a
* Mệnh đề 6.1
Nếu biết rằng J g()dt =G@)+C /hì
Jecweonw code = Gown) +
(trong d6 cdc ham s6 g(t), w(x), w(x} déu được giả thiết là những hàm số liên tực) Quy tắc trên là hệ quả của quy tắc lấy vi phân một hàm số hợp (định lí 4.2 chương 4) : 20x) =G1w@))W'(Œ) = g(w/x)Ww'(%) x vì GD = gtt) Mặt khác, vì tính bất biến của vị phân (xem 4.2 chương 4), ta có dG() = g(Đát
Bây giờ, giả sử cần tính tích phân [f(x)da
Trong nhiễu trường hợp, để tiện lợi, ta thường thực hiện phép đổi biến t := w(x), va khi đó biểu thức dưới đấu tích phân trở thành
(x)dx = g(w(x))w'(x)dx
với hi vọng rằng fama gần với tích phân cơ bản nào đó Khi đó,
theo mệnh đề trên, thay vì tính [te ta chỉ cần tính Jawa và có
Jawa =G(t+C
Khi qó tìm được nguyên hàm G(0, chỉ cần thay t bởi w(x) và ta có :
Trang 2Thi dụ
Trong tich phan I= fin xcosxdx, ta dé ¥ d(sinx) = cosxdx nén đặt t := sinx thì biểu thức dưới đấu tích phân trở thành
3
sinŸ xcos xdx = sin? xd(sinx) = Pade
va feat =i" +C; do vậy t= fsin’ xcosxdx = Ginx)' +€
+ Chú ý
Trong một số trường hợp, ta lại thực hiện phép déi bién x = g(t) va ta được
f(o()@'()dt = g(Đdt,
và khi đó biểu thức dưới đấu tích phân f(x)dx lại trở thành g()dt
Sau đây nêu thêm một số thí dụ :
(a) Trở lại những thí dụ ở phần trước, ta thấy trong thí dụ (4), ta đã
thực hiện phép đổi biến t = 2x — 10 ; trong (e) là t= x + a; trong (g) là
trễ ¡ trong (h) là tay + trong (i) la t = (1 — x); trong () : t= e;
trong (m} : thỄ, wee
(b) Tinh I= fue -x?dx, vi mu6n khit can bac hai ta thực hiện
Trang 32S ả 1 Mật khác, —sin2t =—asint acost=—x 4 2 2 az
Cudi cing : fre -x Pax = Sav? _x? +5 aesin~ +C
(c) Tinh =f xInx ; đặt t=Inx ; dh=2% có x 1= f= infej+C=inhinsl +c (đ) Tính 1=f cos 1+sin“x ¡ đặt t= sinx ; dt = cosxdx và dt i=] l+t 3 =ãïctgt + C = arc tg(sin x) + C (e) Tính 1= [ Ă ; (X“ +a“}
Thực hiện phép đổi biến x = atgt (t biến thiên từ > dén 5 : nghia la t=arctgy, Khi đó : a
1 2 1
dx= ae sxe 4a = TT)
cost cos* t
do dé: t=, [cos” tdt == (+sinteost+C (xem thí dụ (b)) a 2a)
Muốn chuyển kết quả về biến x, ta lưu Ý rằng : t=arctg” và biểu a
cae cine on Xà ya kat and oh
Trang 4(Tinh =f aeR x°+Q Ta thực hiện phép đổi bién Euler : AXx?+ơ =t—x ; lấy vi phân cả hai vế ta được : ee dx =dt ; nhumg Xx?+œ+x=t x +a (do cách đổi biến) nên ta CÓ : dx dt đ Wh adi, te bk SS ST Vx +0 x +a =Inll+C=lnlx+Ýx2 +a|+€ 6.3 Phương pháp tính tích phân từng phần
Gia sir u = f(x) va v = g(x) Ja hai hàm số khả vị và có đạo hàm tỉ = f');
v'= g0) là hai hàm số liên tục Khi đó theo quy tắc lấy vi phân của tích ta có : d(uv) = vdu + udv hay udv = d(uv) — vdu ; vì nguyên hàm
cua d(uv) Ja uv nén ta suy Ta:
(6.1) [s»=w- [van
Trang 5hai điểm : thứ nhất, trong tích phân cần tính : [toa nên tách biểu
thức f(x)dx thế nào để f(x)dx có đạng udv ; thứ hai, bất kể tách theo
kiểu gì thì tích phân biểu thức vdu cũng không khó tìm (nói chung,
phải đễ tìm) hơn biểu thức f(x)dx ban đầu,
Phạm vi ứng dụng của quy tắc lấy tích phân từng phần hạn chế
hơn quy tắc đổi biến Tuy nhiên, trong những trường hợp không có cơ sở để tiên đoán được sẽ dùng tích phân cơ bản nào thì người ta
thường nghĩ đến dùng quy tắc lấy tích phân từng phản Đặc biệt những loại tích phân sau đây thường dùng quy tác này :
fx‘ In™ xdx, fx" sin bxdx, fx cos bxdx, [xe ax, VV
Thí dụ
(a) Tinh I= J Inxdx
Trang 6(c) Tinh 1= frcosxdx
Dat u= x ; dv = cosxdx ; c6 : du = dx ; v= sinx va duge :
I=xsinx— |sinxdx = xsinx + cosx + C
(4) Tính I= [xsin” xdx
Dùng công thức sin? x =a0 —cos2x), tacd:
Trang 73
(f) Tinh [= fe cos bxdx va J= fe®sinbxax, ba #0 Trong cả hai tích phân ta đặt dv =ꮓdx thì v= đem a
fe cos bxdx = Lax cosbx +2 fen sin bxdx a a ax | ax b pax ke sin bxdx =—e** sin bx — — fe cos bxdx a a {1-5 adam cos bx tite 1 aa Prestige sin bx a a Coi I, J là ẩn, từ hệ bai phương trình trên suy ra ax I= fe™ cos bxdx = = 7 (bsin bx + acos bx) +C a+b ca J = fe® sin bxdx = 5 2 2 (asin bx — bcosbx) + C a’ +b Chú ý
® Trong nhiều trường hợp cu thể, tuy chỉ cần tính I nhưng qua tích phân từng phần ở trên ; lại gặp J ; khi đó, lại tiếp tục đừng quy tắc tích phân từng phần để tính J nhưng cach dat u và dv phải nhất quán với
cách đặt ban dâu, nếu không sẽ rơi vào vòng luẩn quẩn sẽ đi đến hệ thức tầm thường 0 = 0) Cụ thể ở đây, để tính J ; nhất thiết phải đặt
i ` š
dv=e™dx, v=—e™ ; va u=sinbx : du = beosbxdx và được : a
fem cosbxdx = Le cos bx + ft e*™* sinbx _° fe cos bát | a ala a
2
a box b
e** cosbx +e sin bx — 1 at a2
Trang 8Chuyển vế, được : 2
( + = = Lox cos bx + pom sin bx
a a a
từ đó, suy ra I như đã tính ở trên
* Nếu để ý rằng đạo hàm các biểu thtte e™ cosbx hodc e™ sin bx cũng cho lại dạng e**(A cosbx + Bsinbx) thì ta có thể viết
fem cos bxdx = e** (Acos bx + Bsinbx) + C
trong đó-A, B là hai hàng số sẽ xác định ngay bây giờ Thật vậy, từ
định nghĩa tích phân bất định ta có :
{ fe" cos bxdx)' = (e** (Acosbx + Bsinbx)+ Cy’
tức là : e** cos bx = e"* [(aA + bB)cos bx + (aB ~ bA)sin bx]
Bằng cách cân bằng hệ số của cosbx và sinbx ở cả hai vế suy ra aA + bB= 1 và -bÁ +aB= 0 b Suy ra: A= va B=—— ả +b? a+b? (g) Tinh T= fereax,
Dĩ nhiên ở đây, có thể đặt u=x?, dv=e”*dx để dẫn đến tích
phân đơn giản hơn [xe rồi tiếp tục tính, nhưng, dùng nhận xét vừa nêu trong thí dụ (Ð ta có thể viết :
1= Jere ax =e (ax? t+ bx tc)+C
Suy Ta :
Trang 91» xe
Dùng cách cân bằng hệ số cả hai vế, được :
Trang 10bi Ta đặt u — va dv = dx va cé (x? +a°)" 2nxdx (x? + a2yntl Dùng công thức (6.1) được : du = 2 X lạ =—————+2n|———— dx ho Q2 va2yn laa 2 x? Đặt J:= |—————rdk ta có : j= (hee ae f dx _ 2f dx (x? +a)" lu +a yet ( +amH —8 Ty a2 Thế J vào biểu thức của I„ được : = x _2a2 n= 72a +2nlạ —2a“nÏn.¡ Suy Ta :
Lo= 1 pee x tees 2n-1 1 I
HH anả OF +ả" 2n a2”
Trang 116.4 Tích phan các phân thức hữu tỉ
Nhìn lại quá trình tính tích phân một hàm số (qua các thí dụ đã nẻu) chúng ta thấy rằng muốn tính tích phân một hàm số phải dùng quy tắc đổi biến hoặc quy tắc lấy tích phân từng phần để đưa tích phân cần tinh vé dang tích phân cơ bản để ấp dụng công thức và khi dùng các quy tắc lấy tích phân đó, nhiều hay ít chúng ta đã dùng
những 'kĩ xảo" để đạt mục đích mong muốn Bây gid, trong mục này chúng ta sẽ học cách tính tích phân của một lớp hàm s đặc biệt : các
phân thức hữu tỉ ; muốn tính tích phân các hàm số thuộc loại này không đòi hỏi (ít ra là về nguyên tắc) một kĩ xảo nào mà chỉ cần tuân theo một số trình tự, quy tắc nhất định
lới thiệu cụ thể cách tính tích phan các hàm số đó
chúng ta lưu ý rằng trong bài giới thiệu các hàm số sơ cấp cơ bản, và các hàm số sơ cấp, nghĩa là các hàm số có thể biểu điễn qua một số
hữu hạn các hàm số sơ cấp cơ bản và chúng ta cũng thấy rằng các
hàm số sơ cấp khả trong miền xác định của nó, hơn nữa, đạo hàm
của chúng cũng là các hàm sơ - Tuy nhiên, nguyên hàm của một
hàm số sơ cấp không nhất thiết một hàm số sơ cấp, nói khác đi, có
những hàm số sơ cấp mà nguyên hàm của chúng lại không thể biểu
điển được qua một số hữu hạn hàm số sơ cấp cơ bản Chẳng hạn, các
Trang 12Nếu m < n thì R(x) được gọi là phâm thức thực sự Nếu m > n thi R(x) được gọi là phân thức không thực sự
Nếu R(x) không là phân thức thực sự thì bằng cách chia tử cho mẫu bao giờ cũng có thể biểu điễn R(x) dưới dạng tổng của một đa
thức và một phân thức thực sự Tinh tich phân các đa thức thì quá dễ,
Trang 14%
Còn tích phân thứ hai thì chính là thí dụ (k) ở mục trước Sau khi
tính được cả hai tích phân đó theo biến t, ta chỉ cần trở về biến x bằng
cách thế t= a t vào kết quả, ta sẽ được kết quả cuối cùng
Định lí đại số sau đây cho phép kết luận rằng việc lấy tích phân
một phân thức thực sự rốt cuộc dẫn đến việc lấy tích phản bốn dạng 1, IL, WI, IV đã nêu trên
Định lí 6.3 (Khong chứng minh)
Mọi đa thức bậc n, với hệ số thực :
Q()= đa, + aix tò a,x" 5 a, #0
đêu có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và
tam thức bậc hai không có nghiệm thực trong đó có thể có những
thừa số trùng nhau +
0) sa, (4 4) Q— ĐỀỀ- GỂ + px + Qe ule + lets) trong đó a,b, 6Ñ; p`~4q<0, .!~4s<0 và + + +
2(ự + v)=H
Khi đó phân thức thực sự tương ứng So có thể phân x tích thành
Trang 15trong đó A, AI, Aa-, B, BỊ, ì Bội, M,N, Mỹ, Nụ,
Mus Nuts P, Q, Pụ, Qị, , P¿-¡, Qv_¡ là các hằng số được
xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu
qua các thí dụ dưới đây, * Thí dụ (a) Phan tich ham sé 1 R(x)=———————————— X9 —x!+2x2—2x2 +x—] thành các phân thức tối giản Trước hết ta có : x -x4 +2x3 -2x2 +x-l=(x-I@2 +1 Do đó : 1 A_ | Mx+N | Mx+Ny 3542 “ol lả xoax442x3 2x2 421 Xe (x* +1) x* +1
Trang 16“ge
Nghiệm của hệ phương trình trên là :
A< 1: mene Men) =! 4 2 4 Vậy 1 1 x+ i xt 1 ox gd 2x) ARDY 2 41P 407 +0 : (b) Phân tích ——Š_ *25 ĐỀ, — thành tổng các phân thức tối giản (x— ( —2)(x — 4) Từ định lí đại số trên ta có : x?+2x+6 _ (œx—l(x-2)&—4) - B + Cc x-2 x-4 A ——+ x.¬l Dĩ nhiên, có thể dùng phương pháp hệ số bất định để tính các hệ
số A, B, C trong phân tích trên (như đã làm trong thí dụ (4) ; tuy
nhiên, trong trường hợp cụ thể này khi đa thức mẫu số chỉ có nghiệm
thực đơn, chúng ta có thể tính A, B, C nhanh gọn hơn theo cách sau
đây : Trước hết, để ý rằng phân tích trên là đồng nhất thức, nghĩa là cách phân tích đó đúng với mọi giá trị của x ; bây giờ, chẳng hạn, để
tính hệ số A : ta nhân cả hai vế với (x — 1), và có x2 +2x+6 AL B (x~1)+ Cc (x-2)(x-4) x-2 x-4 Trong đồng nhất thức trén ; ta cho x = 1 và có +2146 _ 9 ; nghia 1a A = 3 q-2—4)
Tương tự, muốn tính B ta nhân cả hai vế của đồng nhất thức ban
đầu với (x — 2) rồi cho x = 2 ta được
(x-1)
Trang 17sàn Do đó : x2+2x+6 {x —1)(x - 2)(x -4) x4] 2 (c) Phan tich —————— thành tổng các phân thức tối giản, (x-13(x +3) Dùng định lí đại số trên ta có : X”+I A B By By =— + + + (X-AP R43) K+3 (KP GD? G&D
Luu y rang trong thi du này, nếu dùng cách làm của thí dy (b) thì
chỉ tính được A = _— va B =) do vay, tacé: 32 2
x41 =~ 5 1 Bị By
+ + +
(-1I%K43) 32K43) 2G pS (x-JŸ x~1
Muốn tính nốt các hệ số Bị, Bạ ta phải dùng cách làm như trong
Trang 18“ah eg
rồi dùng các cách đã giới thiệu trong các thí dụ trên để tính A, B, C, D Tuy nhiên, vì mục đích phân tích cốt để dễ dàng lấy tích phân nên ta có thể viết : 1 =e Dt 1 1 | Geet) 4G2+3@2-D AL x2-1 x43 và như vậy, ta có : an: G2+3@2-0 4Ì2&+ÐŒ-Ð x2+3j- 1 1 i 1 Chú ÿ
» Qua những thí dụ trên, ta thấy rằng muốn tính một tích phân dạng phân thức thực sự chỉ cần phân tích phân thức đó thành những phân thức tối giản (theo định lí đại số) thuộc các dạng I, II, HI, IV (mục 6.4) rồi dùng cách tính tích phân các dạng đó
+ Việc giới thiệu cách tính tích phân các biểu thức hữu tỉ (đối với biến lấy tích phân) đã mở ra một phương pháp rất hữu hiệu để lấy tích phân các biểu thức không hữu tỉ đối với biến lấy tích phân : trong
trường hợp này người ta cố gắng dùng phép đổi biến và tích phân từng phân để đưa biểu thức cần lấy tích phân về một biểu thức mới
đối với biến lấy tích phân mới và biểu thức mới này lại hữu tỉ đối với | biến mớị Chúng ta sẽ minh hoạ ý này trong vài trường hợp dưới đâỵ
6.5 Tích phân các biểu thức lượng giác
Giả sử cần tính tích phân I= ÍRein x, cosx)dx trong d6 R(u, v} là một biểu thức hữu tỉ đối với u và v, nghĩa là khi tính giá trị của R(u, v) chỉ cần thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân và chia đối với các biến u, v Khi đó, thực hiện phép đổi biến :
X
Trang 19Qe Be X 2X 2tE> 2 1~tg 3 1-2 VÀ CÓ: sinx= =—~= ¡ Cosx= fa l+tgŠ l+t tg? l+t à =arctet +X = 2arctgt; dx= = 2 l‡t Do đó, có thể đưa tích phan I vé dang 2t =f) 2dt I= [R fal — La 1+t2 1+2
và rõ ràng ở đây biểu thức dưới đấu tích phân là hữu tỉ đối với t
Thật ra, trong những thí dự về tích phân các biểu thức lượng giác
đã gặp ở các phần trên ta đã dùng ý tưởng hữu tỉ hoá rồi tuy rằng
trong các trường hợp cụ thể đó không đòi hôi phải hữu tỉ theo kiểu thực hiện phép đối biến tổng quát t =tg
Trang 20‘eee “64 Tacé: 11 1-a 1 (3 x) I= -+~ dx =—x + arctg) ——tg= |+C j 2 2 1-2acosx +a | 251 eel Tea (c) Tinh T= fsin? xcos? xdx Đặt t : = sinx ; va c6 3 sin? x _ sin® x te f2a- are J ¢ ) aan aS SB 5 fi dx + > rears -
4) Tính T= f sin XCOS“ X 7 » Vii d(tgx) = cos’ xX và có thể biểu diễn
Trang 216.6 Tich phan các biểu thức dang face, vỏ ~—x? jax va
fro, vx? +œ2 )dx
Ta để ý rằng hàm dưới dấu các tích phân trong cả hai tích phân JRœ.vẻ —x?)dx và JR« x2 +œ2)dx không hữu tỉ đối với biến
x (vì x còn chứa trong đấu căn thức), nhưng R(u, v) thì lại hữu tỉ đối
với u và v, do vậy muốn tính các loại tích phân đó người ta tìm các
đổi biến hoặc đồng thời đổi biến và tích phân từng phần với hi vọng,
với biến mới thì biểu thức dưới dấu tích phân trở nên hữu tỉ đối với biến mới ; trong trường hợp này, người ta tìm cách khử căn thức
Chẳng hạn : với tích phân
fr, xẻ +x? jdx
người ta thường ding phép bién déi x : = atgt
Với tích phân fac, Vỏ —x? dx người ta thường dùng phép đổi
biến x : = asint, hay x : = œcost
Với tích phân fac, Yx” ~œˆ)dx người ta thường đùng phép đổi biến x=, cost Sau đây nêu một số thí dụ cốt để minh hoạ phương pháp * Thí dụ (a) Tinh T= == ,a>0, xX
Thực hiện phép đổi biến x : = asint ; > <t <5 khi d6 dx = acostdt ;
Trang 24‘ee tư, Chuyển vế ~ I sang vế trái, được : 21=xvx?~a2 ti xo ra Ding thi du (f) mục 6.2, được kết quả cuối cùng tasẻ -a -a alec (e) Tinh 1=f qd~ KỶ nels ——dx, đặt t= a 1-x 1k tứclà x= ; dx =-—— > dt 1+? a 2 dt =2 # 1+ ơ nf â race +e a+r a 12] oy TOM TAT CHUGNG 6 * Tích phân bất định
Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b), hàm số F() xác định trong (a, b) được gọi là nguyên hàm của f(x) néu F(x) khả vi trong (a, b) và F(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx, với mọi x € (a, b)
Định lí :
Trang 251) F(x) + C efing 1a nguyen ham của f(x), với C là một hằng số tuỳ
ý, và với mọi x e (a, b)
2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x), x e (a, b) đều có đạng
F(x) +
Khi đó, ta kí hiệu mọi nguyên hàm của f(x) là [tem và đọc là tích phân bất định của f(x) ; nghĩa là :
[#@ex=roơC
Các tính chất đơn giản của tích phân bất định :
Trang 27‘es Phép đổi biến Nếu biết rằng J g(dt =G(t)+C thi: J 8(9(X)310'(x)dx = G(ăx))+C trong đó g(t), @(x), œ'(x) là những hàm liên tục
Trong nhiều trường hợp, ta thường thực hiện phép đổi biến t = ăx)
Trang 28với a,b, €Rip?-4q<0;P —4s<0va œ++ +2(i+ +tv)ì=n thì có thể phân tích R(x) thành tổng các phân thức tối giản : Po) AA R(x) = tet QŒ) (x-a)® (x—ay} Ag-1 B Bị + + +——r x-A (X-bjP (x-bj! + Bp ị tanto Mx+N tag M)x+Ny tt x-b Gt tpxtg (x +px+q)f My-iX+Ny-1 - + Px+Q _„ 4 Pu kt Que + " x2 +px+q (x2+Ix+s)Ỷ (x?+1x+8)
trong đó A, Aị An, B, Bị, B-: cò: M, N, My, Ny,
Trang 29* Các tích phân không biểu dién được qua các hàm số sơ cấp (tuy rằng tồn tại nguyên hàm) few dx, fainx? ‘dx, Jeosx?ax, = ox lax [xte+beyas, a,b e R, p, mel aH, khong phai 1a n n những số nguyên, [Sa je dx, fe dx , n nguyên dương, x * Tích phân các biểu thức đạng : [Rœ.ve2 +x?)dx, [Rœ vx? +02 dx
trong đó Ríu, v) là biểu thức hữu tỉ đối với u và v,
Với J R(x, vả +x” )dx, ding phép déi biến x = atgt ;
Với J R(x, Yả — x? dx, ding phép đổi biến x = asint hay x = acost ;
Với frẹ Yx? ~ø2)}dx, dùng phép đổi biến x=_—#_ cost
BAI TAP 1 Tính các tích phân :
Trang 33` ee 1 26 ——arct v2 4 m ¡ 21 n+2 In|x 2 +ÝI+x"?? | Khi n#~2,—~InIxÍ v2 khin= -2; 29 rap + 2 chịŠ 2 : (a—b)JÝ(x+a)œx+b) (a—by> |x+bi 30 Š— Tgin2x ; 2 4 31 Ễcosỹ Tgin(2x + y) 5 2 32 3sine +2 sin 2% 4 6 5 6 1 2 x
2 1 xarctgx -——In(1+x7) arciex — 5 ( ) ; 2 Int nisinx ~ i) -tg]=+— “(2 *) (tách thành hai tích phân Jeu tJ Xan ; Viết SInx—l SiInx—l
+
sinx =~—cos] x+— |); 3)
3 — 2sinˆx —InIsinx! (viet cos”x =(l- Sin x)cosx) ;
Trang 34eee là 7 Jx? tea hin xd} la eẻ 8 {L_———:Ÿ0x-3—x?+3x—2 +; wojn(2x~3) 3 ÍC x2 +3x—2)2 Giết -x” + 3x ~2= 2I-@x~3?D ; sin®x _ sin®x 6 9 (đặt sinx = u) ; 11 —sinnxsin°x (dùng công thức sin(n + 1)x = sinnxcoSX + n ;
= nel sin"x | sinnx Y
Trang 35Ta» se 16.2[4+x)11+x1341~x)11—xl] He S24 sink n- lạ&)=~——————+——~-I„ (x) ° (n-l)coslx n—1 "? 3 1.10%) 5 lịœ) = In › b@Œ) = tax og 1 1 ~
(Viết = aT datu = cos” ™x);
Trang 36Chuong 7
TICH PHAN XAC BINH 7.1 Định nghĩa tích phân xác định * Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x), xác định liên tục trên khoảng đóng {a, b],
ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, b] Xét hình thang cong AabB là
Trang 37Các điểm chia x (2 = 0, 1, , n) được chọn tuỳ ý miễn là tuân
theo thứ tự tăng dần và điểm đầu Xọ trùng với a, điểm cuối cùng Xy
trùng với b, ta gọi cách chia đó là một phân điểm #2
Bay giờ, từ các điểm chia Xịi(i= On } ta dựng các đường thang x = Xp như thế ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ
Pi) Xj-1 XP; (i=l,n) (hình 7.1), mỗi hình thang cong nhỏ đó có day
AXi := Xí — X,-1 (i= I,m) Theo gia thist, ham s6 f(x) lien tuc trén [a, b]
nên cũng liên tục trên [Xị_ xh G =1n) „ do đó đạt được giá trị nhỏ nhất m;(mị:= X€[Xi_.X; min f(x)) và giá trị lớn nhất M\(M;:= X€[Xi—.x;Ì max f(x)), theo định lí 3.2 chương 3 : mị < f(x) < Mj Xj-) SK Sx do dé: (7.2) mAx; < f(x)Ax; < M,Ax;, Xj-p SKSX Về mặt hình học : tích số mAx;,
M¡Ax; chính là diện tích của hình chữ
nhật “trong” và "ngoài" có chiều rộng là
Ax; và chiều đài tương ứng là m; và M, (hình 7.2) : hình thang cong nhỏ thứ ¡ P¡_X;-IXịP, luôn bị các hình chữ nhật trong và hình chữ nhật ngoài kẹp Hình 72
Goi lần lượt 5 và SỐ là tổng các điện tích của các hình chữ nhật
trong và hình chữ nhật ngoài, để cho gọn, gọi 5» là tống trong và ° là tổng ngồi, ln có bất đẳng thức (từ 7.2) :
n
(7.3) Se SS": Se Sm Axi :S" = SU Max,
Trang 38Sau đây ta nêu một số nhận xét về tổng trong và tổng ngoàị
(1) Với mỗi n đã ấn định và với mỗi phân điểm Z đã chọn thì S+ và S” là những số xác định
(2) Với phân điểm Z đã chọn, nếu trong đoạn thứ ¡ [xị~), Xị] ta lấy
thêm một điểm chia x¡ nữa, với xì; € (x¡~¡, xị) thì sẽ có hai hình chữ nhật trong và hai hình chữ nhật ngoài
(hình 7.3) và do tính chất của minf(x)
và maxf(x), tổng diện tích của hai
hình chữ nhật trong lớn hơn điện tích
cũ của hình chữ nhật trong và tổng
diện tích của hai hình chữ nhật ngoài bé thua diện tích của hình chữ nhật ngoài cũ, nhưng bất đẳng thức 7.3 vẫn luôn đúng LÊ Xa Xi Hình 7.3 xi x
(3) Từ nhận xét (2) suy ra, nếu tăng n thì S« răng và S” giảm, do đó, với bất kì phân điểm Z ; luôn có hai dãy số (S{")) đơn điệu tăng
(và bị SẴy chặn trên) với mọi n, và dãy số (Say) đơn điệu giảm (và bị SỨ chặn dưới) với mọi n
Theo định lí 1.4 chương 1 về sự hội tụ của dãy đơn điệu ta kết luận rằng khi m tang vo han va moi Ax; > 0, có
(7.4) timSỆ =§ và limS{q) =S a n
Do giả thiết và định lí 7.2 chương này ta có §=S và ta nói rằng
hình thang cong AabB có điện tích và ta định nghĩa điện tích S của hình thang cong chính là giới hạn chung đó :
Trang 39“
Bây giờ, từ (7.2) và (7.3) có thể viết
n n n
(7.5) mAn, Y fax; s ¥ MiAx;
i=] i=l i=t
Mặt khác, nếu gọi Aj = AX; VAA i= max(Ax;) thì các hệ thức (7.4) isign
có thể viết đưới dạng :
n n
7.6 lim > mjAx; =S va lim È M;Ax, =
(7) iin meres iin mà
Đo vậy, nếu hình thang cong AabB có diện tích nghĩa là nếu S= S=S thi từ bất đẳng thức kép (7.5) và từ định lí chuyển qua giới hạn các bất đẳng thức kép (định lí 3.2 chương 3) ta cũng có :
n
77 7) S=l im f&U)A (x) Ax;
Giới hạn dang (7.7) có một vai trò cực kì quan trọng trong giải tích và trong các ứng dụng đa dạng của giải tích và bây giờ chúng ta sẽ nêu chỉ tiết hơn giới hạn dạng đó
Để kết thúc phần diện tích hình thang cong ta lưu ý rằng giả thiết -
về tính liên tục của hàm số f(x) trên khoảng đóng [a, b] là giả thiết bản chất, còn giả thiết f(x) không âm thì có thể bỏ qua vì nếu f(x) am thi
luôn có thể đầy trục hoành xuống để thoả điều kiện f(x) khong am
* Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b],
Chia [a, b] thành những khoảng nhỏ bởi một phân diém ¥ (7.1), trong
mỗi khoảng nhỏ [x¡_¡, xj] lấy một điểm š; tuỳ ý :
Xi S Š¡ <Xị G = 1,2, ,n)
Trang 40va lap tổng (7.8) a = YEAR 1 với AX; = i-Xi-1 G= hn)
Di nhiên téng o dinh nghĩa theo (7.8) là một số xác định ; số đó
phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ thuộc Š¡, chọn tuỳ ý trong [ep 4] và phụ thuộc cách chon phan diém 7
Nếu khi n tăng vô hạn (n —> œ) sao cho max ij =À,À >0; với isis
Ay = Ax, @ =1n), ø có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn Ï này không phụ thuộc cách chọn điểm Š;, cũng không phụ thuộc cách chọn phân điểm # : (7.9) lim o=I 420 (ne) thì I được gọi là ích phân xác định của ham sé f(x) lấy trên khoảng b đóng [a, b] và kí hiệu là ficodx : a b (7.10) I= ff@odx a
Khi d6 ta cing ndi rang ham s6 f(x) kha tich trén [a, b], [a, b] là
khoảng lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là
biến số lấy tích phân, f(x) là hàm số lấy tích phân và f{x)dx là biểu
thức đưới đấu tích phân
Với công thức (7.7) và với định nghĩa (7.9) điện tích S của hình