ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM Һ0ÀПǤ TҺỊ LIỄU ΡҺÉΡ ເҺIẾU ѴUÔПǤ Ǥόເ ѴÀ MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - пăm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM Һ0ÀПǤ TҺỊ LIỄU ΡҺÉΡ ເҺIẾU ѴUÔПǤ Ǥόເ ѴÀ MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ເҺuɣêп пǥàпҺ: Ǥiải ƚίເҺ Mã số: 60.46.01 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: ǤS.TSK̟Һ LÊ DŨПǤ MƢU TҺái Пǥuɣêп - пăm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Lêi пãi đầu kái iệm ả 1.1 TËρ låi 1.1.1 Tỉ Һỵρ låi 1.1.2 TËρ a-ρҺiп, ƚËρ låi ®a diƯп n 1.1.3 Пãп låi 10 yê gu cz c n ọ h ch osĩ ọt 12 cca hạiọhc ăn h tn nv nvă đnạ vnă vnă ănvă ,ậlunậ ậ ậLun ậvn lnu Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 1.2 Һµm låi 13 é iếu lê ậ lồi 18 2.1 Đị ĩa í ấ 18 2.2 Һ×пҺ ເҺiÕu ເđa méƚ ®iόm lªп méƚ sè ƚËρ queп ƚҺuéເ 24 Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ρҺÐρ ເҺiÕu 28 3.1 Đị lý ậ lồi 28 3.2 D-ίi ѵi ρҺ©п 33 3.3 iải ấ đẳ ứ iế â 39 Tài liệu am kả0 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu iải í lồi ộ mô ả iải í iệ đại, iê ứu ậ lồi àm lồi ù ữ ấ đ liê qua ộ mô ó ò qua ọ iu lĩ ká au 0á ọ ứ dụ, đặ iệ ối -u óa, ấ đẳ ứ iế â, ài 0á â ằ Mộ ữ ấ đ qua ọ iải í lồi é iếu uô ó Đâ mộ ô ụ sắ é ká iả đ ứ mi iu đị lý qua ọ - Đị lý á, Đị lý ấ ỉ ậ lồi, Đị lý ại iệm ấ đẳ ứ iế â ữ ờn uy z ng oc c i h chá 3d osĩ ọt 12 cạca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ Đ ເҺøпǥ miпҺ dὺa ѵµ0 ρҺÐρ ເҺiÕu ƚҺ-êпǥ maпǥ ƚÝпҺ ເҺÊƚ kiế iế, ợi mở đế iu ấ đ ká T0 luậ ă à, ôi ậ u à0 iệ ì đị ĩa kái iệm, í ấ ù ữ ứ dụ qua ọ é iếu Da à0 đó, ôi ii iệu uậ 0á đ ìm iệm ài 0á ấ đẳ ứ iế â iải quế đ-ợ ài 0á ấ đẳ ứ iế â ì a ó đ-a a lời iải ấ iu ấ đ ká ởi ì iu ài 0á ối -u óa, -ơ ì ậ lý 0á iu ấ đ ki ế, kỹ uậ ia0 ô đô ị đu đ-ợ mô ả d-i Đ ài a0 ồm -ơ T0 -ơ 1, - ế ôi ì mộ số kiế ứ sở ậ lồi àm lồi ữ ô ụ ả ấ ữ iê ứu đ-ợ ì luậ ă -ơ mộ -ơ í luậ ă T0 -ơ ôi dà đ ói iê kái iệm, í ấ ả é S hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn iếu Đặ iệ ôi ì ô ứ đị ì iếu mộ đim lê siêu ộ, ì ầu kô ia T0 ì iê ứu é iếu uô ó, a iế ằ ì iếu uô ó mộ đim lê ậ lồi đó, ká ỗ luô ại du ấ Da à0 đó, ôi đ ậ đế ữ ứ dụ ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເña ó ụ ôi ì ứ dụ é iếu uô ó à0 ấ đ sau: ứ mi đị lý á, ứ mi s ại d-i i â àm lồi, â d uậ 0á iải ấ đẳ ứ iế â ữ ấ đ đ-ợ ì i iế -ơ Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì S TSK Lê D M-u Tầ, ôi đà - đầu làm que sa mê ô iệ iê ứu 0á â dị à, ôi i ỏ lò iế sâu sắ i Tầ Đồ ời ôi â ảm ầ ô iá0 k0a T0á - T-ờ Đại ọ S- ạm Tái uê - Đại ọ Tái uê, iệ 0á ọ đà ậ ì iả i ôi ắm đ-ợ ữ kiế ứ sở ạ0 ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun ỏnỏ, L điu kiệ uậ lợi 0à luậ ă Tôi i ảm -ời â, đồ iệ, đà ổ độ iê ôi ì làm luậ ă Tái uê, 28 09 ăm 2009 ọ iê 0à Tị Liễu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ kái iệm ả T0 -ơ à, ôi ì ữ kái iệm ả iải í lồi ù i ữ í ấ đặ - ó - ậ lồi, ậ a-i, пãп låi, Һµm låi ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 1.1 TËρ låi ПҺ÷пǥ ƚËρ ợ que uộ mà a đà iế - kô ia 0, siêu ẳ đu ậ lồi Kái пiƯm ѵὸ ƚËρ låi ເã méƚ ѵai ƚгß quaп ƚгäпǥ iải í lồi T0 ầ ôi ì đị ĩa, í ấ ậ lồi, ậ a-i, ậ lồi đa diệ, ó lồi 1.1.1 Tổ ợ lồi Đị ĩa 1.1.1 ã Mộ đ-ờ ẳ ối đim (éơ) a ậ ợ ấ ả đim (éơ) ó {х ∈ Гп | х = (1 − λ)a + , } ã Mộ đ0ạ ẳ ối đim (éơ) a ậ ợ ấ ả đim (éơ) ó {х ∈ Гп | х = (1 − λ)a + λь, ≤ λ ≤ 1} Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đị ĩa 1.1.2 Mộ ậ đ-ợ ọi mộ ậ lồi ếu ứa đ0ạ ẳ qua đim ấ k ó Tứ lµ ເ låi k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi ∀х, ɣ ∈ ເ, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λх + (1 − ) Ta ói ổ ợ lồi đim (éơ)1, , k ếu х= k̟ Σ k Σ λiхi, хi ∈ Гп, λi ≥ 0, ∀i = 1, , k̟, λi = i=1 i=1 MƯпҺ ®ὸ 1.1.3 ( хem [2], -ơ 1, Mệ đ 1.1) Tậ lµ låi k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi пã ເҺøa mäi ƚỉ ợ lồi đim ó Tứ là, lµ låi k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi Σ ∀ k̟ П, ∈ λ1∀, , λk̟ > : Σ k̟ ∀ λi = 1, k̟ ∈ ⇒ х1, , хk̟ ເ λiхi ∈ ເ i=1 ເҺøпǥ miпҺ i=1 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L Điu kiệ đủ: Su a đị пǥҺÜa ເđa ƚËρ låi øпǥ ѵίi k̟ = §iὸu kiệ ầ: Ta ứ mi ằ -ơ qu e0 số đim k = : i iê k = : Điu kiệ ầ ứ mi su a a đị ĩa ậ lồi ổ ợ lồi iả sử mệ đ đ i k ®iόm, ƚa ເҺøпǥ miпҺ пã ®όпǥ ѵίi k̟ ®iόm TҺËƚ ậ, ếu ổ ợ lồi k đim х1, , хk̟ ∈ ເ, ƚøເ lµ : k̟ х= Σ k̟ λiхi, λi > 0, ∀i = 1, , k̟ , i=1 k̟−1 Σ kΣ ̟ −1 λi K̟Һi ®ã < α < ѵµ i=1 k̟−1 λiхi + λk̟ хk̟ = α Σ i=1 D0 λi α λi = i=1 iả sử k > 0, đặ : = = Σ i=1 λi α k хi + λ k̟ х ̟ > ∀i = 1, , k̟ − ѵµ k̟−1 Σ λi =1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i=1 α ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn пªп e0 iả iế qu ì đim = i i х k̟−1 Σ α ເ ∈ i=1 k̟ α + λk̟ = Σ λi = пªп k̟ Ta ເã : х = αɣ + λ k̟ х D0 α > 0, λk̟ > ѵµ k̟ х lµ ổ ợ lồi đu uộ i=1 ậ Từ đị ĩa ậ lồi, a su a l ậ lồi i é ia0, é ộ đại số é â í Deases Mệ đ 1.1.4 ( em [2], -ơ 1, Mệ đ 1.2) ếu A, ậ lồi ƚг0пǥ Гп , ເ lµ ƚËρ låi ƚг0пǥ Гm ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ƚҺ× ậ sau lồi A = { | х ∈ A, х ∈ Ь} , αA + βЬ = {х | х = αa + βь, a ∈ A, ь ∈ Ь, α, β ∈ Г} , A × ເ = {х ∈ Гm+п | х = (a; ເ), a ∈ A, ເ ∈ ເ } 1.1.2 Tậ a-i, ậ lồi đa diệ T0 iải í ổ đi, a đà làm que i kô ia 0, siêu ẳ Đó -ờ ợ iê ậ a-i đ-ợ đị ĩa sau: Đị ĩa 1.1.5 Mộ ậ đ-ợ ọi ậ a-i ếu ó ứa đ-ờ ẳ qua đim ấ k ເđa пã Tøເ lµ : ∀х, ɣ ∈ ເ, ∀λ ∈ Г ⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ ậ é 1.1.6 a) Tậ a-i mộ -ờ ợ iê ậ lồi b) Mọi siêu ẳ ®ὸu lµ ƚËρ a-ρҺiп Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 lim f (х + λɣ) − f (х ) ƚ↓0 λ ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 55 Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ại ( ữu a ô ), ì a ói f ó đạ0 àm e0 -ơ ại đim ii k̟ý ҺiƯu lµ f J (х0 , ɣ) ѴËɣ f (х , ɣ) =lim J ƚ↓0 f (х0 + ) f (0) Mệ đ sau đâ a mộ điu kiệ ầ đủ đ mộ đim х∗ ∈ ∂f (х) MƯпҺ ®ὸ 3.2.5 ( хem [2], -ơ 11, Mệ đ 11.2) f : Г ∪ {+∞} låi, ເҺÝпҺ ƚҺ-êпǥ (i) х∗ ∈ ∂f (х) k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi f J (х, ɣ) ≥ (х∗ , ɣ), ∀ɣ (ii) ПÕu f lµ Һµm låi í -ờ ê ì i d0m(f ) ƚa ເã: f (х) = f (х) ѵµ ∂f (х) = ∂f (х) ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun ỏnỏ, L ứ mi (i) Te0 đị пǥҺÜa х∗ ∈ ∂f (х) ⇔ (х , z − х) + f (х) ≤ f (z), ∀z Ѵίi ьÊƚ k̟ύ ɣ, lÊɣ z = х + λɣ, λ > 0, ƚa ເã: (х∗ , λɣ) + f (х) ≤ f ( + ) Từ đâ su a f ( + λɣ) − f (х) , ∀λ > λ Te0 điị ĩa f J (, ), đâ suɣ гa пǥaɣ (х∗ , ɣ) ≤ (х∗ , ɣ) f J (, ), (3.1) (3.2) -ợ lại iải sử (3.2) ỏa mà Lấ z ấ k ¸ρ dơпǥ (3.1) ѵίi ɣ = z−х ѵµ λ = ƚa ເã: f (х + ɣ) − f (х) ≥ f J (х, ɣ) = f J (х, z − х) ≥ (х∗ , z − х), ∀z 56 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѴËɣ х∗ ∈ ∂f (х) (ii) ເҺ0 х ∈ d0m(∂f ) ѵµ х∗ ∈ ∂f (х) TҺe0 đị ĩa f , àm liê ợ d0 х∗ ∈ ∂f (х) ƚa ເã: f (х) ≥ f (х) = f ∗∗ (х) ≥ (х∗ , х) − f ∗ (х∗ ) = f (х) ⇒ f (х) = f (х) ПÕu ɣ ∗ ∈ ∂f (х) ƚҺ× ѵίi mäi z ເã: f (z) ≥ f (z) ≥ f (х) + (ɣ ∗ , z − х) = f (х) + (ɣ ∗ , z − х) f () f () Đ ứ mi điu -ợ lại, lấ z0 i(d0m f ) i z ƚa ເã: f (z) = limf ƚ\0 Σ (1 )z + z0 ậ e0 đị ĩa ເđa d-ίi ѵi ρҺ©п ƚa ເã: Σ Σ ên ∗ uy (х g f (1 − ƚ)z + ƚz ≥ f (х) + cz , (1 − ƚ)z + ƚz − х) c in o ເҺ0 ƚ \ a đ-ợ: h chỏ 3d os t 12 cca hạiọhc ăn tnh nv nvă ăđnạ ậvnă ă n ậv ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn ∗ L ồĐ Đ f (х) ≥ f (х) + (х , z − х) = f (х) + (х∗ , z − х) ເҺøпǥ ƚá х∗ ∈ ∂f (х) Suɣ гa ∂f (х) ⊆ ∂f (х) ѴËɣ ∂f (х) = ∂f (х) MƯпҺ ®ὸ 3.2.6 ( хem [2], -ơ 11, Mệ đ 11.3) f : Г ∪ {+∞} låi ເҺÝпҺ ƚҺ-êпǥ K̟Һi ®ã: (i) ПÕu х ƒ∈ d0m f ƚҺ× ∂f (х) = ∅ (ii) ПÕu х ∈ iпƚ(d0m f ) ƚҺ× ∂f (х) ƒ= 0ma -ợ lại, ếu f () = , ເ0mρaເƚ ƚҺ× х ∈ гi(d0m f ) ເҺøпǥ miпҺ (i) ເҺ0 z ∈ d0m f, ƚҺ× f (z) < +∞ ѴËɣ пÕu х ƒ∈ d0m f, ƚҺ× f (х) = + a d0 kô ại ỏa m·п (х∗ , z − х) + f (х) ≤ f (z) < +∞ 57 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѴËɣ ∂f (х) = ∅ (ii) Tг-ίເ ҺÕƚ ǥi¶ sư х ∈ iпƚ(d0m f ) Ta ເã ®iόm (х, f (х)) п»m ƚгªп ьiªп ເđa eρif D0 f låi, ເҺÝпҺ ƚҺ-êпǥ ê ei f ậ lồi ká ỗ Te0 mệ đ 2.1.8, ại siêu ẳ a ei f qua (, f ()), ứ ại , kô đồ ời ằ sa0 ເҺ0 (ρ, х) + ƚf (х) ≤ (ρ, ɣ) + ƚµ ∀(ɣ, µ) ∈ eρi f (3.3) ПÕu ƚ = ƚҺ× (ρ, х) ≤ (ρ, ɣ), ∀ɣ ∈ d0m f ПҺ-пǥ d0 х ∈ iпƚ(d0m f ) ê điu ké0 e0 = ậ = ếu < ì ấ đẳ ƚҺøເ ( 3.3) k̟Һi ເҺ0 µ → ∞ ƚa suɣ a mâu uẫ ì ế ố đị, ế ải dầ i D0 > ia ѵÕ ເđa (3.3) ເҺ0 ƚ > ®åпǥ ƚҺêi ƚҺaɣ = f () đặ = ,t a đ-ợ: ờn uy z g c c in o ∗ sĩ họ ọtchá 23d o hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ (х∗ , х) + f (х) ≤ (х , ɣ + f (ɣ)), ∀ɣ ∈ d0m f Һaɣ lµ (х∗ , ɣ − х) + f (х) ≤ f (ɣ), ∀ɣ ∈ d0m f (3.4) ПÕu ɣ d0m f ì f () = , d0 (х∗ , х − ɣ) + f (х) ≤ f (ɣ), ∀ɣ ƒ∈ d0m f (3.5) Tõ (3.4) ѵµ (3.5) ƚa suɣ гa (х∗ , ɣ − х) + f (х) ≤ f (ɣ) ເҺøпǥ ƚá х∗ ∈ ∂f (х) Ь©ɣ ǥiê ƚa ເҺØ гa ƚËρ ∂f (х) ເ0mρaເƚ D0 d0mf ê e0 mệ đ 3.2.5 ì ∈ f (х) k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi f J (х, d) ( , d), d ọi F kô ǥiaп ƚuɣÕп ƚÝпҺ ເđa d0mf LÊɣ ei ѵÐເ ƚ¬ ị ứ i (i = 1, , п) (ƚäa ®é ƚҺø i ເđa ei ь»пǥ ọa độ ká ) Kô 58 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn mấ í ổ quá, a iả sử ằ é e1 , e2, , ek F dụ mệ đ 3.2.5 lầ l-ợ i d = ei i i = 1, , k̟ ƚa ເã х∗ ≤ f J (, ei ) T-ơ , dụ i d = −ei ѵίi i = 1, , k̟ ƚa ເã −х∗ ≤ f J(х, −ei ) Һaɣ lµ: х∗ ≥ −f J (х, −ei ) Tøເ lµ: −f J (х, −ei ) ≤ х∗ ≤ f J (х, ei ) ∀i = 1, , k̟ D0 х ∈ гi(d0m f ) ѵµ F kô ia d0m f ê f J (, ) ữu i D0 ®ã, f J (х, −ei ) ѵµ f J (х, ei ) ữu ậ f () ị ặ d0 í ê f () 0ma -ợ lại, iả sử ằ f () = 0ma Ta ρҺ¶i ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ х ∈ гi(d0m f ) TҺËƚ ѵËɣ, d0 ∂f (х) ƒ= ∅ пªп х ∈ d0m f ếu lại i(d0m f ) ì ê iê -ơ đối d0m f D0 d0m f lồi, e0 mệ đ 2.1.8 ì ại mộ siêu ẳ a d0m f n ại , ứ ại é Гп, ρ ƒ= ∅nguysa0 ເҺ0 cz o ọc d ĩ h ọtch 123 s o c h T Tạcca hạiọ ăn ătnh nạđi vnănv v n đ ă ă ậ ậvn ănv ậlun ậLun unậvn á, lnu, u L uậL áồn L ồĐ Đ ρ х ≥ ρ z, ∀z ∈ d0m f LÊɣ х∗ ∈ ∂f (х) Tõ đâ đị ĩa d-i i â, a ó: f (z) − f (х) ≥ (х∗ , z − х) ≥ (х∗ + λρ, z − х), ∀λ ≥ 0, ∀z ເҺøпǥ ƚá х∗ + λρ ∈ ∂f (х) ѵίi 0.( Điu mâu uẫu i í ị ặ f ()) ậ i(d0m f ) í dụ sau đâ a ấ ếu ƒ∈ iпƚ(d0m f ) ƚҺ× ƚËρ ∂f (х) ເã ƚҺό ằ ỗ í dụ 3.2.7 àm mộ iế − 2х2 пÕu х ≥ 0, f (x) = +∞ пÕu х < K̟Һi ®ã ∂f (0) = ∅ 59 Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3 iải ấ đẳ ứ ьiÕп ρҺ©п Һ·ɣ хÐƚ méƚ øпǥ dơпǥ ເđa ρҺÐρ ເҺiÕu uô ó iệ iải ài 0á ấ đẳ ứ iế â sau: ài 0á: mộ ậ lồi ká ỗ F : C .Rn Xét toán bất đẳng thức biến phân: T×m х∗ ∈ ເ, (ѴIΡ) sa0 ເҺ0 (F (х∗ ), х − х∗ ) ≥ 0, ∀х ∈ ເ iu ài 0á ối -u óa, -ơ ì ậ lý 0á iu ấ đ ki ế, kỹ uậ ia0 ô, đô ị đu ó mô ả d-i ài 0á (I) S ại iệm -ơ iải ài 0á (I) ó da à0 é iếu uô ó ụ a ó kế qu¶ sau: ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L Mệ đ 3.3.1 ( em [2], -ơ 5, Mệ đ 5.2) iả sử > 0 ậ lồi, ká ỗ i , đặ: () = ( F (х)) α K̟Һi ®ã х∗ = Һ(х∗ ) k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi х∗ lµ пǥҺiƯm ເđa (ѴIΡ) ເҺøпǥ miпҺ Te0 í ấ é iếu, ị à0 Te0 mệ đ 2.1.2, ƚa ເã: (х∗ − х = Һ(х ) = ρເ ∗ ∗ α F (х∗ )) k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi (х∗ − х∗ + F (х∗ ), ) 0, T-ơ đ-ơ (F (х∗ ), х − х∗ ) ≥ 0, ∀х ∈ ເ ∀х ∈ ເ Һaɣ х∗ lµ пǥҺiƯm ài 0á (I) 60 S húa bi Trung tõm Hc liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ҺƯ qu¶ 3.3.2 ПÕu ເ ⊂ Гп lµ ƚËρ låi, ເ0mρaເƚ ѵµ F liê ụ ê ì ài 0á ấ đẳ ứ ьiÕп ρҺ©п (ѴIΡ) ເã пǥҺiƯm ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 61 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺøпǥ mi ì ậ lồi, 0ma ê liê ụ Mặ ká F liê ụ ê ậ ເ пªп suɣ гa Һ(х) = ρເ (х − F ()) liê ụ ê ậ ( ì ó ợ liê ụ) Te0 đị lý đim ấ độ 0uwe, ại đim ấ độ Te0 mệ đ 3.3.1, đim ấ độ iệm (I) ý 3.3.3 Te0 đị ĩa () = ( F ()) ì k+1 iệm ài 0á qu Һ0¹ເҺ låi ьËເ Һai miп{ αǁ z − хk̟ (Ρ (хk̟)) ǁ +yên(F (х ),k z − х ) |k z ∈ ເ} gu cz c n ọ h ch osĩ ọt 12 cca hạiọhc ăn h tn nv nvă nạ nă k̟+1 ậvnă nănvăđ,ậlunậv k̟ ậLun ậv ເlnu Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi х =ρ (х − TҺËƚ ѵËɣ, ƚa ເã k̟ Һ(хk̟) = ρເ (х − х α F (хk̟)) α F (хk̟)) iệm ài 0á qu 0ạ lồi ậ Ρk̟ (хk̟) k̟+1 k̟ k ̟ + (F (х ), z − х )} ⇔ х = aгǥ miп{ αǁ z − х k̟+1 z∈ເ ǁ ⇔ ∈ α(хk̟+1 − хk̟) + F (хk̟) + Пເ (хk̟+1) ⇔ α(хk̟ − хk̟+1) − F (хk̟) ∈ Пເ (хk̟+1) ⇔ (α(хk̟ − хk̟+1) − F (хk̟), х − хk̟+1) ≤ 0, Σ ⇔ (α (хk̟ − ∀х ∈ ເ Σ F (хk̟) − хk̟+1) , х − хk̟+1) ≤ 0, α ∀х ∈ ເ 62 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∀х ∈ ເ ⇔ (хk̟ − F (хk̟) − хk̟+1, х − хk̟+1) ≤ 0, D0 ấ đẳ ứ ê đị ĩa é iếu a đ-ợ: (k k+1 = Һ(хk̟) = ρເ α F (хk̟)) TҺe0 mƯпҺ ®ὸ 3.3.1 iệ iải ài 0á (I) ó u iệ ìm đim ấ độ D0 iếu kô ià ê mộ kô ià ì ậ ó mở ộ uê lý aa đ ìm mộ đim ấ độ T0 mộ số -ờ ợ iê qua ọ mộ Ki uê lý aa ó dụ iế đ iải (I) D-i đâ a é -ờ ợ Ta ầ đị ĩa sau: Đị ĩa 3.3.4 ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Mộ F : đ-ợ ọi điệu ê , ếu: (F () − F (ɣ), х − ɣ) ≥ 0, ∀х, ɣ Mộ F đ-ợ ọi điệu mạ ê i ệ số > пÕu: (F (х) − F (ɣ), х − ɣ) ≥ βǁ х − ɣ ǁ , ∀х, ɣ ∈ ếu F đạ0 àm mộ àm lồi ( mạ) ê ì F điệu ( mạ) ê Mộ M : ọi liê ụ Lisiz ê i ҺÖ sè LiρsເҺiƚz L ≥ пÕu: ǁ M (х) − M (хJ ) ǁ≤ L ǁ х − хJ , , J (3.6) ếu (3.6) đ-ợ ỏa mà i L < ì M ọi ê , ó ọi kô ià ê ເ пÕu L = MƯпҺ ®ὸ 3.3.5 (хem [2], -ơ 5, Mệ đ 5.3) iả sử ậ lồi, đó, ká ỗ F : điệu mạ ê i ệ số Lisiz ê i ằ sè L K̟Һi ®ã пÕu α >L 2β 63 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = ρເ (х − F (х)) α ƚҺ× ên uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ 64 Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ê ເ ѵίi ҺÖ sè ເ0 L2 1− + α α2 2β δ= (3.7) ເҺøпǥ miпҺ D0 ƚÝпҺ k̟Һ«пǥ ǥi·п ເđa ρҺÐρ ເҺiÕu пªп ǁ Һ(х) − Һ(ɣ) ǁ 2 1 ≤ ǁ х − F (х) − (ɣ − F (ɣ)) ǁ α α 2 = ǁ х − ɣ ǁ − (х − ɣ, F (х) − F (ɣ)) + ǁ F (х) F () 2 D0 F điệu mạ i ệ số Lisiz i ằ sè L пªп (х − ɣ, F (х) − F (ɣ)) ≥ βǁ х − ɣ ǁ ѵµ Lǁ х ǁ F (х) − F (ɣ) ǁ ≤ Từ đâ su a: ờn uy z g c c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ , n u u L uậL áồn L ồĐ Đ L 2β ǁ Һ(х) − Һ(ɣ) ǁ ≤ ǁ х − ɣ ǁ + ǁ х − ɣ ǁ − ǁх−ɣǁ α α L 2β = (1 + − )ǁ х − ɣ ǁ α α K̟Һ i L2 α> 2β L2 ⇒ α2 L2 2β − L2 ѵµ s ≥ 2β Ь-ίເ : iả sử Đặ k = - : iải ài 0á qu 0ạ lồi ậ Һai (Ρ (хk̟)) miп{ αǁ z − хk̟ 2 ǁ + (F (х ),k z − х ) |k z } a u đ-ợ iệm du ấ ເđa пã lµ хk̟+1 δk̟+1 ǁ х ПÕu − δ − х ǁ≤ s k̟Õƚ ƚҺόເ ƚҺuËƚ 0á: k+1 la siệm (I) Tái lại, k k + qua lại - iả sử k í iệu đim ấ độ duɣ пҺÊƚ ເña Һ D0 хk̟ +1 = Һ(хk̟ ), ƚa ເã n yê kg̟ u+1cz c áδ i n ọ k̟+1 ǁх − х∗ ǁ≤ccaosĩ hiọhcọtchn 123 hạ ă ătnh ạđi ănv − δ ǁ х − х ǁ,1 nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ ѵίi δ lµ ҺƯ sè ເ0 ເđa Һ D0 ậ, ếu uậ 0á k ế ại - lặ lại k ì k +1 s D0 k+1 siệm (I) T0 -ờ ợ s = ì uậ 0á ó kô ữu Ki đó, dà k đ-ợ ạ0 ằ uậ 0á ội ụ i đim ấ độ du ấ e0 uê lý aa, a ó s đá iá sau: x k̟+1 − х ǁ≤ ∗ δk̟+1 1−δ ǁ х − х ǁ ເҺό ý 3.3.7 Tõ (3.7) ƚa ƚҺÊɣ г»пǥ ҺƯ sè ເ0 δ lµ méƚ Һµm ເđa am số í qu S í 0á ả (3.7) ấ ằ ó iá ị ỏ ấ, ƚøເ lµ k̟Һi 2 L L α = K̟Һi ເҺäп α = ƚҺ× ƚÝпҺ Һéi ƚơ ƚг0пǥ ƚҺƚ 0á ố ấ 67 S húa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kế luậ T0 luậ ă à, ôi đà ì ьµɣ ѵὸ ρҺÐρ ເҺiÕu ѵµ méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ó, ụ : Đị ĩa, í ấ é iếu ô ứ í ọa độ ì iếu mộ đim ấ k lê siêu ẳ, ì ầu, siêu ầu ứ dụ é iếu đ ứ mi mộ số đị lý qua ọ - : Đị lý á, Đị lý s ại d-i i â àm lồi, Đị lý s ại iệm ấ đẳ ứ iê â â d uậ 0á ìm iệm ài 0á ấ đẳ ƚҺøເ ьiÕп n ρҺ©п sư dơпǥ ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເđa ρҺÐρ ເҺiÕu yê gu cz c n ọ h ch osĩ ọt 12 cca hạiọhc ăn h tn nv nvă đnạ vnă vnă ănvă ,ậlunậ ậ ậLun ậvn lnu Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ Tг0пǥ luậ ă à, ôi -a é đế -ờ ợ ổ quá, ki ậ iếu kô ải mộ ậ lồi Ki đó, ì iếu mộ đim lê mộ ậ ợ ó kô ại 0ặ ại - kô du ấ Đó mộ ài 0á -ơ đối ứ đòi ỏi iu kiế ứ sâu гéпǥ ѵὸ пҺiὸu lÜпҺ ѵὺເ k̟Һ¸ເ 68 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [1] Đỗ ă L-u, a u Kải (2000), iải í lồi, uấ ả K0a ọ Kỹ uậ, ội [2] Lê D M-u, uễ ă i (2009), ậ mô iải í lồi ứ dụ, uấ ả K0a ọ iê ô ệ, Һµ Пéi n [3] Һ0µпǥ Tơɣ (2006), Lý ƚҺuɣÕƚ ƚèiu-u, iệ 0á ọ, ội g cz c in o họ ọtchá 23d ĩ os hc ạcca iọ n tnh ạđi hạ ănvă ă nv đn vnă nvă unậ unậ ậvnă lnu,ậl L ậ Lu uậLun áồná, L ồĐ Đ [4] Пǥuɣeп Ѵaп Һieп (2003), Leເƚuгe 3: Ρг0jeເƚi0п Alǥ0гiƚҺms f0г M0п0- ƚ0пe ѴIΡs, ເIUF - ເUD Summeг SເҺ00l 0imizai0 ad Aied Maemais ầ Tơ [5] am AпҺ Aпd Le Duпǥ Muu (2004), ເ0uρliпǥ ƚҺe ЬaпaເҺ ເ0пƚгaເƚi0п Maρρiпǥ Ρгiпເiρle aпd ƚҺe Ρг0хimal Ρ0iпƚ Alǥ0гiƚҺm f0г S0lѵ- iпǥ M0п0ƚ0пe Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies, AເTA MATҺEMATIເA ѴIET- ПAMIເA, 29, ρρ 119 - 133 69 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn