Đề hsgtoán12 (ks lần 3, cụm ql hm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN CỤM NXO-QUỲNH LƯU- HOÀNG MAI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 LẦN NĂM HỌC 2021-2022 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu (3 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x3  3mx  9m x nghịch biến khoảng  0;1 Câu (3 điểm) Cho phương trình: sin x  2sin x    2cos3 x  m  2cos3 x  m   2cos3 x  cos x  m  2 Tìm m để phương trình có nghiệm x  0;   ?  Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình  x    x  1 y    x   y  y    x, y      x   y  1   y  2 x     x  4x  Câu (3 điểm) Trong thi văn nghệ đoàn niên trường THPT A tổ chức vào tháng 11 năm 2021 với thể lệ lớp tham gia tiết mục video tự quay Kết có 12 tiết mục đạt giải đó: có tiết mục lớp 12 , có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục phát biểu diễn chào mừng ngày 20 tháng 11 (khơng tính thứ tự biểu diễn) Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 Câu (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a Gọi M , N trung điểm   a3 AD, BC Biết VABCD  d  AB, CD   a Tính độ dài MN 12 Câu (3 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di MC động cạnh SC , đặt  k Mặt phẳng qua A , M song song với BD cắt SB , SD MS theo thứ tự N , P Tìm k để thể tích khối chóp C APMN lớn Câu (2 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn A  1  2a 1  2bc  Hết Câu Câu điểm Hướng dẫn chấm Điể m 2 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x  3mx  9m x nghịch biến khoảng  0;1 Lời giải Cách 1: Tập xác định D    x  m  x  3m 0,5 Có y '  3x  6mx  9m ; y '    +) Trường hợp 1:  m  3m  m  Ta có y '  3x  0, x  , suy hàm số đồng biến  Do loại m  0,5 +) Trường hợp 2:  m  3m  m  Ta có bảng xét dấu y ' sau: x m  3m  0,5 y'    Hàm số nghịch biến  0;1 m    m    3m   m  m  0,5 +) Trường hợp 3:  m  3m  m  0,5 Ta có bảng xét dấu y ' sau: x  y' m 3m   Hàm số nghịch biến  0;1 m  3m    m    m  1  m  1 Kết luận m  m  1 Cách 2: Tập xác định D     0,5 2 Có y '  3x  6mx  9m ;  '  36m  0, m Trường hợp 1:  '   m  Ta có y '  3x  0, x  , suy hàm số đồng biến  Do loại m  Trường hợp 2:  '   m   x1  x2  2m Khi y ' có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Ta có:   x1 x2  3m Bảng xét dấu Hàm số nghịch biến  0;1 x1    x2  x1.x2   x1 x2    x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2    Ta có: x1    x2   m   m  1  3m    m  1      m  3m  2m   m     Kết luận m  Câu điể m m  1 Cho phương trình:  sin3 x  sin x   cos3 x  m  cos3 x  m   cos3 x  cos2 x  m Tìm  2  m để phương trình có nghiệm x   0;  ?    Lời giải Ta có: sin x  sin2 x  sin x    cos3 x  m     2 cos x  m  2  3 cos3 x  m  1  Xét hàm số f t  t  t  2t có f  t  6t  2t   0, t   , nên hàm số f t 0,5 đồng biến  Bởi vậy: 0,5 1  f sin x   f  cos3 x  m   sin x  cos3 x  m   2 0,5  2  Với x   0;     2  sin x  cos x  m   2 cos3 x  cos2 x   m 3 0,5  Đặt t  cos x , phương trình trở thành 2t  t   m 4       Ta thấy, với t   ;1 phương trình cos x  t cho ta nghiệm 0,5  2  x   0;           Xét hàm số g t  2t  t  với t   ;1 t   Ta có g  t   6t  2t , g  t     t    0,5 Ta có bảng biến thiên     2 Do đó, để phương trình cho có nghiệm x   0;  điều kiện cần       đủ phương trình có nghiệm t   ;1 m    80      m  0; 27      Câu 3 điể m Câu Giải hệ phương trình  x    x  1 y    x   y  y     x   y  1   y  2 x 1    2  x  4x   1  x, y     Lời giải  x  1 y  ĐK:  0,5  x 1  y    y    y   x 1  Phương trình (1):   x  1 y     y    x    y      x 1    x   y   y   x 1    x 1  x 1  y    x 1  y   0,5  y 2  y  x3 Với y  x  thay vào phương trình (2) x    nên nhân vế với Vì   y2   x  8 x    x 1  x  4x   x  8 x    x2  x   x  1  0,5 x   phương trình (*) ta có    x  1 x  8 0,5 x     x   x     x  1  x  x    3  (3)   x   3  x    *     x     x   3  x       Xét hàm số f  t    t  3 t  , t   0,5 Ta có f '  t    t  1  0, t   nên hàm số đồng biến  mà f   x   f  x  2  x   x    13 x  x  x  2      13 x 1  x  4x   x  5x   (l ) x   Vì x1  x2 nên x1   13 11  13 y2  11 ; x2  y1  2 0,5 Câu điể m Trong thi văn nghệ đoàn niên trường THPT X tổ chức vào tháng 11 năm 2021 với thể lệ lớp tham gia tiết mục video Kết có 12 tiết mục đạt giải đó: có tiết mục lớp 12 , có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 20 tháng 11 (khơng tính thứ tự biểu diễn) Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 Lời giải Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên  Số phần tử không gian mẫu n     C125  792 0,5 Gọi A biến cố: ‘‘Chọn tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 ’’ Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A là: + tiết mục khối 12 , tiết mục khối 10 , tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12 , tiết mục khối 10 , tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12 , tiết mục khối 10 , tiết mục khối 11 Số kết thuận lợi cho biến cố A n  A  C42 C32 C51  C42 C31.C52  C43 C31.C51  330 Xác suất cần tìm P  A   Câu 5: điểm 330  792 12 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a Gọi M , N trung điểm AD, BC Biết VABCD  a3 d AB,CD   a Tính độ dài MN 12 Gọi P , Q , E trung điểm AC , BD , CD Ta có tứ giác MQNP 0,5 hình thoi cạnh a a Ta chứng minh VCDMQNP  VABCD  24 Mặt khác: VC PNE  VD QME a3 a3 a3 a3  VABCD   VE MQNP    96 24 96 48 0,5 Vì AB , CD chéo d AB,CD   a nên d CD, MQNP     a (thật vậy, gọi  đường vng góc chung AB , CD   MQNP  0,5   NP,   NQ ) a3 1 a Suy  VE MQNP  d CD, MQNP  S MQNP  SMQNP 48 3   SMQNP   a2 a  MQ.NQ.sin NQP 0,5   sin NQP  NQP  600  MN  a    a NQP  1200  MN   Câu 6: điểm 0,5 0,5 S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di động cạnh MC  k Mặt phẳng qua A , M song song với BD cắt SB , SD theo thứ tự SC , đặt MS N , P Thể tích khối chóp C APMN lớn Cho hình chóp Lời giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD ; I giao điểm SO NP Ta có 0,5 SC SM CM     k SM SM SM  AM   AN M P   Do  BD / /  AN M P   N P / / BD    SBD    AN M P   N P Áp dụng định lý Menelayut cho tam giác SOC điểm A, I , M thẳng hàng, ta 0,5 AO MC IS IS SO k  1     AC MS IO IO k SI Vì NP / / BD nên 0,5 SB SD SO k     SN SP SI Theo cơng thức tỷ lệ thể tích VS APMN VS ABCD  SA SD SC SB 2k 2k    1  1  k     k  2   SA SP SM SN  SA SD SC SB 2k 2k 2 k  1  k  4. k  1 SA SP SM SN 2 1  k   k   VS APMN  VC APMN  k.VS APMN  k  0,5 2VS ABCD 2.V 2.VS ABCD  k S ABCD  k  3k  k   1  k   k  k 2VS ABCD 2V  S ABCD 2 3 k  k VC APMN max  Câu điểm 2VS ABCD 1  k   k  0,5 2VS ABCD k  k  k 2 3 Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn A    2a   2bc  Phân tích Rõ ràng ta đánh giá biểu thức A để làm xuất a  b  c Trước tiên ta đánh giá a qua a a  m  2ma  2a  a2  m (với m  ) m Do b, c bình đẳng nên dự đoán dấu A đạt giá trị nhỏ b  c nên ta đánh giá a2  2bc  b  c Suy A    m    b  c   B Tiếp tục ta sử dụng  m   x  y   để xuất a  b  c nên ta tách sau   BĐT côsi dạng xy    2 2 1  a  m  m     b  c   B  a  m  m   b  c     m m   Suy A  0,5 m  m   4m Dấu xảy a  m, b  c, a  m  m   b  c a  b  c  Từ ta có m  Do ta có lời giải sau: Lời giải Áp dụng BĐT côsi ta có a  4 3a 2  a  2a   2bc  b  c 3 0,5  3a 2    b  c     Suy A   Áp dụng BĐT cơsi ta có  3a 2  3 10      b  c     a   b  c        10  a   b  c      98     27    Suy A  0,5 98 , đẳng thức xảy 27    a         a  b  c        10   a2   b2  c2  b c          a  b2  c2     Vậy max A  0,5 18 98 a  b  c  27 0,5 18