Một số phương pháp giải các dạng toán về logarit trong chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN HỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2021-2022 Tên đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Giảng viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Thị Sinh Sinh viên thực : Phan Nhật Thảo Vy Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng năm 2022 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990022082141000000 LỜI CẢM ƠN Bài báo cáo hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Thị Sinh Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô ThS Nguyễn Thị Sinh, người đặt tốn định hướng nghiên cứu cho em Cơ tận tình bảo tạo điều kiện để em học tập hoàn thành báo cáo Cảm ơn cô chia sẻ, động viên em trình học tập nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán học trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện để em hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu Cuối cùng, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình người bạn thân thiết chia sẻ, giúp đỡ, động viên em trình nghiên cứu Phan Nhật Thảo Vy -18ST MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN Khái niệm logarit 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất Quy tắc tính logarit 2.1 Logarit tích 2.2 Logarit thương 2.3 Logarit lũy thừa Đổi số 10 Logarit thập phân Logarit tự nhiên 10 4.1 Logarit thập phân 10 4.2 Logarit tự nhiên 10 Hàm số logarit 11 5.1 Định nghĩa 11 5.2 Đạo hàm hàm số logarit 11 5.3 Khảo sát hàm số logarit 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 12 Phương trình logarit 13 Bất phương trình logarit 14 CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 16 Các toán sử dụng công thức biến đổi logarit 16 Các dạng toán hàm số logarit 18 2.1 Dạng 1: Phương pháp tìm tập xác định hàm số logarit 18 2.2 Dạng 2: Tính đạo hàm logarit 19 2.3 Dạng 3: Khảo sát hàm số logarit 21 Phương trình logarit 23 3.1 Phương pháp 1: Phương pháp đưa số 23 3.2 Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 25 3.3 Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa 28 3.4 Phương pháp 4: Phương pháp sử tính chất hàm số 30 3.5 Phương pháp 5: Phương pháp đánh giá 33 Bất phương trình logarit 36 4.1 Phương pháp 1: Phương pháp đưa số mũ hóa 36 4.2 Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 38 4.3 Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng tính chất hàm số 40 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài: Các dạng toán logarit chủ đề quan trọng chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Các dạng toán thường xuyên xuất kỳ thi tốt nghiệp tuyển sinh đại học có mối liên quan mật thiết với Việc dạy học chủ đề đưa vào chương trình bậc trung học phổ thơng đóng vai trị trọng tâm việc trang bị kiến thức cho học sinh Tuy nhiên thời gian hạn hẹp chương trình phổ thơng nên dạng tốn hàm số, phương trình bất phương trình logarit chưa trình bày đầy đủ, chi tiết, học sinh thường gặp khó khăn giải dạng toán nâng cao hàm số, phương trình, bất phương trình logarit đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm chủ đề gợi ý giảng viên hướng dẫn, em chọn đề tài: “Một số phương pháp giải dạng tốn logarit chương trình tốn THPT” làm đề tài cho luận văn nhằm hệ thống kiến thức hàm số, phương trình, bất phương trình logarit kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại dạng toán hàm số, phương trình bất phương trình logarit Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu tốn hàm số, phương trình, bất phương trình logarit vận dụng phương pháp thích hợp đại số, giải tích để giải tốn nêu chương trình tốn phổ thông trung học Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tổng hợp kiến thức liên quan, trao đổi với người quan tâm tham vấn giáo viên hướng dẫn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn hàm số, phương trình, bất phương trình logarit Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải toán thích hợp đại số giải tích để giải tốn hàm số, phương trình, bất phương trình logarit Tổng quan cấu trúc luận văn Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Một số phương pháp giải dạng toán logarit chương trình tốn trung học phổ thơng NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN Khái niệm logarit 1.1 Định nghĩa Cho hai số dương 𝑎, 𝑏 với 𝑎 ≠ Số 𝛼 thỏa mãn đẳng thức 𝑎𝛼 = 𝑏 gọi logarit số a b kí hiệu 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ⟺ 𝑎𝛼 = 𝑏 Ví dụ 1: a) 𝑙𝑜𝑔3 27 = 𝑣ì 33 = 27 −2 b) 𝑙𝑜𝑔1 16 = −2 𝑣ì ( ) 4 = 16 Chú ý: Khơng có logarit số âm số 1.2 Tính chất Cho hai số dương 𝑎 𝑏, 𝑎 ≠ Ta có tính chất sau 𝑙𝑜𝑔𝑎 = 0, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1, 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎𝛼 ) = 𝛼 Chứng minh: Ta có: 𝑎0 = ⟺ = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎1 = 𝑎 ⟺ = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 Đặt 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 Từ định nghĩa logarit ta có: 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ⟺ 𝑏 = 𝑎𝛼 = 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ⟹ 𝑏 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 Đặt 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎𝛼 ) = 𝑏 Theo định nghĩa: 𝑎𝛼 = 𝑎𝑏 ⟹ 𝛼 = 𝑏 Vậy 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎𝛼 ) = 𝑏 = 𝛼 Ví dụ: a) 9𝑙𝑜𝑔32 = 32𝑙𝑜𝑔3 = (3𝑙𝑜𝑔3 2)2 = 22 = 1 𝑙𝑜𝑔6 b) ( ) 36 1 2.𝑙𝑜𝑔6 = ( ) 1 −2 = 6−2.𝑙𝑜𝑔6 = (6𝑙𝑜𝑔6 )−2 = ( ) = 25 Quy tắc tính logarit 2.1 Logarit tích Định lý 1: Cho ba số dương 𝑎, 𝑏1 , 𝑏2 với 𝑎 ≠ 1, ta có 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 Logarit tích tổng logarit Chứng minh: Đặt: 𝛼1 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 , ta có: 𝛼1 + 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 (1) Mặt khác, 𝑏1 = 𝑎𝛼1 , 𝑏2 = 𝑎𝛼2 , suy 𝑏1 𝑏2 = 𝑎𝛼1 𝑎 𝛼2 = 𝑎𝛼1 +𝛼2 Do 𝛼1 + 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 ) Từ (1), (2) suy ra: (2) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 Ví dụ: Tính a) 𝑙𝑜𝑔4 + 𝑙𝑜𝑔4 32 = 𝑙𝑜𝑔4 (8.32) = 𝑙𝑜𝑔4 256 = 𝑙𝑜𝑔4 44 = b) 𝑙𝑜𝑔1 + 2𝑙𝑜𝑔1 + 𝑙𝑜𝑔1 2 3 = 𝑙𝑜𝑔1 + 𝑙𝑜𝑔1 ( ) + 𝑙𝑜𝑔1 2 3 3 + 𝑙𝑜𝑔1 = 𝑙𝑜𝑔1 (2 ) = 𝑙𝑜𝑔1 29 28 2 12 = 𝑙𝑜𝑔1 + 𝑙𝑜𝑔1 Chú ý: Định lý mở rộng cho tích n số dương: 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 + ⋯ + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑛 (𝑎, 𝑏1 , 𝑏2 , … 𝑏𝑛 > 0, 𝑎 ≠ 1) 2.2 Logarit thương Định lý 2: Cho ba số dương 𝑎, 𝑏1 , 𝑏2 với 𝑎 ≠ 1, ta có 𝑏1 𝑙𝑜𝑔𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 𝑏2 Logarit thương hiệu logarit Chứng minh: Đặt: 𝛼1 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 , ta có: 𝛼1 − 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 (1) Mặt khác, 𝑏1 = 𝑎𝛼1 , 𝑏2 = 𝑎𝛼2 , suy Do 𝛼1 − 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 𝑏2 𝑏1 = 𝑎𝛼1 𝑎𝛼2 = 𝑎 𝛼1−𝛼2 (2) 𝑏2 Từ (1), (2) suy ra: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 𝑏2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 Đặc biệt: 𝑙𝑜𝑔𝑎 = −𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑏 Chứng minh: 𝑙𝑜𝑔𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = −𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 Ta có: 𝑏 Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔11 − 𝑙𝑜𝑔11 165 = 𝑙𝑜𝑔11 165 = 𝑙𝑜𝑔11 11 = −𝑙𝑜𝑔11 11 = −1 2.3 Logarit lũy thừa Định lý 3: Cho ba số dương 𝑎, 𝑏; 𝑎 ≠ Với 𝛼, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝛼 = 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 Logarit lũy thừa tích số mũ với logarit số Chứng minh Đặt 𝛽 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑏 = 𝑎𝛽 Do 𝑏𝛼 = (𝑎𝛽 )𝛼 = 𝑎𝛽.𝛼 Suy 𝛼𝛽 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝛼 hay 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝛼 Đặc biệt: 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎 √𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑛 Chứng minh: Áp dụng định lý 3, ta có: 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎 √𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑛 Ví dụ: 2 a) 𝑙𝑜𝑔3 273 = 𝑙𝑜𝑔3 33.3 = 𝑙𝑜𝑔3 32 = 2𝑙𝑜𝑔3 = 1 2 1 b) 𝑙𝑜𝑔7 36 − 𝑙𝑜𝑔7 196 − 3𝑙𝑜𝑔7 √21 = (𝑙𝑜𝑔7 36 − 𝑙𝑜𝑔7 196) − 3𝑙𝑜𝑔7 213 36 196 = 𝑙𝑜𝑔7 49 − 𝑙𝑜𝑔7 21 = 𝑙𝑜𝑔7 − 𝑙𝑜𝑔7 21 = 𝑙𝑜𝑔7 √ 3 7 49 = 𝑙𝑜𝑔7 − 𝑙𝑜𝑔7 21 = 𝑙𝑜𝑔7 ( : 21) = 𝑙𝑜𝑔7 = −𝑙𝑜𝑔7 72 = −2𝑙𝑜𝑔7 = −2 9 49 − 𝑙𝑜𝑔7 21 = −𝑙𝑜𝑔7 49 Đổi số Định lý 4: Cho ba số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 với 𝑎 ≠ 1, 𝑐 ≠ Với 𝛼, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 Chứng minh Theo tính chất logarit định lý 3, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 (𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 Vì 𝑎 ≠ nên 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 ≠ Do đó: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 Đặc biệt: (𝑣ớ𝑖 𝑏 ≠ 1) 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝛼 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 (𝑣ớ𝑖 𝑎 ≠ 0) 𝛼 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = Ví dụ: Tính 1 3 𝑙𝑜𝑔3 27 = 𝑙𝑜𝑔3 33 = 𝑙𝑜𝑔3 = 2 2 Logarit thập phân Logarit tự nhiên 4.1 Logarit thập phân Logarit thập phân logarit số 10 𝑙𝑜𝑔9 27 = 𝑙𝑜𝑔32 27 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑏 thường viết 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑙𝑔𝑏 Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔10 ta viết 𝑙𝑜𝑔5 𝑙𝑔5 4.2 Logarit tự nhiên 𝑛 Người ta chứng minh dãy số (𝑢𝑛 ) = (1 + ) có giới hạn số vơ tỉ 𝑛 giới hạn 𝑒, 𝑛 𝑒 = lim (1 + ) 𝑛→+∞ 𝑛 Một giá trị gần 𝑒 𝑒 ≈ 2,718 281 828 459 045 Logarit tự nhiên logarit số 𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑏 viết 𝑙𝑛𝑏 Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔𝑒 ta viết 𝑙𝑛7 Chú ý: Muốn tính 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, với 𝑎 ≠ 10 𝑎 ≠ 𝑒, máy tính bỏ túi, ta sử dụng công thức đổi số 10 ⟺ √4 − 𝑥 + √𝑥 + ≤ 3√2 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3√2(√4 − 𝑥 + √𝑥 + 5) ≤ Vậy phương trình có nghiệm khi: √4 − 𝑥 = √𝑥 + ⟺ 𝑥 = − Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = − 2  Đối với toán phương trình logarit chứa tham số Để giải phương trình logarit chứa tham số, ta áp dụng tất phương pháp để giải vấn đề  Ví dụ 1: Cho hàm số 3𝑙𝑜𝑔27 [2𝑥 − (𝑚 − 3)𝑥 + − 𝑚] + 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚) = Số giá trị nguyên 𝑚 để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt 𝑥1 , 𝑥2thỏa |𝑥1 − 𝑥2 | < 15 A 14 B 11 C 12 D 13 Ta có: 3𝑙𝑜𝑔27 [2𝑥 − (𝑚 − 3)𝑥 + − 𝑚] + 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚) = ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 [2𝑥 − (𝑚 − 3)𝑥 + − 𝑚] = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚) ⟺{ 𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚 > 2𝑥 − (𝑚 − 3)𝑥 + − 𝑚 = 𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚 𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚 > ⟺{ 𝑥 − (𝑚 − 2)𝑥 + 2𝑚 = (1) 𝑥 − 𝑥 + − 3𝑚 > (∗) ⟺{ 𝑥=𝑚 [ 𝑥=2 Phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa (*) 𝑚2 − 𝑚 + − 3𝑚 > 𝑚2 − 4𝑚 + > ⟺ { 22 − + − 3𝑚 > ⟺ { − 3𝑚 > ⟺ 𝑚 < − √3 𝑚≠2 𝑚≠2 Ta có: |𝑥1 − 𝑥2 | < 15 ⟺ (𝑥1 + 𝑥2 ) − 4𝑥1 𝑥2 < 225 ⟺ 𝑚2 − 4𝑚 − 221 < ⟺ −13 < 𝑚 < 17 Từ (2) (3) ⟹ −13 < 𝑚 < − √3 Vậy có 13 giá trị nguyên 𝑚 thỏa mãn Chọn đáp án D 34 (2) (3)  Ví dụ 2: Biết điều kiện cần đủ tham số m để phương trình 𝑙𝑜𝑔12 (𝑥 + 2)2 + 4(𝑚 − 5)𝑙𝑜𝑔1 2 −3 [ 𝑥+2 − 8𝑚 + = có nghiệm thuộc đoạn ; 6] 𝑚 ∈ (−∞; 𝑎] ∪ [𝑏; +∞) Tính giá trị biểu thức 𝑇 = 𝑎 + 𝑏 A 𝑇 = −8 B 𝑇 = −22 C 𝑇 = D 𝑇 = 22 Điều kiện xác định: 𝑥 + > ⟺ 𝑥 > − 8𝑚 + = 𝑥 + 2 ⟺ 4𝑙𝑜𝑔12(𝑥 + 2) − 4(𝑚 − 5)𝑙𝑜𝑔1 − 8𝑚 + = 𝑥 + 2 𝑙𝑜𝑔12 (𝑥 + 2)2 + 4(𝑚 − 5)𝑙𝑜𝑔1 ⟺ 𝑙𝑜𝑔12 (𝑥 + 2) − (𝑚 − 5)𝑙𝑜𝑔1(𝑥 + 2) − 2𝑚 + = (∗) (1) 2 −3 Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 2) với 𝑥 ∈ [ 2 ; 6] ⟹ 𝑡 ∈ [−3; 1] (1) ⟺ 𝑡 − (𝑚 − 5)𝑡 − 2𝑚 + = ⟺ 𝑡 − −𝑚𝑡 + 5𝑡 − 2𝑚 + = ⟺ 𝑚(𝑡 + 2) = 𝑡 + 5𝑡 + Nhận thấy 𝑡 = −2 không nghiệm nên 𝑚 = Xét hàm số 𝑓 (𝑡) = 𝑡 +5𝑡+1 𝑡+2 𝑡 +5𝑡+1 𝑡+2 (2) đoạn [−3; 1] 𝑡 + 4𝑡 + > (∀𝑡 ∈ [−3; 1]\{−2} (𝑡 + 2)2 Ta có bảng biến thiên : ⟹ 𝑓 ′ (𝑡) = −3 Để phương trình (∗) có nghiệm thuộc đoạn [ ; 6] phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn [−3; 1] 7 22 ⟹ 𝑚 ∈ (−∞; ] ∪ [5; +∞) ⟹ 𝑎 = ; 𝑏 = ⟹ 𝑇 = 𝑎 + 𝑏 = + = 3 3 Chọn đáp án D 35  Ví dụ 3: Có giá trị ngun m để phương trình 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) + 𝑚𝑙𝑜𝑔√𝑥+39 = 16 có hai nghiệm thỏa −2 < 𝑥1 < 𝑥2 A 17 B 16 C 14 D 15 Điều kiện xác định: 𝑥 > −3 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) + 𝑚𝑙𝑜𝑔√𝑥+39 = 16 (∗) ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) + 4𝑙𝑜𝑔𝑥+3 = 16 ⟺ 𝑙𝑜𝑔32 (𝑥 + 3) − 16𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) + 4𝑚 = Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3), phương trình (1) trở thành 𝑡 − 16𝑡 + 4𝑚 = (1) (2) Ta có: 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) ⟺ 𝑥 = 3𝑡 − Vì 𝑥 > −2 ⟺ 3𝑡 − > −2 ⟺ 𝑡 > Vậy để phương trình (∗) có hai nghiệm thỏa −2 < 𝑥1 < 𝑥2 phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt ∆′ > 64 − 4𝑚 > ⟹ {𝑡 + 𝑡2 = 16 > ⟺ { ⟺ < 𝑚 < 16 4𝑚 > 𝑡1𝑡2 = 4𝑚 > Vậy có 15 giá trị nguyên thỏa mãn Chọn đáp án D Bất phương trình logarit 4.1 Phương pháp 1: Phương pháp đưa số mũ hóa 4.1.1 Phương pháp: Ta có công thức sau 𝑎>1 { < 𝑓 (𝑥 ) ≤ 𝑎𝑏  𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑏 ⟺ [ 0 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 − 1) + 𝑙𝑜𝑔3 (11 − 2𝑥) ≥ ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (11 − 2𝑥) ≥ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 1) ⟺ 11 − 2𝑥 ≥ 𝑥 − > 𝑥>1 ⟺{ ⟺1 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3) Điều kiện xác định: 𝑥 > (∗) 𝑙𝑜𝑔3 √𝑥 − 5𝑥 + + 𝑙𝑜𝑔1√𝑥 − > 𝑙𝑜𝑔1(𝑥 + 3) 3 1 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 5𝑥 + 6) + 𝑙𝑜𝑔3−1 (𝑥 − 2) > 𝑙𝑜𝑔3−1 (𝑥 + 3) 2 1 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 [(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)] − 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 2) > − 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) 2 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 [(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)] > 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 2)-𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) 𝑥−2 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 [(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)] > 𝑙𝑜𝑔3 𝑥+3 𝑥−2 ⟺ (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) > 𝑥+3 ⟺ 𝑥 − 9𝑥 − > ⟺ [ 𝑥 > √10 𝑥 < −√10 Kết hợp với điều kiện (∗) ⟹ 𝑥 > √10 Vậy bất phương trình có nghiệm 𝑥 > √10 37  Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 − 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 𝑥+1 𝑥+3 >0 𝑥 > −3 Điều kiện xác định: { ⟺{ 𝑥+1 ≠0 𝑥 ≠ −1 Nếu 𝑥 + < ⟺ −3 < 𝑥 < −1 >0 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 − 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 3 >0 𝑥+1 ⟺ 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 − 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 < ⟺ 3𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) − 2𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 3) < ⟺ 3𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) − 2𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) < ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3)(3 − 2𝑙𝑜𝑔2 3) < ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) > (vì − 2𝑙𝑜𝑔2 < 0) ⟺ 𝑥 + > ⟺ 𝑥 > −2 ⟹ −2 < 𝑥 < −1 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Nếu 𝑥 + > ⟺ 𝑥 > −1 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 − 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 3 >0 𝑥+1 ⟺ 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 − 𝑙𝑜𝑔1 (𝑥 + 3)2 > ⟺ 3𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) − 2𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 3) > ⟺ 3𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) − 2𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) > ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3)(3 − 2𝑙𝑜𝑔2 3) > ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 3) < (vì − 2𝑙𝑜𝑔2 < 0) ⟺ 𝑥 + < ⟺ 𝑥 < −2 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛) Vậy bất phương trình có tập nghiệm 𝑆 = (−2; −1) 4.2 Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 4.2.1 Phương pháp Tương tự phương trình logarit phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp phổ biến tốn bất phương trình logarit 38 4.2.2 Ví dụ  Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < 2𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 Điều kiện xác định: 𝑥 > 𝑥 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − < 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < 2𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔2 (∗) Đặt 𝑢 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥, 𝑣 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 (∗) ⟺ 𝑢𝑣 − 2𝑢 − 𝑣 − < ⟺ (𝑢 − 1)(𝑣 − 2) < 𝑢−1 > 𝑢>1 { { ⟺[ 𝑣−2 𝑥>3 { { 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < ⟺[ ⟺[ 𝑥 Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 (5𝑥 + 2) Do 5𝑥 + > với 𝑥 nên 𝑙𝑜𝑔2 (5𝑥 + 2) > 𝑙𝑜𝑔2 = hay 𝑡 > 𝑙𝑜𝑔2 (5𝑥 + 2) + 2𝑙𝑜𝑔(5𝑥 +2)2 > > ⟺ 𝑡 − 3𝑡 + > 𝑡 𝑡2 𝑡>2 Khi 𝑙𝑜𝑔2 (5𝑥 + 2) > ⟺ 5𝑥 + > ⟺ 5𝑥 > ⟺ 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔5 ⟺𝑡+ Vậy bất phương trình có tập nghiệm 𝑆 = (𝑙𝑜𝑔5 2; +∞) ⟹ 𝑎 = 5, 𝑏 = ⟹ 2𝑎 + 3𝑏 = 2.3 + 3.2 = 11 39 Chọn đáp án B  Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔2 (8𝑥 )𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < Điều kiện xác định: 𝑥 > 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔2 (8𝑥 )𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < ⟺ 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 − (3 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥)𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 3𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥, bất phương trình trở thành: 𝑡 − (3 + 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 )𝑡 + 3𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < (1) ⟺ 𝑡 − 3𝑡 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 𝑡 + 3𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < ⟺ 𝑡 (𝑡 − 3) − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥(𝑡 − 3) < ⟺ (𝑡 − 3)(𝑡 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 ) < 𝑡−3 > 𝑡>3 { { 𝑡 − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 < 𝑡 < 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 ⟺[ ⟺[ 𝑡−3 < 𝑡 𝑡 > 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 > 𝑥 > 27 { { 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 < 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 𝑥 > 27 ⟺[ ⟺[ 𝑥 Điều kiện xác định: { 𝑥 với 𝑥 ∈ 𝑅 ⟹ tập xác định 𝐷 = 𝑅 +1>0 𝑙𝑜𝑔2 (2𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔3 (4𝑥 + 1) ≤ Xét hàm số 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑜𝑔2 (2𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔3 (4𝑥 + 1) 2𝑥 𝑙𝑛2 ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥 4.𝑙𝑛2 +1)𝑙𝑛2 + (4𝑥 +1)𝑙𝑛3 > (với 𝑥 ∈ 𝑅) ⟹ Hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến 𝑅 Mặt khác: 𝑓 (0) = 𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔3 = Do với 𝑥 ≤ ⟹ 𝑓 (𝑥 ) ≤ 𝑓 (0) ⟺ 𝑥 ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm 𝑆 = (−∞; 0]  Ví dụ 2: Tính tổng tất nghiệm nguyên bất phương trình 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 3) − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑥 − 4𝑥 + ≤ A B C D Điều kiện xác định: 𝑥 > Ta có: 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 3) − 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 𝑥 − 4𝑥 + ≤ ⟺ 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 3) + 𝑥 + ≤ 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 + 4𝑥 + ⟺ 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 3) + 𝑥 + ≤ 𝑙𝑜𝑔2 4𝑥 + 4𝑥 Xét hàm số 𝑓 (𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑡 + 𝑡 𝐷 = (0; +∞) ⟹ 𝑓 ′ (𝑡) = + > (∀𝑡 ∈ 𝐷 ) 𝑡 𝑙𝑛2 ⟹ Hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến 𝐷 (∗) ⟺ 𝑓(𝑥 + 3) ≤ 𝑓(4𝑥 ) ⟺ 𝑥 + ≤ 4𝑥 ⟺ 𝑥 + − 4𝑥 ≤ ⟺1≤𝑥≤3 Vậy tập hợp nghiệm nguyên bất phương trình 𝑆 = {1; 2; 3} Chọn đáp án B 41 (∗)  Ví dụ 3: Tập nghiệm bất phương trình 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥√𝑥 + + − 𝑥 ) + 2𝑥 + √𝑥 + ≤ (−√𝑎; −√𝑏) Khi 𝑎 𝑏 A 15 B 16 12 C 16 D 15 12 Ta có: 𝑥 √𝑥 + − 𝑥 = 𝑥 (√𝑥 + − 𝑥) = 2𝑥 √𝑥 + + 𝑥 Khi đó: 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 √𝑥 + + − 𝑥 ) + 2𝑥 + √𝑥 + ≤ ⟺ 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 (√𝑥 + − 𝑥) + 4) + 2𝑥 + √𝑥 + ≤ ⟺ 𝑙𝑜𝑔2 ( ⟺ 𝑙𝑜𝑔2 2𝑥 √𝑥 +2+𝑥 + 4) + 2𝑥 + √𝑥 + ≤ 2(3𝑥 + 2√𝑥 + 2) √𝑥 +2+𝑥 + 2𝑥 + √𝑥 + ≤ (1) Ta có: √𝑥 + + 𝑥 (∀𝑥 ∈ 𝑅 ) Điều kiện: 3𝑥 + 2√𝑥 + > ⟺ 2√𝑥 + > −3𝑥 𝑥≥0 𝑥 −√ 4𝑥 + > 9𝑥 Với điều kiện (∗), bất phương trình (1) trở thành : ⟺[ { (∗) 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 + 2√𝑥 + 2) + 3𝑥 + 2√𝑥 + ≤ 𝑙𝑜𝑔2 (√𝑥 + + 𝑥) + √𝑥 + + 𝑥 Xét hàm số 𝑓 (𝑡) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑡 + 𝑡 (𝑡 > 0) ⟹ 𝑓 ′ (𝑡) = + > (∀𝑡 ∈ (0; +∞)) 𝑡 𝑙𝑛2 ⟹ Hàm số 𝑓(𝑡) đồng biến (0; +∞) 𝑙𝑜𝑔2 (3𝑥 + 2√𝑥 + 2) + 3𝑥 + 2√𝑥 + ≤ 𝑙𝑜𝑔2 (√𝑥 + + 𝑥) + √𝑥 + + 𝑥 ⟺ 𝑓(3𝑥 + 2√𝑥 + 2) ≤ 𝑓 (√𝑥 + + 𝑥) ⟺ 3𝑥 + 2√𝑥 + ≤ √𝑥 + + 𝑥 ⟺ √𝑥 + ≤ −2𝑥 ⟺ { −2𝑥 ≥ 𝑥≤0 √ ⟺ { ⟺ 𝑥 ≤ − 𝑥 + ≤ 4𝑥 3𝑥 ≥ 42 (∗∗) Từ (∗) (∗∗) suy −√ < 𝑥 ≤ −√ Vậy bất phương trình có tập nghiệm 𝑆 = (−√ ; −√ ] 8 16 ; 𝑏 = ⟹ 𝑎 𝑏 = = 5 15 Chọn đáp án C ⟹𝑎=  Đối với tốn bất phương trình có chứa tham số Để giải bất phương trình logarit chứa tham số, ta áp dụng tất phương pháp để giải vấn đề  Ví dụ Xét bất phương trình 𝑙𝑜𝑔22 (2𝑥 ) − 2(𝑚 + 1)𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − < Tìm tất giá trị tham số 𝑚 để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng (√2; +∞) A 𝑚 ∈ (− ; 0) B 𝑚 ∈ (0; +∞) C 𝑚 ∈ (−∞; 0) D 𝑚 ∈ (− ; +∞) Ta có: 𝑙𝑜𝑔22 (2𝑥 ) − 2(𝑚 + 1)𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − < ⟺ 𝑙𝑜𝑔22 𝑥 − 2𝑚𝑙𝑜𝑔2 𝑥 − < (1) Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥, 𝑥 ∈ (√2; +∞) nên 𝑡 ∈ ( ; +∞) 𝑡2 − (1) ⟺ 𝑡 − 2𝑚𝑡 − < ⟺ 2𝑚𝑡 > 𝑡 − ⟺ 2𝑚 > 𝑡 Xét hàm số 𝑓 (𝑡) = 𝑡 −1 𝑡 với 𝑡 ∈ ( ; +∞) Bất phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng (√2; +∞) bất phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng ( ; +∞) Bảng biến thiên 43 Từ bảng biến thiên suy bất phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng 3 (√2; +∞) 2𝑚 > − ⟺ 𝑚 > − Chọn đáp án D  Ví dụ 2: Có số ngun m cho bất phương trình 𝑙𝑛5 + ln(𝑥 + 1) ≥ ln(𝑚𝑥 + 4𝑥 + 𝑚) có tập nghiệm 𝑅 A B C 𝑙𝑛5 + ln(𝑥 + 1) ≥ ln(𝑚𝑥 + 4𝑥 + 𝑚) ⟺ 𝑙𝑛(5𝑥 + 5) ≥ ln(𝑚𝑥 + 4𝑥 + 𝑚) ≥ 𝑚𝑥 + 4𝑥 + 𝑚 ⟺ {5𝑥 + 𝑚𝑥 + 4𝑥 + 𝑚 > 5𝑥 + − 4𝑥 ≥ 𝑚(𝑥 + 1) ⟺{ 𝑚(𝑥 + 1) > −4𝑥 5𝑥 + − 4𝑥 𝑚≤ = 𝑓(𝑥) 2+1 𝑥 ⟺{ −4𝑥 𝑚> = 𝑔(𝑥) 𝑥 +1 Ta có: 5𝑥 + − 4𝑥 4𝑥 − ′ 𝑓(𝑥 ) = ⟹ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥2 + 𝑥 +1 4𝑥 − ′( ) ⟹𝑓 𝑥 =0⟺ = ⟺ 𝑥 = ±1 𝑥 +1 Bảng biến thiên: −4𝑥 4𝑥 − ′ 𝑔(𝑥 ) = ⟹ 𝑔 (𝑥 ) = 𝑥 +1 𝑥 +1 4𝑥 − ′( ) ⟹𝑔 𝑥 =0⟺ = ⟺ 𝑥 = ±1 𝑥 +1 44 D Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để bất phương trình có tập nghiệm 𝑅 < 𝑚 ≤ Vậy có giá trị nguyên 𝑚 = Chọn đáp án C  Ví dụ 3: Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 −4𝑥+𝑚 𝑥 +𝑥+2 ≤ 2𝑥 + 7𝑥 + − 𝑚 có nghiện với 𝑥 thuộc đoạn [1; 5] A 11 B 10 C D 12 Điều kiện xác định: 𝑥 − 4𝑥 + 𝑚 > ⟺ (𝑥 − 2)2 > − 𝑚 (1) Theo đề: ∀𝑥 ∈ [1; 5] ⟹ ≤ 𝑥 ≤ ⟺ −1 ≤ 𝑥 − ≤ ⟺ ≤ (𝑥 − 2)2 ≤ (2) Từ (1) (2) suy − 𝑚 < ⟺ 𝑚 > (3) 𝑥 − 4𝑥 + 𝑚 𝑙𝑜𝑔3 ≤ 2𝑥 + 7𝑥 + − 𝑚 𝑥 +𝑥+2 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 4𝑥 + 𝑚) − 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 𝑥 + 2) ≤ 2𝑥 + 7𝑥 + − 𝑚 ⟺ 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 4𝑥 + 𝑚) + 𝑥 − 4𝑥 + 𝑚 ≤ 𝑙𝑜𝑔3 3(𝑥 + 𝑥 + 2) + 3(𝑥 + 𝑥 + 2) Xét hàm số 𝑓 (𝑡) = 𝑡 + 𝑙𝑜𝑔3 𝑡 (0; +∞) ⟹ 𝑓 ′ (𝑡) = + > (∀𝑡 ∈ (0; +∞)) 𝑡 𝑙𝑛𝑡 ⟹ 𝑓(𝑡) đồng biến (0; +∞) 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 − 4𝑥 + 𝑚) + 𝑥 − 4𝑥 + 𝑚 ≤ 𝑙𝑜𝑔3 3(𝑥 + 𝑥 + 2) + 3(𝑥 + 𝑥 + 2) ⟺ 𝑓(𝑥 − 4𝑥 + 𝑚) ≤ 𝑓(3𝑥 + 3𝑥 + 6) ⟺ 𝑥 − 4𝑥 + 𝑚 ≤ 3𝑥 + 3𝑥 + ⟺ 2𝑥 + 7𝑥 + ≥ 𝑚 (∗) −7 Xét hàm số 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥 + 7𝑥 + hàm số đồng biến ( biến đoạn 𝑥 ∈ [1; 5] 45 ; +∞) nên đồng ⟹ 𝑔(𝑥 ) ≥ 𝑔(1) = 15 ⟹ (∗) nghiệm ∀𝑥 ∈ [1; 5] ⟹ 𝑚 ≤ 𝑔(𝑥 ) = 𝑔(1) = 15 𝑥∈[1;5] Kết hợp điều kiện (3) ⟹ 𝑚 ∈ {5; 6; … ; 14; 15} Có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn Chọn đáp án A 46 KẾT LUẬN Luận văn “Một số phương pháp giải dạng toán logarit chương trình tốn THPT” thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: Hệ thống kiến thức logarit chương trình tốn phổ thơng Trình bày số phương phái giải dạng tốn logarit chương trình tốn phổ thơng Cụ thể luận văn đưa dạng tốn (Các dạng tốn cơng thức biến đổi logarit, hàm số logarit, phương trình logarit, bất phương trình logarit) Đối với dạng tốn giới thiệu phương pháp giải tương ứng kèm theo nhiều ví dụ minh họa Với khảo sát dược khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho thân để ứng dụng giảng dạy toán THPT hi vọng nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm dạng tốn logarit chương trình tốn THPT Trong q trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy cơ, bạn đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện em có nhiều kinh nghiệm nghiệm giảng dạy sau Em xin chân thành cảm ơn! 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Hồnh Phị (2018), Các Chun Đề Bám Sát Đề Thi Thpt Quốc Gia Hàm Số & Phương Trình Mũ – Logarit, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Lê Văn Tuấn (Chủ biên), Đặng Công Đức, Nguyễn Thế Duy (2019), Tự Học Mũ Logarit, Nhà xuất Hồng Đức [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, Tái lần thứ 13, Nhà xuất giáo dục Việt Nam 48