Skkn góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GĨC TRONG KHƠNG GIAN" MƠN : TỐN skkn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM YÊN THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THƠNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ : “GĨC TRONG KHƠNG GIAN" Mơn: Tốn Người thực hiện: Nguyễn Thị Bảo Thời gian thực hiện: Năm 2022 Số điện thoại: 0396 806 139 skkn MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lý chọn đề tài…………………………………………… Mục đích đề tài………………………………………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………… Giới hạn đề tài………………………………………… Tính đề tài ……………………………………… Phương pháp nghiên cứu…………………………………… PHẦN II NỘI DUNG…………………………………………… Cơ sở lý luận thực tiễn…………………………………… 1.1 Cơ sở lý luận………………………………………………… 1.1.1 Khái niệm ………………………………………………… 1.1.2 Yêu cầu cần đạt lực………………………………… 1.1.3 Nội dung chủ đề “ góc khơng gian” chương trình 1.2 Cơ sở thực tiễn …………………………………………… Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc khơng gian 4 4 2.1 Một số kiến thức …………………………………… 2.1.1 Góc hai đường thẳng khơng gian………………… 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng……………………… 2.1.3 Góc hai mặt phẳng…………………………………… 2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo 2.2.1 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc hai đường thẳng 2.2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc đường thẳng mặt phẳng 2.2.3 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạocho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng 14 26 2.2.4 Bài tập tự luyện…………………………………………… 35 Kết thực nghiệm sư phạm………………………………… 37 skkn 3.1 Mục đích thực nghiệm………………………………………… 37 3.2 Nội dung thực nghiệm………………………………………… 37 3.3 Kết thực nghiệm………………………………………… 38 III KẾT LUẬN………………………………………………… 39 Kết luận…………………………………………………… 39 Kiến nghị………………………………………………… 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………… 40 skkn PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1.Lý chọn đề tài Nghị số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo rõ mục tiêu cụ thể giáo dục phổ thơng, có mục tiêu: phát triển lực công dân, phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục tốn học hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học với thành tố cốt lõi: lực tư lập luận toán học, lực mơ hình hố tốn học, lực giải vấn đề tốn học,…” Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể ra: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực thành công loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể” Để góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh trường THPT, hoạt động dạy giải tập tốn có vai trị quan trọng Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực mục tiêu dạy học mơn Tốn bậc THPT Trong việc dạy giải tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu phải rèn luyện kỹ giải Tốn, tức phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải khả vận dụng kiến thức, qua góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh Hình học khơng gian nội dung chương trình học lớp trường phổ thông, giới thiệu hình học lớp 5, lớp 8, lớp sâu nghiên cứu lớp 11 12 Đây phần kiến thức quan trọng người sống thực tế Vì quan trọng nên chương trình học dành nhiều thời gian cho việc dạy học hình học khơng gian Tuy nhiên, việc dạy học hình học khơng gian gặp nhiều khó khăn; khó khăn không học sinh mà với giáo viên Có nhiều điều làm cho việc dạy học hình học khơng gian chưa đạt kết cao, có lẽ điều khó khăn việc dạy học nội dung việc phải biểu diễn hình dung vật thể thực khơng gian ba chiều lên giấy ( tức khơng gian hai chiều), việc tưởng tượng nhìn nhận hình cho với thực tế khó khăn Trong đề THPT Quốc Gia TN THPT đề Đánh giá lực trường Đại học thường có câu hình học khơng gian liên quan đến “góc khơng gian” Với tâm lý chung nhiều học sinh sợ học hình khơng gian tốn dạng bị em bỏ qua nghĩ q khó để hiểu Là giáo viên giảng dạy môn Tốn tơi ln băn khoăn, trăn trở việc tìm giải pháp để em với học lực môn Toán khác xoá suy nghĩ sợ học skkn hình khơng gian nói chung em rèn luyện cách hợp lý kỹ giải tốn liên quan đến “ góc khơng gian”, góp phần phát triển lực giải vấn đề cho học sinh, bước tạo đam mê, hứng thú học tập mơn Tốn,hình thành lực tự học, khả sáng tạo cho học sinh Với lí nêu tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề : góc khơng gian ” 1.2 Mục đích đề tài Với quan điểm từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh toán để qua em làm tốn khó phức tạp Từ phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho cho học sinh 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 11 giáo viên THPT Phạm vi nghiên cứu: Bám sát nội dung chương trình Hình Học 11, mở rộng phù hợp với nội dung thi ĐH, HSG 1.4 Giới hạn đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu kỹ cần thiết rèn luyện cho học sinh dạy chủ đề “góc khơng gian” qua góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 1.5 Tính đề tài - Đề tài xây dựng hệ thống tập góc hai đường thẳng khơng gian, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng với nhiều phương pháp giải khác - Đề tài có đưa vào toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hình học khơng gian liên quan đến góc với hướng giải khác 1.6 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm skkn PHẦN II NỘI DUNG Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực thành cơng loại hoạt động định, đạt kết mong muốn điều kiện cụ thể.” - Từ định nghĩa này, rút đặc điểm lực là: + Năng lực kết hợp tố chất sẵn có q trình học tập, rèn luyện người học + Năng lực kết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, + Năng lực hình thành, phát triển thơng qua hoạt động thể thành công hoạt động thực tiễn 1.1.2 Yêu cầu cần đạt lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi sau: + Những lực chung hình thành, phát triển thông qua tất môn học hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo + Những lực đặc thù hình thành, phát triển chủ yếu thông qua số môn học hoạt động giáo dục định: Năng lực ngơn ngữ, lực tính tốn, lực khoa học, lực cơng nghệ, lực tin học, lực thẩm mĩ, lực thể chất - Theo chương trình GDPT mơn Tốn năm 2018, yêu cầu cần đạt lực đặc thù là: Mơn Tốn góp phần hình thành phát triển cho học sinh lực toán học (biểu tập trung lực tính tốn) bao gồm thành phần cốt lõi sau: lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hố tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp tốn học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn 1.1.3 Nội dung chủ đề “góc khơng gian” chương trình mơn tốn lớp 11 Phần trình bày sách giáo khoa Hình học 11 với nội dung Mục III: Góc hai đường thẳng không gian - - chương III Mục V.3: Góc đường thẳng mặt phẳng - - chương III Mục I : Góc hai mặt phẳng - - chương III skkn 1.2 Cơ sở thực tiễn Có thể nói chủ đề góc khơng gian chủ đề hay chương trình mơn Tốn lớp 11, liên quan đến nhiều tốn hình học khơng gian đề thi TNTHPT, đề đánh giá lực trường Đại học, đề thi học sinh giỏi Kiến thức nội dung đề cập sách giáo khoa số tồn tại: - Bài tập góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng không đề cập sách giáo khoa Bài tập góc hai mặt phẳng đề cập - Khi giảng dạy giáo viên trọng đến đến việc xác định góc tính góc, dẫn đến nhiều học sinh lúng túng gặp dạng toán Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT nói chung học sinh trường THPT Nam Yên Thành nói riêng hầu hết em học sinh hạn chế lực giải vấn đề lực sáng tạo (nhiều em có điểm mơn Tốn tuyển sinh vào 10 chưa đạt 2,0 điểm) Các tốn thuộc chủ đề góc khơng gian đề thi thường mức độ vận dụng vận dụng cao Để giải lớp toán học sinh cần biết sử dụng tổng hợp kiến thức phải thông qua vài bước biến đổi Qua thực tế giảng dạy trực tiếp lớp, thấy tập dạng học sinh thường lúng túng q trình giải Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học chủ đề góc khơng gian 2.1 Một số kiến thức 2.1.1.Góc hai đường thẳng khơng gian a Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a b qua điểm song song với a b Kí hiệu: a; b b a a' b' O b) Tính chất +) a b a; b 900 a / /b a b a; b 00 +) +) 00 a; b 900 skkn +) Nếu u , v véc tơ phương đường thẳng a b u; v 0 a; b 90 a; b   900 a; b 1800   : 900  1800 c) Cách xác định góc hai đường thẳng khơng gian Để xác định góc hai đường thẳng a b Cách 1: Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a , b song song với a b Khi a; b a '; b ' Cách 2: Từ điểm O thuộc đường thẳng a b, vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại Khi : a; b a; b ' a '; b a b' O b d) Phương pháp tính góc hai đường thẳng khơng gian Phương pháp 1: Xác định góc , sau tính góc (dùng định lý cosin hệ thức lượng tam giác vng ) Phương pháp 2: Tính góc hai véc tơ phương hai đường thẳng, từ suy góc hai đường thẳng   cos  a; b  = cos u; v với cos  u; v   u.v u.v ( u , v véc tơ phương đường thẳng a b ) 2.1.2 Góc đường thẳng mặt phẳng a) Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng   90 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng   góc a hình chiếu a   gọi góc đường thẳng a mặt phẳng   Kí hiệu :  a;    skkn A φ a' M H a α b) Tính chất :   +) 00   a;     900 +) a     a,    900 a//  +) a  a;  00 c) Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng cắt Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng:   +) Nếu a    a,    900 +) Nếu a không vuông góc với   ta tìm hình chiếu a’ a lên   Cách tìm hình chiếu a a mặt phẳng   ta làm sau A φ a' M H a α B1: Tìm giao điểm M  a    B2: Xác định điểm A đường thẳng a  A  M  tìm hình chiếu vng góc H A mặt phẳng   B3: Kết luận : a đường thẳng qua hai điểm M H Khi :  a;      a; a '  AMH   d) Phương pháp tính góc đường thẳng mặt phẳng cắt Phương pháp : Dựng góc đường thẳng mặt phẳng ( mục 2.1.2 c) sau tính góc ( sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông) Phương pháp : Khơng xác định góc mà sử dụng khoảng cách : skkn Nhận xét : Ví dụ 9,10,11,12 giải tốn cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải toán phương pháp vectơ Để giải toán cực trị hình học khơng gian từ quy trình giải toán phương pháp vectơ ta cần lựa chọn tốn có sẵn “hệ vectơ gốc” làm sở, chẳng hạn : Mơ hình 1: Lựa chọn hệ vectơ gốc a, b, c thỏa mãn Mơ hình 2: Lựa chọn hệ vectơ gốc a, b, c thỏa mãn a a, b a.b b.c a a.b b, c c c.a a, b x; b.c b, c c y; c.a z 2.2.3 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp thơng qua dạng tốn tính góc hai mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , đáy hình chữ nhật ABCD với AB  a; AD  a Biết mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 600 a) Tính cosin góc tạo mặt phẳng  SBC  mặt đáy  ABCD  b) Tính tan góc mặt phẳng  SBD  mặt phẳng  ABCD  Phân tích tốn: Giả thiết cho mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 600 nên ta phải xác định góc góc 600 Bài tốn u cầu tính góc mặt bên mặt đáy, việc xác định giao tuyến đường vuông góc với giao tuyến khơng khó khăn nên ta sử dụng phương pháp ( mục 2.13 d) Lời giải: a) Do S CD  SA  CD   SDA  CD  SD  CD  AD Ta có: A  SCD    ABCD   CD   ABCD  : AD  CD  D   SCD  : SD  CD  D  D H B  SCD  ,  ABCD    SD, AD   SDA  60 O C Suy SA  AD tan 60o  3a  BC  SA  BC   SBA   BC  SB  BC  AB Do  26 skkn  SBC    ABCD   BC  Ta có :  ABCD  : AB  BC  B   SBC  ,  ABCD   SB, AB  SBA   SBC  : SB  BC  B    cos SBA   AB AB a 1    Vậy cos   SBC  ;  ABC    SB 10 10 SA2  AB 9a  a b) Dựng AH  BD; SA  BD  BD   SHA  BD  SH  SBD    ABCD   BD  Ta có :  ABCD  : AH  BD  H   SBD  ,  ABCD   SH , AH  SHA   SBD  : SH  BD  H    Mà: AH  AB AD AB  AD     SA a  Suy tan  SBD  ;  ABCD   tan SHA  AH Ví dụ Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B có AB  a 3; BC  a, tam giác SAC tam giác cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết đường thẳng SB tạo với đáy góc 60o Tính góc mặt phẳng SBC mặt phẳng ABC Phân tích tốn: Giả thiết cho tam giác SAC tam giác cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy để ta xác định hình chiếu S lên mặt đáy, từ xác định góc đường thẳng SB tạo với đáy Đây tốn tính góc mặt bên mặt đáy, việc xác định giao tuyến đường vuông góc với giao tuyến khơng khó khăn nên ta sử dụng phương pháp ( mục 2.1.3 d) Lời giải: Gọi H trung điểm AC , tam giác SAC cân nên ta có: SH  AC Mặt khác  SAC    ABCD  nên SH   ABC   S  Khi đó:  SB;  ABC    SB; HB  SBH  60o A Ta có: AC  AB  BC  2a  BH  AC  a 2 C H K Khi đó: SH  a tan 60  a o Dựng HK  BC , BC  SH  BC   SHK   BC  SK B Ta có :  SBC    ABC   BC   ABC  : HK  BC  K   SBC  ,  ABC   SK , HK  SKH   SBC  : SK  BC  K     27 skkn AB a  ; SH  a  cos SKH  2 Mà : HK  Vậy   SBC  ;  ABC     với cos   Ví dụ 3: ( Đề thi thử Sở GD – ĐT Hà Tĩnh năm 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA ABCD , SA AB Gọi  góc hai mặt phẳng SBC SDC giá trị cos  A B C D Lời giải Cách : S Đặt DC a a Ta có: SBC Kẻ BH SDC SC H SC H SC (1) H D Dễ thấy BD SAC BD A SC (2) a Từ (1) (2) suy SC BDH DH Khi :  B SC C H SBC , SDC BH , DH Xét tam giác SBC vng B đường cao BH ta có: BH SB BC Lại có : SDC SA SBC AB DH BC BH a a2 a2 4a BH 2a 2a ; BD a Áp sụng định lý Côsin cho tam giác DHB , ta có : DH BH BD 2 DH BH cosDHB 4a 4a 2a 2a 2a 5 Vậy cos = - cosDHB Cách : Đặt DC a a Ta có: SBC SDC S SC H A Khi sin  Chọn D B K d B, SDC d A, SDC d B, SC d B, SC D C 28 skkn Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác SAD , K chân đường cao hạ từ đỉnh B tam giác SBC Ta có : d B, SC DC AB DC SA ( SA Mà AH BK DC ABCD) SAB AH (1) DC SD (2) Từ (1) (2) suy AH SDC d A, SDC AH Xét tam giác SAD vuông A, đường cao AH , ta có: AH AD SA2 a2 a 3a AH a Xét tam giác SBC vuông B , đường cao BK , ta có BK SB BC Suy : sin  2a d A, SDC d B, SC a2 4a BK AH BK a 2a 2a 15 cos = sin  Chọn D Nhận xét: Ở việc xác định tính AH, BK dễ dàng, vận dụng khoảng cách vào tính góc giải gọn nhẹ nhanh chóng.Thay lựa chọn điểm B trên, chọn điểm D với vai trị hồn tồn tương tự Qua hai cách giải trên, dễ dàng nhận thấy, sử dụng cách cần phải xác định góc cụ thể, cịn sử dụng cách thứ khơng cần góc mà tính thơng qua khoảng cách Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a với AD  2a, biết SA   ABCD  mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 45o Tính cosin góc mặt phẳng  SCD   SBC  Phân tích toán: Giả thiết cho mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 45o nên ta phải xác định góc 450 góc Bài tốn u cầu tính góc hai mặt bên,việc xác định đường vng góc với giao tuyến khó khăn hơn, ta chọn giải toán theo phương pháp ( mục 2.1.3 d) Lời giải: Do AD  2a nên tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD  2a 29 skkn Ta có: S  AC  CD  CD   SAC   CD  SC  CD  SA  SCD    ABCD   CD   ABCD  : AC  CD  C   SCD  : SC  CD  C F A    E    SCD  ,  ABCD   SC , AC  SCA  450 H D B C  SA  AC  4a  a  a Dựng AE  SC; CD  AE  CD   SAC    AE   SCD  1  AH  BC  AF   SBC     AF  SH Dựng  Từ suy góc mặt phẳng  SCD   SBC  góc AE AF Ta có: AE  Suy AF  SA AC SA  AC 2 SA AH SA  AH 2  a a ; AH  AC sin 30o  2  a , AF   SBC   AF  FE AF 10 10  Vậy: cos SCD , SBC AE 5 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, SA   ABC  Do cos FAE  Trên cạnh SA lấy điểm M cho diện tích tam giác MBC hai mặt phẳng  MBC   ABC  a2 Tính góc Phân tích tốn : Với giả thiết cho diện tích tam giác diện tích tam giác MBC a2 , ta nghĩ đến công thức diện tích hình chiếu, từ suy góc đơn giản Lời giải: Ta có: S ABC a2  S Gọi     MBC  ;  ABC   M Do ABC hình chiếu tam giác MBC mặt phẳng  ABC  cos   S ABC S MBC a2  24     60o a 2 C A B 30 skkn Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC làm tam giác cân với AB  AC  a, BAC  120o , cạnh bên BB  a, gọi I trung điểm CC  a Chứng minh tam giác ABI vuông b Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABI   ABC  Phân tích tốn : Với giả thiết toán cho ta dễ dàng tính độ dài cạnh tam giác ABI , từ suy tam giác vng Rõ rãng tốn việc dựng góc hai mặt phẳng khó khăn nhiều so với sử dụng cơng thức hình chiếu Vậy nên ta chọn cách sử dụng cơng thức diện tích hình chiếu để giải ý b Lời giải: C' B' Ta có: BC  BC   AB  AC  AB AC cos BAC  a AB  AB  BB2  a AI  AC  CI  A' a BI  BC 2  C I  C B a 13 I A 13a Do AB  AI  BI   BAI vuông A 2 Do ABC hình chiếu tam giác AB ' I mặt phẳng  ABC  Ta có: S ABI  AB AI  S ABC  a 10 S a2 30 AB AC sin BAC   cos   ABI  ;  ABC    ABC  S ABI 10 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AD  2a AB  BC  a Hai mặt phẳng  SAB   SAD  vuông góc với đáy Biết mặt phẳng  SBC  tạo với đáy  ABCD  góc 60o Tính tan góc tạo mặt phẳng  SCD   SBD  với mặt phẳng  ABCD  Lời giải: S I A D E B C 31 skkn  BC  AB  BC   SBA  BC  SA Ta có:  Khi đó:   SBC  ;  ABCD    SBA  60o  SA  AB tan 60o  a Gọi I trung điểm AD  ABCI hình vng cạnh a  CI  a  AD  ACD vuông C CD  AC  CD   SCA CD  SA Ta có:  Do   SCD  ;  ABCD     SC; AC   SCA tan SCA  SA  AC a AB  BC   2 Dựng AE  BD, lại có BD  SA  BD   SEA    SBD  ;  ABCD    SEA Ta có: AE  AB AD AB  AD 2  2a SA 15  tan SEA   AE Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng AC mặt đáy  ABC  60o Tính cosin góc mặt phẳng  AAC  mặt đáy  ABC  Lời giải: Gọi H trung điểm cạnh AB ta có: A' AH   ABC  B' Do ACH  60o Lại có: C' CH  AC sin 60o  a  AH  CH tan 60o  3a Dựng HK  AC ta có AH  AC   AHK   AC H A a Khi HK  HA sin 60  o B K C Ta có: cos AKH  HK  HK  AH Do cos   AAC  ;  ABC    13  13 Ví dụ Cho tứ diện OABC OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi  ,  ,  góc tạo mặt phẳng ABC với mặt phẳng OBC , OAC , OAB Chứng minh : cos2 cos2  cos2 Lời giải 32 skkn Gọi H hình chiếu vng góc O xuống ABC , H trực tâm tam O giác ABC Vì hình chiếu vng góc tam giác OAB, OBC , OCA xuống ABC theo thứ tự C A HAB, HBC , HCA γ Gọi K AH BC OH BC nên BC Vậy Do OA OBC OAK Ta có: S ABC OA BC OK B OKA  OK , AK OK Tam giác OAK vuông O nên cos  AK BC ; SOBC SOBC S ABC OK BC OK AK SOBC S HBC S ABC SOBC Chứng minh tương tự : cos  S HBC S ABC S HAC S ABC cos  ; Vậy : cos2  cos2  cos2  S HBC S ABC OK AK cos  Áp dụng cơng thức diện tích hình chiếu : S HBC SOBC cos  Vậy ta có : K BC Mà AH OBC , ABC α H cos  S HBC SOBC cos  S HAB S ABC S HAC S ABC cos  S HAB S ABC S HBC S HAC S HAB S ABC Ví dụ 10 Cho hai điểm phân biệt A B nằm mặt phẳng (P) Gọi C điểm nằm mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông C tổng hai góc tạo hai đường thẳng CA, CB với mặt phẳng (P) 600 Tìm giá trị nhỏ góc hai mặt phẳng (P) (ABC) Phân tích tốn: Rõ ràng điểm C thay đổi góc CA, CB thay đổi theo Do vậy, ta đặt : CA; P  , CB; P  Từ giả thiết cho mối liên hệ hai góc :   600 Như ta cần biểu thị góc (P) (ABC) theo  ,  Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải: 33 skkn C A H K B P Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (P) với CA, CB (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc C lên (P) Kẻ HK CK Do ABC vuông C nên: CA2 CH CK CB AB CH CA2 CK   600 AB CH CB sin  sin  sin  sin  1 cos 2 cos 2 Do cos   1 cos   cos   sin  Khi : min 450   sin  2  1 cos   450 300 Ví dụ 11: (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bà Rịa Vũng Tàu 2012) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA AB a, AD b Gọi , , góc mặt phẳng SBD với mặt phẳng SAB , SAD ABD Tìm giá trị lớn biểu thức P cos cos cos Lời giải Đặt AS x, AB Khi x y x z y , AD y.z z x a, z b S a y A Ta có: SA ABD x ABD BA SAD y SAD DA SAB D a B z b C SAB 34 skkn Giả sử u mx u SB u mx SD mx n Chọn m u x y pz mà ny ny pz y ny x pz z x na ma 0 pb ma n m p ma b2 a2 b2 p a2 z b2 suy u x a2 z b2 y a 2b b a2 Khi kết hợp với ta có: +) u.x +) u y +) u.z x x x Từ , , Vậy max P y y y a2 z x b2 a a2 z y b2 a2 a2 z z b2 P u.x cos u x cos 2b u y cos cos u, y u y a b cos u, x u.z cos cos u, z u z cos 3, đạt a cos a 2b 2b a2 a2 b 2b a2 a 2b a2 a2 2b 2b a2 b 2.2.4 Bài tập tự luyện Bài (ĐH – CĐ A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mp(ABC) trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Bài (ĐH – CĐ B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mp(SAB) vng góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN Bài (Trích đề thi hsg trường THPT Lưu Hồng- Hà Nội năm 2021-2022 ) 35 skkn Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt đáy, góc SB mặt đáy 600 Gọi N trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng SD AN Bài (Trích Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân ( AB // CD ) nội tiếp đường tròn tâm O SBA SCA 900 Gọi M trung điểm cạnh SA Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh cos cos BC SA Bài (Trích đề thi thử trường THPT Yên Dũng 3- Bắc Giang ) Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vng A B , AB BC a, AD 2a , SA vng góc với đáy, SA 2a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính cosin góc MN SAC Bài (Đề OLYMPIC 27/4 tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu năm 2018) Cho đoạn thẳng AB a vng góc với mặt phẳng (P) B Trong (P) lấy điểm H cho BH BA Qua H, vẽ đường thẳng d (P) vng góc với BH Hai điểm M, N di động d thỏa mãn MAN 900 Đường thẳng qua A vng góc với (AMN) cắt (P) K Gọi  ,  số đo góc tạo BM với mặt phẳng (AKN), BN với (AKM) Tìm giá trị nhỏ T   Bài 7: (Trích đề HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2021-2022 ) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên 2a Gọi M, N trung điểm SA, BC Tính góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD Bài 8: (Trích đề HSG Tỉnh Bình Định năm 2021-2022 ) Cho hình thoi ABCD có BAD 600 , AB 2a Gọi H trung điểm AB, đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABCD) H lấy điểm S thay đổi khác H Tính SH góc SC mặt phẳng SAD có số đo lớn Bài : (Trích đề HSG Tỉnh Nghệ An năm 2021-2022 ) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 600 B1 A ABCD Biết góc hai mặt phẳng B1CD A1B1C1 D1 Gọi M trung điểm CD, E trung điểm B1M , F điểm thuộc đường thẳng DD1 cho EF AC Tính độ dài đoạn EF cosin  , với cot  góc hai mặt phẳng AEM AEF 36 skkn Bài 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác a 13 ,  SAB    ABCD  Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  SAD   SCD  Tính cos ? SAB cân S, biết SA  Bài 11 (Trích đề thi OLIMPIC 27 tháng tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu NH: 2021-2021) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật ,canh AB a, AD 2a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Biết SA SB SC SD , góc đường thẳng MN mặt phẳng ABCD 600 Tính cosin góc đường thẳng MN mặt phẳng SBD Ví dụ 12 Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy tam giác vuông A với AB  a; AC  a , hình chiếu vng góc A lên mặt đáy trùng với trung điểm H BC Biết AH  a Tính cosin góc tạo AB với mặt phẳng  ACC A  Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm SB SD,  góc hai mặt phẳng AMN SBD Tính giá trị sin  ? A B 2 C D Bài 14: (Đề thi THPT Quốc gia 2018) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có tâm O Gọi I tâm hình vng A ' B ' C ' D ' M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO 2MI Khi đó, cơsin góc tạo hai mặt phẳng MC ' D ' MAB A 85 85 B 85 85 C 17 13 65 D 13 65 Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh 2, cạnh SA  vuông góc với đáy Gọi M trung điểm CD Tính cos với  góc tạo hai đường thẳng SB AM A B  C D Kết thực nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm Kiểm tra tính hiệu sáng kiến 3.2 Nội dung thực nghiệm +) Thực nghiệm theo nội dung sáng kiến +) Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 11A3, 11A4 trường THPT Nam Yên Thành , huyện Yên Thành, tỉnh Nghệ An +) Thời gian thực : Phần lớn số tiết giảng dạy cho học sinh tiết luyện tập, tự chọn, ôn tập chuyên đề 37 skkn 3.3 Kết thực nghiệm Thực tế cho thấy, nhìn chung có nhiều em học sinh học tập bị động, máy móc, thiếu tính linh hoạt sáng tạo, khơng có nhiều tìm tịi để sáng tạo tốn mới, học tập khơng thật tích cực Nhưng tơi thấy rằng, lớp thực nghiệm nhìn chung em tích cực hoạt động, học tập sơi có linh hoạt Đa số học sinh – giỏi mơn Tốn hứng thú buổi học chun đề giáo viên thực Các em không nắm cốt lõi cách giải tốn mà cịn tự xây dựng toán Các học góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho em học sinh lớp 11 Còn lớp đối chứng, hoạt động học tập khiên cưỡng, em chủ yếu giải toán cách thụ động, giải tốn mà khơng khai thác tốn đó, có khả sáng tạo Nhiều em học sinh lớp thực nghiệm giải nhiều tốn “góc” đề thi tốt nghiệp , đề thi thử THPT năm trước đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 sau em giáo viên giảng dạy theo nội dung sáng kiến Trong năm học 2021 - 2022 tơi phân cơng giảng dạy mơn tốn lớp 11A3, 11A4 Cả lớp chất lượng mơn tốn mức gần tương đương Tơi tiến hành thực nghiệm sư phạm tiến hành kiểm tra để kiểm chứng hiệu đề tài này, kết thu thống kê bảng sau: Khoảng điểm Lớp TN (11A3) Lớp ĐC (11A4) Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Dưới 5,0 7,7 21,1 Từ 5,0 đến 6,5 20,5 14 36,8 Từ 6,5 đến 8,0 12 30,8 10 26,3 Từ 8,0 đến 9,0 23,1 13,2 Từ 9,0 đến 10,0 17,9 2,6 Tổng 39 100 38 100 Qua bảng cho thấy: tỉ lệ % điểm khá, giỏi nhóm TN ln cao nhóm ĐC, đặc biệt tỉ lệ % điểm giỏi Căn vào kết thực nghiệm, bước đầu thấy hiệu việc rèn luyện lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học góc khơng gian mà tơi đề xuất thực q trình thực nghiệm 38 skkn PHẦN III KẾT LUẬN Kết luận Trong qua trình dạy học hình học khơng gian nói chung dạy chủ đề góc nói riêng trường THPT Nam Yên Thành, biết số học sinh sợ nội dung nhiều Bản thân ln trăn trở tìm cách để rèn luyện giúp học sinh học tốt loại toán Bản thân tham khảo tài liệu, đề thi học sinh giỏi trường, tỉnh, đề thi TNTHPT, kênh thông tin từ đồng nghiệp, từ mạng internet, để nghiên cứu hình thành nên đề tài Qua việc nghiên cứu đề tài, nhận thấy: a) Đối với thân: Bản thân phần rèn luyện lực chuyên môn, giúp thân phân loại tập tương ứng với mức độ học sinh Xây dựng chuyên đề dạy học nhằm phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho em học sinh b) Đối với học sinh: Đối với học sinh em rèn luyện nhiều lực Tốn học thơng qua việc nghiên cứu tốn góc khơng gian ứng dụng vào toán liên quan Các em phát triển lực tư lập luận Tốn học thơng qua việc phát điểm khác biệt tình tốn lý giải khác Các em rèn luyện lực giải vấn đề Tốn học thơng qua việc biết phân tích lựa chọn giải pháp thích hợp cho tốn Các em sáng tạo tìm cách giải mới, biết cách sáng tạo toán từ kiến thức biết, hình thành cho thân lực sáng tạo Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Đặc biệt tơi nhận thấy đối tượng học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề c) Đối với đồng nghiệp, môn, nhà trường: Đề tài góp phần bổ sung tài liệu giảng q trình dạy học Qua nâng cao chất lượng học sinh nhà trường Kiến nghị Đề tài có khả áp dụng cho học sinh khối 11 nhà trường THPT góp phần nâng cao chất lượng kết môn Tuy cố gắng nỗ lực, song lực chuyên môn thời gian thực có hạn nên đề tài cịn chưa đa dạng ví dụ Trong q trình thực hiện, đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý, chia sẻ thầy cô, đồng nghiệp để hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 39 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học 11 ( 2008 ), Nhà xuất Giáo dục [2] Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao (2008), Nhà xuất Giáo dục [3] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006) Sách Bài tập Hình học 11 (2008), Nhà xuất Giáo dục [4] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006) Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao ( 2008), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Sách Hình học khơng gian (2010), tác giả Phan Huy Khải Nhà xuất Giáo dục [6] Sách Chuyên đề luyện thi vào đại học hình học khơng gian( 2009),tác giả Trần Văn Hạo (chủ biên) Nhà xuất Giáo dục [7] Rèn luyện kỹ giải tốn hình học không gian (2016),tác giả Nguyễn Mạnh Hùng, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [8] Bộ giáo dục đào tạo, Đề minh họa Đề thức Kỳ thi TNTHPT [9] Đề thi Học sinh giỏi cấp trường, cấp Tỉnh nguồn internet 40 skkn ... 2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo 2.2.1 Góp phần phát triển lực giải vấn đề sáng tạo cho học sinh thông qua dạng tốn liên quan đến góc hai đường thẳng 2.2.2 Góp phần phát triển lực. .. 2.2 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh 2.2.1 Góp phần phát triển lực giải vấn đề lực sáng tạo cho học sinh lớp thông qua dạng tốn tính góc hai đường thẳng Ví dụ Cho hình... DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NAM YÊN THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ