ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Các khái niệm 1.1 Tập låi 1.1.1 Tỉ hỵp låi 1.1.2 TËp a-phin, tËp låi ®a diƯn 1.1.3 Nãn låi 10 1.2 Hµm låi 13 PhÐp chiếu lên tập lồi đóng 18 2.1 Định nghĩa tÝnh chÊt 18 2.2 Hình chiếu điểm lªn mét sè tËp quen thuéc 24 Mét sè øng dơng cđa phÐp chiếu 28 3.1 Định lý tách tập lồi 28 3.2 Díi vi ph©n 33 3.3 Giải bất đẳng thức biến ph©n 39 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Giải tích lồi môn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân Một vấn đề quan trọng giải tích lồi phép chiếu vuông góc Đây công cụ sắc bén đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân Những cách chứng minh dựa vào phép chiếu thường mang tính chất kiến thiết, gợi mở đến nhiều vấn đề khác Trong luận văn này, tập trung vào việc trình bày định nghĩa khái niệm, tính chÊt cïng nh÷ng øng dơng quan träng cđa phÐp chiÕu Dựa vào đó, giới thiệu thuật toán để tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Giải toán bất đẳng thức biến phân đưa lời giải cho nhiều vấn đề khác Bởi nhiều toán tối ưu hóa, phương trình vật lý toán nhiều vấn đề kinh tế, kỹ thuật giao thông đô thị mô tả dạng Đề tài bao gồm chương Trong Chương 1, trước hết trình bày số kiến thức sở tập lồi hàm lồi Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương chương luận văn Trong chương dành để nói riêng khái niệm, tính chất phép chiếu Đặc biệt trình bày công thức xác định hình chiếu điểm lên siêu hộp, hình cầu không gian Rn Trong trình nghiên cứu phép chiếu vuông góc, biết hình chiếu vuông góc điểm lên tập lồi đóng, khác rỗng Rn tồn Dựa vào đó, đề cập đến ứng dụng S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cña Cụ thể trình bày ứng dụng phép chiếu vuông góc vào vấn đề sau: Chứng minh định lý tách, chứng minh tồn vi phân hàm lồi, xây dựng thuật toán giải bất đẳng thức biến phân Những vấn đề trình bày chi tiết Chương Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Lê Dũng Mưu Nhờ Thầy, đà bước đầu làm quen say mê công việc nghiên cứu toán Nhân dịp này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Đồng thời chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên - Đại học Thái Nguyên, Viện toán học đà tận tình giảng dạy giúp nắm kiến thức sở tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đà cổ vũ động viên trình làm luận văn Thái Nguyên, Ngày 28 tháng 09 năm 2009 Học viên Hoàng Thị Liễu S hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các khái niệm Trong chương này, trình bày khái niệm giải tích lồi với tính chất ®Ỉc trng cđa nã nh tËp låi, tËp a-phin, nãn lồi, hàm lồi 1.1 Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà đà biết không gian con, siêu phẳng tập lồi Khái niệm vỊ tËp låi cã mét vai trß quan träng giải tích lồi Trong phần trình bày ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cđa tËp låi, tËp a-phin, tËp lồi đa diện, nón lồi 1.1.1 Tổ hợp lồi Định nghĩa 1.1.1 ã Một đường thẳng điểm (véctơ) nối hai điểm (véctơ) a b Rn tập hợp tất x Rn có dạng {x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, R} ã Một đoạn thẳng điểm (véctơ) nối hai điểm (véctơ) a b Rn tập hợp tất x Rn có dạng {x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, ≤ λ ≤ 1} Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.2 Một tập C Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng ®i qua hai ®iĨm bÊt kú cđa nã Tøc lµ C låi vµ chØ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y C x tổ hợp lồi điểm (vÐct¬)x1 , , xk nÕu Ta nãi x= k X i i n λi x , x ∈ R , λi ≥ 0, ∀i = 1, , k, k X i=1 λi = i=1 ( xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.1) Tập Mệnh đề 1.1.3 C Rn lồi C lµ låi vµ chØ nã chøa mäi tỉ hợp lồi điểm Tức là, chØ ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k X k λi = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ i=1 k X λi xi ∈ C i=1 Chứng minh Điều kiện đủ: Suy từ định nghĩa tập lồi ứng với Điều kiện cần: k = Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo số điểm k = : Hiển nhiên k = : Điều kiện cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với Thật vậy, k − ®iĨm, ta chøng minh nã ®óng víi k điểm x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C, tøc lµ : x= k X i λi x , λi > 0, ∀i = 1, , k, i=1 Gi¶ sư k X λi = i=1 λk > 0, đặt : = k1 P i Khi ®ã < α < vµ i=1 x= k−1 X i=1 Do k−1 X λi i x + λk xk λi x + λk x = α α i=1 i k λi > ∀i = 1, , k − vµ α k−1 X λi =1 α i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nªn theo giả thiết quy nạp điểm k1 X i i x ∈ C y= α i=1 Ta cã : x = αy + λk xk Do α > 0, λk > vµ α + λk = k P i = nên i=1 x tổ hợp lồi y xk thuộc C Vậy x C Từ định nghĩa tập lồi, ta suy lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Decastes Mệnh ®Ị 1.1.4 Rn , C ( xem [2], Ch¬ng 1, Mệnh đề 1.2) Nếu tập lồi A, B tập lồi Rm tập sau lµ låi A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B} , αA + βB = {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} , A × C = {x ∈ Rm+n | x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C} 1.1.2 TËp a-phin, tËp lồi đa diện Trong giải tích cổ điển, ta đà làm quen với không gian con, siêu phẳng Đó trường hợp riêng tập a-phin định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.5 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm Tức lµ : ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C NhËn xÐt 1.1.6 a) Tập a-phin trường hợp riêng tập lồi b) Mọi siêu phẳng Rn tập a-phin Mệnh đề cho ta thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến không gian Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.1.7 gian (xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.3) TËp M M = L+a víi L 6= ∅ lµ tập a-phin không gian a M Không L xác định Chứng minh Điều kiện cần: Khi Vậy Giả sử M tËp a-phin vµ a ∈ M L = M a chứa tập a-phin Do đó, L không gian M = L + a Điều kiện đủ: Nếu M = L + a với a M , L không gian th× ∀x, y ∈ M, λ ∈ R, ta cã: (1 − λ)x + λy = a + (1 − λ)(x − a) + λ(y − a) Do x − a, y a L L không gian nªn (1 − λ)(x − a) + λ(y − a) ∈ L =⇒ (1 − λ)x + λy M Vậy M tập a-phin Không gian L Thật vậy, M = L + a vµ M = L0 + a0 , L, L0 không gian a, a0 M L0 = M a = L + a − a0 = L + (a − a0 ) Do a0 ∈ M = a + L nªn a0 − a ∈ L =⇒ L0 = L + (a − a0 ) = L Kh«ng gian song víi tËp a-phin L mƯnh ®Ị gọi M Định nghĩa 1.1.8 Thứ nguyên( với tập a-phin không gian song M gọi hay chiều) không gian thứ nguyên( hay chiều) L song song M ký hiệu dimM Điểm a Rn tập a- phin có số chiều không gian song song víi M = {a} lµ L = {0} Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn MƯnh ®Ị 1.1.9 M ⊆ Rn (xem [2], Chương 1, Mệnh đề 1.4) Bất kỳ mét tËp a- phin cã sè chiỊu r ®Ịu cã d¹ng M = {x ∈ Rn | Ax = b} Trong đó: A ma trận cấp (m ì n), b Rm Ngược lại, tập hợp có dạng (1.1) víi vµ (1.1) rank A = n − r rank A = n r tập a-phin có số chiều r Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M tập a-phin có số chiều r vµ M = L + a víi a ∈ M Vậy L = M a không gian có số chiều r Theo đại số tuyến tính không gian r - chiều có d¹ng : L = {x | Ax = 0} A ma trận cấp m ì n rank A = n − r Tõ M = L + a suy M = {x | A(x − a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} Điều kiện đủ: Nếu M cho (1.1) víi a ∈ M , ta cã Aa = b, ®ã M = {x | A(x − a) = 0} = a + L víi L = {x | Ax = 0} Do rankA = n − r nên L không gian có số chiều r Vậy dim M = r Định nghĩa 1.1.10 ã Siêu phẳng không gian Rn tập hợp ®iĨm cã d¹ng {x ∈ Rn | ha, xi = } : Véctơ a Rn \ {0} , R a gọi véctơ pháp tuyến siêu phẳng ãNửa không gian đóng tập hợp có dạng: {x | ha, xi ≤ α} , {x | ha, xi ≥ α} Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề sau cho ta thấy, tách mạnh tập lồi, đóng, khác rỗng C Rn điểm không thuộc Bổ ®Ị 3.1.5 ( xem [2], Ch¬ng 6, Bỉ ®Ị 6.2) Cho đóng, khác rỗng cho C C Rn Khi tồn véc tơ mét tËp låi, t ∈ Rn , t 6= vµ α > cho ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈ C Chøng minh Do C ®ãng C nên tồn hình cầu B tâm gốc, bán kính r > cho C B = áp dụng định lý tách cho hai tËp C vµ B , ta cã t ∈ Rn \ {0} vµ α ∈ R, cho ht, xi ≥ α ≥ ht, yi ∀x ∈ C, ∀y ∈ B B»ng c¸ch chuÈn hãa ta cã thể xem đến siêu phẳng k t k= khoảng cách từ gốc ht, xi = Vậy ht, xi ≥ α ≥ r > Theo bæ đề phẳng ht, xi = C điểm gốc tọa độ tách mạnh, ví dụ siêu Định lý 3.1.6 ( Định lý tách 2) D ( xem [2], Chương 6, Định lý 6.2) Cho hai tập lồi khác rỗng cho C C ∩ D = ∅ Gi¶ sư cã tập com-pắc Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Chứng minh Giả sử Thật vậy, giả sử Vì C lµ tËp compact Ta chØ tËp C − D đóng z k = xk y k C − D, xk ∈ C, y k ∈ D z k z C compact, nên cã thÓ trÝch mét d·y xkj → x ∈ C j → +∞ Do vËy y kj = z kj − xkj → z − x ∈ D mà D đóng nên y = lim y k D, vËy z = x − y ∈ C − D, chøng tá C − D ®ãng Do 6∈ C D nên theo bổ đề trên, tồn t 6= 0, cho ht, x − yi ≥ α > 0, ∀x ∈ C, y ∈ D 31 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn VËy inf ht, xi − x∈C Chøng tá α α ≥ supht, yi + 2 yD C D tách mạnh Chú ý 3.1.7 ThiÕu gi¶ thiÕt " mét hai tËp ph¶i compact" định lý không Xét ví dụ ®ã: C = (x, t) ∈ R2 | x ≥ 0, t = D = {(x, t) ∈ R2 | t ≥ , t > 0, x > 0} x Rõ ràng hai tập lồi, đóng điểm chung chúng tách mạnh Từ định nghĩa ta thấy rằng, hai tập nằm siêu phẳng chúng tách được, ví dụ siêu phẳng Để loại bỏ trường hợp này, người ta đưa khái niệm tách sau: Định nghĩa 3.1.8 tách Ta nói siêu phẳng aT x = tách hai tập C D C D đồng thời không chøa trän vĐn hai tËp nµy Chó ý r»ng nÕu A vµ B lµ hai tËp låi mµ riA ∩ ri B 6= , hai tập tách được, ví dụ A B hai đường chéo hính chữ nhật mặt phẳng 2-chiều Tuy nhiên chúng tách theo mệnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị 3.1.9 ( xem [2], Ch¬ng 6, Mệnh đề 6.1) Cho hai tập lồi khác rỗng A B Điều kiện cần đủ để hai tập tách ri Ari B = Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử ri A ri B = Mặt khác, A B tập lồi (ri A − ri B) = ri(A − B) XÐt hai trêng hỵp: a) Trêng hỵp 1: int(A − B) 6= ∅ Khi ®ã 6∈ int(A − B) VËy tån t¹i t 6= cho tT x < tT y, ∀x ∈ int A, y ∈ int B 32 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt = sup tT x | x ∈ int A , β = inf tT y | y ∈ int B th× α ≤ β LÊy γ cho α ≤ γ ≤ β Khi đó, siêu phẳng tT x = tách A B đồng thời chứa A B b) Trường hợp 2: int(A B) = Đặt C = A B F không gian song song với aff C Khi đó, áp dụng lập luận phần cho không gian F tồn siêu phẳng H F tách A B Gäi t0 Gäi : F → R lµ phiÕm hµm tuyến tính xác định siêu phẳng H F không gian vuông góc với F Với x Rn đặt t(x) hàm hợp t0 p, p ánh xạ chiếu xuống không gian F Do p tuyến tính nên dễ thấy t t0 siêu phẳng tách hai tập Điều kiện cần: A B ta giả sử có siêu phẳng tT x = tách A B , tức t0T x ≤ γ ≤ tT y, ∀x ∈ A, y B Giả sử siêu phẳng không chứa Vậy 3.2 B Khi ®ã tT y > γ víi mäi y ∈ riB riA ∩ riB = ∅ Díi vi phân Phép tính vi phân vấn đề giải tích cổ điển Trong giải tích lồi, lý thuyết phong phú nhờ tính chất tập lồi hàm lồi Trong phần này, mở rộng khái niệm đạo hàm khái niệm vi phân số tính chất Đặc biệt, áp dụng tính chất phép chiếu siêu phẳng tựa để chứng minh tồn vi phân hàm f trường hợp f lồi Định nghĩa 3.2.1 hàm cña Cho f : Rn −→ R ∪ {+∞} Ta nói x Rn đạo f x nÕu hx∗ , z − xi + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ Rn 33 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tương tự hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức có nghĩa phương trình tiếp tuyến nằm đồ thị hàm số Tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến không tồn Ký hiệu tập tất đạo hàm (có thể rỗng Khi f x f (x).Đây tập R) f (x) 6= ta nói hàm f Theo định nghĩa, điểm khả vi vi phân x x f (x) thỏa mÃn hệ vô hạn bất đẳng thức tuyến tính Như không gian đóng.Vậy f (x) giao nửa f (x) tập lồi đóng( rỗng) Ký hiệu: dom(∂f ) = {x | ∂f (x) 6= ∅} Ví dụ 3.2.2 Tại điểm f (x) =k x k, x Rn x = hàm không khả vi khả vi phân f (0) = {x∗ | hx∗ , xi ≤k x k, ∀x ∈ Rn } C ⊂ Rn(lµ mét tËp låi, khác rỗng x C f (x) = δC (x) = lµ hµm chØ cđa C +∞ nÕu x 6∈ C Khi ®ã víi x0 ∈ C, ta cã : VÝ dô 3.2.3 ∂δC (x0 ) = x∗ | hx∗ , x − x0 i ≤ δC (x) , ∀x Víi x 6∈ C th× C = + nên bất đẳng thức VËy ∂δC (x0 ) = x∗ | hx∗ , x − x0 i ≤ ∀x ∈ C = NC (x0 ) Vậy vi phân hàm tập lồi C khác rỗng điểm x0 C nón pháp tuyến C x0 Định nghĩa 3.2.4 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} vµ x0 ∈ Rn cho f (x0 ) < +∞ NÕu víi mét vÐc tơ y Rn mà giới hạn f (x0 + λy) − f (x0 ) t↓0 λ lim 34 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn ( hữu hạn hay vô hạn ), ta nói điểm f có đạo hàm theo phương y x0 Giới hạn ký hiệu lµ f (x0 , y) VËy f (x0 + λy) − f (x0 ) f (x , y) = lim t0 0 Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để điểm x∗ MƯnh ®Ị 3.2.5 Cho ∈ ∂f (x) ( xem [2], Chương 11, Mệnh đề 11.2) f : Rn R ∪ {+∞} låi, chÝnh thêng (i) x∗ ∈ ∂f (x) vµ chØ f (x, y) ≥ hx∗ , yi, ∀y (ii) NÕu f lµ hµm låi thường Rn với x dom(f ) ta cã: f (x) = f (x) vµ ∂f (x) = f (x) Chứng minh (i) Theo định nghĩa x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ hx∗ , z − xi + f (x) ≤ f (z), ∀z Víi bÊt kú y , lÊy z = x + λy, λ > 0, ta cã: hx∗ , λyi + f (x) ≤ f (x + y) Từ suy f (x + λy) − f (x) , ∀λ > λ Theo điịnh nghĩa f (x, y), từ suy hx∗ , yi ≤ (3.1) hx∗ , yi f (x, y), y Ngược lại giải sử (3.2) thỏa mÃn Lấy z áp dơng (3.1) víi y vµ (3.2) = z −x λ = ta cã: f (x + y) − f (x) ≥ f (x, y) = f (x, z − x) ≥ hx∗ , z − xi, ∀z 35 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn VËy x∗ ∈ ∂f (x) (ii) Cho x ∈ dom(∂f ) vµ x∗ ∈ ∂f (x) Theo định nghĩa f , hàm liên x f (x) ta có: hợp f (x) ≥ f (x) = f ∗∗ (x) ≥ hx∗ , xi − f ∗ (x∗ ) = f (x) ⇒ f (x) = f (x) NÕu y ∗ ∈ ∂f (x) th× víi mäi z cã: f (z) ≥ f (z) ≥ f (x) + hy ∗ , z − xi = f (x) + hy ∗ , z − xi ⇒ ∂f (x) ⊆ ∂f (x) §Ĩ chøng minh điều ngược lại, lấy z ri(dom f ) Víi mäi z ta cã: f (z) = limf (1 − t)z + tz t&0 VËy theo định nghĩa vi phân ta có: f (1 − t)z + tz ≥ f (x) + hx∗ , (1 − t)z + tz xi Cho t & ta được: f (x) ≥ f (x) + hx∗ , z − xi = f (x) + hx∗ , z − xi Chøng tá VËy x∗ ∈ ∂f (x) Suy ∂f (x) ⊆ ∂f (x) ∂f (x) = ∂f (x) MƯnh ®Ị 3.2.6 Cho ( xem [2], Chương 11, Mệnh đề 11.3) f : Rn → R ∪ {+∞} låi chÝnh thêng Khi ®ã: (i) NÕu x 6∈ dom f (ii) NÕu th× ∂f (x) = ∅ x ∈ int(dom f ) th× f (x) 6= compact Ngược lại, f (x) 6= ∅, compact th× x ∈ ri(dom f ) Chøng minh (i) Cho z ∈ dom f, th× f (z) < +∞ VËy nÕu x 6∈ dom f, th× f (x) = + va tồn t¹i x∗ tháa m·n hx∗ , z − xi + f (x) ≤ f (z) < +∞ 36 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn VËy ∂f (x) = ∅ (ii) Tríc hÕt gi¶ sư cđa epif Do x ∈ int(dom f ) Ta có điểm (x, f (x)) nằm biên f lồi, thường nên epi f tập lồi khác rỗng Theo mệnh đề 2.1.8, tồn siêu phẳng tựa epi f qua (x, f (x)), tøc lµ tån p ∈ Rn , t ∈ R không đồng thời cho hp, xi + tf (x) ≤ hp, yi + tµ ∀(y, µ) ∈ epi f NÕu (3.3) t = th× hp, xi ≤ hp, yi, ∀y ∈ dom f Nhng NÕu x int(dom f ) nên điều kéo theo p = VËy t 6= t < bất đẳng thức ( 3.3) cho ta suy mâu thuẫn vế trái cố định, vế phải dần tới Chia hai vế (3.3) cho x∗ = −∞ Do ®ã t > t > đồng thời thay = f (y) đặt p t , ta được: hx , xi + f (x) ≤ hx∗ , y + f (y)i, ∀y ∈ dom f Hay lµ hx∗ , y − xi + f (x) ≤ f (y), ∀y ∈ dom f NÕu (3.4) y 6∈ dom f th× f (y) = ∞, ®ã hx∗ , x − yi + f (x) ≤ f (y), ∀y 6∈ dom f (3.5) Tõ (3.4) vµ (3.5) ta suy hx∗ , y − xi + f (x) ≤ f (y) Chøng tá x∗ ∈ ∂f (x) B©y giê ta chØ tËp f (x) compact x domf nên theo mệnh đề 3.2.5 x f (x) Do f (x, d) ≥ hx∗ , di, ∀d Gọi F không gian tuyến tính dom f Lấy ei véc tơ đơn vị thứ i Rn (i = 1, , n) (täa ®é thứ i ei tọa độ khác ) Không 37 S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mÊt tính tổng quát, ta giả sử véc tơ mệnh đề 3.2.5 với Tương tự, áp dụng víi hay lµ: e1 , e2 , , ek ∈ F ¸p dơng d = ei víi i = 1, , k ta cã x∗ ≤ f (x, ei ) d = −ei víi i = 1, , k ta cã −x∗ ≤ f (x, −ei ) x∗ ≥ −f (x, −ei ) Tøc lµ: −f (x, −ei ) ≤ x∗ ≤ f (x, ei ) ∀i = 1, , k Do x ri(dom f ) F không gian đóng dom f nên f (x, y) hữu hạn với y Do đó, tính đóng nên f (x, ei ) f (x, ei ) hữu hạn Vậy f (x) bị chặn f (x) compact Ngược lại, giả sử f (x) 6= compact Ta phải chứng minh x ∈ ri(dom f ) ThËt vËy, ∂f (x) 6= nên x dom f Nếu trái lại x ri(dom f ) x biên tương đối dom f Do dom f lồi, theo mệnh đề 2.1.8 tồn siêu phẳng tựa dom f x, tức tồn vÐc t¬ p ∈ Rn , p 6= ∅ cho pT x ≥ pT z, ∀z ∈ dom f Lấy x f (x) Từ định nghĩa díi vi ph©n, ta cã: f (z) − f (x) ≥ hx∗ , z − xi ≥ hx∗ + λp, z − xi, ∀λ ≥ 0, ∀z Chøng tá x∗ + λp ∈ ∂f (x) víi mäi λ ≥ 0.( Điều mâu thuẫu với tính bị chặn f (x)) VËy x ∈ ri(dom f ) VÝ dô sau ®©y cho ta thÊy nÕu x 6∈ int(dom f ) tập f (x) rỗng Ví dụ 3.2.7 Cho hµm mét biÕn ( −2x nÕu x ≥ 0, f (x) = +∞ nÕu x < Khi ®ã ∂f (0) = ∅ 38 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3 Giải bất đẳng thức biến phân HÃy xét mét øng dơng cđa phÐp chiÕu vu«ng gãc viƯc giải toán bất đẳng thức biến phân sau: Bài toán: Cho C tập lồi đóng khác rỗng Rn vµ F : C −→(Rn XÐt bµi toán bất đẳng thức biến phân: Tìm x C, (VIP) cho hF (x∗ ), x − x∗ i 0, x C Nhiều toán tối ưu hóa, phương trình vật lý toán nhiều vấn đề kinh tế, kỹ thuật giao thông, đô thị mô tả dạng toán (VIP) Sự tồn nghiệm phương pháp giải toán (VIP) dựa vào phép chiếu vuông góc Cụ thể ta có kết sau: Mệnh đề 3.3.1 C Rn ( xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.2) Giả sử tập lồi, đóng khác rỗng Với h(x) = pC (x Khi x = h(x∗ ) vµ chØ x∗ Chøng minh α > Cho x C, đặt: F (x)) α lµ nghiƯm cđa (VIP) Theo tÝnh chÊt cđa phÐp chiếu, h ánh xạ đơn trị từ C vào C Theo mƯnh ®Ị 2.1.2, ta cã: x∗ = h(x∗ ) = pC (x∗ − F (x∗ )) α vµ chØ hx∗ − x∗ + F (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x C Tương đương hF (x ), x x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C hay x∗ lµ nghiệm toán (VIP) Hệ 3.3.2 Nếu C Rn tập lồi, compact F liên tục toán bất đẳng thức biến phân (VIP) có nghiệm 39 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn C Vì Chứng minh liên tục tập C Rn tập lồi, compact nên pC liên tục Mặt khác F C nên suy h(x) = pC (x ánh xạ liên tục tập F (x)) C ( hợp hai ánh xạ liên tục) Theo định lý điểm bất động Brouwer, h tồn điểm bất động Theo mệnh đề 3.3.1, điểm bất động nghiệm (VIP) Chú ý 3.3.3 Theo định nghĩa h(x) = pC (x − th× F (x)) α xk+1 nghiệm toán quy hoạch lồi bậc hai (P (xk )) min{ αk z − xk k + hF (xk ), z − xk i | z ∈ C} vµ chØ xk+1 = pC (xk − F (xk )) α ThËt vËy, ta cã F (xk )) α lµ nghiƯm toán quy hoạch lồi bậc hai P (xk ) h(xk ) = pC (xk − xk+1 ⇔ xk+1 = arg min{ 21 αk z − xk k + hF (xk ), z − xk i} z∈C ⇔ ∈ α(xk+1 − xk ) + F (xk ) + NC (xk+1 ) ⇔ α(xk − xk+1 ) − F (xk ) ∈ NC (xk+1 ) ⇔ hα(xk − xk+1 ) − F (xk ), x − xk+1 i ≤ 0, ∀x ∈ C ⇔ hα (xk − F (xk ) − xk+1 ) , x − xk+1 i ≤ 0, ∀x ∈ C α 40 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇔ hxk − F (xk ) − xk+1 , x − xk+1 i ≤ 0, x C Do từ bất đẳng thức định nghĩa phép chiếu ta được: xk+1 = h(xk ) = pC (xk − F (xk )) Theo mệnh đề 3.3.1 việc giải toán (VIP) chuyển việc tìm điểm bất động ánh xạ h Do ánh xạ chiếu không giÃn nên h ánh xạ không giÃn Vì mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach để tìm điểm bất động ánh xạ Trong số trường hợp riêng quan trọng h ánh xạ co Khi nguyên lý ánh xạ Banach áp dụng trực tiếp để giải (VIP) Dưới ta xét trường hợp Ta cần định nghĩa sau: Định nghĩa 3.3.4 Một ánh xạ F : C Rn gọi đơn điệu trªn C , nÕu: hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C Mét ¸nh xạ F gọi đơn điệu mạnh C víi hƯ sè β > nÕu: hF (x) − F (y), x − yi ≥ βk x − y k2 , x, y C Nếu F đạo hàm hàm lồi ( mạnh) C F đơn điệu ( mạnh) C Một ánh xạ M : C H gọi liên tục Lipschitz trªn C víi hƯ sè Lipschitz L ≥ nÕu: k M (x) − M (x0 ) k≤ L k x − x0 k, ∀x, x0 ∈ C NÕu (3.6) thỏa mÃn với không giÃn Mệnh đề 3.3.5 L < M gọi ánh xạ co C , gọi C L = (xem [2], Chương 5, Mệnh đề 5.3) Giả sử lồi, đóng, khác rỗng ánh xạ số (3.6) Lipschitz C F : C Rn với số tập C với hệ đơn điệu mạnh L Khi > h(x) = pC (x − C ⊂ Rn L 2β th× F (x)) α 41 Số hóa Trung tâm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ánh xạ co C với hệ số co r δ= Chøng minh 2β L2 + α α (3.7) Do tính không giÃn phép chiếu nên 1 k h(x) − h(y) k ≤ k x − F (x) − (y − F (y)) k α α = k x − y k2 − hx − y, F (x) − F (y)i + k F (x) − F (y) k2 α α Do F đơn điệu mạnh với hệ số Lipschitz với số L nên hx y, F (x) − F (y)i ≥ βk x − y k2 vµ k F (x) − F (y) k2 ≤ L2 k x y k2 Từ suy ra: L2 2β k h(x) − h(y) k ≤ k x − y k + k x − y k2 − k x − y k2 α α 2 L2 2β = (1 + − )k x − y k2 α α Khi VËy L2 L2 2β L2 2β α> ⇒ 2− Bước : giả sử x0 C Đặt k = Bước : Giải toán quy ho¹ch låi bËc hai (P (xk )) min{ αk z − xk k + hF (xk ), z − xk i | z ∈ C} ta thu nghiệm xk+1 k+1 k x1 − x0 k≤ kÕt thóc tht to¸n: xk+1 la nghiệm (VIP) Nếu Trái lại, cho k k + quay lại bước Giả sử x kí hiệu điểm bất động nhÊt cña h Do xk+1 = h(xk ), ta cã k+1 kx víi δ k+1 k x0 − x1 k, − x k≤ 1−δ ∗ δ lµ hƯ sè co h Do vậy, thuật toán kết thúc bước lặp lại Do k k xk+1 x∗ k≤ xk+1 lµ −nghiƯm cđa (VIP) Trong trêng hợp = thuật toán không hữu hạn Khi đó, dÃy k x tạo thành thuật toán hội tụ tới điểm bất động x h theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ta có đánh giá sau: kx Chó ý 3.3.7 k+1 δ k+1 k x0 − x1 k − x k≤ 1−δ ∗ Tõ (3.7) ta thÊy r»ng hƯ sè co δ lµ mét hµm tham số quy Sự tính toán từ (3.7) thấy có giá trị nhỏ nhất, tức L2 L2 tính hội tụ thuật toán tốt = Khi chän α = β β 43 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Trong luận văn này,chúng đà trình bày vỊ phÐp chiÕu vµ mét sè øng dơng cđa nã, cụ thể : Định nghĩa, tính chất phép chiếu công thức tính tọa độ hình chiếu điểm lên siêu phẳng, hình cầu, siêu cầu Rn øng dơng cđa phÐp chiÕu ®Ĩ chøng minh số định lý quan trọng : Định lý tách, Định lý tồn vi phân hàm lồi, Định lý tồn nghiệm bất đẳng thức biên phân Xây dựng thuật toán tìm nghiệm toán Bất đẳng thøc biÕn ph©n sư dơng tÝnh chÊt cđa phÐp chiÕu Trong luận văn này, chưa xét đến trường hợp tổng quát, tập chiếu tập lồi đóng Khi đó, hình chiếu điểm lên tập hợp không tồn tồn không Đó toán tương đối phức tạp đòi hỏi nhiều kiến thức sâu rộng nhiều lĩnh vực khác 44 S húa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghƯ, Hµ Néi [3] Hoµng Tơy (2006), Lý thut tèi ưu, Viện toán học, Hà Nội [4] Nguyen Van Hien (2003), Lecture 3: Projection Algorithms for Monotone VIPs, CIUF - CUD Summer School on Optimization and Appied Mathematics Cần Thơ [5] Pham Ngoc Anh And Le Dung Muu (2004), Coupling the Banach Contraction Mapping Principle and the Proximal Point Algorithm for Solving Monotone Variational Inequalities, ACTA MATHEMATICA VIET- NAMICA, 29, pp 119 - 133 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn