Bài 8 đối xứng tâm

BÀI 8: ĐỐI XỨNG TÂM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa hai điểm đối xứng với qua điểm, hai đoạn thẳng đối xứng với qua điểm + Nắm định nghĩa đối xứng tâm  Kĩ + Vẽ điểm, đoạn thẳng đối xứng qua điểm + Chứng minh hai điểm, hai đoạn thẳng đối xứng với qua điểm + Nhận biết số hình có tâm đối xứng Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hai điểm đối xứng qua điểm Định nghĩa: Hai điểm gọi đối xứng qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm Hai hình đối xứng qua điểm Định nghĩa: Hai hình gọi đối xứng với qua điểm O điểm thuộc hình đối xứng với điểm thuộc hình qua điểm O ngược lại Điểm O gọi tâm đối xứng hai hình Hình có tâm đối xứng Định nghĩa: Điểm O gọi tâm đối xứng qua hình H điểm đối xứng với điểm thuộc H qua điểm O thuộc hình H Định lí: Giao điểm hai đường chéo hình bình hành tâm đối xứng hình bình hành II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết hình cố tâm đối xứng Phương pháp giải Xác định hình có tâm đối xứng Tìm tâm đối xứng: Bước Xác định hai điểm đối xứng, hai hình đối xứng với qua điểm Bước Sử dụng định nghĩa đối xứng để xác định Kẻ tâm đối xứng: tâm đối xứng hai điểm, hai hình Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Xác định đoạn thẳng AB đối xứng với AB qua tâm O Hướng dẫn giải Trên tia AO lấy điểm A cho AO  AO Trên tia BO lấy điểm B cho BO BO Khi AB đối xứng với AB qua tâm O AB  AB Ví dụ 2: Xác định ABC  ảnh ABC qua phép đối xứng tâm I Hướng dẫn giải Trên tia AI lấy điểm A cho AI  AI Trên tia BI lấy điểm B cho BI BI Trên tia CI lấy điểm C  cho CI C I Khi ABC  đối xứng với ABC qua phép đối xứng tâm I có: AB  AB , AC  AC  , BC BC  ABC ABC  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phép đối xứng tam giác qua điểm, ta hình là: Trang A Một tam giác B Một tam giác vuông C Tam giác bị thu nhỏ lại D Một đường thẳng Câu 2: Tìm câu sai phát biểu đây? A Chữ in hoa S có tâm đối xứng B Tam giác có tâm đối xứng C Đường trịn có tâm đối xứng D Hình bình hành có giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng Câu 3: Vẽ hình đối xứng điểm, hình cho qua tâm đối xứng Câu 4: Trong hình đây, hình có tâm đối xứng: Dạng 2: Chứng minh hai điểm hai hình đối xứng với qua điểm Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo AC, BD Chứng minh AB đối xứng với DC qua O Trang Bước Xác định điểm hình cần chứng minh Hướng dẫn giải đối xứng Tứ giác ABCD hình bình hành O giao điểm Xác định tâm đối xứng hai đường chéo AC, BD Bước Chứng minh: Các điểm hình đối xứng  O trung điểm hai đường chéo AC, BD qua tâm: Ta có: - Một điểm thành điểm C đối xứng với A qua O (O trung điểm - Một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài AB) D đối xứng với B qua O (O trung điểm - Một tam giác thành tam giác AC) - Một đường trịn thành đường trịn có bán kính  DC đối xứng với AB qua tâm O bán kính đường trịn cho Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho ABC nhọn có D, E theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC Lấy điểm P đối xứng với B qua tâm E Q đối xứng với C qua tâm D Chứng minh P, Q đối xứng với qua tâm A Hướng dẫn giải Xét tứ giác ACBQ ta có: D trung điểm AB (giả thiết), D trung điểm CQ (Q đối xứng với C qua D)  tứ giác ACBQ hình bình hành có đường chéo cắt trung điểm đường  AQ //BC    AQ BC Xét tứ giác ABCP ta có: E trung điểm AC (giả thiết) E trung điểm BP (P đối xứng với B qua E)  Tứ giác ABCP hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường  AP //BC    AP BC Trang  AQ //BC Ta có   AP //BC Suy Q, A, P thẳng hàng Mà AQ  AP  BC  nên A trung điểm QP Hay P đối xứng với Q qua A Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh đối AD, BC E, F Chứng minh điểm E F đối xứng qua O Hướng dẫn giải Tứ giác ABCD hình bình hành có O giao điểm hai đường chéo AC, BD  O trung điểm hai đường chéo AC, BD Xét AOE COF ta có AOE COF  (hai góc đối đỉnh) OA OC (O trung điểm AC)   (hai góc so le AD //BC ) OAE OCF  AOE COF (g.c.g)  OE OF (hai cạnh tương ứng) Suy E đối xứng với F qua tâm O Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC vng A Lấy điểm D thuộc cạnh BC Gọi E điểm đối xứng với D qua AB, F điểm đối xứng với D qua AC Chứng minh E đối xứng với F qua A Câu 2: Cho hình bình hành ABCD gọi M điểm đối xứng D qua A N điểm đối xứng D qua C Chứng minh M đối xứng với N qua B Dạng 3: Sử dụng tính chất đối xứng tâm đề giải tốn Phương pháp giải Bước Sử dụng tính chất: Nếu hai đoạn thẳng Ví dụ: Cho ABC BC lấy điểm M nằm (góc, tam giác) đối xứng với qua điểm hai điểm B, C Từ M kẻ ME song song với AB cắt chúng để xác định điểm, đoạn thẳng đối AC E, từ M kẻ MK song song với AC cắt AB xứng K Gọi O trung điểm KE Chứng minh A Bước Chứng minh hai điểm đối xứng, đoạn M đối xứng với qua O thẳng đối xứng, hình đối xứng Hướng dẫn giải Trang Xét tứ giác AKME ta có: ME //AK  ME //AB  MK //AE  MK //AC   tứ giác AKME hình bình hành có hai cạnh đối song song Mà O trung điểm đường chéo KE nên O trung điểm đường chéo AM Vậy A M đối xứng qua O Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho ABC nhọn có AB  AC Gọi M trung điểm AC, E trung điểm BC Gọi D điểm đối xứng với B qua M N điểm đối xứng với A qua E Chứng minh a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) D đối xứng với N qua C Hướng dẫn giải a) Tứ giác ABNC ABCD hình bình hành Xét tứ giác ABNC ta có: E trung điểm BC (giả thiết) E trung điểm AN (N đối xứng với A qua E)  tứ giác ABNC hình bình hành có đường chéo cắt trung điểm đường Xét tứ giác ABCD ta có: M trung điểm AC (giả thiết), M trung điểm BD (D đối xứng với B qua M)  tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường b) D đối xứng với N qua C Ta có NC  AB (tứ giác ABNC hình bình hành), DC  AB (tứ giác ABCD hình bình hành), Trang  CN DC   AB   1 Ta có NC //AB (Tứ giác ABNC hình bình hành) DC //AB (tứ giác ABCD hình bình hành)  D; N; C thẳng hàng   Từ  1   suy D đối xứng với N qua C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình bình hành ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD Một đường thẳng qua O cắt AB, CD theo thứ tự E, F Chứng minh a) AE CF BE DF b) F đối xứng với E qua O Câu 2: Cho tam giác ABC Vẽ điểm D đối xứng với B qua A, vẽ điểm E đối xứng với C qua A Gọi M điểm nằm B C Tia MA cắt DE N Chứng minh MC  NE Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Lấy điểm E cạnh AB, lấy điểm F cạnh CD cho AE CF a) Chứng minh E đối xứng với F qua O b) Gọi I giao điểm AF DE, gọi K giao điểm BF CE Chứng minh I đối xứng với K qua O Trang ĐÁP ÁN Dạng Nhận biết hình có tâm đối xứng 1-A 2-B Câu 3: Học sinh tự vẽ Câu 4: Các biển báo có tâm đối xứng là: a); c) Dạng Chứng minh hai điểm hình đối xứng với qua điểm Câu 1: Chứng minh E đối xứng với F qua A Ta có E đối xứng với D qua AB (giả thiết) nên: AB trung trực DE  AE  AD  1 Ta có F đối xứng với D qua AC (giả thiết) nên AC trung trực DF  AD  AF  2 Từ  1   suy AE  AD  AF Ta có AE  AD (chứng minh trên)  AED cân A    Mà AB đường cao  AB  ED  nên AB phân giác EAD  EAB DAB Ta có AD  AF  ADF cân A    Mà AC đường cao  AC  DF  nên AC phân giác DAF  DAC FAC   Lại có CAD  DAB 90 ( ABC vuông A)   Suy EAB  FAC 90      EAB  FAC  BAC 90  90  EAF 180  E, A, F thẳng hàng Mà AE  AF nên A trung điểm EF Vậy E đối xứng với F qua A Câu 2: Ta có AM  AD (M đối xứng với D qua A) BC  AD (Tứ giác ABCD hình bình hành)  MA BC   AD  Mà MA//BC (Tứ giác ABCD hình bình hành) nên tứ giác AMBC hình bình hành có hai cạnh đối song song Trang Ta có CN CD (N đối xứng với D qua C) BA CD (Tứ giác ABCD hình bình hành)  CN  AB  CD  Mà CN //BA (Tứ giác ABCD hình bình hành) nên tứ giác ABNC hình bình hành có hai cạnh đối song song Ta có MB  AC (Tứ giác AMBC hình bình hành) NB //AC (Tứ giác ABNC hình bình hành)  MB  NB (song song với AC) Suy M, B, N thẳng hàng Mà MB NB   AC  nên M đối xứng với N qua B Dạng Sử dụng tính chất đối xứng tâm để giải tốn Câu 1: a) Tứ giác ABCD hình bình hành có O giao điểm hai đường chéo AC, BD  O trung điểm hai đường chéo AC, BD Xét AOE COF ta có AOE COF  (hai góc đối đỉnh) OA OC (O trung điểm AC)   (hai góc so le OAE OCF AB //DC )  AOE COF (g.c.g)  AE CF (hai cạnh tương ứng) Ta có AB DC (tứ giác ABCD hình bình hành) AE CF (chứng minh trên)  AB  AE DC  CF  BE DF b) Ta có OE OF  AOE COF  nên F đối xứng với E qua O (O, E, F thẳng hàng) Câu 2: Xét tứ giác BCDE, ta có A trung điểm CE (E đối xứng với C qua A) A trung điểm BD (D đối xứng với B qua A)  Tứ giác BCDE hình bình hành có đường chéo cắt trung điểm đường  DE //BC Xét ANE AMC , ta có   (hai góc đối đỉnh) NAE MAC AE  AC (A trung điểm EC) Trang 10 AEN  ACM (hai góc so le BC //DE )  ANE AMC (g.c.g)  EN MC (hai cạnh tương ứng) Câu 3: a) Xét tứ giác AECF, ta có AE CF (giả thiết) AE //CF (tứ giác ABCD hình bình hành)  Tứ giác AECF hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Mà O trung điểm AC (ABCD hình bình hành) nên O trung điểm EF Suy E đối xứng với F qua O b) Ta chứng minh BEDF hình bình hành Xét tứ giác EIFK, ta có EI //KF (tứ giác BEDF hình bình hành) IF //EK (tứ giác AECF hình bình hành)  Tứ giác EIFK hình bình hành hai cặp cạnh đối song song Mà: O trung điểm EF (tứ giác AECF hình bình hành) nên O trung điểm IK Suy I đối xứng với K qua O Trang 11