momen qn tính ln dương Từ hình vẽ vịng trịn qn tính, ta xác định vị trí trục có momen qn tính theo cơng thức: Trang : 54 Sức Bền Vật Liệu tga1 = tg(1800 - b ) = tga = J xy J max - J y = J xy J y - J max J xy J y - J 4.7) Bán kính quán tính: Bán kính quán tính định nghĩa theo biểu thức: J Jx ry = y F F Trong đó: rx , ry: bán kính quán tính theo phương x phương y Đối với trục chính, ta có: J J rmax = max rmin = F F rx = Trang : 55 ... Trang : 16 Sức Bền Vật Liệu Bảng giá trị E số vật liệu Vật liệu E (N/m2) 10 Thép (0 ,15 ¸ 0,20%) C 20 .10 Thép lò xo 22 .10 10 Thép niken 19 .10 10 Gang xám 11 ,5 .10 10 Đồng 12 .10 10 Nhơm (7 ¸ 8) .10 10 Gỗ... = - qa2 3 Điểm D: Qy = - 2qa; Mx = -qa a - P.a + M0 = - qa2 - qa2 + qa2 = - qa2 + Biểu đồ nội lực: Q y (qa) A B C D (-) -1 -2 -2 -1 . 5 -0 .5 Mx (qa2) A B -1 . 5 -0 .5 (-) (-) C D Trang : 13 Sức Bền. .. cắt 1- 1(O1), A làm gốc: £ z £ L Xét cân AO1: Trang : Sức Bền Vật Liệu å z = Þ Nz1 – HA = Þ Nz1 = HA = å y = Þ Qy1 + qz - VA = Þ Qy1 = qL - qz Tại A (z=0) , Qy1 = qL Tại C (z=L) , Qy1 = åM O1 z -