CƠ SỞ LÝ LUẬN
Khái niệm logarit
Cho hai số dương 𝑎, 𝑏 với 𝑎 ≠ 1 Số 𝛼 thỏa mãn đẳng thức 𝑎 𝛼 = 𝑏 được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏
Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0
Cho hai số dương 𝑎 và 𝑏, 𝑎 ≠ 1 Ta có các tính chất sau đây
𝑎 1 = 𝑎 ⟺ 1 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎 Đặt 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 Từ định nghĩa logarit ta có:
2.1 Logarit của một tích Định lý 1:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏 1 , 𝑏 2 với 𝑎 ≠ 1, ta có 𝑙𝑜𝑔 𝑎 (𝑏 1 𝑏 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2
Logarit của một tích bằng tổng các logarit
Chứng minh: Đặt: 𝛼 1 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 và 𝛼 2 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2 , ta có:
Mặt khác, vì 𝑏 1 = 𝑎 𝛼 1 , 𝑏 2 = 𝑎 𝛼 2 , suy ra 𝑏 1 𝑏 2 = 𝑎 𝛼 1 𝑎 𝛼 2 = 𝑎 𝛼 1 +𝛼 2
Từ (1), (2) suy ra: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 (𝑏 1 𝑏 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2 Ví dụ: Tính a) 𝑙𝑜𝑔 4 8 + 𝑙𝑜𝑔 4 32 = 𝑙𝑜𝑔 4 (8.32) = 𝑙𝑜𝑔 4 256 = 𝑙𝑜𝑔 4 4 4 = 4 b) 𝑙𝑜𝑔 1 2
8) = 𝑙𝑜𝑔1 2 1 12 Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho các tích của n số dương: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 (𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛 ) = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2 + ⋯ + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 𝑛 (𝑎, 𝑏 1 , 𝑏 2 , … 𝑏 𝑛 > 0, 𝑎 ≠ 1) 2.2 Logarit của một thương Định lý 2:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏 1 , 𝑏 2 với 𝑎 ≠ 1, ta có 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 𝑏 2 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 − 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2
Logarit của một thương bằng hiệu các logarit Chứng minh: Đặt: 𝛼 1 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 và 𝛼 2 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2 , ta có: 𝛼 1 − 𝛼 2 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 1 + 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 2 (1)
Mặt khác, vì 𝑏 1 = 𝑎 𝛼 1 , 𝑏 2 = 𝑎 𝛼 2 , suy ra 𝑏 1 𝑏 2 = 𝑎 𝛼1 𝑎 𝛼2 = 𝑎 𝛼 1 −𝛼 2
2.3 Logarit của một lũy thừa Định lý 3:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏; 𝑎 ≠ 1 Với mọi 𝛼, ta có:
Logarit của một lũy thừa bằng tích các số mũ với logarit của cơ số
Suy ra 𝛼𝛽 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 𝛼 hay 𝛼𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏 𝛼 Đặc biệt:
Chứng minh: Áp dụng định lý 3, ta có:
3 Đổi cơ số Định lý 4:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 với 𝑎 ≠ 1, 𝑐 ≠ 1 Với mọi 𝛼, ta có:
Theo tính chất của logarit và định lý 3, ta có:
4 Logarit thập phân Logarit tự nhiên
Logarit thập phân là logarit cơ số 10
𝑙𝑜𝑔 10 𝑏 thường được viết là 𝑙𝑜𝑔𝑏 hoặc 𝑙𝑔𝑏
Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔 10 5 ta có thể viết 𝑙𝑜𝑔5 hoặc 𝑙𝑔5
Người ta chứng minh được dãy số (𝑢 𝑛 ) = (1 + 1
𝑛) 𝑛 có giới hạn là một số vô tỉ và giới hạn đó là 𝑒,
Một giá trị gần đúng của 𝑒 là 𝑒 ≈ 2,718 281 828 459 045
Logarit tự nhiên là logarit cơ số 𝑒
Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔 𝑒 7 ta có thể viết 𝑙𝑛7
Muốn tính 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏, với 𝑎 ≠ 10 và 𝑎 ≠ 𝑒, bằng máy tính bỏ túi, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số
Cho số thực dương 𝑎 khác 1
Hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 được gọi là hàm số logarit cơ số 𝑎
Ví dụ: Các hàm số sau đây là những hàm số logarit
5.2 Đạo hàm của hàm số logarit Định lý 5:
Hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)có đạo hàm tại mọi 𝑥 > 0 và
Chú ý: Đối với hàm hợp 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑢(𝑥), ta có:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 3 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
5.3 Khảo sát hàm số logarit 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)
Trục Oy là tiệm cận đứng
Trục Oy là tiệm cận đứng
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)
Tập xác định (0; +∞) Đạo hàm 𝑦 ′ = 1
𝑎 > 1: hàm số luôn đồng biến
0 < 𝑎 < 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận Trục 𝑂𝑦 là tiệm cận đứng Đồ thị Đi qua các điểm (1; 0) và (𝑎; 1); nằm phía bên phải trục tung
Ví dụ: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 và 𝑦 = 2 𝑥
Nhận xét: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎 𝑥 và 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) đối xứng nhau qua đường thẳng 𝑦 = 𝑥
Bảng đạo hàm của hàm số logarit
Hàm sơ cấp Hàm hợp (𝒖 = 𝒖(𝒙))
Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit
Chẳng hạn, các phương trình: 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 = 4 𝑣à 𝑙𝑜𝑔 4 2 𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔 4 𝑥 + 1 = 0 là những phương trình logarit
Phương trình logarit cơ bản có dạng:
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) Theo định nghĩa logarit, ta có:
Minh họa bằng đồ thị:
Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = 𝑏 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.1 và H.2)
Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 và đường thẳng
𝑦 = 𝑏 luôn cắt nhau tại một điểm với mọi 𝑏 ∈ 𝑅
Phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất 𝑥 = 𝑎 𝑏 với mọi 𝑏
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏
Chẳng hạn, các phương trình: 2𝑙𝑜𝑔 6 𝑥 > 12 𝑣à 𝑙𝑜𝑔 7 2 𝑥 − 5𝑙𝑜𝑔 7 𝑥 < −6 là những bất phương trình logarit
Minh họa bằng đồ thị:
Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = 𝑏 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.3 và H.4)
Quan sát đồ thị, ta thấy:
Trường hợp 𝑎 > 1: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏 khi và chỉ khi 𝑥 > 𝑎 𝑏
Trường hợp 0 < 𝑎 < 1: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏 khi và chỉ khi 0 < 𝑥 < 𝑎 𝑏
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏 được cho trong bảng sau:
Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ≥ 𝑏 được cho trong bảng sau:
Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 < 𝑏 được cho trong bảng sau:
Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏 được cho trong bảng sau:
Đổi cơ số
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 với 𝑎 ≠ 1, 𝑐 ≠ 1 Với mọi 𝛼, ta có:
Theo tính chất của logarit và định lý 3, ta có:
Logarit thập phân Logarit tự nhiên
Logarit thập phân là logarit cơ số 10
𝑙𝑜𝑔 10 𝑏 thường được viết là 𝑙𝑜𝑔𝑏 hoặc 𝑙𝑔𝑏
Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔 10 5 ta có thể viết 𝑙𝑜𝑔5 hoặc 𝑙𝑔5
Người ta chứng minh được dãy số (𝑢 𝑛 ) = (1 + 1
𝑛) 𝑛 có giới hạn là một số vô tỉ và giới hạn đó là 𝑒,
Một giá trị gần đúng của 𝑒 là 𝑒 ≈ 2,718 281 828 459 045
Logarit tự nhiên là logarit cơ số 𝑒
Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔 𝑒 7 ta có thể viết 𝑙𝑛7
Muốn tính 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏, với 𝑎 ≠ 10 và 𝑎 ≠ 𝑒, bằng máy tính bỏ túi, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số
Hàm số logarit
Cho số thực dương 𝑎 khác 1
Hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 được gọi là hàm số logarit cơ số 𝑎
Ví dụ: Các hàm số sau đây là những hàm số logarit
5.2 Đạo hàm của hàm số logarit Định lý 5:
Hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)có đạo hàm tại mọi 𝑥 > 0 và
Chú ý: Đối với hàm hợp 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑢(𝑥), ta có:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 3 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
5.3 Khảo sát hàm số logarit 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)
Trục Oy là tiệm cận đứng
Trục Oy là tiệm cận đứng
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈 𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)
Tập xác định (0; +∞) Đạo hàm 𝑦 ′ = 1
𝑎 > 1: hàm số luôn đồng biến
0 < 𝑎 < 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận Trục 𝑂𝑦 là tiệm cận đứng Đồ thị Đi qua các điểm (1; 0) và (𝑎; 1); nằm phía bên phải trục tung
Ví dụ: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 và 𝑦 = 2 𝑥
Nhận xét: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎 𝑥 và 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) đối xứng nhau qua đường thẳng 𝑦 = 𝑥
Bảng đạo hàm của hàm số logarit
Hàm sơ cấp Hàm hợp (𝒖 = 𝒖(𝒙))
Phương trình logarit
Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit
Chẳng hạn, các phương trình: 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 = 4 𝑣à 𝑙𝑜𝑔 4 2 𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔 4 𝑥 + 1 = 0 là những phương trình logarit
Phương trình logarit cơ bản có dạng:
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) Theo định nghĩa logarit, ta có:
Minh họa bằng đồ thị:
Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = 𝑏 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.1 và H.2)
Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 và đường thẳng
𝑦 = 𝑏 luôn cắt nhau tại một điểm với mọi 𝑏 ∈ 𝑅
Phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất 𝑥 = 𝑎 𝑏 với mọi 𝑏.
Bất phương trình logarit
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏
Chẳng hạn, các phương trình: 2𝑙𝑜𝑔 6 𝑥 > 12 𝑣à 𝑙𝑜𝑔 7 2 𝑥 − 5𝑙𝑜𝑔 7 𝑥 < −6 là những bất phương trình logarit
Minh họa bằng đồ thị:
Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = 𝑏 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.3 và H.4)
Quan sát đồ thị, ta thấy:
Trường hợp 𝑎 > 1: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏 khi và chỉ khi 𝑥 > 𝑎 𝑏
Trường hợp 0 < 𝑎 < 1: 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏 khi và chỉ khi 0 < 𝑥 < 𝑎 𝑏
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 > 𝑏 được cho trong bảng sau:
Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ≥ 𝑏 được cho trong bảng sau:
Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 < 𝑏 được cho trong bảng sau:
Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 ≤ 𝑏 được cho trong bảng sau:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ
Các bài toán sử dụng công thức biến đổi logarit
Ta có các công thức logarit cơ bản sau
Biết 𝑙𝑜𝑔 7 12 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔 12 24 = 𝑏 Giá trị của 𝑙𝑜𝑔 54 168 được tính theo 𝑎 và 𝑏 là
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Ví dụ 2: Gọi n là số nguyên dương sao cho
𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 đúng với mọi x dương, 𝑥 ≠ 1 Tìm giá trị của biểu thức 𝑃 = 2𝑛 + 3
Cho 𝑥 , 𝑦 và 𝑧 là các số thực lớn hơn 1 và gọi 𝑤 là số thực dương sao cho 𝑙𝑜𝑔 𝑥 𝑤 = 24, 𝑙𝑜𝑔 𝑦 𝑤 = 40 và 𝑙𝑜𝑔 𝑥𝑦𝑧 𝑤 = 12 Tính 𝑙𝑜𝑔 𝑧 𝑤
Các dạng toán về hàm số logarit
2.1 Dạng 1: Phương pháp tìm tập xác định hàm số logarit
2.1.1 Phương pháp: Ta có các công thức sau
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 𝑦 = log(𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 4) có tập xác định là 𝑅
𝑚 < −2 D −2 < 𝑚 < 2 Điều kiện xác định của hàm số trên là 𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 4 > 0 Để hàm số có tập xác định là 𝑅 thì {𝑎 > 0
Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để hàm số
Hàm số xác định khi: { 𝑥 > 0
𝑙𝑜𝑔 3 2 𝑥 + 1 Để hàm số trên xác định trên (0; +∞) thì phương trình 𝑚 = 4𝑙𝑜𝑔 3 𝑥−3
𝑙𝑜𝑔 3 2 𝑥+1 Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 khi đó ta có
Ta có bảng biến thiên Để hàm số xác định trên (0; +∞) thì 𝑚 ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)
2.2 Dạng 2: Tính đạo hàm logarit
2.2.1 Phương pháp: Ta sử dụng các công thức sau
Ví dụ 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥
𝑥 Mệnh đề nào sau đây đúng
A 0 nghiệm B 1 nghiệm C 2 nghiệm D 3 nghiệm Điều kiện xác định: 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 1
𝑥 = 2 Đối chiếu với điều kiện ta được 𝑥 = 1
Vậy phương trình 𝑓 ′ (𝑥) = 0 có 1 nghiệm
Ví dụ 3: Cho hàm số 𝑓(𝑥) = ln ( 𝑥
2.3 Dạng 3: Khảo sát hàm số logarit
→ Hàm số đồng biến trên (0; +∞)
→ Hàm số nghịch biến trên (0; +∞)
Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 𝑚 để hàm số
𝑦 = ln(𝑥 2 + 1) − 𝑚𝑥 + 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)
𝑥 2 + 1− 𝑚 Hàm số 𝑦 = ln(𝑥 2 + 1) − 𝑚𝑥 + 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) Hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥)có đồ thị như hình vẽ Hàm số
Hàm số 𝑦 = 𝑓(2 + 𝑒 𝑥 ) nghịch biến khi và chỉ khi
Cho hai số thực 𝑎, 𝑏 lớn hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑆 là 9
Phương trình logarit
3.1 Phương pháp 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau đây:
Ví dụ 1: Giải phương trình logarit sau
𝑥 = −3 (𝑙𝑜ạ𝑖) Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 6
𝑥 = −1 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Vậy phương trình có 2 nghiệm
Giải phương trình sau: 𝑙𝑜𝑔 2 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) + 3𝑙𝑜𝑔 2 (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 2 Điều kiện xác định: {
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 5
3.2 Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ là một kỹ thuật phổ biến trong giải quyết các bài toán phương trình Đối với những bài toán dễ, chúng ta có thể nhanh chóng nhận diện các biểu thức chứa biến lặp lại Trong trường hợp khó hơn, cần thực hiện một số biến đổi khéo léo để đưa bài toán về dạng sơ khai, tức là một phương trình với các biểu thức chứa biến lặp lại Đôi khi, bài toán còn yêu cầu thêm nhiều ẩn phụ khác để tạo ra một phương trình mới dễ giải hơn.
Bước 2: Tìm điều kiện của t (Nếu có)
Bước 3: Đứa về giải phương trình 𝑓(𝑡) = 0 đã biết cách giải
Bước 4: Thay t vào (∗) để tìm x
Tính tích các nghiệm của phương trình: 𝑙𝑜𝑔 𝑥 (125𝑥)𝑙𝑜𝑔 25 2 𝑥 = 1
⟺ (3𝑙𝑜𝑔 𝑥 5 + 1)𝑙𝑜𝑔 5 2 𝑥 = 4 (∗) Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 5, phương trình (∗) trở thành:
⟹ Tích các nghiệm của phương trình là 5 1
Tích tất cả cá nghiệm của phương trình 𝑙𝑜𝑔 2 2 𝑥 + √𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 + 1 + 1 = 1
2 Đặt 𝑡 = √𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 + 1 (𝑡 ≥ 0) ⟺ 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 = 𝑡 2 − 1, ta có phương trình
⟹ Tích các nghiệm của phương trình là 1
Giải phương trình sau: 𝑙𝑜𝑔 2 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) + 3𝑙𝑜𝑔 2 (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 2 Điều kiện xác định: {
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 5
3.3 Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa
3.3.1 Phương pháp: Sử dụng các công thức cơ bản sau
Khi đó 𝑎 𝑡 = 𝑓(𝑥), 𝑏 𝑡 = 𝑔(𝑥), từ đó ta đưa về phương trình mũ
Ví dụ 1: Gọi 𝑥 1 , 𝑥 2 (với 𝑥 1 < 𝑥 2 ) là nghiệm của phương trình 𝑙𝑜𝑔 3 (3 2𝑥−1 − 3 𝑥−1 + 1) = 𝑥 Khi đó giá trị biểu thức √3 𝑥 1 − √3 𝑥 2 là
Ví dụ 2: Giải phương trình: 𝑙𝑜𝑔 3 (𝑙𝑜𝑔 9 𝑥 + 1
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 1
Ví dụ 3: Giải phương trình: 𝑙𝑜𝑔 2 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 3 𝑙𝑜𝑔 3 𝑥 Điều kiện xác định:{
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 2 2
3.4 Phương pháp 4: Phương pháp sử tính chất của hàm số
3.4.1 Phương pháp: Ta sử dụng các tính chất sau
Nếu hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) đơn điệu một chiều trên 𝐷 thì phương trình 𝑓(𝑥) = 0 không có một nghiệm trên 𝐷
Để áp dụng tính chất này, trước tiên cần xác định một nghiệm 𝑥 = 𝑥 0 của phương trình Sau đó, cần chỉ ra rằng hàm số là đơn điệu một chiều trên tập hợp 𝐷, tức là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên 𝐷 Từ đó, ta có thể kết luận rằng 𝑥 = 𝑥 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Nếu hàm số 𝑓(𝑡) đơn điệu một chiều trên khoảng (𝑎; 𝑏) và tồn tại
→ Để vận dụng tính chất này, ta cần xây dựng tính chất đặc trưng của hàm số 𝑓(𝑡)
Số nghiệm thực của phương trình 2 √𝑥 2 +1 𝑙𝑜𝑔 2 (𝑥 + √𝑥 2 + 1) = 4 𝑥 𝑙𝑜𝑔 2 3𝑥
𝑡 𝑙𝑛2 + 𝑙𝑛2 𝑙𝑜𝑔 2 𝑡) ⟹ 𝑓 ′ (𝑡) > 0, ∀𝑡 ∈ (1; +∞) ⟹ Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)
Vậy phương trình có một nghiệm thực 𝑥 = 1
Phương trình 3𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 3 + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?
Xét hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 3𝑙𝑛(𝑥 + 1) 3 + 1 liên tục trên khoảng (−1; +∞)
𝑥→±∞𝑦 = ±∞ nên đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
Ví dụ 3: Giải phương trình: 𝑙𝑜𝑔 3 (1 + √𝑥 + √𝑥 3 ) = 2
3 < 1 nên 𝑓(𝑡) nghịch biến trên 𝑅 Nhẩm được 𝑓(4) = 1 ⟹ 𝑓(𝑡) = 1 có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 4096
Ví dụ 4: Giải phương trình:
𝑡 𝑙𝑛3+ 1 > 0 (∀𝑡 > 0) ⟹ Hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến trên khoảng (0; +∞)
𝑥 = −2 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Vậy phương trình có tập nghiệm 𝑆 = {−1; −2}
3.5 Phương pháp 5: Phương pháp đánh giá
Xét phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Đánh giá {𝑓(𝑥) ≤ 𝑀
Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức để giải quyết vấn đề
Ví dụ 1: Giải phương trình sau
𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 𝑥 = 1
Ví dụ 2: Giải phương trình
⟺ −5 ≤ 𝑥 ≤ 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 𝑥 = − 1
Để giải các phương trình logarit có tham số, chúng ta có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau để tìm ra lời giải hiệu quả.
Ví dụ 1: Cho hàm số
Số các giá trị nguyên 𝑚 để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 𝑥 1 , 𝑥 2 thỏa
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (*)
Vậy có 13 giá trị nguyên 𝑚 thỏa mãn
Ví dụ 2: Biết điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình
2 ; 6] là 𝑚 ∈ (−∞; 𝑎] ∪ [𝑏; +∞) Tính giá trị của biểu thức 𝑇 = 𝑎 + 𝑏
Nhận thấy 𝑡 = −2 không là nghiệm nên 𝑚 = 𝑡 2 +5𝑡+1
Ta có bảng biến thiên : Để phương trình (∗) có nghiệm thuộc đoạn [ −3
2 ; 6] thì phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn [−3; 1]
Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 𝑙𝑜𝑔 3 (𝑥 + 3) + 𝑚𝑙𝑜𝑔 √𝑥+3 9 = 16 có hai nghiệm thỏa −2 < 𝑥 1 < 𝑥 2
⟺ 𝑙𝑜𝑔 3 2 (𝑥 + 3) − 16𝑙𝑜𝑔 3 (𝑥 + 3) + 4𝑚 = 0 (1) Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔 3 (𝑥 + 3), phương trình (1) trở thành 𝑡 2 − 16𝑡 + 4𝑚 = 0 (2)
Vậy để phương trình (∗) có hai nghiệm thỏa −2 < 𝑥 1 < 𝑥 2 thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt
Vậy có 15 giá trị nguyên thỏa mãn