Đề thi học sinh giỏi toán 23 24

UBND HUYỆN VÂN CANH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: Thời gian: Ngày thi: Tốn lớp 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) 15/10/2023 Bài 1:(3điểm)  x 1  x3  2x2 Q 1     : 2 x  x  x  x    x  x x Cho biểu thức a, Rút gọn Q b, Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị ngun Bài 2: (6điểm) a, Tìm hệ số a để đa thức f(x) = x3 – 8x2 + ax – chia hết cho đa thức g(x) = x2 – 3x + b, Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n3 – n chia hết cho 24  x  y  z 3  c, Tìm số dương x, y, z thỏa mãn  x  y  z  xy  yz  zx 6 Bài 3: (3điểm) Cho ABC có đường phân giác AD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho   ECD BAD a, Chứng minh AD.DE BD.CD b, Chứng minh AD AB.AC  BD.CD Bài 4:(4điểm) a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  12 x  36  x  16 x  64 xy  x , y , z x  y  z  xyz b, Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh Bài 5: (4điểm) Cho tam giác ABC nhọn điểm P thuộc miền tam giác Gọi D, E , F theo thứ tự hình chiếu P cạnh BC , CA, AB 2 2 2 a, Chứng minh BD  CE  AF DC  EA  FB 2 b, Xác định vị trí điểm P ABC để tổng DC  EA  FB đạt giá trị nhỏ (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm.) UBND HUYỆN VÂN CANH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 – 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI Mơn: Tốn lớp Bài ( Gồm có 03 trang) Yêu cầu cần đạt  x 1  x3  x Q 1     : 2 x  x  x  x  x  0;  1;2   x  x x a, ĐK: Ta có: x 1  x 1  x2  x 1 x2  x 1 1  x  x  2  x  1 x  x    Bài 1a 1    0,75điểm   x  x  2 x2  x 1  2x2  4x x2  x 1    x  1 x  x  x  x    x  1 x  x  x  x    Điểm   2 x  x 1 x 1 Bài 1b Lập luận để Q  Z  x    3;  2;1 Thực phép chia đa thức, tìm phần dư là: (a – 16)x 1  Bài 2a Để f(x) chia hết cho g(x) (a – 16)x đa thức không  (a  16) x 0, x  a  16 0  a 16 Ta có: n3 – n = n(n – 1)(n + 1) Vì n – 1, n, n + ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho Do đó: n(n – 1)(n + 1) chia hết cho Bài 2b Vì n – 1, n, n + ba số tự nhiên liên tiếp n số lẻ nên có số chia hết cho số chia hết cho Do đó: n(n – 1)(n + 1) chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 24 Vậy n3 – n chia hết cho 24 (đpcm) Bài 2c  x  y  z 3  Từ GT ta suy ra:  2( x  y  z )  xy  yz  zx 12 0,75 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,5điểm 0,5 điểm Cộng vế theo vế ta được: (x + y + z)2 + 2(x + y + z) = 15  [(x + y + z) + 1]2 = 16  x + y + z = (vì x, y, z > 0)  xy + yz + zx =  x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx  2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx =  (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 =  x  y z 1,0 điểm 0,5điểm Thay x = y = z vào giả thiết x2 + y2 + z2 = suy x = y = z = *Chứng minh AD.DE BD.CD - Chứng tỏ hai tam giác ADB CDE A 3a B đồng dạng theo trường hợp góc – góc AD CD   AD.DE BD.CD Suy BD DE (1) AD AB.AC  BD.CD * Chứng minh C D 1điểm - Chứng tỏ hai tam giác ABD AEC đồng E 3b 1điểm dạng, suy AD.AE = AB.AC (2) - Lấy (2) trừ (1) theo vế kết : 1điểm AD AB.AC  BD.CD A  x  12 x  36  x  16 x  64  Bài 4a   x  8  x  y  x     x  0 hay x 8 4xy (1)    x  y   z  4(x  y)z  36 4(x  y)z (vì x  y  z 6 )  36(x  y) 4(x  y) z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Ta có: 0,5 điểm 0,75 A  x   x   x    x  x    x 2 Vậy giá trị nhỏ A Bài 4b  x  6 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Từ (1) (2), ta có: 36(x  y) 16xyz xy 4   x  y  xyz  xyz (đpcm) 2 2 2 A * BD  CE  AF DC  EA  FB 0,5 điểm Ta có: 1điểm E F Bài 5a 2 BD  CE  AF P  PB  PF    PC  PD    PA2  PE  B Bài 5b Giả sử: D C  BD  CE  AF FB  DC  EA2 1điểm BD DC  BD  DC 0 0,5điểm 2   BD  DC  0  BD  DC 2BD.DC   BD  DC  BD  BD.DC  DC   BD  DC  BC  BD  DC  BC 2 0,5điểm Chứng minh tương tự: Từ suy ra: BD  DC  DC  EA2  FB  BC AC AB ; CE  AE  ; BF  AF  2 BC AB  BC  CA2  ; BD  DC   Dấu “=” xảy D trung điểm BC điểm 2 Nên tổng DC  EA  FB đạt giá trị nhỏ D, E , F theo thứ tự trung điểm BC , CA, AB nghĩa P giao điểm đường trung trực cạnh BC , CA, AB Điểm số tồn làm trịn đến chữ số thập phân; cách giải khác phù hợp với chương trình nâng cao bậc THCS chấp nhận …………………………………… o0o…………………………………………