Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ pdf

Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: cabcabcbacba 222)( 2222  Mở rộng: nnnnn aaaaaaaaaaa 121 22 1 2 2 2 1 2 21 2 2 ) (   Tổng quát: n b n a n aBbBba  )()( )( CÁC VÍ DỤ : Ví dụ 1: Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x-y ; b) x 2 +y 2 ; c)x 3 +y 3 . Giải a) (x-y) 2 =x 2 -2xy+y 2 =x 2 +2xy+y 2 -4xy=(x+y) 2 -4xy=9 2 - 4.14=25=5 2 suy ra x-y =  5 b) (x+y) 2 =x 2 +y 2 +2xy suy ra x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy = 9 2 -2.14 = 53 c) (x+y) 3 = x 3 +y 3 +3x 2 y+3xy 2 = x 3 +y 3 +3xy(x+y) suy ra x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y) =9 3 -3.14.9 = 351 Nhận xét: 1. Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau. ( A – B) 2 = ( B – A ) 2 2. Để tiện sử dụng ta còn viết: ( A + B) 3 = A 3 + B 3 + 3AB(A+B) ( A – B) 3 = A 3 - B 3 - 3AB(A-B ) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = (x + 3y – 5) 2 - 6xy + 26 Giải : A = x 2 + 9y 2 + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26 = ( x 2 - 10x + 25) + ( 9y 2 - 30y + 25 ) + 1 = ( x -5) 2 + ( 3y-5) 2 + 1 Vì (x-5) 2  0 (dấu “ =” xảy ra  x=5 ); (3y-5) 2  0 (dấu “=” xảy ra  y= 3 5 ) nên A  1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y 3 5  ). Ta viết min A = 1. Nhận xét : 1. Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Chẳng hạn: (A – B ) 2 = A 2 - 2AB + B 2 hoặc ngược lại 2. Bình phương của mọi số đều không âm : ( A – B ) 2  0 (dấu “ =” xảy ra  A = B). Ví dụ 4: Cho đa thức 2x 2 - 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1. Giải: thay x bởi y-1, ta được : 1x 2 - 5x +3 = 2( y – 1) 2 - 5( y-1 ) + 3 = 2 ( y 2 - 2y + 1) – 5y + 3 + 5 = 2y 2 - 9y + 10 Ví dụ 5: Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1) B = 2 32 . Giải: Nhân hai vế của A với 2-1, ta được : A = (2-1)(2+1)(2 2 +1)(2 4 +1)(2 8 +1)(2 16 +1). áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 nhiều lần, ta được: A = 2 32 -1. Vậy A < B. Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức : A = (a + b + c) 3 + (a - b – c) 3 -6a(b + c) 2 . Giải : A = [a + (b + c)] 3 + [a – (b + c)] 3 - 6a(b + c ) 2 = a 3 + 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 + (b + c) + a 3 -3a 2 (b + c) + + a 3 - 3a 2 (b + c) + 3a(b + c) 2 - (b + c) 3 - 6a(b + c) 2 = 2a 3 BÀI TẬP VẬN DỤNG: A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: a) 127 2 +146.127 + 73 2 ; b) 9 8 .2 8 - (18 4 - 1)(18 4 + 1) ; c) 100 2 - 99 2 + 98 2 - + 2 2 - 1 2 d) (20 2 +18 2 + +4 2 +2 2 ) – (19 2 +17 2 + +3 2 +1 2 ) ; e) 22 22 75125.150125 220780   Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí : a) A = 22 22 246 254 242258   ; b) B = 263 2 + 74.263 + 37 2 ; C = 136 2 -92.136 + 46 2 ; a) D = (50 2 + 48 2 + +2 2 ) – (49 2 +47 2 + +3 2 + 1 2 ) Bài 8 : Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca . Chưng minh rằng a = b = c . Bài 9 : Tìm x và tìm n  N biết x 2 + 2x + 4 n - 2 1n +2 = 0. B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) : Bài 10 : Rút gọn các biểu thức : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x 2 -x+1) ; b) 3x 2 (x+1)(x-1) – (x 2 -1)(x 4 +x 2 +1)+(x 2 -1) 3 ; c) (a+b+c) 3 +((a-b-c) 3 +(b-c-a) 3 +(c-a-b) 3 ; Bài 11 : Tìm x biết : 6(x+1) 2 -2(x+1) 3 +2(x-1)(x 2 +x+1) = 0 Bài 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c) 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3(a+b)(b+c)(c+a). Bài 13 : Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng : a 3 +b 3 +c 3 +d 3 = 3(ab – cd)(c +d) . Bài 14 : Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a 3 +b 3 ) – 3(a 2 +b 2 ) . . Chuyên đề 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng. từ đẳng thức (1) ta suy ra: cabcabcbacba. c) 3 - 6a(b + c) 2 = 2a 3 BÀI TẬP VẬN DỤNG: A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6: Tính nhamh kết quả các biểu thức sau: a) 127 2 +146.127 + 73 2 ; b) 9 8 .2 8 - (18 4 . Tìm x và tìm n  N biết x 2 + 2x + 4 n - 2 1n +2 = 0. B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) : Bài 10 : Rút gọn các biểu thức : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x 2 -x+1) ; b) 3x 2 (x+1)(x-1) –