Sai số và xấp xỉ nghiệm thực của phương trình phi tuyến tính một ẩn số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI KHOA SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU SAI SỐ VÀ XẤP XỈ NGHIỆM THỰC CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TÍNH MỘT ẨN SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: Th.S Hoàng Ngọc Tuyến Hà Nội, tháng năm 2023 LỜI CẢM ƠN Q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp ln giai đoạn vô quan sinh viên chúng em Bài luận văn tiền đề giúp trang bị thêm kiến thức kỹ để chúng em tự tin bước vào đời lập nghiệp Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn q thầy mơn Tốn Khoa Sư phạm trường Đại học Thủ đô Hà Nội Đặc biệt thầy Hồng Ngọc Tuyến ln tận tình hướng dẫn giảng dạy em không luận văn tốt nghiệp mà suốt năm học tập trường Đại học Thủ Đô Hà Nội Những đóng góp thầy có ý nghĩa quan trọng luận văn em, bên cạnh cịn hành trang tiếp bước cho em quãng đường dài sau Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bố mẹ, bạn bè tồn thể lớp, người sẵn sàng chia sẻ hỗ trợ học tập sống Mặc dù làm việc nghiên cứu thật nghiêm túc, Khóa luận chỉnh sửa nhiều lần Do thời gian hạn chế, trình độ người viết có hạn nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để em củng cố thêm kiến thức hồn thiện khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2023 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Page | LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài “Sai số xấp xỉ nghiệm thực phương trình phi tuyến tính ẩn số” cơng trình em nghiên cứu hướng dẫn thầy Hoàng Ngọc Tuyến Các nội dung nghiên cứu kết đề tài trung thực, chép từ người khác Hà Nội, tháng năm 2023 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Page | MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 10 Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài 10 3.1 Đối tượng nghiên cứu 10 3.2 Phạm vi nghiên cứu 10 Phương pháp nghiên cứu đề tài 10 Thời gian nghiên cứu 10 Cấu trúc khóa luận 10 NỘI DUNG 12 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC TỔNG QUÁT 12 Đa thức, hàm số phương trình ẩn số 12 1.1 Hàm số 12 1.1.1 Hàm số 12 1.1.2 Đồ thị hàm số 12 1.2 Đa thức 12 1.3 Giới hạn hàm số biến 13 1.3.1 Các định nghĩa giới hạn 13 1.3.2 Các tính chất giới hạn 14 1.3.3 Các phép toán giới hạn 14 1.3.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ 15 1.4 Hàm số liên tục 15 1.4.1 Các khái niệm hàm số liên tục 15 1.4.2 Các phép toán hàm số liên tục 16 Page | 1.4.3 Tính liên tục hàm số đoạn 16 1.4.4 Liên tục 17 1.5 Đạo hàm hàm số biến 17 1.5.1 Một số khái niệm đạo hàm 17 1.5.2 Các quy tắc tính đạo hàm 18 1.6 Phương trình ẩn số 18 1.6.1 Phương trình ẩn số 18 1.6.2 Nghiệm phương trình ẩn số 18 Sai số số xấp xỉ 19 2.1 Số xấp xỉ 19 2.2 Sai số 19 2.2.1 Sai số tuyệt đối 19 2.2.2 Sai số tương đối 20 2.3 Cách viết số xấp xỉ 21 2.4 Xác định sai số hàm số biết sai số đối số 21 2.4.1 Công thức tổng quát sai số 21 2.4.2 Sai số tổng 22 2.4.3 Sai số tích 22 2.4.4 Sai số thương 23 CHƯƠNG II: XẤP XỈ NGHIỆM THỰC CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ 24 Khoảng cách ly nghiệm 25 1.1 Khái niệm 25 1.2 Tìm khoảng cách ly nghiệm 25 Phương pháp chia đôi 28 2.1 Nội dụng phương pháp 28 2.2 Sự hội tụ phương pháp 30 2.3 Đánh giá sai số 30 2.4 Đánh giá phương pháp 31 2.5 Thí dụ 31 Page | 2.6 Giải phương trình phương pháp chia đơi phần mềm toán học 32 2.6.1 Maple 32 2.6.2 Matlab 33 Phương pháp lặp 37 3.1 Nội dung phương pháp 37 3.2 Sự hội tụ phương pháp lặp 38 3.3 Đánh giá sai số: 39 3.4 Đánh giá phương pháp 40 3.5 Thí dụ 40 3.6 Giải phương trình phương pháp lặp phần mềm toán học 42 3.6.1 Maple 42 3.6.2 Matlab 42 Phương pháp dây cung 46 4.1 Nội dung phương pháp 46 4.2 Sự hội tụ phương pháp 49 4.3 Đánh giá sai số 50 4.4 Đánh giá phương pháp 50 4.5 Thí dụ 50 4.6 Giải phương trình phương pháp dây cung phần mềm matlab 52 Phương pháp tiếp tuyến 57 5.1 Nội dung phương pháp 57 5.2 Sự hội tụ phương pháp 59 5.3 Đánh giá sai số 60 5.4 Đánh giá phương pháp 60 5.5 Thí dụ 61 5.6 Giải phương trình phương pháp tiếp tuyến phần mềm matlab 62 CHƯƠNG III: MỘT SỐ “BÀI TỐN” THỰC TIỄN CĨ THỂ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ 68 Bài toán 68 Page | 1.1 Phương pháp chia đôi 68 1.2 Phương pháp lặp 69 1.3 Phương pháp dây cung 70 1.4 Phương pháp tiếp tuyến 71 1.5 Nhận xét 72 Bài toán thực tiễn 73 2.1 Ứng dụng lĩnh vực Thủy lực môi trường 73 2.2 Ứng dụng lĩnh vực kinh tế 76 2.3 Ứng dụng lĩnh vực động phản lực 77 KẾT LUẬN 80 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 Page | DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHĨA LUẬN STT Kí hiệu, chữ viết tắt Viết đầy đủ KCLN Khoảng cách ly nghiệm := Gán  Espsilon  Delta  Zeta  Xi  a, b  Khoảng  a, b  Đoạn sup f Cận f 10 inf f Cận f 11 max f Giá trị lớn hàm f 12 f Giá trị nhỏ hàm f 13 1,n Từ đến n 14 f Đạo hàm riêng hàm f Page | MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…) dẫn đến việc cần phải giải phương trình phi tuyến (phương trình đại số, phương trình siêu việt phương trình vi phân), nhiên, phương trình thường phức tạp, nói chung khó giải (đưa dạng phương trình bản) biến đổi đại số Hơn nữa, cơng thức nghiệm (của phương trình phi tuyến phương trình vi phân) thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có cơng thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua cơng thức gặp nhiều khó khăn Vì vậy, từ thời Archimedes, phương pháp giải gần xây dựng Nhiều phương pháp (phương pháp Newton – Raphson giải gần phương trình phi tuyến, phương pháp Euler phương pháp Runge – Kutta giải phương trình vi phân) trở thành kinh điển sử dụng rộng rãi thực tế Với phát triển công cụ tin học, phương pháp giải gần lại có ý nghĩa thực tế lớn Để giải phương trình thủ cơng giấy, có phải hàng ngày với sai sót dễ xảy ra, với máy tính điện tử, chí với máy tính điện tử bỏ túi, cần vài phút Tuy nhiên, việc thực tính tốn tốn học máy tính cách dễ dàng địi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc lý thuyết toán học Mặt khác, nhiều vấn đề lý thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ xác, độ phức tạp tính tốn,…) soi sáng thực hành tính tốn cụ thể Với mục đích minh họa khả sử dụng máy tính điện tử tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến tính ẩn số, nhận gợi ý động viên thầy hướng dẫn em chọn chủ đề: “Sai số xấp xỉ nghiệm thực phương trình phi tuyến tính ẩn số” để nghiên cứu trình bày Khóa luận tốt nghiêp Page | Mục đích nghiên cứu Tìm nghiệm số phương trình phi tuyến tính ẩn số khơng có cơng thức giải thơng qua việc nghiên cứu số phương pháp giải gần Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài 3.1 Đối tượng nghiên cứu Sai số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến tính ẩn số 3.2 Phạm vi nghiên cứu Giải tích số đề tài rộng lớn nên em xin tập trung vào nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến tính ẩn số Phương pháp nghiên cứu đề tài Em nghiên cứu đề tài thực q trình: + Thơng qua việc học mơn Giải tích số trường Đại học + Thông qua việc trao đổi với bạn bè lớp, thầy giáo hướng dẫn nhằm bổ sung, phân dạng tập Sử dụng số phần mềm để giải số phương trình nói + Thơng qua việc tìm tài liệu tham khảo Thời gian nghiên cứu Năm học 2022 – 2023 Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận trình bày chương Page | 10 Chương I: Kiến thức tổng quát: Bao gồm khái niệm bản, kết quan trọng phát biểu dạng định lý về: Đa thức, phương trình, số xấp xỉ sai số… Chương II: Xấp xỉ nghiệm thực phương trình phi tuyến ẩn số: Chương đề cập đến số phương pháp tìm nghiệm gần phương pháp lặp, phương pháp chia đôi, phương pháp dây cung, phương pháp tiếp tuyến Chương III: Giới thiệu hệ thống tập lý thuyết, toán thực tiễn sử dụng phương pháp xấp xỉ (chương II) sau mơ hình hóa Page | 11 NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC TỔNG QUÁT Đa thức, hàm số phương trình ẩn số 1.1 Hàm số 1.1.1 Hàm số Định nghĩa 1.2 Một ánh xạ f : D     gọi hàm số biến số thực, kí hiệu y  f  x  Tập D gọi miền xác định f , x  D gọi biến số độc lập y   gọi giá trị hàm số x 1.1.2 Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số xOy với O điểm gốc, hai trục số Ox Oy cho: trục Ox nằm ngang, hướng từ trái sang phải, trục Oy vng góc với trục Ox điểm O , hướng từ lên Quy ước: Trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung Trên trục hoành Ox , điểm nằm bên phải gốc O số thực dương, điểm nằm bên trái gốc O số thực âm Trên trục tung Oy , điểm nằm bên gốc O số thực dương, điểm nằm bên gốc O số thực âm Xét cặp số thực  a, b  , phần tử  a  phần tử thuộc trục hoành, phần tử thứ hai  b  phần tử thuộc trục tung 1.2 Đa thức Định nghĩa 1.1 Cho số nguyên n  Page | 12 Đa thức hàm số có dạng: p  x  : a0  a1 x  a2 x   an x n Trong hệ số nói chung thuộc  Nếu biết an  ta nói p  x  có bậc n Nếu a1  a2   an  0, a0  ta nói đa thức p  x  có bậc  p  x  a ,a 0    Nếu a0  , ta quy ước đa thức có bậc  Đa thức dạng hàm đơn giản vì: 1) Việc tính giá trị đa thức x   cụ thể cần thực phép tính nhân cộng: p    a0  a1  a2   an n 2) Đa thức ln có đạo hàm: p '  x   a1  2a2 x   nan x n1 3) Đa thức ln có ngun hàm: P  x   c  a0 x  a1 1.3 x2 x n 1   an n 1 Giới hạn hàm số biến 1.3.1 Các định nghĩa giới hạn a) Giới hạn điểm Định nghĩa 1.3 Ta nói hàm số f  x  có giới hạn l (hữu hạn) x  x0 với   tồn   cho với x  X mà  x  x0   f  x   l   , kí hiệu, lim f  x   l hay f  x   l x  x0 x  x0 Page | 13 Định nghĩa 1.4 Ta nói hàm số f  x  có giới hạn l x  x0 dãy  xn n  X ,  xn  x0  cho  xn   x0 ,  n    f n  xn   l b) Giới hạn vô cực + Hàm số f  x  gọi có giới hạn l x   với   tồn N  đủ lớn cho x  N f  x   l   , kí hiệu, lim f  x   l hay f  x   l x  x   + Hàm số f  x  gọi có giới hạn l x   với   tồn N  đủ lớn cho x   N f  x   l   , kí hiệu, lim f  x   l hay f  x   l x  x   1.3.2 Các tính chất giới hạn Định lý 1.2 1) Nếu f  x   C ,  x lim f  x   C x  x0 2) Nếu tồn giới hạn hàm số f  x  x  x0 1.3.3 Các phép toán giới hạn Định lý 1.3 Cho lim f  x   l1 lim g  x   l2 , Khi đó, ta có: x  x0 i) ii) iii) iv) x x0 lim cf  x   cl1; với c số x x0 lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x   l1  l2 ; x  x0 x  x0 x  x0 lim  f  x  g  x    lim f  x  lim g  x   l1.l2 ; x  x0 lim x  x0 x  x0 f  x l f  x  xlim x   g  x  lim g  x  l2 x  x0 x x0  lim g  x   0 x  x0 Page | 14 Chú ý Định lý chưa cho ta khẳng định gặp dạng vô định sau:  ,   ,  , ,1  Do đó, q trình tính giới hạn, ta phải khử dạng vơ định áp dụng quy tắc tính tốn để tìm giới hạn 1.3.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần đủ để hàm số f  x  có giới hạn x0 với   tồn   cho với x, x ' thỏa mãn  x  x0   x  x0   f  x   f  x '   Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp giữa) Cho hàm số f  x  , g  x  , h  x  thỏa mãn: f  x   g  x   h  x  , x   a, b  Khi đó, lim f  x   lim h  x   l lim g  x   l x  x0 1.4 x  x0 x x0 Hàm số liên tục 1.4.1 Các khái niệm hàm số liên tục Định nghĩa 1.5 Cho hàm số f  x  xác định khoảng  a, b  Ta nói hàm số f  x  liên tục x0   a, b  lim f  x   f  x0  x  x0 Hàm số f  x  gọi liên tục  a, b  liên tục điểm  a, b  Định nghĩa 1.6 Cho hàm số f  x  xác định  a, b  Hàm số gọi liên tục   bên phải điểm a lim f  x   f a   f  a  , gọi liên tục bên trái x a   điểm b lim f  x   f b   f  b  x b Page | 15 Định lý 1.6 Hàm số f  x  liên tục x0  lim f  x   f  x0   f  x0   x x0  f  x   f  x0   f  x0   xlim    x0 1.4.2 Các phép toán hàm số liên tục Định lý 1.7 Giả sử hai hàm số f  x  g  x  liên tục x0 thì: i) Hàm số f  x   g  x  liên tục x0 ; ii) Hàm số f  x  g  x  liên tục x0 ; iii) Hàm số f  x liên tục x0 với g  x   g  x Định lý 1.8 Nếu hàm số g  x  liên tục x0 , hàm số f liên tục y0  g  x0  hàm số hợp f  g  x   liên tục x0 1.4.3 Tính liên tục hàm số đoạn Định nghĩa 1.7 Nếu f  x  liên tục  a, b  , liên tục bên trái b liên tục bên phải a , ta nói f  x  liên tục  a, b  Định lý 1.9 (Weierstrass thứ nhất) Cho hàm số f  x  xác định, liên tục đoạn  a, b đạt cận cận nó, tức tồn hai điểm x0 , x1   a, b  cho: f  x0   sup f  x  ; f  x1   inf f  x  Định lý 1.10 (Weierstrass thứ hai) Cho hàm số f  x  xác định, liên tục đoạn  a, b đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đó, tức tồn hai điểm x0 , x1   a, b  cho: f  x0   max f  x  f  x1   f  x  x a ,b  x a ,b Page | 16 Định lý 1.11 (Về giá trị trung gian) Cho hàm số f  x  xác định liên tục  ,   ; cho a, b   ,   cho a  b f  a  f  b   Khi đó, tồn điểm c   a, b  cho f  c   Hệ 1.1 Cho hàm số f  x  xác định, liên tục đoạn  a, b  hàm số tồn điểm c   a, b  cho f  c   giá trị nhỏ giá trị lớn  a, b  Chú ý Nếu giả thiết hàm số f liên tục  a, b  định lý khơng 1.4.4 Liên tục Định nghĩa 1.8 Hàm số f : D     gọi hàm số liên tục D với   cho trước nhỏ tùy ý, tồn số   (chỉ phụ thuộc  ) cho với hai điểm x x ' thuộc D mà x  x '   f  x   f  x '   Định lý 1.12 (Cantor) Cho hàm số f :[a, b]   Nếu f liên tục  a, b  hàm f liên tục theo nghĩa sau đây:   0,   cho x  x '    f  x   f  x '    1.5 Đạo hàm hàm số biến 1.5.1 Một số khái niệm đạo hàm Định nghĩa 1.9 Xét hàm số f  x  xác định x0 khoảng  a, b  x0 điểm tùy ý thuộc khoảng Cho x0 số gia x có giá trị tuyệt đối bé Giới hạn, có (hữu hạn) tỷ số f  x0  x   f  x0  x  gọi đạo hàm x hàm số f  x  x0 , kí hiệu f '  x0  Page | 17 Vậy, f '  x0   lim x 0 f  x0  x   f  x0  ,  x0  x   a, b   x Khi đó, ta nói f  x  có đạo hàm x0 Hệ 1.2 Nếu hàm số f  x  có đạo hàm x0 f  x  liên tục Chú ý Trong q trình làm tập, ta sử dụng định nghĩa đạo hàm dạng công thức sau cách đặt x  x  x0 f  f  x   f  x0  : f x  x0 x f '  x0   lim 1.5.2 Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 1.14 Nếu hàm số u  u  x  v  v  x  xác định  a, b  có đạo hàm điểm x0   a, b  hàm số u  x   v  x  , au  x  , u  x  v  x  u  x v  x có đạo hàm x0 i)  u  v  '  x0   u '  x0   v '  x0  ; ii)  au  '  x0   a.u '  x0  ;  a    iii)  u.v  '  x0   u '  x0  v  x0   u  x0  v '  x0  ; iv) u '  x0  v  x0   u  x0  v '  x0  u   '  x0   v  x0  v 1.6  v  x   0 Phương trình ẩn số 1.6.1 Phương trình ẩn số Cho hai hàm số f  x  g  x  , cho: f  x   g  x  , ta nói phương trình ẩn x 1.6.2 Nghiệm phương trình ẩn số Page | 18 Nếu tồn x0  , cho f  x0   g  x0  x0 gọi nghiệm phương trình f  x   g  x  Sai số số xấp xỉ 2.1 Số xấp xỉ Trong trình tính tốn đo đạc, thơng tin nhận (các số) thường giá trị Các số liệu thực tế thông thường số gần đúng, ví dụ: khoảng cách từ điểm đến điểm kia, số  , e, 2, Vì tính tốn, thường dùng giá trị xấp xỉ để thay giá trị đại lượng Định nghĩa 2.1 Với A số ( A thường không xác định), gọi a số xấp xỉ A (thay cho A q trình tính tốn) a khác A khơng đáng kể Như vậy, a  A : + Nếu a  A a gọi xấp xỉ thiếu A + Nếu a  A a gọi xấp xỉ thừa A 2.2 Sai số 2.2.1 Sai số tuyệt đối Trong q trình tính toán với số xấp xỉ a , ta xuất vấn đề sai số Như vậy, xét đại lượng A đại lượng xấp xỉ a Định nghĩa 2.2 Hiệu a  A  a (hoặc a  a  A ) gọi sai số số xấp xỉ a Trị tuyệt đối:   a  A  a gọi sai số tuyệt đối số xấp xỉ a Vì giá trị A không xác định, a không xác định Từ đó, người ta đưa thêm vào khái niệm sai số tuyệt đối giới hạn Page | 19 Định nghĩa 2.3 Sai số tuyệt đối giới hạn số xấp xỉ a số không nhỏ sai số tuyệt đối số xấp xỉ a Hay nói cách khác:  a  a  a  A Và,  a  a   ,    Như vậy, tính tốn chọn  a số bé Khi đó, a  A   a  a  A Như vậy, a   a xấp xỉ thiếu A , a   a xấp xỉ thừa A Để đơn giản, ta quy ước: A  a   a 2.2.2 Sai số tương đối Sai số tuyệt đối sai số tuyệt đối giới hạn cách đầy đủ mức độ xác phép đo tính tốn Nên để thể điều này, người ta đưa khái niệm sai số tương đối sau Định nghĩa 2.4 Sai số tương đối sai số xấp xỉ a , kí hiệu  , là:  A a   A A với A  Từ đó:   A  Tuy nhiên, ta lại thấy A thường không xác định, ta đưa vào khái niệm sau Định nghĩa 2.5 Sai số tương đối giới hạn số xấp xỉ a , kí hiệu  a , số không nhỏ sai số tương đối số xấp xỉ a Do đó:    a Nghĩa   a A Page | 20