Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GĨC TRONG KHƠNG GIAN" MƠN : TỐN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GĨC TRONG KHƠNG GIAN" MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý chọn đề tài…………………………………………… Mục đích đề tài………………………………………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………… Giới hạn đề tài………………………………………… Tính đề tài ……………………………………… Phương pháp nghiên cứu…………………………………… PHẦN II NỘI DUNG…………………………………………… Cơ sở lý luận thực tiễn…………………………………… 1.1 Cơ sở lý luận………………………………………………… 1.1.1 Khái niệm ………………………………………………… 1.1.2 Yêu cầu cần đạt lực………………………………… 1.1.3 Nội dung chủ đề “ góc khơng gian” chương trình 1.2 Cơ sở thực tiễn …………………………………………… 3 3 4 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc khơng gian 2.1 Một số kiến thức …………………………………… 2.1.1 Góc hai đường thẳng khơng gian………………… 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng……………………… 2.1.3 Góc hai mặt phẳng…………………………………… 2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo 2.2.1 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc hai đường thẳng 2.2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc đường thẳng mặt phẳng 2.2.3 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạocho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng 8 14 26 2.2.4 Bài tập tự luyện…………………………………………… 35 Kết thực nghiệm sư phạm………………………………… 37 3.1 Mục đích thực nghiệm………………………………………… 37 3.2 Nội dung thực nghiệm………………………………………… 37 3.3 Kết thực nghiệm………………………………………… 38 III KẾT LUẬN………………………………………………… 39 Kết luận…………………………………………………… 39 Kiến nghị………………………………………………… 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………… 40 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Nghị số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo rõ mục tiêu cụ thể giáo dục phổ thơng, có mục tiêu: phát triển lực công dân, phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Chương trình tổng thể Ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục tốn học hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học với thành tố cốt lõi: lực tư lập luận tốn học, lực mơ hình hố toán học, lực giải vấn đề toán học,…” Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể ra: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành cơng loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Để góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trường THPT, hoạt động dạy giải tập tốn có vai trị quan trọng Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực mục tiêu dạy học mơn Tốn bậc THPT Trong việc dạy giải tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu phải rèn luyện kỹ giải Toán, tức phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải khả vận dụng kiến thức, qua góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh Hình học khơng gian nội dung chương trình học lớp trường phổ thơng, giới thiệu hình học lớp 5, lớp 8, lớp sâu nghiên cứu lớp 11 12 Đây phần kiến thức quan trọng người sống thực tế Vì quan trọng nên chương trình học dành nhiều thời gian cho việc dạy học hình học khơng gian Tuy nhiên, việc dạy học hình học khơng gian gặp nhiều khó khăn; khó khăn khơng học sinh mà với giáo viên Có nhiều điều làm cho việc dạy học hình học khơng gian chưa đạt kết cao, có lẽ điều khó khăn việc dạy học nội dung việc phải biểu diễn hình dung vật thể thực không gian ba chiều lên giấy ( tức khơng gian hai chiều), việc tưởng tượng nhìn nhận hình cho với thực tế khó khăn Trong đề THPT Quốc Gia TN THPT đề Đánh giá lực trường Đại học thường có câu hình học khơng gian liên quan đến “góc không gian” Với tâm lý chung nhiều học sinh sợ học hình khơng gian tốn dạng bị em bỏ qua nghĩ khó để hiểu Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn tơi ln băn khoăn, trăn trở việc tìm giải pháp để em với học lực mơn Tốn khác xố suy nghĩ sợ học hình khơng gian nói chung em rèn luyện cách hợp lý kỹ giải tốn liên quan đến “ góc khơng gian”, góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh, bước tạo đam mê, hứng thú học tập mơn Tốn,hình thành lực tự học, khả sáng tạo cho học sinh Với lí nêu tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thơng qua dạy học chủ đề : góc khơng gian ” 1.2 Mục đích đề tài Với quan điểm từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh tốn để qua em làm tốn khó phức tạp Từ phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho cho học sinh 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 11 giáo viên THPT Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung chương trình Hình Học 11, mở rộng phù hợp với nội dung thi ĐH, HSG 1.4 Giới hạn đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu kỹ cần thiết rèn luyện cho học sinh dạy chủ đề “góc khơng gian” qua góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 1.5 Tính đề tài - Đề tài xây dựng hệ thống tập góc hai đường thẳng khơng gian, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng với nhiều phương pháp giải khác - Đề tài có đưa vào toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học khơng gian liên quan đến góc với hướng giải khác 1.6 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực thành cơng loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể.” - Từ định nghĩa này, rút đặc điểm lực là: + Năng lực kết hợp tố chất sẵn có trình học tập, rèn luyện người học + Năng lực kết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, + Năng lực hình thành, phát triển thơng qua hoạt động thể thành công hoạt động thực tiễn 1.1.2 Yêu cầu cần đạt lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi sau: + Những lực chung hình thành, phát triển thơng qua tất mơn học hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo + Những lực đặc thù hình thành, phát triển chủ yếu thông qua số môn học hoạt động giáo dục định: Năng lực ngôn ngữ, lực tính tốn, lực khoa học, lực cơng nghệ, lực tin học, lực thẩm mĩ, lực thể chất - Theo chương trình GDPT mơn Tốn năm 2018, yêu cầu cần đạt lực đặc thù là: Mơn Tốn góp phần hình thành phát triển cho học sinh lực toán học (biểu tập trung lực tính tốn) bao gồm thành phần cốt lõi sau: lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hố toán học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn 1.1.3 Nội dung chủ đề “góc khơng gian” chương trình mơn tốn lớp 11 Phần trình bày sách giáo khoa Hình học 11 với nội dung Mục III: Góc hai đường thẳng khơng gian - - chương III Mục V.3: Góc đường thẳng mặt phẳng - - chương III Mục I : Góc hai mặt phẳng - - chương III 1.2 Cơ sở thực tiễn Có thể nói chủ đề góc khơng gian chủ đề hay chương trình mơn Tốn lớp 11, liên quan đến nhiều tốn hình học khơng gian đề thi TNTHPT, đề đánh giá lực trường Đại học, đề thi học sinh giỏi Kiến thức nội dung đề cập sách giáo khoa số tồn tại: - Bài tập góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng không đề cập sách giáo khoa Bài tập góc hai mặt phẳng đề cập - Khi giảng dạy giáo viên trọng đến đến việc xác định góc tính góc, dẫn đến nhiều học sinh lúng túng gặp dạng toán Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT nói chung học sinh trường THPT Nam Yên Thành nói riêng hầu hết em học sinh hạn chế lực giải vấn đề lực sáng tạo (nhiều em có điểm mơn Tốn tuyển sinh vào 10 chưa đạt 2,0 điểm) Các tốn thuộc chủ đề góc khơng gian đề thi thường mức độ vận dụng vận dụng cao Để giải lớp toán học sinh cần biết sử dụng tổng hợp kiến thức phải thông qua vài bước biến đổi Qua thực tế giảng dạy trực tiếp lớp, thấy tập dạng học sinh thường lúng túng trình giải Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thơng qua dạy học chủ đề góc khơng gian 2.1 Một số kiến thức 2.1.1 Góc hai đường thẳng khơng gian a Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không gian góc đường thẳng a bcùng qua điểm song song với a b Kí hiệu: a;b b) Tính chất +) a +) a / /b a b a;b 900 a;b 00 +) 00 a;b 900 +) Nếu u , v véc tơ phương đường thẳng a b u; v 0 a;b 90 a;b   900 a;b 1800  900  1800  : c) Cách xác định góc hai đường thẳng khơng gian Để xác định góc hai đường thẳng a b Cách 1: Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a , b song song với a b Khi a;b a ';b ' Cách 2: Từ điểm O thuộc đường thẳng a b, vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng cịn lại Khi : a;b a;b ' a ';b b d) Phương pháp tính góc hai đường thẳng khơng gian Phương pháp 1: Xác định góc , sau tính góc (dùng định lý cosin hệ thức lượng tam giác vng ) Phương pháp 2: Tính góc hai véc tơ phương hai đường thẳng, từ suy góc hai đường thẳng với u.v ( u , v véc tơ phương đường thẳng a b ) 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng   90 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng   góc a hình chiếu a   gọi góc đường thẳng a mặt phẳng   Kí hiệu : a;  Cách 2: +) Xác định giao tuyến  +) Lấy A  a  β A a dựng A  A a AK Khi đó, a Do đó, AHK  ,  Từ suy sin a, K a , AH suy HK AK, HK  ,H H  a AKH AH d A,  AK d A, a a  φ A α K d) Phương pháp tính góc hai mặt phẳng cắt nhau: Phương pháp : Dựng góc hai mặt phẳng ( mục c ), sau tính góc Phương pháp 2: Dựng hai đường thẳng a, b vng góc với hai mặt phẳng  ,  Tính góc hai đường thẳng a, b Phương pháp 3: Sử dụng cơng thức hình chiếu S ' S.cos cos S' ( góc hai mặt phẳng   Phương pháp Sử dụng khoảng cách (dựa vào cách mục 2.1.3c ) sin AH AK d A,  d A, a (với A điểm nằm mặt phẳng  , A không nằm giao tuyến a hai mặt phẳng   ) 2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh 2.2.1 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp thơng qua dạng tốn tính góc hai đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ,cạnh bên SA  AB SA vng góc với BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC b) Gọi I , J điểm thuộc SB, SD cho IJ / /BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J Phân tích tốn : S D B C Ta thấy AD//BC SA vng góc với BC nên SA vng góc với AD Đáy ABCD hình thoi mà SA=AB nên SA=AB=AD=BC=CD a) Cách 1: Ta thấy góc hai đường thẳng SD BC góc hai đường thẳng SD AD Ta tính góc SDA để suy góc hai đường thẳng SD BC Cách 2: Ta tính tích vơ hướng SD.BC để suy góc hai véctơ SD, BC Từ suy góc hai đường thẳng SD BC b) Vì IJ// BD nên góc IJ AC góc BD AC Lời giải a) Cách 1: Ta thấy AD//BC SA vng góc với BC nên SA vng góc với AD Đáy ABCD hình thoi mà SA=AB nên SA =AD Vậy tam giác SAD vuông cân A Do BC// AD nên SD; BC Vậy : SD; BC 450 Cách 2: Ta có: SD.BC cos SD, BC AD; AD Mà SDA 450 ( tam giác SAD vuông cân) SD.BC SD BC SA AD BC AD2 AD 2.AD b) Vì IJ// BD nên IJ ; AC SA.BC AD.BC SD, BC BD; AC AD.BC AD2 450 Vậy : SD; BC 450 900 ( ABCD hình thoi) Vậy góc hai đường thẳng AC IJ không đổi 900 , không phụ thuộc vào vị trí I J Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a, đáy ABCD hình vng Gọi N trung điểm SB a) Chứng minh tam giác SAB, SCD tam giác vuông b) Tính góc hai đường thẳng : AN CN; AN ND; AN SD Phân tích tốn : a) Hình chóp có tất cạnh a, AC BD hai đường chéo hình vng nên ta tính độ dài theo a Từ áp dụng định lý Py-ta-go đảo để chứng minh tam giác vuông b) Các tam giác CAN AND tính độ dài ba cạnh chúng Ta sử dụng định lý Cosin tính ANC AND , từ suy góc hai đường thẳng AN NC; AN ND Lời giải S B D C Do đáy ABCD hình vng cạnh a AC BD a AC2 Theo định lý Py-ta-go a) Tam giác SAC có : SA2 SC2 a2 a2 2a2 đảo ta có tam giác SAC vng S Chứng minh tương tự ta có tam giác SBD vuông S b) Tam giác SAB SBC tam giác cạnh a, AN CN trung AN tuyến a CN Áp dụng định lý Cosin vào tam giác ANC, ta có: AN cos ANC ANC 2 NC AC AN.NC arccos a 2 a a 2 a a 2 với 900 arccos 1800 Vậy AN , CN 1800 arccos *) Vì tam giác SBD vng S, N trung điểm SB nên: ND2 SD2 SN 5a2 10 Áp dụng định lý Cosin vào tam giác AND, ta có : cos AND AND a AN ND2 AD2 2.AN.ND 15 arccos 15 2 a a2 a a 2 Vậy AN , DN 15 15 15 arccos 15 *) Tính góc AN SD Ta có : AN.SD AB BN SD a.a.cos600 Cos AN,SD AB.SD BN.SD DC.SD DC.SD a2 AN.SD Cos AN , SD Vậy Cos AN,SD AB.SD arccos AN SD a2 a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a , SA   ABC  SA  a Gọi M , N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Phân tích tốn : Bài tốn u cầu tính cosin góc hai đường thẳng AN CM , yếu tố song song chưa có sẵn nên chắn việc xác định góc để tính gặp nhiều khó khăn so với việc tính góc hai véc tơ phương Lời giải: Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy a AM  CE    Khi AE//CM  AN;CM  AN; AE  Mặt khác SC  SA2  AC2  2a  độ dài đường trung tuyến AN AN  SC  a AE  CM  a Do ABC nên CM  AM  AMCE hình chữ nhật Khi CE  AE mà CE  SA  CE  SAE   CE  SE 11 SEC vuông E có đường trung tuyến EN  Ta có: cosNAE  AN  AE2  NE2 2.AN.AE 1 SC  a    cos  4 AB  AC 2 1 1  Khi AN.CM  AS AC  AB  AC  AB.AC  AC a cos 60 a2 3a2 2 4     Cách 2: Ta có: AN   AS  AC ;CM  AM  AC   3a2  a; CM   cos =  Lại có AN  2 a a a SC Ví dụ 4.Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh a, BAD 600, BAA' DAA' 1200 a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A’D b) Tính góc AC’ với B’D Lời giải : C Đặt AB x, AD y, AA' z Khi : x x.y x.z y.z y x y cos x, y x z cos x, z y z cos y, z z B a2 ; D A a2 C' a ; a2 2 B' D' A' a) Vì AB / / A' B ' nên AB; A ' D A ' B '; A ' D ÁP dụng định lý Cosin cho tam giác A' AD ta có: A' D2 A' A2 AD2 2AA'.ADcosDAA' 3a2 A' D a Theo công thức hình hộp, ta có : DB ' DC DA DD' x y z DB '2 DB ' x y z 2x.y 2x.z y.z 2a2 Áp dụng định lý Cosin vào tam giác A' B ' D ta có: 12 3a2 a2 2a2 2a 3a A' D2 A' B '2 DB '2 2.A' D.A' B ' cosB ' A' D A' B '; A' D Vậy AB; A' D arccos b) Ta có : AC ' x y z AC '2 AB ' AC ' AB AA' AB '2 AB ' 2 2a2 x z x z x 2x.z z a2 AB ' a Tứ giác ADC ' B ' hình bình hành mà AB ' AD a, AC ' B ' D nên tứ giác ADC ' B ' hình vng Vậy AC ' B ' D ,tức AC '; B ' D 900 Nhận xét: Bài toán sử dụng ưu phương pháp véc tơ Nếu không sử dụng phương pháp véctơ việc tính độ dài đoạn thẳng AC’, DB’ gặp nhiều khó khăn Ví dụ (Trích đề thi hsg tỉnh Sơn La lớp 11 năm học 2020-2021) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M trung điểm AB , H hình chiếu vng góc C lên SB góc tạo đường thẳng AB mặt phẳng HCM 600 Tính sin góc tạo MH SC Lời giải Ta có S CM SA CM AB Mà CH SB CM SAB CM SB SB Từ (1) ( 2) suy H CMH Lại có: AB BH HCM HCM C A M AB, HCM Trong tam giác SBC dựng HK / /SC tam giác BMH có BH MB.sin 600 BMH K a M 600 BC Khi MH , SC ; MH K MH , HK Trong MB.cos600 13 Ta có SAB SB MHB SA2 AB2 HK / /SC SA MH BH SB 3a HK SC AB BH SA 2a AB.MH BH a 2a a SC BK BC HK BH 3a ; BK 2 Trong tam giác MBK có: MK BM BK 2BM BK.cos 60 Trong tam giác MHK có : cos MHK Vậy sin MH , SC cos2 MHK MH HK MK 2.MH.HK MK a 13 61 2.2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp thông qua dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB  a; BC  a Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc SC mặt phẳng  ABC  Phân tích tốn : Giả thiết cho SA   ABC  nên việc xác định hình chiếu SB, SC lên  ABC  dễ dàng, từ ta xác định góc tính Lời giải Vì SA   ABC  nên hình chiếu SB,SC S lên (ABC) AB, AC    SB; ABC   SB; AB  SBA  60 Do SA  AB tan SBA  a tan 60  a C A Ta có: AC  AB2  BC2  2a  B  Khi đó: cos SCA  AC AC 2a    2 SC SA  AC 3a  4a2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, BD  a 3, SA   ABCD Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc tạo SC mặt phẳng SAB 14