Kntt chương 3 các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Chương III CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Ở lớp 10 ta làm quen với số đặc trưng mẫu số liệu khơng ghép nhóm Trong nhiều trường hợp, ta có số liệu dạng ghép nhóm Chương giới thiệu mẫu số liệu ghép nhóm cách tính số đặc trưng đo xu trung tâm cho mẫu số liệu Bài Mẫu số liệu ghép nhóm Thuật ngữ Mẫu số liệu ghép nhóm Kiến thức, kĩ  Đọc giải thích mẫu số liệu ghép nhóm  Ghép nhóm mẫu số liệu Trong kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thơng năm 2021 đọt có 344752 thí sinh dự thi ba mơn Tốn, Vật lí, Hố học (theo: vietnamnet.vn, ngày 26/07/2021) Giả sử điểm thi thí sinh cho bảng số liệu sau: Các trường đại học, cao đẳng tuyển sinh theo tổ hợp A00 quan tâm đến tổng điểm ba mơn thí sinh Biểu diển dã̃y số liệu tổng điểm ba mơn thí sinh để trường thấy tranh tồng thể kết thi? GIỚI THIỆU VỀ MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHĨM HĐ1 Xét liệu cho tình mở đầu a) Mẫu số liệu tổng điểm, kí hiệu 43 51 47 62 48 40 50 62 53 56 40 48 56 53 50 42 55 T  có giá trị? b) Nếu lập bảng tần số cho mẫu số liệu khơng? Vì sao? c) Mẫu số liệu T  T  hình dung tranh tổng thể kết thi mô tả dạng bảng thống kê sau: Hãy đọc giải thích số liệu biểu diễn bảng thống kê Mẫu số liệu ghép nhóm mẫu số liệu cho dạng bảng tần số nhóm số liệu Mỗi nhóm số liệu tập hợp gồm giá trị số liệu ghép nhóm theo tiêu chí xác định Nhóm số liệu thường cho dạng  a, b , a đầu mút trái, b đầu mút phải Nhận xét:  Mẫu số liệu ghép nhóm dùng ta khơng thể thu thập số liệu xác yêu cầu toán mà ta phải biểu diển mẩu số liệu dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc phân tích số liệu TÀI LIỆU TỐN THPT Trang  Trong số trường hợp, nhóm số liệu cuối lấy đầu mút bên phải Ví dụ Mẫu số liệu sau cho biết phân bố theo độ tuổi dân số Việt Nam năm 2019 (Theo: Báo cáo số liệu tổng điều tra sân số năm 2019) a) Mẫu số liệu cho có mẫu số liệu ghép nhóm hay khơng? Nêu nhóm tần số tương ứng Dân số Việt Nam năm 2019 bao nhiêu? Lời giải a) Mẫu số liệu cho mẫu số liệu ghép nhóm b) Có ba nhóm là: Dưới 15 tuổi, Từ 15 đến 65 tuổi, Từ 65 tuổi trở lên Có 23371882 người 15 tuổi; 65420451 người từ 15 đến 65 tuổi 7416651 người từ 65 tuổi trở lên Dân số Việt Nam năm 2019 23371882  65420451  7416651 96208984 người Luyện tập Cho mẫu số liệu ghép nhóm thời gian (phút) từ nhà đến nơi làm việc nhân viên công ty sau: Đọc giải thích mẫu số liệu GHÉP NHÓM MẪU SỐ LIỆU HĐ2 Chỉ số BMI (đo w/ h2, w cân nặng đơn vị kilôgam, h chiều cao đơn vị mét) học sinh tổ cho sau: 19.2 21.1 16.8 23.5 20.6 25.2 18.7 19.1 Một người có số BMI nhỏ 18,5 xem thiếu cân; từ 18,5 đến 23 có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ 23 trở lên thừa cân Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao học sinh tổ Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm sau: Bước Chia miền giá trị mẫu số liệu thành số nhóm theo tiêu chí cho trước Bước Đếm số giá trị mẫu số liệu thuộc nhóm (tần số) lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm a; b  b  a  Độ dài nhóm   Khơng nên chia thành q nhiều nhóm q it nhóm Các nhóm khơng giao nhau, nhóm nên có độ dài tổng độ dài nhóm lớn khoảng biến thiên Ví dụ Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) 30 vận động viên (VĐV) giải chạy Marathon Hãy chuyển mẫu số liệu sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài Lời giải Giá trị nhỏ 129, giá trị lớn 145 nên khoảng biến thiên 145  129 16 Tổng độ dài sáu nhóm 18 Để cho đối xứng, ta chọn đầu mút trái nhóm 27,5 đầu mút phải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 127,5;130,5   130,5;133,5  , ,  142, 5;145,5  nhóm cuối 145,5 ta nhóm  , Đếm số giá trị thuộc nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau: Luyện tập Cân nặng (kg) 35 người trưởng thành khu dân cư cho sau: Chuyển mẫu số liệu thành dạng ghép nhóm, nhóm có độ dài nhau, có nhóm  40; 45  Vận dụng công ty may áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao học sinh tính sau: Chiều cao (cm) [150; 160] [160; 167] [167; 170] [170; 167] [175; 180] Cỡ áo S M L XL XXL Công ty muốn ước lượng tỉ lệ cỡ áo may cho học sinh lớp 11 đo chiều cao 36 học sinh nam khối 11 trường thu mẫu số liệu sau (đơn vị centimét) 160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174 a) Lập bảng tần số ghép nhóm mẫu số liệu với nhóm cho bảng b) Công ty may 500 áo đồng phục cho học sinh lớp 11 nên may số lượng áo theo cỡ chiếc? BÀI TẬP 3.1 Trong mẫu số liệu sau, mẫu mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc giải thích mẫu số liệu ghép nhóm a) Số tiền mà sinh viên chi cho tốn cước điện thoại tháng Số tiền (nghìn đồng) [0; 50) [50; 100) [100; 150) [150; 200) Số sinh viên 12 23 17 b) Thống kê nhiệt độ địa điểm 40 ngày, ta có bảng số liệu sau: [200; 250) Nhiệt đô (℃ ) [19; 22) [22; 25) [25; 28) [28; 31) Số ngày 15 12 3.2 Số sản phẩm công nhân làm ngày cho sau: 18 25 39 12 54 27 46 25 19 36 22 20 19 17 44 18 23 28 15 34 46 27 16 a) Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài 3.3 Thời gia sân (giờ) số cựu cầu thủ giải ngoại hạng Anh qua thời kì cho sau: 653 632 609 572 565 535 516 514 508 505 504 504 503 499 496 492 (Theo: https://www.premierleague.com/) Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Bài 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM THUẬT NGỮ  Số trung bình  Trung vị  Tứ phân vị  Mốt KIẾN THỨC, KĨ NĂNG  Tính số đặc trưng đo xu mẫu số liệu ghép nhóm  Hiểu ý nghĩa, vai trò số đặc trưng mẫu số liệu thực tế Một cửa hàng ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng xe máy Mẫu số liệu gốc có dạng: x1 , x2 , , x35 xi số tiền bán xăng cho khách hàng thứ i Vì lí đó, cửa hàng có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau: Số tiền (nghìn đồng) Số khách hàng [0; 30) [30; 60) [60; 90) [90; 120) 15 10 Bảng 3.1 Số tiền khách hàng mua xăng Dựa mẫu số liệu ghép nhóm này, làm để ước lượng số đặc trưng đo xu trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc? Chúng ta tìm hiểu vấn đề này! SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM HĐ1 Khảo sát thời gian tự học học sinh lớp ghép theo mẫu Mỗi ngày em tự học bên bao hiêu giờ? a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu A Dưới 1,5 b) Có thể tính xác thời gian tự học trung bình học sinh B Từ 1,5 đến lớp khơng? c) Có cách tính gần thời gian tự học trung bình học sinh C Từ đến 4,5 lớp dựa mẫu số liệu ghép nhóm không? D Từ 4,5 trở lên Cho mẫu số liệu ghép nhóm Nhóm  a1; a2  …  ; 1  …  ak ; ak 1  Tần số m1 … mi … mk Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu X X m1 x1   mk xk n Trong đó, n m1   mk cỡ mẫu xi   1 a;a (với i 1, , k ) giá trị đại diện nhóm  i i 1  Chú ý Đối với số liệu rời rạc, người ta thường sử dụng cho nhóm dạng k1  k2 , ú k1 , k2 ẻ Ơ Nhúm k1  k2 hiểu nhóm gồm giá trị k1 , k1  1, , k2 Khi đó, ta cần hiệu chỉnh mẫu liệu ghép nhóm để đưa dạng Bảng 3.2 trước thực tình tốn số đặc trưng cách hiệu k  0,5; k2  0,5  chỉnh nhóm k1  k2 vi k1 , k2 ẻ Ơ thnh nhúm ` Chẳng hạn, với liệu ghép nhóm điểm thi mơn Tốn Bảng 3.3 sau hiệu chỉnh ta Bảng 3.4 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Điểm thi Số học sinh 1-4 5-7 8-10 Điểm thi [0,5; 4,5) [4,5; 7,5) 20 10 Số học sinh 20 Bảng 3.3 Bảng 3.4 Ví dụ Tìm cân nặng trung bình học sinh lớp 11D cho bảng 3.5 Cân nặng (kg) Số học sinh [40,5; 45,5) 10 [45,5; 50,5) [50,5; 55,5) [55,5; 60,5) 16 Bảng 3.5 Cân nặng học sinh lớp 11D [60,5; 65,5) [7,5; 10) 10 [65,5; 70,5) Giải Trong khoảng cân ặng, giá trị đại diện trung bình cộng giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau: Cân nặng (kg) Số họ sinh 43 48 53 58 63 68 10 16 Tổng số học sinh n 42 Cân nặng trung bình cảu học sinh lớp 11D 10.43  7.48  16.43  4.58  2.63  3.68 X 51, 81  kg  42 Luyện tập Tìm giểu thời gia xem tivi tuần trước (đơn vị: giờ) số học sinh thu kết sau: Thòi gian (giờ) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) Số học sinh 16 2 Tính thời gian xem tivi trung bình tuần trước bạn học sinh Ý nghĩa Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình mẫu số liệu gốc, cho biết vị trí trung tâm mẫu số liệu dùng đại diện cho mẫu số liệu TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHĨM HĐ2 Cho mẫu số liệu ghép nhóm chiều cao 21 na giống Chiều cao (cm) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) Số Gọi x1 , x2 , , x21 chiều cao giống, xếp theo thứ tự tăng dần Khi đó, x1 , , x3 [ 0; 5) , x4 , , x11 thuộc [ 5; 10) , Hỏi trung vị thuộc nhóm nào? thuộc Cho mẫu số liệu ghép nhóm Bảng 3.2 Để tính trung vị mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm sau: a ;a  Bước Xác định nhóm chứa trung vị Giả sử nhóm thứ p:  p p 1 n   m1   m p   M e a p   a p 1  a p  m mp Bước Trung vị , n cỡ mẫu, p tần số nhóm m   m p  0 p Với p 1 , ta quy ước Ví dụ Thời gian truy cập Internet buổi tối số học sinh cho bảng sau: Thời gian (phút)  9,5;12,5  12,5;15,5  15,5;18,5 Số học sinh 12 15 Tính trung vị mẫu số liệu ghép nhóm Giải Cỡ mẫu n 3  12  15  24  56 TÀI LIỆU TOÁN THPT  18,5; 21,5   21,5; 24,5  24 Trang Gọi x1 , , x56 thời gian vào internet 56 học sinh giả sử dãy xếp theo thứ tự tăng x28  x29  15,5;18,5  nên nhóm chứa trung dần Khi đó, trung vị Do giá trị x28 , x29 thuộc nhóm 56  15 M e 15,5  18,1 15 vị Do đó, p 3; a3 15,5; m3 15; m1  m2 3  12 15; a4  a3 3 ta có Luyện tập Ghi lại tốc độ bóng 200 lần giao bóng vận động viên môn quần vợt cho kết bảng sau: Tốc độ v (km/h) Số lần 150 v  155 18 155 v  160 28 160 v  165 35 165 v  170 43 170 v  175 41 175 v  180 35 Tính trung vị mẫu số liệu ghép nhóm TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM HĐ3 Với mẫu số liệu ghép nhóm cho HĐ2, cho biết tứ phân vị thứ Q1 tứ phân vị thứ ba Q3 thuộc nhóm Cho mẫu số liệu ghép nhóm Bảng 3.2 Để tính tứ phân vị thứ Q1 mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q1 , giả sử nhóm thứ p :  a p ; a p 1  Khi n   m1   m p   Q1 a p   a p 1  a p  mp m , n cỡ mẫu, p m   m p  0 tần số nhóm p , với p 1 , ta quy ước Để tính tứ phân vị thứ ba Q3 mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q3 , giả sử nhóm thứ p :  a p ; a p 1  Khi 3n   m1   m p   Q3 a p   a p 1  a p  mp , n cỡ mẫu, mp m   m p  0 tần số nhóm p , với p 1 , ta quy ước Tứ phân vị thứ hai Q2 trung vị M e Ví dụ Tìm tứ phân vị thứ Q1 tứ phân vị thứ ba Q3 mẫu số liệu ghép nhóm cho Ví dụ Giải Cỡ mẫu n 56 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Tứ phân vị thứ Q1 x14  x15  12,5;15,5 nên nhóm chứa Q1 Do Do x14 , x15 thuộc nhóm 56 3 Q1 12,5  15, 25 12 đó, p 2; a2 12,5; m2 12; m1 3; a3  a2 3 ta có x42  x43  18,5; 21,5  nên nhóm chứa Q3 Với tứ phân vị thứ ba Q3 Do x42 , x43 thuộc nhóm Do đó, p 4; a4 18,5; m4 24; m1  m2  m3 3  12  15 30; a5  a4 3 ta có 3.56  30 Q3 18,5  20 24  r.n    Nhận xét Ta xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng   giá trị nhỏ thứ phân vị Luyện tập Tìm tứ phân vị thứ tứ phân vị thứ ba mẫu số liệu ghép nhóm Luyện tập Ý nghĩa Các tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho tứ phân vị mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành phần, phần chứa 25% giá trị MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM HĐ4 Với mẫu số liệu ghép nhóm cho Luyện tập 1: a) Có thể tìm giá trị xác cho mốt mẫu số liệu gốc thời gian xem ti vi học sinh không? b) Mốt thuộc nhóm hợp lí nhất? Nên lấy số nhóm để ước lượng cho mốt? Cho mẫu số liệu ghép nhóm Bảng 3.2 Để tìm mơta mẫu số liệu ghép nhóm, ta thự theo bước sau:  a ;a  Bước Xác định nhóm có tần số lớn (gọi nhóm chứa mốt), giả sử nhóm j:  j j 1 m j  m j M a j  h m j  m j     m j  m j 1  m  Bước Mốt xác định , j tần số nhóm j (quy ước m0 mk 1 0 ) h độ dài nhóm Lưu ý Người ta định nghĩa mốt mẫu ghép nhóm có độ dài nhóm Một mẫu khơng có mốt có nhiều mốt Ví dụ Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) 50 học sinh lớp 11A Khoảng chiều cao (cm)  145;150   150;155  155;160   160;165 Số học sinh 14 10 10 Tính mốt mẫu số liệu ghép nhóm Có thể kết luận từ giá trị được? Giải TÀI LIỆU TỐN THPT  165;170  Trang Tần số lớn 14 nên nhóm chứa mốt nhóm  150;155 M 150  14  153,18  14     14  10  Ta có j 2; a2 150; m2 14; m1 7; m3 10; h 5 Do Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm nhiều Luyện tập Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành câu hỏi thi cho sau: Thời gian (phút)  0,5;10,5  10,5; 20,5   20,5;30,5  30,5; 40,5  40,5;50,5 Số học sinh 10 Tính mốt mẫu số liệu ghép nhóm Ý nghĩa Mốt mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt mẫu số liệu gốc, dùng để đo xu trung tâm mẫu số liệu Vận dụng Hãy tính số đặc trưng cho mẫu số liệu Bảng 3.1 giải thích ý nghĩa giá trị thu BÀI TẬP Bài 3.4 Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc 40 công nhân nhà máy ghi lại sau: 10 20 25 11 13 12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16 12 15 18 12 14 15 15 12 a) Ghép nhóm dãy số liệu thành khoảng có độ rộng nhau, khoảng [0;5) Tìm giá trị đại diện cho nhóm b) Tính số trung bình mẫu số liệu khơng ghép nhóm mẫu số liệu ghép nhóm Giá trị xác hơn? c) Xác định nhóm chứa mốt mẫu số liệu ghép nhóm thu Bài 3.5 Tuổi thọ (năm) 50 bình ắc quy ô tô cho sau: Tuổi thọ (năm) [2; 2,5) [2,5;3) [3;3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) [4,5;5) Tần số 1`4 11 a) Xác định mốt giải thích ý nghĩa b) Tính tuổi thọ trung bình 50 bình ắc quy tơ Bài 3.6 Điểm thi mơn Tốn (thang điểm 100, điểm làm trịn đến 1) 60 thí sinh cho bảng sau: Điểm 0 10  19 20  29 30  39 40  49 Số thí sinh 15 Điểm 50  59 60  69 70  79 80  89 90  99 Số thí sinh 12 10 a) Hiệu chỉnh để thu mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 b) Tìm tứ phân vị giải thích ý nghĩa chúng Bài 3.7 Phỏng vấn số học sinh khối 11 thời gian (giờ) ngủ buổi tối, thu bảng số liệu bên a) So sánh thời gian ngủ trung bình bạn học sinh nam nữ b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ giờ? Thời gian [4;5) Số học sinh nam Số học sinh nữ [5; 6) 10 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang [6;7) 13 10 [7;8) 11 [8;9) Em có biết? Ta sử dụng phần mềm Geogebra để tính tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 theo bước sau đây: Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy dạng sau: Nhóm  a1 [a1 ; a2 ) … [ai ; 1 ) … [ak ; ak 1 ) Tần số tích lũy c1 … ci … ck ci m1  mi  tần số tích luỹ Bước Vẽ đồ thị tần số tích luỹ cách nối điểm liên tiếp M k 1  ak 1 ; ck  M  a1 ;0  , M  a2 ; c1  ,  , n  n  A1  0;  B1  Q1 ;  4 , Bước Qua điểm   vẽ tia song song với Ox , cắt đồ thị tần số tích luỹ  với n cỡ mẫu, Q1 tứ phân vị thứ n  n  A2  0;  B2  Q2 ;  2   vẽ tia song song với Ox , cắt đồ thị tần số tích luỹ  Qua điểm Q2 tứ phân vị thứ hai 3n   3n   A3  0;  B3  Q3 ;   Q3 Qua điểm   vẽ tia song song với Ox , cắt đồ thị tần số tích luỹ  tứ phân vị thứ ba Chẳng hạn, với mẫu số liệu ghép nhóm cho Ví dụ ta có bảng tần số tích luỹ: Nhóm  9,5 [9,5;12, 5) [12,5;15,5) [15, 5;18,5) [18,5; 21,5) [21,5; 24,5) Tần số tích lũy 15 30 54 56 Sử dụng phần mềm Geogebra ta có Hình 3.1 TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Hình 3.1 Từ hình vẽ ta có Q1 15, 25; Q2 18,1; Q3 20 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III A-TRẮC NGHIỆM Khảo sát thời gian tập thể dục ngày số học sinh khối 11 thu mẫu số liệu ghép nhóm sau: Thời gian (phút) [0; 20) Số học sinh [20; 40) Bảng 3.6 Giá trị đại diện nhóm [20; 40) A 10 B 20 Bài 3.9 Mẫu số liệu ghép nhóm có số mốt A B Bài 3.10 Nhóm chứa mốt mẫu số liệu A [20; 40) B [40;60) [40; 60) [60;80) [80;100) 12 10 Bài 3.8 C 30 D 40 C D C [60;80) D [80;100) Bài 3.11 Nhóm chứa tứ phân vị thứ A [0; 20) B [20; 40) C [40;60) D [60;80) Bài 3.12 Nhóm chứa trung vị A [0; 20) C [40;60) D [60;80) B [20; 40) B-TỰ LUẬN Bài 3.13 Cơ cấu dân số Việt Nam năm 2020 theo độ tuổi cho bảng sau: Độ tuổi Dưới tuổi  14 25  64 Trên 65  14 Số người (triệu) 7,89 14,68 13,32 53,78 7,66 (Theo: http:/lourworldindata.org) Chọn 80 giá trị đại diện cho nhóm 65 tuổi Tính tuổi trung bình người Việt Nam năm 2020 Bài 3.14 Người ta ghi lại tuổi thọ số ong cho kết sau: Tuổi thọ (ngày) [0; 20) [20; 40) [40; 60) [60;80) [80;100) Số lượng 12 23 31 29 Tìm mốt mẫu số liệu Giải thích ý nghĩa giá trị nhận Bài 3.15 Một bảng xếp hạng tính đểm chuẩn hố cho số nghiên cứu số trường đại học Việt Nam thu kết sau: Điểm Dưới 20 [20;30) [30; 40) [40;60) [60;80) [80;100) Số trường 19 Xác định điểm ngưỡng để đưa danh sách 25% trường đại học có số nghiên cứu tốt Việt Nam TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 11