Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 54 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ng sa ki en nh ki ng MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………… I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI………………………………………………… II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU…… Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… Phạm vi nghiên cứu………………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………… III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU…………………………………… IV CẤU TRÚC…………………………………………………………… V TÍNH MỚI…………………………………………………………… B NỘI DUNG……………………………………………………………… I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN…………………………………… Cơ sở lí luận………………………………………………………… 1.1 Khái niệm tư duy……………………………………………… 2.2 Năng lực tư lập luận toán học…………………………… Cơ sở thực tiễn……………………………………………………… II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN…………………………………………… Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc…………………………………………………… Phân tích định hướng giải số tốn…………………………… Khảo sát tính cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 3.1 Mục đich khảo sát……………………………………………… 3.2 Nội dung khảo sát……………………………………………… 3.3 Phương pháp khảo sát…………………………………………… 3.4 Đối tượng khảo sát……………………………………………… 3.4.1 Tính cấp thiết giải pháp đề xuất……………… 3.4.2 Tính khả thi giải pháp đề xuất…………………… Kết thực hiên…………………………………………………… C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT …………………………………………… I KẾT LUẬN…………………………………………………………… Các vấn đề giải quyết……………………………………………… Hướng phát triển……………………………………………………… II KIẾN NGHỊ………………………………………………………… Đối với giáo viên…………………………………………………… Đối với học sinh……………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… PHỤ LỤC…………………………………………………………………… em hi w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu 1 2 2 2 3 3 4 tz a nh z vb k jm ht 27 41 41 41 41 42 42 42 43 44 44 44 44 44 44 44 46 47 co l gm m L ng sa ki en nh ki ng A ĐẶT VẤN ĐỀ em hi I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong công Đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo địi hỏi Giáo dục phổ thơng phải có “chuyển biến bản, tồn diện chất lượng hiệu quả; góp phần chuyển giáo dục nặng truyền thụ kiến thức sáng giáo dục phát triển toàn diện phẩm chất lực Trong xu hướng dạy học chuyển từ phương thức dạy học theo tiếp cận nội dung sang dạy học theo tiếp cận lực w n lo ad th u yj Ở trường THPT, mơn tốn có vai trị, vị trí quan trọng việc góp phần hình thành “phát triển toàn diện phẩm chất lực người học” Trong lực tốn học bao gồm thành tố: lực tư và lập luận tốn học; lực mơ hình hóa tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp tốn học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện toán học Năng lực tư lập luận tốn học biểu thơng qua việc thực hành động sau: y ip la an lu va n - So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch oi m ll fu - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lý trước kết luận tz a nh - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện tốn học z Trong q trình dạy học, nhiều thầy giáo để học sinh vị trí người giải tốn sau thầy giáo đề Điều làm giảm tính sáng tạo học sinh Một thực tế phổ biến suy nghĩ học sinh đứng trước tốn, thường em nghĩ đến việc làm để giải tốn Và tìm cách giải, gần em không suy nghĩ toán tương tự, trường hợp đặc biệt hay tổng qt tốn nào, liệu cách giải tốn áp dụng cho tốn hay khơng, lại thế, Cũng lí này, em thường thấy toán dạng rời rạc mà khơng tìm tính hệ thống chúng Điều làm cho số em thiếu động lực q trình học tập mơn tốn, đặc biệt đứng trước tốn khó Với mục đích giúp em định hướng việc “bắc nhịp cầu nhỏ” toán đơn giản đến tốn khó, từ tạo niềm tin, động lực việc học tốn, tơi xin nêu số giải pháp thông qua việc kiến tạo toán vb k jm ht co m L l gm Trong chương trình Hình học 11, Hình học 12 THPT, chủ đề hình học khơng gian chủ đề trọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn cao Đặc biệt tốn cực trị hình học khơng gian gây khơng khó khăn cho người học; toán loại xuất nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 kỳ thi TN THPT, kỳ thi đánh giá lực (các trường đại học dùng để tuyển sinh) mức độ vận dụng đề thi Để học tốt chủ ng sa ki en nh ki ng đề người học việc nắm vững hệ thống kiến thức cần có thêm nhiều kỹ giải, có lực tư lập luận tốn học Vì vậy, trình dạy học, người dạy biết cách khai thác sáng tạo toán cực trị hình học khơng gian từ kiến thức bản, tập đơn giản khơng giúp em học tập có hiệu mà cịn tạo hứng thú học tập cho em học sinh, cịn góp phần quan trọng việc rèn luyện phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh em hi w n lo ad Từ ý tưởng lý nêu trên, tác giả định chọn đề tài nghiên cứu “Góp phần phát triển lực tư lập luận tốn học cho học sinh thơng qua tốn hình học khơng gian” Đề tài cơng trình nghiên cứu tơi, chưa cá nhân, tập thể cơng trình giáo dục cơng bố tài liệu, sách báo diễn đàn giáo dục th u yj y ip la II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU an lu Đối tượng n va - Học sinh lớp 11, 12 Trường THPT Phạm vi oi m ll fu - Chương trình mơn Tốn phổ thơng (trước chương trình GDPT 2018) z vb Xác định vai trị ứng dụng đề tài nghiên cứu tz Nhiệm vụ nghiên cứu a nh Đề tài nghiên cứu HS lớp 11, 12 trường THPT Lê Lợi, huyện Tân Kỳ, số trường THPT địa bàn tỉnh Nghệ An k jm ht Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề lí luận thực tiễn dạy học liên quan đến đề tài - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp phân tích - tổng hợp, so sánh - Phương pháp khảo sát tính cấp thiết tính khả thi giải pháp IV CẤU TRÚC Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung đề tài tập trung vào số vấn đề sau: L III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU m Nhận định kết thông qua việc đối chiếu, đánh giá kết trước sau áp dụng đề tài rong trình giảng dạy thân co Vận dụng giải pháp nhằm khắc phục tình trạng tư lề lối, thiếu sáng tạo khả trình bày vấn đề tốn học thiếu logic l gm Đánh giá thực trạng lực tư lập luận toán học học sinh THPT ng sa ki en nh ki ng - Cơ sở đề tài em hi - Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc - Phân tích định hướng giải số toán w n - Khảo sát đánh giá hiệu trình thực giải pháp lo V TÍNH MỚI CỦA ĐỀ TÀI ad th Thứ nhất, đề tài trình bày sở lí luận thực tiễn vấn đề phát triển lực tư lập luận cho học sinh thông qua khai thác sáng tạo tốn tìm tốn cực trị hình học khơng gian u yj y ip Thứ hai, đề tài xây dựng lớp tốn cực trị hình học khơng gian dựa đẳng thức bất đẳng thức quen thuộc la an lu Thứ ba, đề tài phân tích định hướng giải cho số toán cực trị hình học khơng gian va n B NỘI DUNG a nh 1.1 Khái niệm tư oi m ll Cơ sở lí luận fu I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN tz Theo từ điển tiếng Việt “Tư trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính chất quy luật vật, tượng ”(Hoàng Phê 1998) Nguyễn Thanh Hưng (2019, tr 184) cho rằng: “tư giai đoạn cao nhận thức, sâu vào chất phát quy luật vật hình thức biểu tượng, phán đốn, suy lí, Đối tượng tư hình ảnh, biểu tượng, kí hiệu Các thao tác tư chủ yếu gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ” z vb k jm ht + So sánh tương tự: so sánh xác định giống hay khác nhau, đồng hay không đồng nhất, hay không Tương tự là phát giống đối tượng + Trừu tượng hóa: trừu tượng hóa tách đặc điểm chất khỏi đặc điểm khơng chất L Để phân tích nội dung vật, tượng, vận dụng biện pháp nêu giả thuyết, so sánh, đối chiếu,… phép lập luận giải thích, chứng minh Tổng hợp phép lập luận rút chung từ vấn đề phân tích Khơng có phân tích khơng có tổng hợp m + Phân tích tổng hợp: phân tích phép lập luận trình bày phận, phương diện vấn đề để nhằm nội dung vật, tượng co l gm Trong đó: ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng + Khỏi quat hóa đặc biệt hóa: khái quát hóa chuyển từ tập hợp đối tượng sáng tập hợp lớn chứa tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa chuyển từ việc khảo sát sang tập nhỏ tập ban đầu em hi 1.2 Năng lực tư lập luận toán học w Cuộc sống cơng nghệ thời đại 4.0 chắn người cần phải có lực tư n lo ad Thế lực tư duy? th u yj Là khả tự suy nghĩ tự giải vấn đề để mang lại kết tốt Với người sở hữu lực tư người có tính linh hoạt cao, có khả lắng nghe quan sát định đắn hiệu y ip la Theo nhà tâm lý học hàng đầu lĩnh vực cho biết, cách đánh giá lực tư phải đánh giá qua tị mị, thích khám phá tưởng tượng, tư sáng tạo an lu va n Thế lực tư lập luận toán học ? oi m ll fu Theo Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Tốn (Bộ GD-ĐT, 2018), biểu yêu cầu cần đạt lực tư lập luận toán học học sinh THPT tổng hợp bảng sau: a nh Yêu cầu cần đạt HS cấp THPT tz Năng lực tư lập luận toán học thể qua việc z Thực tương đối thành thạo thao tác tư duy, đặc biệt phát tương đồng khác biệt tình tương đối phức tạp lí giải kết vic quan sỏt vb k jm ht (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian L Từ tốn quen thuộc, HS tự tìm lời giải cho tốn tương tự, tìm khác toán, cao phát biểu tốn m Giải thích điều chỉnh Nêu trả lời câu hỏi lập luận, cách thức giải vấn đề giải vấn đề Giải thích, chứng phương diện tốn học minh, điều chỉnh giải pháp thực phương diện toán học co Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết Sử dụng phương pháp lập lập luận hợp lí trước kết luận luận, quy nạp suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải vấn đề l gm Thực thao tác tư như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; quy np, din dch ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Cơ sở thực tiễn em hi Qua thực tiễn dạy học mơn tốn, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, thân tối nhận thấy: - Học sinh THPT cịn yếu Tốn kiến thức bị hổng từ cấp dưới, thêm vào chưa chịu khó suy nghĩ, tư trình học tập; w n lo - Học sinh học tập cịn thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân; ad th - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa chủ động, tích cực để tham gia vào hoạt động học tập để lĩnh hội kiến thức nên kết học tập chưa cao u yj y ip la - Nhiều học sinh học tập giải tập Toán, quan tâm đến kết tốn hay sai, hài lịng với lời giải mình; tìm tịi lời giải khác, khơng khai thác để phát triển tốn, sáng tạo tốn nên khơng phát huy nhiều tính tích cực, độc lập sáng tạo thân an lu va n - Trong trình dạy học luyện tập trường phổ thơng, khơng Giáo viên chữa tập đơn lẻ cho học sinh, tập mang tính áp dụng, chưa thực trọng để khai thác, phát triển sáng tạo tốn Do khơng phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo, khó hình thành phát triển lực tư cho học sinh oi m ll fu tz a nh II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN z Để phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác phát triển lực tư lập luận cho HS, trình dạy học luyện tập dạy học tập toán, giáo viên ln trọng định hướng để HS tìm tịi nhiều cách giải cho toán, khai thác phát triển để sáng tạo nhiều toán từ toán cho vb k jm ht m L Trong sách SGK Hình học 11 Nâng cao có tốn sau: Bài tốn: Trong khơng gian cho tam giác ABC a Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) có ba số x, y , z mà x y z cho OM xOA yOB zOC với điểm O b Ngược lại có điểm O khơng gian cho OM xOA yOB zOC , x y z điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) (Trích trang 91 SGK Hình hc 11 Nõng cao ca nh XBGDVN) (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian co Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc l gm Trong phạm vi đề tài, lựa chọn việc khai thác sáng tạo tốn nâng cao khả phân tích để tìm hng gii cho cỏc bi toỏn ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Lời giải a Vì AB, AC hai vectơ khơng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) có số thực m, n cho: AM m AB n AC hay OM OA m OB OA n OC OA với điểm O Tức OM 1 m n OA mOB nOC Đặt x 1 m n , y m, z n Ta có: OM xOA yOB zOC với x y z b Giả sử OM xOA yOB zOC , x y z , ta có: OM OA y AB z AC hay AM y AB z AC Mà AB, AC hai vectơ không phương nên điểm M thuộc mặt phẳng ( ABC ) em hi w n lo ad th u yj y ip la an lu Nhận xét: Cho hình chóp S ABC O điểm không gian Điều kiện cần đủ để M ( ABC ) OM xOA yOB zOC với x y z va n Bây giờ, ta vận dụng nhận xét để hướng học sinh giải tạo số toán sau: oi m ll fu tz a nh Bài toán Cho hình chóp S ABC có G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( P) cắt tia SA, SB, SC , SG A1 , B1 , C1 , G1 Chứng minh SA SB SC SG 3 (*) SA1 SB1 SC1 SG1 z vb Lời giải k co l gm m SA SB SC SG 3 SA1 SB1 SC1 SG1 L Đặc biệt: Nếu G1 trọng tâm tứ diện SABC sau : jm Vì G1 ( A1B1C1 ) nên ta có : ht Ta có G trọng tâm tam giác ABC nên GA GB GC SA SB SC 3SG hay SA SB SC SG SA1 SB1 SC1 SG1 SA1 SB1 SC1 SG1 SG , nên ta có hệ thức SG1 SA SB SC Từ đây, ta có tốn 2: SA1 SB1 SC1 Bài tốn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 cắt tia SA, SB, SC A1 , B1, C1 Chứng minh SA SB SC SA1 SB1 SC1 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng em hi Nhận xét: Cho mặt phẳng ( P ) qua trung điểm cạnh SC hay kết hợp với hệ thức SC 2, SC1 SA SB SC SA SB , ta có: Ta đề xuất toán SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 w 3, sau: n Bài tốn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Chứng SA SB minh 2 SA1 SB1 lo ad th u yj y Bài toán Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua SA SB điểm G1 cắt tia SA, SB A1 , B1 thỏa mãn SA1 SB1 Chứng minh ( P) chứa đường thẳng cố định ip la an lu n va Nhận xét: Xét toán BĐT sau: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a b Tìm GTNN P a b ab oi m ll fu Lời giải a nh 1 (1 1) 2 2 2 a b ab a b 2ab 2ab a b 2ab 2ab tz Ta có: P z vb jm ht 7 ( a b) hay P Mặt khác ab 1 P 1 ( a b)2 2ab 2ab Dấu xảy a b Bây ta kết hợp BĐT với 2 SA SB SA SB hệ thức , đó: , với việc xem a , b SA1 SB1 SA1 SB1 k Nên P a b Chứng minh ab(a b ) (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian L Nhận xét: Xét toán BĐT sau: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn m ( SA1.SB1 )2 SA1.SB1 trị nhỏ biểu thức P 2 ( SA.SB1 ) ( SB.SA1 ) SA.SB co Bài toán Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Tìm giá l gm ( SA1.SB1 )2 SA1.SB1 SA SB Dấu xảy hay 2 ( SA.SB1 ) ( SB.SA1 ) SA.SB SA1 SB1 A A1 , B B1 , ta thấy điểm A, B, C1 , G1 đồng phẳng Ta có tốn 5: P ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Li gii em hi 1 (2ab a b ) Áp dung BĐT Cauchy, ta có ab(a b ) (2ab)(a b ) 2 (a b) ab(a b ) Dấu xảy a b 2 w n lo SA SB SA , với việc xem a , SA1 SB1 SA1 SB SA SB SB SA ab( a b ) a 3b b3a ( b ) ( ) Dấu SB1 SA1 SB1 SB1 SA1 SA SB xảy hay A A1 , B B1 Ta thấy điểm A, B, C1 , G1 SA1 SB1 đồng phẳng Nên ta đề nghị toán 6: ad Bây ta kết hợp BĐT với hệ thức th u yj y ip la an lu n va Bài toán Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Tìm giá SA SB SB SA trị lớn biểu thức P ( ) ( ) SA1 SB1 SB1 SA1 oi m ll fu tz a nh Nhận xét: Xét toán BĐT sau: Cho a, b thỏa mãn a b 1 Chứng minh 2 4a b 2ab z 1 1 ( ) 2 2 4a b 2ab a b 6ab 3ab (a b) 4ab 3ab k jm ht Ta có P vb Lời giải SA12 SB12 SA SB 1 2 2 SA1 SB1 SA SB SA.SB SA SB hay A A1 , B B1 Ta thấy điểm SA1 SB1 A, B, C1 , G1 đồng phẳng Từ đây, ta đề nghị toán 7: Du bng xy (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian L m SA SB , với việc xem SA1 SB1 1 1 SA SB , a , b 2 4a b 2ab ( SA ) ( SB )2 SA SB SA1 SB1 SA1 SB1 SA1 SB1 Bây ta kết hợp BĐT với hệ thức co l ( a b) , (vì ab ) Dấu xảy a b 444 3 gm hay P ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Bi toỏn Cho tứ diện SABC có trọng tâm G1 Mặt phẳng ( P ) qua điểm G1 trung điểm cạnh SC cắt tia SA, SB A1 , B1 Tìm GTNN em hi biểu thức P SA12 SB12 SA SB 1 2 2 4SA1 SB1 SA SB 2SA.SB w n Nhận xét: Từ hệ thức lo SA SB SC SG , Ta đề xuất toán 8: 3 SA1 SB1 SC1 SG1 ad th Bài tốn Cho hình chóp S ABC Mặt phẳng ( P ) cắt tia SA, SB, SC SA SB SC A1 , B1 , C1 Biết m , với m số thực dương cho trước SA1 SB1 SC1 Chứng minh ( P) qua điểm cố định u yj y ip la Lời giải lu an Gọi G trọng tâm tam giác ABC mặt phẳng ( P ) cắt đoạn thẳng SG G1 Ta SA SB SC SG SG m có m 3 m , suy điểm G1 cố định SA1 SB1 SC1 SG1 SG1 n va fu oi m ll Nhận xét: Ta áp dụng hệ thức đặc biệt G1 trọng tâm tứ diện SABC SA SB SC SA SB SC SA SB SC BĐT: ( ) ( ) ( ) ( ) hay SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SC1 SA SB SC 16 SA SB SC SG ( ) ( ) ( ) Dấu xảy SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SC1 SG1 hay mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( ABC ) Ta thu toán 9: tz a nh z vb k jm ht Bài toán Cho tứ diện SABC Mặt phẳng ( P) qua trọng tâm tứ diện SABC cắt tia SA, SB, SC A1 , B1, C1 Tìm GTNN biểu thức SA SB SB SC SC SA 16 Từ ta có tốn 10: SA1 SB1 SB1 SC1 SC1 SA1 Bài toán 10 Cho tứ diện SABC Mặt phẳng ( P) qua trọng tâm tứ diện SABC cắt tia SA, SB, SC A1 , B1 , C1 Tìm GTLN biểu thức Q SA SB SB SC SC SA SA1 SB1 SB1 SC1 SC1 SA1 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian L Suy ra: m SA SB SC kết SA1 SB1 SC1 SA SB SC SA SB SB SC SC SA hợp với BĐT: ( ) 3( ) SA1 SB1 SC1 SA1 SB1 SB1 SC1 SC1 SA1 Nhận xét: Khi G1 trọng tâm tứ diện SABC tà có co l SA SB SC ) ( ) ( ) SA1 SB1 SC1 gm Q( ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng a a a Áp dụng BĐT ( ab bc ca ) (a b c) ta có 4D ' I 4D ' K 4D ' H em hi 1 1 1 ( ) D ' H D ' I D ' I D ' K D ' K D ' H D ' I D ' H D ' K 3a T w 3a Nghĩa mặt phẳng ( P) qua G D'H D'I D'K 3a song song với mặt phẳng ( ABC ) Vậy GTLN T 3a n T lo ad th u yj y Bài toán 14 Cho tứ diện ABCD có đường cao AH Mặt phẳng P chứa AH cắt ba cạnh BC , CD, BD M , N , P ; gọi ; ; góc hợp AM , AN , AP với mặt phẳng BCD Chứng minh: tan tan tan 12 ip la lu n va Phân tích định hướng giải an ( Trích đề HSG Tỉnh Bắc Ninh lớp 11 Năm học 2018-2019) 1 18 2 2 MH NH PH a oi m ll fu Ta thấy tan tan tan 12 tương đương với Từ đây, ta tìm cách liên hệ độ dài MH , NH , PH với a để chứng minh đẳng thức a nh Lời giải tz z vb k jm ht co l gm Ta có tam giác HMI HNJ vuông I J nên tứ giác HICJ nội tiếp IH J 1200 1 1200 39 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian L Xột tam giác BCD , từ H kẻ HI , HJ , HK vng góc với BC , CD, BD Khơng tính tổng qt, ta giả sử M thuộc đoạn BI gọi 1 , 2 , 3 ba góc hợp HM , HN , HP với ba cạnh BC , CD, BD m Đẳng thức cần chứng 1 18 minh tan tan tan 12 tương đương với 2 2 MH NH PH a Gọi a độ dài cạnh tứ diện ABCD ú AH a ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Mặt khác tổng ba góc tam giác BMP 1800 nên em hi BPM B 1800 (180 ) 600 1800 600 Từ suy BMP 3 1 12 (sin 1 sin sin 3 ) 2 HM HN PH a w 12 [sin 1 sin (1200 1 ) sin (1 600 ) a2 [1 cos 21 cos 2(1200 1 ) cos 2(1 600 )] a 1 1 18 [3 cos 21 cos 21 sin 21 cos 21 sin 21 ] 2 a 2 2 a n lo ad th u yj y ip la an lu Vậy tan tan tan 12 n va Bài tốn 16 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D " Một mặt phẳng ( P) cắt tia AB, AD, AA ', AC ' M , N , P, Q , gọi H hình chiếu A lên oi m ll fu ( P) Chứng minh AQ AH ( Trích đề HSG Hà Nội Lớp 12 Năm học 2018-2019) 1 , kết hợp với hệ AQ AM AN AP tz z Dựa vào kết phần trên, ta có hệ thức: a nh Phân tích định hướng giải vb k Lời giải jm 1 1 Từ đây, ta đưa lời giải 2 AH AM AN AP ht thức quen thuộc co l gm m L Theo quy tăc hình hộp, ta có: AC ' AB AD AA ' AC ' AB AD AA ' AQ AM AN AP AQ AM AN AP Mà M , N , P, Q đồng phẳng nên AC ' AB AD AA ' 1 (Vì AC ' đường chéo hình AQ AM AN AP AQ AM AN AP lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' nên AB AD AA ' AC ' ) Dễ dàng chứng minh kết quen thuộc tứ diện vuông 1 1 1 1 1 Mà ( ) 2 2 2 AH AM AN AP AM AN AP AM AN AP 1 1 AQ AH AH AM AN AP AQ 40 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Bi toỏn 17 Trong không gian cho bốn điểm A, B, C , D theo thứ tự năm đường thẳng Điểm M thay đổi không nằm đường thẳng thỏa mãn AMB CM D Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MAD em hi Phân tích định hướng giải w Ta có S MAD MH AD nên S MAD đạt giá trị lớn M H đạt giá trị lớn Từ AMB CM D, ta khai thác yếu tố hình học liên quan đến điểm M n lo ad th MA k ( k cố định) Từ suy M thuộc đường tròn cố định MD u yj dẫn đến y ip Lời giải la an lu n va oi m ll fu tz a nh 1 Ta có S MAB MA.MB.sin AMB MH AB 2 z vb MH BD Suy MA.MC AB (1) S MCD MC.MD.sin CMD 2 MB.MD CD ht jm Mặt khác, ta có: k 1 S MAC MA.MC sin AMC MH AC 2 l gm AB AC DC.DB L MA AB AC MA ) MD CD.BD MD m Từ (1), (2) suy ( co MH BD Suy MA.MC AC (2) S MBD MB.MD.sin BMD 2 MB.MD BD Ta lấy điểm E , F thỏa món: 41 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki AB AC MD DC DB ng AB AC MA MD MA DC DB em hi nên E , F hai điểm cố định Ta cũng chứng minh FM E 900 hay M w EF Mặt khác, ta có 1 EF M H AD EF AD , dấu xẩy MH n nằm đường trịn đường kính EF MH lo ad S MAD th EF AD u yj y Vậy GTLN S MAD ip la Khảo sát tính cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất an lu 3.1 Mục đích khảo sát n va Nhằm xác định tích cấp thiết khả thi giải pháp biết đánh giá đồng nghiệp áp dụng đề tài, từ tiếp tục hồn thiện đề tài oi m ll fu 3.2 Nội dung khảo sát Nội dung khảo sát tập trung vào vấn đề sau: a nh tz - Các giải pháp đề xuất có thực cấp thiết vấn đề nghiên cứu hay không? z vb - Các giải pháp đề xuất có khả thi vấn đề nghiên cứu không? jm ht 3.3 Phương pháp khảo sát k co l gm - Phương pháp sử dụng để khảo sát trao đổi bảng hỏi thông qua phần mềm Google Form qua đường link với câu hỏi theo thang đánh giá mức (Tương ứng với mức tương ứng vơi điểm số đến 4) m Tính cấp thiết Tính khả thi Khơng cấp thiết Khơng khả thi Ít cấp thiết Ít khả thi Cấp thiết Khả thi Rất cấp thiết Rất khả thi L Mức - Tính trung bình X phần mềm phần mm Microsoft Excel 2010 42 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Maximum em hi - Giá trị khoảng cách – Minimum = 0.75 4 Chúng ta có bảng sau thể đoạn giá trị điểm thuộc mức khảo sát: w ad Tính cấp thiết Tính khả thi Khơng cấp thiết Khơng khả thi th Ít cấp thiết Ít khả thi u yj 1,76;2,51 lo 1;1,75 n Đoạn giá trị 2,52;3, 27 Khả thi y Cấp thiết ip 3,28;4 Rất khả thi la Rất cấp thiết lu an 3.4 Đối tượng khảo sát 28 tz a nh Σ 28 oi m ll Giáo viên Toán THPT fu Số lượng n Đối tượng va TT z 3.4.1 Tính cấp thiết giải pháp đề xuất vb Các giải pháp Mức 3.39 Rất cấp thiết Phân tích định hướng giải số tốn 3.25 Cấp thiết 3.32 Rất cấp thiết Điểm trung bình chung L Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc m co l X gm TT Các thông số k jm ht Kết thể bảng sau: Từ kết nhận thấy giải pháp đề xuất có tính cấp thiết nhà trường Điều quan trọng hoạt động dạy học mơn Tốn GV, giúp người thầy ln tìm tịi giúp học sinh phỏp trin t ton din hn 43 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng 3.4.2 Tớnh khả thi giải pháp đề xuất em hi Kết thể bảng sau: Các thông số Các giải pháp w TT Mức 3.54 Rất khả thi 3.43 Rất khả thi 3.48 Rất khả thi n X lo Khai thác sáng tạo toán xuất phát từ kết tốn đẳng thức hình học quen thuộc Phân tích định hướng giải số toán ad th u yj y ip la Điểm trung bình chung lu an Như vậy, qua khảo sát nhận thấy giáo viên môn Tốn THPT hỏi nhận thấy tính khả thi giải pháp đề xuất Nói chung giải pháp triển khai, áp dụng trường THPT Lê Lợi năm học gần có tính khả thi cao, có khả áp dụng phạm vi rộng thực thi cho trường THPT địa bàn huyện Tân Kỳ nói riêng trường THPT địa bàn tồn tỉnh nói chung Đặc biệt đề tài gợi mở vấn đề liên quan để GV tục nghiên cứu, nhằm phát phát triển tư sáng tạo lập luận toán học n va oi m ll fu tz a nh Kết thực z vb Từ có ý tưởng đề xuất giải pháp, chúng áp dụng vào nhóm – lớp học sinh có học lực học giỏi mơn tốn thuộc lớp 11 lớp 12 trường THPT Lê Lợi từ năm học 2019 – 2020 đến qua hoạt động dạy học đặc biệt ôn thi TN THPT bồi dưỡng học sinh giỏi cấp Với nỗ lực, tâm thân, chung tay đồng nghiệp mơn tốn trường, trường bạn vào q trình thực nghiệm, tác giả có số ỏnh giỏ nh sau: k jm ht L (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian m 44 co Nhiều em học sinh giải nhiều tốn cực trị hình học khơng gian các đề thi thức đề thi thử TN THPT, đề thức thi TN THPT đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh thành phố nước Qua kỳ thi TN THPT năm 2021, năm 2022 em có tiến triển tốt, có lực tư lập luận tốn học q trình học tập ơn thi, kết quả, nhiều em học sinh lớp giải không câu vận dụng cao đề thi, có câu tìm cực trị hình học khơng gian Nhiều em đạt điểm môn l gm Các em tích cực hoạt động, học tập sơi có linh hoạt Các học phát huy tính độc lập Bước đầu hình thành thói quen suy nghĩ tìm tịi, đặt câu hỏi xoay quanh tốn, giải xong biết khắc sâu, mở rộng tốn từ đưa vấn đề Từ em sáng tạo tốn Qua phát triển lực tư lập luận toán học cho cỏc em HS ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Toán, đặc biệt kỳ thi TN THPT năm 2021 có em Ủy ban nhân dân Tỉnh vinh danh với tổ hợp môn khối B đạt 28.95 điểm mơn tốn đạt 9.6 Trong hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy em hào hứng học tập, qua tạo thêm đam mê khám phá, sáng tạo cho em Từ đây, phát huy khả tự học cho em Kết thi HSG cấp tỉnh bảng A mơn Tốn trường THPT Lê Lợi từ năm học 2020-2021 đến năm học 2022 – 2023 có em có em đạt giải Nhì, em đạt giải Ba Căn vào kết đạt được, bước đầu thấy hiệu việc phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc khai thác sáng tạo toán cực trị hình học khơng gian mà chúng tơi đề xuất thực trình dạy học C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Các vấn đề giải đề tài - Đã vận dụng sáng tạo thao tác tư tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa để tạo tốn cực trị hình học khơng gian Khai thác từ toán quen thuộc, từ sáng tạo hệ thống tốn - Xây dựng số chuỗi tốn tìm tìm cực trị hình học khơng gian - Luyện tập cho học sinh cách khai thác toán biết, để tạo toán Qua phát triển khả phân tích, để tìm lời giải cho tốn cực trị hình học khơng gian - Tạo hứng thú học tập phát huy khả tự học cho học sinh Qua nâng cao nâng cao chất lương dạy học mơn tốn nhà trường - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi hiệu đề tài Hướng phát triển Đề tài mở rộng theo chiều sâu cho tốn cực trị hình học khơng gian, ý tưởng khai thác sáng tạo toán sáng kiến góp phần phát triển lực tư lập luận Tốn học cho học sinh mở rộng cho chủ đề khác mơn tốn mơn khoa học tự nhiên khác II KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên Việc khai thác toán bất đẳng thức sáng kiến giúp giáo viên: - Làm rõ nguồn gốc tốn cực trị hình học khơng gian Điều tạo cho giảng giáo viên có chiều sâu, đặc biệt giúp học sinh có cách học, cách sáng tạo kết từ điều biết - Rèn luyện thao tác tư tương tự hóa, khái quát hóa đặc biệt hóa cho học sinh, giúp em có cách nhìn nhận vấn đề cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, giải vấn đề nhanh hơn, có tính lơgic cao qua em hi w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co m L (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian l gm 45 ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng phát triển lực tư và lập luận toán học cho học sinh - Trong trình giảng dạy, phát triển lực tư lập luận toán học cho học sinh, hướng cho HS có cách thức để khai thác kiến thức, tập tốn có vấn đề tập dượt cho học sinh khả nghiên cứu khoa học Đối với học sinh Việc học tập theo định hướng giúp học sinh: - Khơng cịn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận có kỹ tốt việc giải tồn cực trị hình học khơng gian - Có cách học, cách thức khai thác kiến thức từ kiến thức biết, dù quen thuộc - Giúp em có kết tốt kì thi kì thi TN TPHT đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh - Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt đặc biệt góp phần phát triển lực tư sáng tạo cho em, nhiệm vụ quan trọng việc dạy học mơn tốn trường phổ thơng Dù thân có nhiều cố gắng, song đề tài chúng tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp trường hội đồng khoa học cấp sở đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện ứng dụng rộng rãi thực tiễn dạy học Tôi xin trân trọng cảm ơn! Ngày 28 tháng năm 2023 em hi w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm m L 46 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng TI LIỆU THAM KHẢO em hi [1] Chương trình tổng thể giáo dục phổ thơng 2018, BGD&ĐT [2] Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018, BGD&ĐT w [3] G Polya (1965), Sáng tạo toán học, tập 1,2,3 Tài liệu bồi dưỡng GV, Bản dịch Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần, NXB GD n lo ad [4] Sách giáo khoa Hình học 11; Hình học 12 nâng cao NXB GD th [5] Đề thi THPT quốc gia đề thi thử TN THPT quốc gia mơn Tốn u yj [6] Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố y ip [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXBGD la [8] Các trang wed diễn đàn Toán học lu an [9] Phương pháp dạy học mơn tốn, NXBGD Nguyễn Bá Kim n va [10] Dạy học theo phát triển lực mơn Tốn THPT, NXBĐPSP tác giả Đỗ Đức Thái ( chủ biên) oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm m L 47 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng PHỤ LỤC em hi Phụ lục 1: Một số hình ảnh thực trình khảo sát tính cấp thiết tính khả thi đề tài w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm m L Ảnh: Đồng nghiệp tham gia khảo sỏt trờn Google Form 48 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng em hi w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm Ảnh: Biểu đồ hình trịn thể kết khảo sát m L 49 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng em hi w n lo ad th u yj y Ảnh: Xử lý số liệu khảo sát tính cấp thiết ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm m L Ảnh: Số liệu khảo sát tớnh kh thi sau x lý 50 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng Ph lc 2: em hi Một số hình ảnh thể kết đạt tiêu biểu học sinh trường THPT Lê Lợi có đóng góp việc áp dụng giải pháp đề xuất w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm m L Ảnh: Kết qu t c ca hc sinh 51 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ng sa (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian ki en nh ki ng em hi w n lo ad th u yj y ip la an lu n va oi m ll fu tz a nh z vb k jm ht co l gm m L Ảnh: Kết đạt học sinh 52 (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian (Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian(Skkn.mỏằi.nhỏƠt).gp.phỏĐn.phĂt.triỏằn.nng.lỏằc.tặ.duy.v.lỏưp.luỏưn.toĂn.hỏằãc.cho.hỏằãc.sinh.thng.qua.bi.toĂn.hơnh.hỏằãc.khng.gian