024C đề vào 10 toán 21 22 tỉnh hà nội chuyên sư phạm

Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm)   b  a  ab  a 0, b 0   b a a a b b P   :   a b  a b  b a a b    Cho a) Rút gọn P b) Chứng minh P 0 Bài (3,0 điểm) a) Chứng minh : với giá trị m, hai phương trình sau 2 có nghiệm: x   2m  1 x  m  0; x  mx  4m  11 0 b) B A O D 45° C Một biển quảng cáo có dạng hình trịn tâm O, bán kính 1,6m Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính 1,6m cho BOC 45 (như hình vẽ) Người ta cần sơn màu toàn biển quảng cáo sơn mặt hình bên Biết mức chi phí sơn phần hình tơ đậm 150 nghìn đồng /m phần lại 200 nghin đồng/m Hỏi số tiền (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn biển quảng cáo ? Cho  3,14 Bài (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định cho A, B, C thẳng hàng, B nằm A C Gọi  d  đường thẳng qua C vng góc với AB Lấy điểm M tùy ý  d  Đường thẳng qua B vng góc với AM cắt đường thẳng AM , d I , N Đường thẳng MB cắt AN K a) Chứng minh tứ giác MIKN nội tiếp b) Chứng minh CM CN  AC.BC Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh OH vng OH  AB d góc với đường thẳng   Bài (2,0 điểm)  x  y  x 57  2021 2021 x  x 1   a) Giải hệ phương trình sau : b) Cho a b hai số hữu tỉ Chứng minh a  b số hữu tỉ ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN SƯ PHẠM MƠN TỐN CHUNG 2021 Bài a) Rút gọn P           a b   a ab  b a b a   ab  b a a a b b P   :  a b  a b  b a  b a 3  b a a  b  : b  ab  a  ab    a b  b a a b    a  b a  ab  b  b  ab  a  :  b a  a b a b a b     b   a b a  ab  b  a  ab  b  b  ab  a b  ab  a ab ab  b a ab a  ab  b với a 0, b 0, a b Vậy b) Chứng minh P 0 P Ta có :  a Do a  b  b  0  a  ab  b 0  a  b 2 ab  ab ab  Mà ab 0 Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” P Suy a ab 0 ab  b với a 0, b 0, a b (đpcm) Bài a) Chứng minh : với giá trị m, hai phương 2 trình sau có nghiệm: x   2m  1 x  m  0; x  mx  4m  11 0 2 Đặt x   2m  1 x  m  0  1 x  mx  4m  11 0   Giả sử phương trình vơ nghiệm 4m  11  4m  11     m   4m  11  m   4m  11  0(vo ly )  Giả sử sai Vậy phương trình cho có phương trình có nghiệm (đpcm) Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” b) Một biển quảng cáo có dạng hình trịn tâm O, bán kính 1,6m Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường trịn tâm O bán kính 1,6m cho BOC 45 (như hình vẽ) Người ta cần sơn màu tồn biển quảng cáo sơn mặt hình bên Biết mức chi phí sơn phần hình tơ đậm 150 nghìn đồng /m2 phần cịn lại 200 nghin đồng/m Hỏi số tiền (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn tồn biển quảng cáo ? Cho  3,14 B A H O D 45° C S  R 3,14.1,62 8,0384  cm  Diện tích hình trịn Gọi H trung điểm BC Vì ABCD hình vng nên OA OB OC OD  OBC cân O  OH  BC (đường trung tuyến đồng thời đường cao tam giác vuông) 180  BOC OBC OCB  67,5 OBC Xét tam giác có: Xét tam giác vng OHB có : Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” OH  OH OB.sin OBH 1,6.sin 67,5 OB BH cos OBC cos OBH   BH OB.cos OBH 1,6cos67,5 OB  BC 3,2.cos 67,5 sin OBC sin OBH   R 45 3,14.1,62  SqOBC   1,0048(cm ) 360  Diện tích phần hình tơ đậm S2 S  S1 7,839(cm ) Vậy chi phí để sơn tồn biển quảng cáo : 150000 S2  200000 S1 1215000 (đồng) Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” Bài M I A B C O H E K N Q a) Chứng minh : tứ giác MIKN nội tiếp  AC  MN ( gt )   IN  AM ( gt )  B  AC  NI  B   AMN Tam giác có :  trực tâm tam giác AMN  MK  AN Xét tứ giác MIKN có MIN MKN 90 Suy tứ giác MIKN nội tiếp (Tứ giác có đỉnh kề cạnh góc nhau) b) Chứng minh CM CN  AC.BC Xét tam giác MBC tam giác ANC có : MCB ACN 90 ; CMB CAN (cùng phụ với ANM ) BC MC  MBC ∽ ANC ( g g )    CM NC  AC.BC  dfcm  CN AC c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Vẽ hình bình hành MBNE Gọi H trung điểm đoạn BE Chứng minh OH vng góc OH  AB d với đường thẳng   Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” Tứ giác BMEN hình bình hành có H trung điểm BE nên H đồng thời trung điểm MN (tính chất hình bình hành) Ta có : OM ON  OMN cân O Lại có H trung điểm MN , suy OH  MN hay OH   d  (trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời đường cao) Gọi Q giao điểm MO với đường tròn  O   Q M   MQ đường kính (O) Ta có tam giác MQN có  HM HN (cmt )  QO OM  cach ve  MQN  OH  QN  1 Suy OH đường trung bình tam giác (tính chất đường trung bình tam giác) Ta có : MNQ 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  MN  NQ Mà AB  MN ( gt )  AB / / NQ (từ vuông góc đến song song) Chứng minh tương tự ta có AQ / / BN Suy tứ giác ABNQ hình bình hành (dhnb)  AB NQ   OH  AB (dfcm) Từ (1), (2) suy Bài  x  y  x 57 (1)  2021 2021 x  x 1 (2)   a) Giải hệ phương trình 2021 2020 x    x   x    Hệ phương trình vơ nghiệm x  +Nếu 2021 2020   Hệ phương trình vơ nghiệm +Nếu x    x   x   x  0  x   1 x    0   x  +Nếu  x  2021  x  x   2020 2020 2  x   x 2  x  x  Khi ta có : 2021 2020  x  x 1  x    x 1  Hệ phương trình vơ nghiệm 2 +Nếu x 1 (thỏa mãn (2), thay vào (1) ta có :1  y  57  y 60  y 2 15 Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go Thầy giáo Hồ Khắc Vũ – GV dạy Toán cấp I-II Sđt: 037.858.8250 TP Tam Kỳ - Quảng Nam “Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến Nhưng Có Rất Nhiều Con Đường Để Đi” +Nếu x 2 (thỏa mãn (2), thay vào (1) , ta có :  y  57  y 61  y  61 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    1;2    15 ; 1;  15 ; 2; 61 ; 2;  61  b) Cho a b hai số hữu tỉ Chứng minh a  b số hữu tỉ a b 0 a Ta có : Vì    b a  b 2a  3b    a, b    2a  3b    a  b a  b   Mà a  b    a  b    a b  a  b     2a        a b 0 b    a  b  a  b     Vậy với a, b  , a  b số hữu tỉ a b 0(dfcm)         Đề thi tuyển sinh 10_Toán_2021-2022_tỉnh_Hà Nội_chuyên sư phạm Success has only one destination, but has a lot of ways to go