ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 a 2018 Câu 1: Rút gọn biểu thức P a a 1 a 2018 a a a Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y y z Chứng minh đẳng thức y x x y z z x y z , x y z 2 x y z z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd abc ab a 4321 ( m )x y 2 Câu 4: Cho hệ phương trình ( m tham số x, y ẩn số) x y Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Câu 5: Giải phương trình x x 3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB 12cm, AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN BH AD b) Tính số đo góc MON Câu 8: Cho đường trịn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường trịn (O) (điểm A khơng trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O) điểm H ln nằm đường trịn cố định 1 2 Chứng a b c 1 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện minh rằng: Câu 10: Cho hình vuông ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 a 2018 Câu 1: Rút gọn biểu thức P a a a 2018 a a a Lời giải a a 1 Điều kiện: a 2018 a 1 a 2018 ( a )( a ) a ( a 1) Khi đó: P ( a 2018 )( a 1) ( a 2018 )( a ) a ( a )2 ( a ) a 2.2017 a a 2017 a ( a )2 ( a ) a Câu 2: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x y y z Chứng minh đẳng thức y x x y z x z y z , x y z 2 x y z z x z z2 z2 Lời giải x Ta có: y y x 2 y 2 x y x x y 2 2 x y z y z x y z x z x z x z z y z y z z 2 y x y z 2 z x 2 y z x 2 y z z Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd cho abcd abc ab a 4321 Lời giải Ta có: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 1 Vì a,b,c,d a 9,0 b,c,d 9 nên 3214 1111a 4321 a 3 Thay vào (1) ta được: 111b 11c d 988 Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b 8 Thay vào (2) ta được: 11c d 100 Mà 91 11c 100 c 9 d 1 ( m )x y 2 Câu 4: Cho hệ phương trình ( m tham số x, y ẩn số) x y Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Lời giải x y Từ phương trình thứ hai ta có: vào phương trình thứ được: ( m )( y ) y 2 ( 2m )y 2m (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên ( ) có nghiệm y số nguyên Với m 2m 0 ( ) có nghiệm y 2m 1 2m 2m 2m 1 m 2 Vậy có giá trị thoả mãn 1; m y 2m m 1 Câu 5: Giải phương trình x x 3 Lời giải x x 1 * Điều kiện xác định 4 x 0 Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với: x x 9 x x 2 x x 4 x 3x 0 x 0 Đối chiếu với điều kiện (*) ta x 0; x x x 0 x Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB 12cm, AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Lời giải Ta có BC AB AC 20cm Gọi E giao điểm BI với AC AE EC AE EC BC EC 10cm AB BC AB BC 2 Ta có ICE ICM ( c g c ) do: EC MC 10 ; ICE ICM ; IC chung Suy ra: IEC IMC IEA IMB Theo tính chất đường phân giác ta có: Mặt khác IBM IBA hai tam giác IBM , ABE đồng dạng BIM BAE 900 BI MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN BH AD b) Tính số đo góc MON Lời giải a) Ta có MBH ADN ,MHB AND MB BH MB.DN BH AD ( ) AD DN BH OB b) Ta có: OHB ∽ AOD DO.OB BH AD DO AD MB OB Từ (1) (2) ta có: MB.DN DO.OB DO DN MBH ∽ ADN Ta lại có: MBO 1800 CBD 180 CDB ODN nên MBO ∽ ODN OMB NOD 0 Từ suy ra: MON 180 MOB NOD 180 MOB OMB 1800 OBC 1150 Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường trịn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Lời giải Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên OD BC ,OM AC Ta có: ODC OMC 900 Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn ( I ) có tâm I cố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường trịn ( I ) Nếu H E,H B : - Với M E BHE 90 - Với M E , DM BH DMH 90 Khi DME DMH 900 H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE 900 Vậy ta ln có: BHE 90 H E H B H thuộc đường trịn đường kính BE cố định 1 2 Chứng minh rằng: a b c 1 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Lời giải 1 1 Với x, y,z ta có : x y z 3 xyz , 3 x y z xyz Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện x y z 1 1 1 1 1 x y z 9 Đẳng thức xảy x yz 9 x y z x y z Ta có: 5a 2ab 2b ( 2a b )2 ( a b )2 ( 2a b )2 1 1 1 Đẳng thức xảy a b 2a b a a b 5a 2ab 2b 1 1 1 1 Đẳng thức xảy b c Tương tự: 5b 2bc 2c 2b c b b c 1 1 1 1 Đẳng thức xảy c a 2 2c a c c a 5c 2ca 2a Do đó: 1 1 3 3 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a a b c 1 1 1 3 a b c 3 Đẳng thức xảy rakhi a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Lời giải Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK 3S ABKS Từ SCDSK 3S ABKS ta suy được: DS CK 3 AS BK a AS a BK 3 AS BK AS BK a EM a suy E cố định d qua E a Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN GP HQ Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có 2018 505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy