Thông tin tài liệu
CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA A KiÕn thøc cÇn nhí ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B chứng minh hiệu A – B số không âm cách dồn tổng bình phương B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh với số thực x ta có: ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) ≥ −1 Hướng dẫn giải Xét hiệu: A= ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) − ( −1) = ( x − 1)( x − ) ( x − )( x − 3) + = (x − 5x + )( x − 5x + ) + Đặt y = x − 5x + ta A = ( y − 1)( y + 1) + = y − + = y ≥ Vậy ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) ≥ −1 Thí dụ Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a + b + ≥ ab + a + b Hướng dẫn giải Xét hiệu: A =a + b + − ab − a − b = ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) = 1 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ Vậy a + b + ≥ ab + a + b Đẳng thức xảy a = b = Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a + ≥ a ( a + 1) Hướng dẫn giải Xét hiệu: A = a + − a ( a + 1) = a − a − a + | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ● Lưu ý : A2 ≥ với A ; dấu '' = '' xảy A = = a ( a − 1) − ( a − 1) = = (a − 1) (a (a − 1)( a − 1) + 1) ≥ Ta có A ≥ a + > ( a − 1) ≥ Vậy a + ≥ a ( a + 1) Dấu xảy a = a = -1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a + 9b + c + 19 > 2a + 12b + 4c Hướng dẫn giải Xét hiệu: 19 A = a + 9b + c + − ( 2a + 12b + 4c ) = 2 2 =( a − 1) + ( 3b − ) + ( c − ) + > (a − 2a + 1) + ( 9b − 12b + ) + ( c − 4c + ) + Ta có A > ( a − 1) ≥ 0, ( 3b − ) ≥ ( c − ) ≥ Vậy a + 9b + c2 + 2 19 > 2a + 12b + 4c Thí dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm ( x + y ) ( x3 + y ) ≥ ( x + y ) Hướng dẫn giải Xét hiệu hai vế: ( x + y ) ( x + y ) − ( x + y ) = x + xy + x3 y + y − x − x y − y = xy ( y + x − xy = ) xy ( x − y ) ≥ Đẳng thức xảy x = 0, y = 0, x = y C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh với x ta có: ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + ) + ≥ 2) Chứng minh a, b, c ta có: a + 4b + 3c > 2a + 12b + 6c − 14 3) Chứng minh với x, y, z ta có: a) x + y + z ≥ xy + yz + zx 4) Chứng minh với x, y ta có: 4x + 4xy + 4y > 6y − b) x + y + z ≥ 2xy − 2xz + 2yz TỦ SÁCH CẤP 2| CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG A KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A ≤ B ⇔ ⇔ C ≤ D với C ≤ D Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có : ( ⇔ ( a − b) ≥0 ) + ) a + b + c ≥ ab + bc + ca 1 2 2 + ) ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh đẳng thức: a + b2 + c2 a + b + c ≥ 3 (1) Hướng dẫn giải a + b2 + c2 a + b + c ≥ Ta có: 3 ⇔ ( a + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c ) (1) ⇔ ( a + b + c ) ≥ a + b + c + ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( c − 2ca + a ) ≥ ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ 2 ( 2) Bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy a = b = c Thí dụ Chứng minh đẳng thức ( a − b )( c − d ) ≤ ( ac − bd ) Hướng dẫn giải (1) ⇔ a 2c − a d − b2c + b2 d ≤ a 2c − 2abcd + b2 d ⇔ ≤ a d + b c − 2abcd ⇔ ≤ ( ad − bc ) Bất đẳng thức ( 3) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy ad = bc | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ( 3) (1) CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC + ) 4ab ≤ ( a + b ) ≤ ( a + b ) Thí dụ Chứng minh rằng: a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) ∀a, b, c, d , e ∈ R Hướng dẫn giải Ta có: a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) ⇔ a2 a2 a2 a2 − ab + b + − ac + c + − ad + d + − ae + e ≥ 4 4 2 2 a a a a ⇔ −b + − c + − d + − e ≥ 2 2 2 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh a Dấu “=” xảy khi: b= c= d= Thí dụ Chứng minh với số thực a, b ta có: ( a + b ) ≥ ab3 + a b + 2a b Hướng dẫn giải Để ý với a = b có dấu đẳng thức nên ta tách số hạng để tạo nhân tử chung ( a − b ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a − 2a b + b + a − a b + b + b − ab3 ≥ ⇔ ( a − b ) + ( a − b3 ) ( a − b ) ≥ 2 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) + ( a + ab + b ) ≥ 2 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) + 2a + 2ab + 2b ≥ 2 2 ⇔ ( a − b ) 3 ( a + b ) + a + b ≥ Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b Chú ý: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc ( hai thường xuất đại lượng a - b ) ; ( b - c) ; (c - a) 2 với điều kiện dấu đẳng thức xảy a = b = c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy để từ có hướng hợp lí Thí dụ Cho số thực x, y dương Chứng minh rằng: a + b ≥ 12ab + ab Hướng dẫn giải Ta có: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | 12ab + ab ⇔ ( a + b )( + ab ) ≥ 12ab ( + ab > ) a+b≥ ⇔ 9a + 9b + a b + ab ≥ 12ab ⇔ ( a b − 6ab + 9b ) + ( ab − 6ab + 9a ) ≥ ⇔ b ( a − 3) + a ( b − 3) ≥ ( ) 2 Vì a, b > nên b ( a − 3) ≥ a ( b − 3) ≥ (2) 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh, dấu “=” xảy a = b = Hướng dẫn giải a2b a + 2ab = = ; Nên ta biến đổi Để ý a = b có dấu đẳng thức, 2a + b3 2a + b sau : − ( a − b ) ( 2a + b ) − ( a − b ) a2b a + 2ab a2b a + 2ab ⇔ −1 ⇔ + ≥ − ≥ ≥ 3 3 2a + b 2a + b 2a + b 2a + b 2a + b ( 2a + b3 ) 2 2a + b 2 3 ( 2a + b3 ) − ( 2a + b ) ( 2a + b ) a b ⇔ ( a − b) − ≥ ⇔ − ( ) 3 ( 2a + b ) 2a + b ⇔ ( a − b ) 2a + 2b3 − 2a b − 2ab ≥ ⇔ ( a + b )( a − b ) ≥ Ta có bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Cho số thực a , b không đồng thời Chứng minh rằng: 2ab a + 4b + b2 3a + 2b ≥ Hướng dẫn giải 2ab b2 = ; Nên ta ta biến đổi Dấu đẳng thức xảy với a = b , = 2 3a + 2b a + 4b 2ab b2 - + ≥ Tới ta quy đồng hai vế phân a + 4b 3a + 2b tích thành bình phương bất đẳng thức thành Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab a + 4b + b2 3a + 2b | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≤ 2ab b2 + ⇔ - ≥0 5 a + 4b 3a + 2b CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC a2b a + 2ab + ≥ Thí dụ Cho số thực a, b dương Chứng minh rằng: 2a + b3 2a + b ⇔ 2a - 10ab + 8b + 3a - 3b ( )( ) + ( a - b )( a + b ) ≥ a - b a - 4b ≥0⇔ a + 4b 3a + 2b a + 4b 3a + 2b 2 2 ⇔ a - b a - 4b 3a + 2b + a + b a + 4b ≥ 2 2 ⇔ a - b 9a - 21a b + 16ab - 4b ≥ ⇔ a - b 3a - 2b ≥ ( ( )( ) ( )( ) ( ) )( ) ( )( ) Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b 3a = 2b CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Thí dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: ( 3a + 2ab + 3b ≥ 2 a + b2 a+b ) Hướng dẫn giải Đẳng thức xẩy a = b , ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất đại lượng ( a - b ) Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất nhân tử chung có dạng ( a - b ) ta cần ý đến phép biến đổi ( a + b ) - ( a + b ) = ( a - b ) 2 Khi ta có ( ) ( ) a + b2 - a + b = ( 2 (a - b) 2 ) ( a + b2 + a + b ) Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau ( ) 3a + 2ab + 3b ≥ 2 a + b2 a+b 3a + 2ab + 3b - a + b ≥ 2 a + b2 - a + b ⇔ a+b ( (a - b) ⇔ a+b ( ) ( ) ⇔ a-b ⇔ a-b ≥ ( a-b ( ( ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) a + b2 + a + b - a + b ≥ ( ) ( ) 2 a + b2 + a + b ( ) ( ) a + b2 - a + b ≥ ⇔ ( (a - b) 2 a +b ) +a+b ≥0 Bất đẳng cuối a , b dương Vậy bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Cho biểu thức : P= xy ( x − )( y + ) + 12x − 24x + 3y + 18y + 36 TỦ SÁCH CẤP 2| 10 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Chứng minh P dương với x;y thuộc R (Đề toán vào lớp 10 Quảng Ninh năm 2010-2011) Hướng dẫn giải Ta có: P= xy ( x − )( y + ) + 12x − 24x + 3y + 18y + 36 = xy ( x − )( y + ) + 12x ( x − ) + 3y ( y + ) + 36 = x ( x − ) y ( y + ) + 12 + y ( y + ) + 12 = (y + 6y + 12 )( x − 2x + 3) Mà y + y + 12 = x2 − x + = ( y + 3) ( x − 1) 2 +3> +2>0 Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh bất đẳng thức : a b 16 1 1 + + ≥ 5 + a+b b a a b Hướng dẫn giải Ta có : a b 16 1 1 + + ≥ 5 + a+b b a a b 1 a 1 b 1 ⇔ − + − + 4 − − ≥0 b a a b a+b a b 4ab − ( a + b ) a−b b−a ⇔ + + ≥0 b a ( a + b ) ab ( a − b) ( a + b) ⇔ a b2 − ( a − b) ( a + b ) ab ≥0 2 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) − 4ab ≥ ⇔ ( a − b ) ≥ Bất đẳng cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a= b > C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh với số thực a, b ta có: a + b + ≥ ab + a + b 2) Chứng minh a, b, c ta có: a + 4b + 4c ≥ 4ab − 4ac + 8bc 3) Chứng minh bất đẳng thức x + y ≤ xy + với x ≥ 1, y ≥ 4) Chứng minh với x, y ta có: ( x + y ) ( x3 + y ) ≥ ( x + y ) 11 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Vậy P > với x;y thuộc R 5) Cho a, b hai số thực khác không Chứng minh rằng: ( (a 4a b 2 +b ) + a2 b2 + b2 a2 ≥3 ) 6) Cho số thực dương a, b, m, n m ≥ n Chứng minh rằng: a b + ≥ na + mb mb + na m + n CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 7) Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 2ab (a + b) a + b2 a+b ≥ ab + 2 + 8) Cho x, y số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 1 + ≥ (1 + x ) (1 + y ) 2 + xy 9) Cho x, y số thực thỏa mãn x ≠ y, x ≠ 0, y ≠ Chứng minh rằng: (x − y) + x + y ≥ xy 10) Cho x, y số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng: ( ) a+b ≤ a + b ≤ a+b Khi có dấu đẳng thức ? TỦ SÁCH CẤP 2| 12 CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG A KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A ≥ B * Các bước giải: ● Bước 2: Sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để chứng tỏ điều giả sử (A < B) sai ● Bước 3: kết luận yêu cầu cần chứng minh B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh rằng: ( a + b ) ≥ 4ab Hướng dẫn giải Giả sử ( a + b ) < 4ab , đó: a + 2ab + b < 4ab ⇔ a − 2ab + b < ⇔ ( a − b ) < điều sai với a, b Vậy giả sử sai, điều phải chứng minh đúng.Tức là: ( a + b ) ≥ 4ab Thí dụ Cho a + b = Chứng minh rằng: a+3b≤2 Hướng dẫn giải Đặt Cần chứng minh x + y ≤ x = a; y = b ⇒ x = a ; y = b3 Ta có: x + y = Giả sử x + y > thì: ( x + y ) > ⇒ x3 + y + xy ( x + y ) > ⇒ + xy ( x + y ) > 2) ⇒ xy ( x + y ) > ⇒ xy ( x + y ) > x + y ; (vì x + y = Chia hai vế cho số dương x + y ta được: xy > x − xy + y ⇒ > ( x − y ) (vô lý) Vậy x + y ≤ tức a+3b≤2 Thí dụ Cho ba số a, b, c ∈ ( 0;1) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a (1 − b ) > 1 ; b (1 − c ) > ; c (1 − a ) > 4 13 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ● Bước 1: Giả sử xảy mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh ( tức A < B) Hướng dẫn giải Giả sử ba bất đẳng thức Theo giả thiết ta có: a, b, c, (1 − a ) , (1 − b ) , (1 − c ) số dương, suy ra: a (1 − b ) b (1 − c ) c (1 − a ) > 64 (1) 1 1 Mặt khác: a (1 − a ) =a − a = − − a + a = − − a ≤ 4 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Tương tự ta có: b (1 − b ) ≤ ; c (1 − c ) ≤ Suy ra: a (1 − b ) b (1 − c ) c (1 − a ) ≤ ; 64 ( 2) Ta có (1) mâu thuẫn (2) nên giải sử sai, điều cần chứng minh Tức với a, b, c ∈ ( 0;1) Thì bất đẳng thức sau sai: 1 a (1 − b ) > ; b (1 − c ) > ; c (1 − a ) > (đpcm) 4 Thí dụ Chứng minh nếu: a1.a2 ≥ ( b1 + b2 ) hai phương trình sau có nghiệm: x = + a1 x + b1 0, (1) ; x2 + = a2 x + b2 ( 2) Hướng dẫn giải Giải sử phương trình (1) (2) vơ nghiệm Khi ta có: ∆1 < 0; ∆ < ⇒ ∆1 + ∆ < ⇒ a12 − 4b1 + a2 − 4b2 < ⇒ a12 + a2 − ( b1 + b2 ) < ⇒ a12 + a2 < ( b1 + b2 ) ≤ 2a1 a2 ⇒ ( a1 − a2 ) < Điều sai với a1 , a2 Vậy giải sử sai, điều cần chứng minh Tức nếu: a1.a2 ≥ ( b1 + b2 ) hai phương trình sau có nghiệm: x + a1= x + b1 0, (1) ; x + a2= x + b2 ( ) Thí dụ Với số thực x, y, z Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai: x < y − z ; y < z − x ; z < x − y Hướng dẫn giải Giả sử ba bất đẳng thức ⇒ x < ( y − z ) ⇒ x − ( y − z ) < ⇒ ( x − y + z )( x + y − z ) < 2 (1) TỦ SÁCH CẤP 2| 14 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Câu 77 Cho x, y, z > thỏa mãn x ≥ z Chứng minh rằng: y2 xz x + 2z + + ≥ y + yz xz + yz x + z (Trích đề thi HSG Thanh Hóa năm 2017-2018) Hướng dẫn giải y2 2z 1+ xz y x + 2z yz x Ta có P = + + = + + xz z y y + yz xz + yz x + z +1 1+ +1 yz x yz x y 2z y 1+ 2 x = a + b + + 2c , = + z + y x z b2 + a + 1 + c2 +1 +1 1+ z y x x y z = ,b = ,c ( a , b, c > ) y z x = a2 x Nhận xét a b = = ≥ ( x ≥ z ) z c2 2 2 2 2ab a ( a + 1) ( ab + 1) + b ( b + 1) ( ab + 1) − 2aba ( a + 1)( b + 1) a2 b2 + − = Xét b + a + ab + ( a + 1)( b2 + 1) ( ab + 1) ab ( a − b ) + ( a − b ) ( a − b3 ) + ( a − b ) (a + 1)( b + 1) ( ab + 1) ≥0 2ab a b Do + ≥ = c = b + a + ab + 1 + 1 + c c 2 (1) Đẳng thức xảy ( a =b ) 2 2 + 2c 2 (1 + c ) + (1 + c ) (1 + 2c ) − (1 + c ) (1 + c ) Khi + − = + c c2 + 2 (1 + c ) (1 + c ) (1 − c ) − 3c + 3c − c3 = = ≥0 2 (1 + c ) (1 + c ) (1 + c ) (1 + c ) ( c ≤ 1) ( ) Từ (1) ( ) suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a =b, c =1 ⇔ x = y = z Câu 78 Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y = B = Tìm giá trị nhỏ biểu thức + x + y3 xy (Trích đề thi HSG lớp Thanh Hóa năm 2013-2014) TỦ SÁCH CẤP 2| 310 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI xz yz BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Hướng dẫn giải Ta có: = B − 2xy 1 + + = = (x + y) − 3xy(x + y) xy − 3xy xy xy(1 − 3xy) Theo Côsi: xy ≤ (x + y) = 4 Gọi Bo giá trị B, đó, ∃x, y để: Bo = − 2xy ⇔ 3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + = (1) xy(1 − 3xy) B ≥ + Để tồn x, y (1) phải có nghiệm xy ⇔ ∆ = Bo2 – 8Bo + ≥ ⇔ o Bo ≤ − + Bo = + ⇒ x(1 − x) = + Với Bo =4 + ⇒ xy = 6Bo 6(2 + 3) 6(2 + 3) 3 1+ 1− −1 −1 3 3 + 0⇔x = ,x = = ⇔ x −x+ 2 6(2 + 3) 3 −1 −1 1+ 1− 3 x = Vậy, Bmin= + , đạt = ,y 2 x 3 −1 −1 1− 1+ 3 = ,y 2 Câu 79 Tìm GTNN GTLN xy biết x y nghiệm phương trình : x + y −= xy (1 − 2xy ) (1) Hướng dẫn giải Ta có: x + y − 3= xy (1 − 2xy ) ⇔ xy + 3= (x + y2 ) ≥ 4x y Đặt t = xy bất phương trình trở thành: 4t − t − ≤ ⇔ ( t − 1)( 4t + 3) ≤ ⇔ − ≤ t ≤ x = y2 3 Vậy GTNN xy − ⇔ ⇔ x =− y =± xy = − x = y2 ⇔ x =− y =±1 GTLN xy ⇔ xy = Câu 80 Tìm GTNN GTLN A = xyz biết x, y z nghiệm phương trình : x + 2y + 2x z + y z + 3x y z = 311 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ( 2) CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Để ý với giả thiết toán B > Do ta có: Bo ≥ + BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Hướng dẫn giải ( ) ( ) Ta có: ( ) ⇔ x + y z + y + x z + 3x y z = Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: A + A + 3A ≤ ⇔ A + A − ≤ ⇔ ( A − 1)( A + 3) ≤ ⇔ A ≤ ⇔ −1 ≤ A ≤ Vậy giá trị nhỏ A -1 số x, y, z (hoặc -1), số lại -1 Giá trị lớn A hai ba số x, y, z (hoặc -1), số ( ) ( Câu 81 Cho x, y số thực thoả mãn x x + 2y − + y − ) = Tìm giá trị lớn = x2 + y2 giá trị nhỏ biểu thức C (Trích đề thi Chuyên Ninh Bình năm 2013-2014) Hướng dẫn giải Ta có: ( )( x x + 2y − y − ( ) = ⇔ x + 2x y − 3x + y − 4y + = ) ⇔ x + 2x y + y − x + y + x + = ( ⇔ x2 + y2 ) ( ) − x + y + =−x ≤ ∀x Với x + y = C ta có C2 − 4C + ≤ ⇔ C2 − 4C + ≤ ⇔ ( C − ) ≤ ⇔ C − ≤ ⇔ −1 ≤ C − ≤ ⇔ ≤ C ≤ x = x = x = x = C= 1⇔ ⇔ ; = ⇔ ⇔ C 2 y = ±1 y = ± x + y = x + y = Vậy minC = x = y = ±1 ; maxC = x = y = ± Câu 82 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức 4a + (b − c)2 4b + (c − a)2 4c + (a − b)2 + + ≥ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Hướng dẫn giải Ta có: 4a + (b − c)2 2(2a + b + c ) − (b + c)2 (b + c)2 = = − 2a + b + c 2a + b + c 2a + b + c Làm tương tự cộng lại ta bất đẳng thức tương đương với: (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + ≤ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b TỦ SÁCH CẤP 2| 312 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI lại BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | x2 y2 ( x + y ) ≥ , ta có: Áp dụng BĐT AM-GM – Schwarz cho số dương + m n m+n (b + c)2 b2 c2 ≤ + 2a + b + c a + b a + c Ta có hai BĐT tương tự, cộng vế ta có: (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b b2 c2 c2 a2 a2 b2 ≤ + + + + + 2 2 2 2 2 a + b a +c b +c a + b c +a c + b =3 ⇒ BĐT cho chứng minh Dấu xảy a = b = c Câu 83 Cho a, b,c > 0; a + b + c ≥ , tìm GTNN của: A = a2 + b2 c 25 + +3 + + a b c (Trích đề thi Chun Hải Phịng năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM-Schwar ta được: b2 c b2 c 2 ( a + b + c ) + (1 + + ) ≥ ( a + b + c ) ⇒ a + + ≥ a + 5 25 ( + + ) 81 25 27 + + ≥ = ⇒3 + + ≥ a b c a+b+c a+b+c a b c a+b+c Do đó: = a2 + A b2 c 25 ( a + b + c ) 27 + +3 + + ≥ + a b c a+b+c a+b+c a+b+c 27 27 a+b+c 27 27 + + + ≥ + 33 2 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c 9 27 = + = + =15 2 Dấu “=” xảy a = 1, b = 3, c = = Vậy giá trị nhỏ A 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 84 Cho a, b, c dương thỏa mãn xy + yz + zx = P= 1 + + 4x − yz + 4y − zx + 4z − xy + 2 (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2016-2017) 313 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC b2 a2 c2 b2 a c2 = + + + + + 2 2 2 2 2 a +b a +b b +c c +b a +c a +c BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Hướng dẫn giải Ta có 1 = = = 2 4x − yz + 4x − yz + 2(xy + yz + zx) 4x + 2xy + yz + 2zx Tương tự, ta có S = + ( 2x + y )( 2x + z ) + ( 2x + y )( 2x + z ) ( 2y + z )( 2y + x ) ( 2z + x )( 2z + y ) yz xy xz + + ( 2xz + yz )( 2xy + yz ) ( 2xy + xz )( 2yz + xz ) ( 2yz + xy )( 2xz + xy ) Với a, b ta có ( a − b ) ≥ ⇒ ( a + b ) (a + b) ≥ 4ab ⇒ ab ≤ 2 Áp dụng bất đẳng thức ta được: S≥ yz ( 2xy + 2yz + 2zx ) + xz ( 2xy + 2yz + 2zx ) ⇒S≥ + xy ( 2xy + 2yz + 2zx ) 4 xy + yz + zx = = ( 2xy + 2yz + 2zx ) xy + yz + zx Đẳng thức xảy x= y= z= Vậy giá trị nhỏ S Câu 85 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện ( x − y )( x − z ) = y ≠ z Chứng minh: (x − y) + ( y − z) + (z − x) ≥4 Hướng dẫn giải Ta có: (x − y) ( x − y ) += ( x − z ) ( y − z ) + ( x − y )( x − z ) (x − y) (x − z) (x − y) (x − z) ( y − z) + ( x − y )( x − z ) (x − y) (x − z) += (z − x) 2 2 2 = 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: ( y − z) + + ≥ (x − y) ( y − z) (z − x) (x − y) (x − z) 1 2 2 2 + + ( x − y )( x − z ) ( z − x ) TỦ SÁCH CẤP 2| 314 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI = ⇔S 1 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | AM − GM ≥ ( x − y )( x − z ) = Câu 86 Cho x, y hai số dương Chứng minh rằng: x y+y x x+y − x+y ≤ (Trích đề thi Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Cộng theo vế (1) (2): x + y + ( 1) ; (2) ; ( 3) (4) ≥ x+ y Nhân theo vế (3) (4): (x + y) + ( x + y ) ≥ xy ( x+ y ) ( 5) Chia vế (5) cho ( x + y ) được: x+ y x y +y x x+y x+y + ≥ ⇒ − ≤ (đpcm) x+y x+y Câu 87 Cho số x, y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Dấu “=” xảy x= y= P= ( 2x + y ) +1 −1 + ( x + 2y ) +1 −1 + ( 2x + y )( x + 2y ) − 3(x + y) (Trích đề thi Chuyên Phú Thọ năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Đặt 2x + y= a, x + 2y= b sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: = P = + a3 + − ( a + 1) ( a 2 b3 + − ) −a +1 −1 + + ab − a+b ( b + 1) ( b 2 ) −a +1 −1 + ab − a+b 2 ab 4 ab + + − = + + − 4 a +1+ a −a +1 b +1+ b −a +1 b ab a ab −1 −1 2 ab ≥ + − ab ab ≥ 315 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≥ x y+ ≥ y x + y ≥ xy x+ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Đặt t = ab Ta chứng minh: ( t2 + − ≥ (*) t2 t ) Thật vậy: ( * ) ⇔ ( t − ) t + 4t + ≥ 2 Vậy P ≥ Dấu “=” xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ P Câu 88 Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: (Trích đề thi Chuyên Bình Thuận năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM-Schwar ta có: ( ) ( xy y + yz + zx xy y + yz + zx xy ≤ ≤ x + yz + zx x + yz + zx y + yz + zx ( xy + yz + zx ) ( )( ( ) yz z + zx + xy yz Tương tự: ; ≤ y + zx + xy ( xy + yz + zx )2 ) ) ( zx x + xy + yz zx ≤ z + xy + yz ( xy + yz + zx )2 ( ) ) x + y + z ( xy + yz + zx ) x + y + z xy yz zx Suy + + ≤ = xy + yz + zx x + yz + zx y + zx + xy z + xy + yz ( xy + yz + zx ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Câu 89 Cho hai số thực a, b lớn Chứng minh rằng: a b −1 + b a −1 + 3ab + ≥ 11 (Trích đề thi Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Ta có: a b − ≤ a b − + ab = 2 Tương tự: b a − ≤ b a − + ab 6 = ⇒ ≥ 2 a b − + b a − ab Dấu “=” xảy a= b= 6 18 + 3ab + ≥ + 3ab + = + 3ab + Q= ab 3ab a b −1 + b a −1 Đặt y = Q≥ 3ab + ⇒ 3ab = y − Khi đó: AM − GM 18 18 3 11 y (y 2) (y 2) +1 = + + − + + + ≥ 3 18 = (y + 2)(y − 2) 4 4 y −4 TỦ SÁCH CẤP 2| 316 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI xy yz x2 + y2 + z2 zx + + ≤ x + yz + zx y + zx + xy z + xy + yz xy + yz + zx BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Dấu “=” xảy y = hay a= b= Câu 90 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= a + 6a + b + 6b + c + 6c + + + a2 + a b2 + b c2 + c (Trích đề thi Chuyên Bắc Ninh năm 2016-2017) Hướng dẫn giải a + 6a + = a2 + a ( 3a ) + + 6a − 2a a2 + a AM − GM ≥ 6a + 6a − 2a 12a − 2a 14 = = −2 2 a +1 a +a a +a b + 6b + 14 c + 6c + 14 ≥ −2; ≥ −2 Tương tự: b+1 c+1 b2 + b c2 + c Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta được: a + 6a + b + 6b + c + 6c + 1 + + ≥ 14 + + −6 2 a +a b +b c +c a +1 b+1 c +1 9 ≥ 14 − ≥ 14 −6 = 15 a+b+c+3 3+3 Dấu “=” xảy a = b = c = = M Câu 91 Cho x, y số thực dương nhỏ 1.Tìm giá trị lớn biểu thức: Q= xy ( − x − y ) ( x + y )(1 − x )(1 − y ) (Trích đề thi Chuyên Tây Ninh năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Ta có: x+y x+y x+y ( x + y )( − x )( − y ) ( x + y )( − x − y + xy ) x + y = = = + = + Q xy − x − y xy − ( x + y ) xy ( − x − y ) xy ( − x − y ) Đặt t = x + y, ta được: (x + y) x+y x+y x+y x+y 4 t = + ≥ + = + = + Q xy − ( x + y ) ( x + y ) − (x + y) x + y − (x + y) t − t Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ( + 1) − = − = ⇒ Q ≤ 1 t 22 = + = + −1≥ Q t 1− t t 1− t t +1− t Dấu “=” xảy x= y= Vậy giá trị lớn Q Câu 92 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: 317 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC 2017 2018 + + ≤1 + a 2017 + b 2018 + c CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Ta có: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = abc (Trích đề thi Chuyên Hà Tĩnh năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Ta có: 2017 2018 2018 2017 + + ≤ 1⇒ 1− ≥ + + a 2017 + b 2018 + c 2018 + c + a 2017 + b AM − GM c 2017 2017 ⇔ ≥ + ≥ 2018 + c + a 2017 + b + a 2017 + b b 2018 a 2017 2018 ≥2 ; ≥2 2017 + b + a 2018 + c + a 2017 + b 2018 + c Nhân theo vế ta được: abc 2017.2018 ≥8 ⇔ abc ≥ 8.2017.2018 ( a + 1)( 2017 + b )( 2018 + c ) ( a + 1)( 2017 + b )( 2018 + c ) a 1,= b 2017,c = 2018 Dấu “=” xảy khi= Vậy giá trị lớn P 8.2017.2018 Câu 93 Cho số thực dương x, y thỏa mãn xy + x = x 4x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + 15xy y 3y (Trích đề thi Chuyên Bắc Giang năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Tách áp dụng BĐT AM-GM ta được: P= y x x 4 + + + 3xy + 12xy + − x y 3y 3 ≥2 y x x 4 + .3xy + 12xy − x y 3y 3 ≥ + 2x + xy − 2 x = 2x + + xy ≥ 2x + xy = + xy = 3 3 Dấu “=” xảy x= y= 3 Câu 94 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: x + 2xy + 4xyz ≤ (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: TỦ SÁCH CẤP 2| 318 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Tương tự: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | 1 x + 2xy + 4xyz =+ x x.4y z + 2 1 1 3 ≤ x + x y + z + = x + x − x + 2 2 2 x x ( − x ) =− x + x (2 − x) + =+ 2 ( ) = ( x − ) + x − 2x + =( x − )( x − 1) + 2 Do x + y + z = ⇒ < x < ⇒ x − < Vì thế: x + 2xy + 4xyz ≤ ( x − )( x − 1) + ≤ (đpcm) = ,z Dấu “=” xảy khi= x 1,= y Câu 95 Cho số dương a, b, c Chứng minh: a b c a+b+c + + + ≥4 b c a a + b + c (Trích đề thi Chuyên Hà Nam năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ( a + b + c ) + ab + bc + ca a b2 c a+b+c + + + ≥ VT = ab bc ca a + b + c ab + bc + ca a + b2 + c 2 a + b2 + c ab + bc + ca = +2+ ab + bc + ca a + b2 + c a + b2 + c ab + bc + ca ab + bc + ca a + b2 + c = + + + +2 ( ab + bc + ca ) a + b + c 2 a + b + c ( ab + bc + ca ) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta được: VT ≥ 3 = a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca + +2 ( ab + bc + ca ) a + b + c 2 a + b + c 2 + + = ( dpcm ) 2 Đẳng thức xảy a = b = c Câu 96 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ Chứng minh rằng: a b + ac + b c + ab + c a + bc ≥ (Trích đề thi Chuyên Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Hướng dẫn giải 319 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Ta có: a + c a + 2b + c a + 2b + c ⇒ b + ac ≤ b + ac ≤ b += 2 ⇒ b + ac ≥ a + 2b + c a ⇒ b + ac ≥ a = a + 2b + c 2a ( a + 2b + c ) ≥ 2a a + 2b + c + Mặt khác: 4 2a 12 2a a + b + c) ≥ ⇒ ≥ ( a + 2b + c + 7a + 10b + 7c a + b + c ≥ 3 abc ≥ ⇒ a b c + + VT ≥ 12 7a + 10b + 7c 7b + 10c + 7a 10a + 7b + 7c (a + b + c ) + c ) + 17 ( ab + bc + ca ) ≥ 12 ( a + b2 Mặt khác: ( ) a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ a + b + c + 17 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ⇒ ( 12 ( a + b + c ) ) a + b + c + 17 ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 12 ( a + b + c ) (a + b + c ) 2 = ( dpcm ) 2 Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 97 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c + (Trích đề thi Chuyên Quảng Nam năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: (1 + a ) + b2 + ab + a + a + b + 2a + 2ab + 2a + ( ab + a + ) − 2 = ≥ = = 2− ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + (1 + b ) Tương tự: + c2 + bc + b + ≥ 2− ; bc + b + (1 + c ) + a2 + ca + c + ≥ 2− ca + c + 1 + + Do đó: P ≥ − = − 2Q ab + a + bc + b + ca + c + Với x, y dương ta có: (x − y) ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ 4xy ⇔ x+y 1 11 1 ≤ ⇔ ≤ + (*) x + y 4xy x+y 4x y TỦ SÁCH CẤP 2| 320 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Do đó: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Dấu “=” xảy x = y Áp dụng (*) ta được: Tương tự: = ab + a + ≤ bc + b + ≤ ( ab + a + 1) + 1 1 + ab + a + 1 1 + ; ≤ bc + b + ca + c + 1 1 + ca + c + Do đó: 1 c ac = + + + 1 6− abc + ac + c bc.ac + abc + ca + c + 1 c ac = + + + 1 6− ca + c + ca + c + ca + c + = − 2 =5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Tìm giá trị nhỏ Câu 98 Cho x; y; z ba số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y(y − z) = biểu thức P = y3 x2 + y2 + x3 + + x+y x2 + z2 y2 + z2 (Trích đề thi Chuyên Hải Phòng năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi x3 xz xz z = − ≥ − = x− x x 2 2 2xz x +z x +z y3 x2 + y2 + z ≥ y − Suy P ≥ x + y − z + Tương tự x+y y + z2 Theo gt z = x2 + y2 ⇒P ≥ x+y+ ≥ x+y x+y Vậy Pmin = ⇔ x = y = z = Câu 99 Với x, y cá số thực thỏa mãn ( + x )( y − 1) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x + 4x + 6x + 4x + + y − 8y + 24y − 32y + 17 (Trích đề thi Chuyên Hưng Yên năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: 321 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 1 1 + + + ⇒ 2Q = + + + 1 Q≤ ab + a + bc + b + ca + c + ab + a + bc + b + ca + c + 1 1 ⇒P ≥6− + + + 1 ab + a + bc + b + ca + c + BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | A= = x + 4x + 6x + 4x + + y − 8y + 24y − 32y + 17 + ( x + 1) + + ( y − ) 4 x 1, b =− y , ta A = + a + + b Đặt a =+ Từ giả thiết ta được: ( a + 1)( b + 1) = ⇔ a + b + ab = 4 Theo AM – GM ta có: a + b ≥ 2ab ⇒ ( ) (2) a + b ≥ ab a + b ≥ a + b + ab − = − = ⇒ a + b ≥ 2 4 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: Cộng theo vế (1) (2) ta được: A= + a + + b4 ≥ ( ( + 1) + ( a ) + b2 ) = (a + b2 ) +4 1 17 ≥ +4 = 2 1 Dấu “=” xảy a = b= ⇔x= − ,y = 2 Vậy giá trị nhỏ A 17 Câu 100 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y Chứng minh + + ≥ 4xyz − yz − zx − xy (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015) Hướng dẫn giải 2 Chứng minh được: x + y + z ≥ x ( y + z ) 2 2 2 Tương tự ta có y + z + x ≥ y ( z + x ) , z + x + y ≥ z ( x + y ) Do ta chứng minh x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz − yz − zx − xy Bất đẳng thức tương đương với y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy TỦ SÁCH CẤP 2| 322 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 4a + ≥ 4a ⇒ a + b ≥ a + b − (1) 2 4b + ≥ 4b BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | yz y+z ≥ = , dễ có ( − yz ) yz − yz + yz yz − yz yz + yz Ta có ( ( 0< 2− Vậy nên )( ) ( yz ) yz =− ( xy − 1) + ≤ nên (2 − ) y+z , tương tự có ≥ ( − yz ) yz + yz yz ) ( ( yz + yz ) ) ≥ + yz z+x ≥ ( − zx ) zx + zx x+ y ≥ ( − xy ) xy + xy 1 y+z z+x x+y + + ≥ + + ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy + xy + yz + zx Với a, b, c>0 có ( a + b + c ) 1 1 a b b c c a + + = + + + + + + ≥ + + + = nên a b c b a c b a c 1 (*) + + ≥ a b c a+b+c Áp dụng (*) ta có (Vì Vậy + xy xy + yz + zx ≤ + + yz + + zx ≥ + xy + yz + zx x+ y y+z z+x + + = x + y + z = ) 2 y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Do ta có 2x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy Đẳng thức xảy x= y= z= 323 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≥ 1; CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Do BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Môc lôc Trang Lời nói đầu Chủ đề Phương pháp dùng định nghĩa chứng minh bất đẳng thức Chủ đề Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức Chủ đề Phương pháp phản chứng chứng minh bất đẳng thức 13 Chủ đề Phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức 23 Chủ đề Sử dụng tính chất tỷ số chứng minh bất đẳng thức 36 Chủ đề Phương pháp làm trội, làm giảm chứng minh bất đẳng thức 40 Chủ đề Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức 49 Chủ đề Chứng minh bất đẳng thức dãy số bất đẳng thức cổ điển 56 Chủ đề Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) 58 Chủ đề 10 Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky 117 Chủ đề 11 Bất đẳng thức có biến đoạn 135 Chủ đề 12 Kĩ thuật đồng bậc hóa chứng minh bất đẳng thức 142 Chủ đề 13 Kĩ thuật chuẩn hóa chứng minh bất đẳng thức 150 Chủ đề 14 Sử dụng đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 158 Chủ đề 15 Sử dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh bất đẳng thức 179 Chủ đề 16 Sắp xếp biến chứng minh bất đẳng thức 182 Chủ đề 17 Sử dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức 188 Chủ đề 18 Phương pháp dồn biến chứng minh bất đẳng thức 192 Chủ đề 19 Phương pháp hình học chứng minh bất đẳng thức 199 Chủ đề 20 Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức 208 Chủ đề 21 Cực trị biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối 242 Chủ đề 22 Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức 247 Phần II TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY THCS 264 Mục Lục 324 Tài liệu kham khảo 324 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC 325 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Phần I CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Ngày đăng: 31/10/2023, 08:33
Xem thêm:
