3 toan~2

C H Ư Ơ N G CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VEC TƠ IV BÀI 1,2 ĐỊNH LÝ COSIN – SIN GIẢI TAM GIÁC I = = = I LÝ THUYẾT Cho tam giác ABC , BC a, CA b, AB c, S diện tích tam giác Giả sử , hb , hc độ dài đường cao qua ba đỉnh A, B, C ; ma , mb , mc đường trung tuyến qua ba đỉnh A, B, C R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nột tiếp tam giác ABC Ta có kết sau đây: II ĐỊNH LÝ COSIN ĐỊNH LÝ SIN Định lí cơsin tam giác a b  c  2bc.cos A, b c  a  2ca.cos B, c a  b  2ab.cos C *Hệ định lí cơsin b2  c  a a2  c2  b2 b2  a  c2 cos A  , cos B  , cos C  2bc 2ac 2ab a b c   2 R Định lí sin tam giác: sin A sin B sinC *Hệ định lí sin a 2 R.sin A b 2 R.sin B c 2 R.sin C a sin A  2R b sin B  2R c sin C  2R Cơng thức diện tích: 1 S  aha  bhb  chc 2 a) 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 b) Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ c) S abc 4R d) S  pr với p  a  b  c e) Công thức Hê- Rông S  p  p  a  p  b  p  c Công thức trung tuyến (bổ sung) ma2  2(b  c )  a 2(a  c )  b 2(a  b )  c , mb2  , mc2  4 III GIẢI TAM GIÁC Giải tam giác tìm số đo cạnh cịn lại góc cịn lại tam giác biết số yếu tố cho trước Để giải tam giác ta sử dụng cách hợp lý công cụ là: Định lý cosin, định lý sin cơng thức diện tích tam giác Vận dụng giải tam giác giúp giải nhiều toán thực tế, đặc biệt thiết kế xây dựng BÀI TẬP SÁCH GI ÁO KHOA Câu 1:  ˆ Cho tam giác ABC có AB 3,5; AC 7, 5; A 135 Tính độ dài cạnh BC bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết đến hàng phần mười) Lời giải Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC  AC  AB  AC AB cos A  BC 7,52  3,52  2.7,5.3,5 cos135  BC 105,6  BC 10,3 BC 2 R Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: sin A  R Câu 2: BC 10,3  7,3 sin A sin135  ˆ  ˆ Cho tam giác ABC có B 75 , C 45 BC 50 Tính độ dài cạnh AB Lời giải Ta có: Bˆ 75 , Cˆ 45  Aˆ 180   75  45  60 Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: Page CHUN ĐỀ IV – TỐN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ AB BC BC 50   AB sin C  sin 45  40,8 sin C sin A sin A sin 60 Vậy độ dài cạnh AB 40,8 Câu 3: Cho tam giác ABC có AB 6, AC 7, BC 8 Tính cos A,sin A bán kính R đường ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC  AC  AB  AC AB cos A  cos A  AC  AB  BC  62  82   AB AC 2.7.6 2   Lại có: sin A  cos A 1  sin A   cos A (do  A 90 ) 15  1  sin A       4 BC 2 R Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: sin A  R BC  sin A 16 15  15 15 2 15 16 15 cos A  ;sin A  ;R  4 15 Vậy Câu 4: Tính giá trị biểu thức sau (khơng dùng máy tính cầm tay):     a) A cos  cos 40  cos120  cos140     b) B sin  sin150  sin175  sin180     c) C cos15  cos 35  sin 75  sin 55    d) D tan 25 tan 45 tan115    e) E cot10 cot 30 cot100 Lời giải     a) A cos  cos 40  cos120  cos140 Tra bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt, ta có: cos 0 1;cos120   1   cos140  cos  180  40   cos 40  A 1  cos 40      cos 40  A  Lại có:     b) B sin  sin150  sin175  sin180 Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ sin150  ;sin180 0 Tra bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt, ta có: Lại có: 1 o o sin175 sin  180  175  sin 5  B sin   sin   B      c) C cos15  cos 35  sin 75  sin 55 Ta có: sin 75 sin  90  75  cos15 sin 55 sin  90  55  cos 35 ;  C cos15  cos35  cos15  cos35  C 0    d) D tan 25 tan 45 tan115 Ta có: Mà: tan115  tan  180  115   tan 65 tan 65 cot  90  65  cot 25  D tan 25 tan 45 cot 25  D tan 45 1    e) E cot10 cot 30 cot100 Ta có: Mà: Câu 5: cot100  cot  180  100   cot 80 cot 80 tan  90  80  tan10  E cot10 cot 30 tan10  E cot 30  Cho tam giác ABC Chứng minh: a) b) sin A B C cos 2 tan B C A cot 2 Lời giải Xét tam giác ABC , ta có: Aˆ Bˆ  Cˆ Aˆ  Bˆ  Cˆ 180   90 2 Aˆ Bˆ  Cˆ Do hai góc phụ sin A A B C  cos  90   cos 2  tan B C B C  A  cot  90   cot 2   a) Ta có: b) Ta có: Câu 6: Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B hai bên bờ ao, bạn An dọc bờ ao từ vị BAC , BCA Biết A trí đến vị trí C tiến hành đo góc Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ   AC 25 m, BAC 59,95 ; BCA 82,15 Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Lời giải     Xét tam giác ABC , ta có: BAC 59,95 ; BCA 82,15  ABC 180  59,95  82,15 37,9   AB AC  Áp dụng định lí sin tam giác BAC ta có: sin C sin B AC 25  AB sin C  sin 82,15  28,6 sin B sin 59,95 Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B 28, m Câu 7: Hai tàu đánh cá xuất phát từ bến A thẳng hai vùng biển khác nhau, theo hai  hướng tạo với góc 75 Tàu thứ chạy với tốc độ hải lí tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí Sau 2,5 khoảng cách hai tàu hải lí (làm trịn kết đến hàng phần mười)? Lời giải Gọi B, C vị trí tàu thứ tàu thứ hai sau 2,5 Sau 2,5 giờ: Quãng đường tàu thứ là: AB 8.2,5 20 (hải lí) Quãng đường tàu thứ hai là: AC 12 2,5 30 (hải lí) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC  AC  AB  AC AB cos A  BC 302  202  2.30 20 cos 75o  BC 989,4  BC 31,5 Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Vậy hai tàu cách 31,5 hải lí Câu 8: Bạn A đứng đỉnh tòa nhà quan sát diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng  phương từ mắt bạn A tới diều phương nằm ngang)  35 ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A 1,5 m Cùng lúc chân tịa nhà, bạn B quan sát  diều thấy góc nâng  75 ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B 1,5 m Biết chiều cao tịa nhà h 20 m (Hình) Chiếc diều bay cao mét so mặt đất (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Lời giải Gọi điểm: O vị trí diều H hình chiếu vng góc diều mặt đất C, D hình chiếu vng góc A, B OH Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Đặt OC x , suy OH x  20  1,5  x  21, Xét tam giác OAC , ta có: tan   tan   OC OC x  AC   AC tan  tan 35 Xét tam giác OBD, ta có: OD OD x  20 x x  20  BD   AC BD     BD tan  tan 75 Mà: tan 35 tan 75 20 tan 35  x 4,  x tan 75 ( x  20) tan 35 tan 75  tan 35 Suy OH 26,1 Vậy diều bay cao 26,1 m so với mặt đất Câu 9:  ˆ Cho tam giác ABC có BC 12, CA 15, C 120 Tính: a) Độ dài cạnh AB b) Số đo góc A, B c) Diện tích tam giác ABC Lời giải a) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AB  AC  BC  AC BC cos C  AB 152  122  15 12 cos120  AB 549  AB 23, b) Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AB BC 12   sin A  sin C  sin120 0, 44  Aˆ 26 o Aˆ 154 o (Loại) sin A sin C AB 23, 43 Khi đó: Bˆ 180   26  120  34o c) Diện tích tam giác ABC là: 1 S  CA.CB.sin C  15 12.sin120 45 2  ˆ Câu 10: Cho tam giác ABC có AB 5, BC 7, A 120 Tính độ dài cạnh AC Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: AB BC AB 5   sin C sin A  sin120   sin C sin A BC 14 o   Cˆ 38,2 ho?c Cˆ 141,8 (Loại) Ta có: Aˆ 120 , Cˆ 38,2  Bˆ 180  120  38,2 21,8   Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AC  AB  BC  AB BC cos B  AC 52  72  2.5 7 cos 21,8o  AC 9  AC 3 Vậy độ dài cạnh AC  ˆ  ˆ Câu 11: Cho tam giác ABC có AB 100, B 100 , C 45 Tính: a) Độ dài cạnh AC , BC b) Diện tích tam giác ABC Lời giải a) Ta có: Aˆ 180  ( Bˆ  Cˆ )  Aˆ 180  100  45 35   Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có:   100 AB AC sin100  139,3 AC s i n B    AB AC BC  si nC   sin 45      sin C sin B sin A  BC s i n A  AB  BC sin 35  100 81,1   sinC sin 45 b) Diện tích tam giác ABC là: Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ 1 S  BC AC sin C  81,1.139,3.sin 45 3994,2 2 Câu 12: Cho tam giác ABC có AB 12, AC 15, BC 20 Tính: a) Số đo góc A, B, C b) Diện tích tam giác ABC Lời giải a) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC , ta có: b2  c2  a a2  c2  b2 cos A  ;cos B  2bc 2ac Thay a BC 20; b  AC 15; c  AB 12  cos A  31 319 ;cos B  360 480  Aˆ 94,9o ; Bˆ 48, 3o  Cˆ 180   94,9  48,3o  36,8o b) Diện tích tam giác ABC là: 1 S  bc.sin A  15 12 sin 94,9 89, 2 Câu 13: Tính độ dài cạnh AB trường hợp sau: Lời giải Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AC AC sin A 5,2 sin 40   sin B   0,93  sin A sin B BC 3,6  Bˆ 68,2  ˆ   B 111,8 o ˆ Trường hợp 1: B 68, Page CHUYÊN ĐỀ IV – TOÁN 10 – CHƯƠNG IV – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Cˆ 180  ( Aˆ  Bˆ ) 180   40  68, 2  71,8 Ta có: Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AB  sin A sin C BC 3,  AB sin C  sin 71,8  5, 32 sin A sin 40  ˆ Trường hợp : B 111,8 Ta có: Cˆ 180  ( Aˆ  Bˆ ) 180   40  111,8  28, o Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AB  sin A sin C BC 3,  AB sin C  sin 28, 2  2, 65 sin A sin 40 Vậy AB 5,32 AB 2, 65 Câu 14: Để tính khoảng cách giữra hai địa điểm A B mà ta trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm hai bên bờ hồ nước, đầm lầy,.), người ta tiến hành sau: Chọn địa điểm C cho ta đo khoảng cách AC , CB góc ACB Sau đo, ta nhận   được: AC 1 km, CB 800 m ACB 105 (Hình 31) Tính khoảng cách AB (làm tròn kết đến hàng phần mười đơn vị mét) Lời giải Đổi: km = 1000 m Do AC 1000 m Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AB  AC  BC  AC BC cos C  AB 10002  8002  1000 800 cos105  AB 2054110,5  AB 1433,2 Vậy khoảng cách AB 1433,2 m Page 10