Đề ôn luyện hsg môn toán lớp 12 số 6 file word có lời giải chi tiết

đề xuất ngân hàng đề Đề thi Học sinh giỏi THPT - Môn Toán o0o -C©u 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 c) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5) d) Trên đờng thẳng y = 9x 4, tìm điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến Câu 2: (3 điểm) Giải phơng trình sau: a) b) Câu 3: (4 điểm) a) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm nhất: b) Tìm m để bất phơng trình sau với x 1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – C©u 4: (2,5 điểm) a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm x = 0: b) Tính tích phân: Câu 5: (2,5 điểm) Cho elÝp (E1): , (E2): vµ parabol (P): y2 = 12x a) Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm elíp b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung (E1) (P) Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vuông góc với đáy SA = AM MD Tính tỉ số M điểm khác B SB cho - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word nht đề xuất ngân hàng đề Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT Môn Toán o0o -Chú ý: + Đáp án gồm trang +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết cho điểm tối đa Câ u ý 1a Nội dung điểm - Tập xác định: D = R - Sù biÕn thiªn: 0,25 + ChiỊu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 6x =  Hàm số đồng biến khoảng (-; -2) (0; +); hàm số nghịch biến khoảng (-2; 0) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại điểm (0; 1) đạt cực tiểu điểm (-2; 5) + Giới hạn: 0,25 0,25 đồ thị hàm số tiệm cận + Tính lồi lõm ®iÓm uèn: y’’ = 6x + =  x = -1 Đồ thị hàm số lồi khoảng (-; -1), lõm khoảng (-1; +) có điểm uốn (-1; 3) + Bảng biến thiên: x - -2 -1 + y’ + 0 + + y - - Đồ thị: Đồ thị hàm số qua điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) (1; 5) Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng 0,25 0,25 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word y -3 1b 1c -2 -1 x Ta cã: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)  x3 + 3x2 + = m2 + 3m2 + = a  số nghiệm phơng trình (1) số giao điểm đồ thị (C) đờng thẳng y = a, từ đồ thị câu a ta có: - Phơng trình (1) có nghiệm a > a < - Phơng trình (1) có nghiƯm nÕu a = hc a = - Phơng trình (1) có nghiệm < a < XÐt hµm sè f(m) = m3 + 3m2 + f(m) có đồ thị (C), nên từ đồ thị câu a ta có: - a >  m > 1; a =  m = hc m = -2 - a <  m < -3; a =  m = -3 hc m = - < a <  -3 < m < VËy ta cã: + Víi m > hc m < -3 phơng trình (1) có nghiệm + Với m = -3 hc m = -2 hc m = m = phơng trình (1) có nghiƯm + Víi -3 < m < vµ m -2, m phơng trình (1) có nghiệm phân biệt Gọi phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng: y = k(x – 1) +  y = kx + k Vì tiếp tuyến (C) nên ta cã: 1d  Cã tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iĨm (1; 5) lµ: y = vµ y = 9x – Gäi M (x0; 9x0 – 4) điểm đờng thẳng y = 9x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word nht Đờng thẳng qua M có phơng trình d¹ng: y = k(x – x0) + 9x0 –  Ta cã: 0,25 §Ĩ cã tiÕp tun qua M hệ cần có nghiệm phơng trình sau cần có nghiệm phân biệt: (x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + – 9x0] = Tõ ®ã ta cã ®iỊu kiƯn cđa x0 là: 0,25 0,25 Vậy điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x 4) với 0,25 điều kiện: 2a Tập xác định: D = R Phơng trình đà cho tơng đơng với phơng trình: 0,25 0,50 Xét hàm số f(t) = , ta có f(t) đồng biÕn víi mäi t nªn ta cã: f(3cosx) = f(4cos3x)  3cosx = 4cos3x  cos3x =  x = 2b 0,50 0,25 ,kZ Ta cã: x4 + x2 + = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > x2 – 3x + = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) 0,25 0,25 Đặt 0,50 , t > Phơng trình trở thành: 0,25 x=1 0,25 http://dethithpt.com Website chuyờn đề thi – tài liệu file word 3a Điều kiện: m > m 1, x2 + mx + 10 Bất phơng trình đà cho tơng đơng với: 0,50 (*) 0,50 Đặt u = x2 + mx + 10, u  + Víi < m < 1: (*)  f(u) = log7( + 4)log11(u + 2) 1 Ta thÊy f(9) = f(u) hàm đồng biến nên ta cã: f(u)  f(9)  u   x2 + mx + 10   x2 + mx + Vì phơng trình có = m2 – < víi < m < nên phơng trình vô nghiệm bất phơng trình đà cho vô nghiệm + Với m > 1: Ta cã: f(u)  = f(9)   u    x2 + mx + 10 3b Xét phơng trình x2 + mx + = cã  = m2 – NÕu < m <   < (2) vô nghiệm bất phơng trình đà cho v« nghiƯm NÕu m >   > phơng trình có nghiệm thoả mÃn (1) (2) bất phơng trình đà cho cã nhiỊu h¬n mét nghiƯm NÕu m =  (2) cã nghiÖm nhÊt x = -1  bÊt phơng trình đà cho có nghiệm x = -1 Vậy giá trị cần tìm m là: m = -2 Đặt f(x) = + 2cosx + + 2sinx Bài toán trở thành: tìm m cho maxf(x)  2m – Ta cã f2(x) = + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx, Ta cã: f2(x) = g(t) = + 4t + 22t2 + 2t – 1 víi XÐt sù biÕn thiªn cđa g(t) ta có: Vì f(x) nên ta có: maxf(x) = 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word VËy ta cã: 4a Hàm số có đạo hàm x = liên tục x = 0,25 Ta lại có: Và a = Vậy hàm số có đạo hàm x = a = b = Chứng minh đợc: 4b 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 Đặt 5a Toạ độ giao điểm elíp (E1) (E2) nghiệm hệ phơng trình: Vậy đờng tròn qua giao điểm elíp là: 5b 0,50 0,50 0,50 Gọi đờng thẳng Ax + By + C = (A2 + B2  0), lµ tiÕp tuyÕn chung cđa (E1) vµ (P) Ta cã: 1,0 VËy cã tiếp tuyến cần tìm là: 0,50 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi – tài liệu file word nht S H D A B 0,25 C Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh hình vẽ Suy ta cã: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a ) B= 0,25 Suy phơng trình SB là: 0,25 Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có: 0,25 0,25 Mặt khác AMDN 0,25 x02 – 2ax0 + y02 + z02 =  0,50 hay -HÕt - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word