Bài 12 hình vuông

BÀI 12 HÌNH VNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa tính chất hình vng + Nắm dấu hiệu nhận biết hình vng  Kĩ + Vẽ hình vng + Chứng minh tứ giác hình vng + Sử dụng tính chất hình vng để tính độ dài cạnh, góc I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh Suy ra: - Hình vng hình chữ nhật có bốn cạnh - Hình vng hình thoi có bốn góc vng - Hình vng vừa hình chữ nhật vừa hình thoi Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng b) Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng c) Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng d) Hình thoi có góc vng hình vng e) Hình thoi có hai đường chéo hình vng Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HỐ Hình vẽ Khái Hình vng niệm Tính chất Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình vng Phương pháp giải Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vng  Hình thoi có góc vng  Hình thoi có hai đường chéo  Hình chữ nhật có hai cạnh kề  Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với  Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc chứa đường chéo Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M , N trung điểm AB, AC Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt BC P Chứng minh AMPN hình vng Hướng dẫn giải Ta có M trung điểm AB, MP / / AC nên MP đường trung bình ABC  P trung điểm BC Mà N trung điểm AC  NP đường trung bình ABC  NP / / AB  AMPN hình bình hành · Mà MAN 90o suy AMPN hình chữ nhật Mặt khác AM  AB AC   AN  AMPN hình vng 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A Gọi AD đường phân giác góc A (D thuộc BC ), từ D kẻ DE DF vng góc với AB AC E  AB; F  AC Chứng minh AEDF hình vng Hướng dẫn giải Xét tứ giác AEDF có · EAF  ·AFD  ·AED 90o Mà AD tia phân giác góc A Trang Suy tứ giác AEDF hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc chứa đường chéo AEDF hình vng Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự AB  BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng hình vng ABMN BCEF Trên đoạn AB lấy điểm P, tia đối tia MB lấy điểm Q cho AP MQ BF Chứng minh tứ giác PNQE hình vng Hướng dẫn giải ANP MNQ  AN MN ả o A M 90 NP NQ  1  AP MQ gt    Do PC BC  BP  AP  BP  AB FQ FM  MQ FM  BF MB nên PC FQ Xét tam giác CPE tam giác FQE có · · ECP EFQ 90o CE EF PC FQ  CPE FQE  c.g.c   PE QE   ANP CPE  AN CP   AB   o µ µ  NP PE  3  A C 90  AP CE BF    Từ (1); (2); (3) suy NP PE EQ QN hay tứ giác PNQE hình thoi ¶ N ¶  PNQ · ¶ N ¶ N ¶ N ¶  ANM · ANP MNQ  N N 3 ·  PNQ 90o  Tứ giác PNQE hình vng (đpcm) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một hình thoi trở thành hình vng hình thoi A có hai đường chéo vng góc với B có hai cạnh kề C có tất góc D A, B, C Câu 2: Cho hình vng có cạnh Đường chéo hình vng A B C D Câu 3: Trong dấu hiệu đây, đâu dấu hiệu nhận biết hình vng? A Hình thoi có góc vng B Hình chữ nhật có hai đường chéo Trang C Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với D Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc chứa đường chéo Câu 4: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC , CD, DA lấy M , N , P, Q cho AM BN CP DQ Chứng minh MNPQ hình vng Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACFG M N tâm hình vng ABDE ACFG I K trung điểm EG BC Chứng minh tứ giác MKNI hình vng Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc đường chéo hình vng Ví dụ: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD, DC lấy điểm E , F cho AE DF Chứng minh a) Các tam giác ADF BAE b) BE  AF Hướng dẫn giải a) Chứng minh hai tam giác ADF ABE theo trường hợp c.g.c b) Gọi I giao điểm AF BE · · Do ADF BAE nên AEI DFA · · · ·  EAI  AEI EAI  DFA 90o  BE  AF Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD M N trung điểm AB BC CM DN cắt E Chứng minh AE  AB Hướng dẫn giải Trang BCM CDN hai tam giác vng có BC CD BM CN (cùng độ dài cạnh hình vng) nên BCM CDN  c.g.c  · · · · · ·  BCM CDN  CDE  ECD BCE  ECD · · ·  CDE  ECD BCD 90o  CM  DN E Gọi P trung điểm CD H giao điểm AP với DE  AP / / CM  AP  DN H Tứ giác AMCP hình bình hành AM / /CP AM CP (cùng  độ dài cạnh hình vng) Tam giác CDE có PC PD, PH / /CE  HE HD Tam giác AED có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên AED cân đỉnh A  AE  AD  AE  AB (đpcm) Bài tập tự luyện dạng · Câu 1: Cho hình vng ABCD Lấy điểm M cạnh DC Tia phân giác MAD cắt CD I Kẻ IH vng góc với AM H Tại IH cắt BC K Chứng minh a) ABK AHK ; · b) IAK 45o Câu 2: Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành hai hình vng ABEF ADGH Chứng minh a) AC FH ; b) AC  FH ; c) CEG tam giác vuông cân Câu 3: Cho hình vng ABCD Gọi E , F trung điểm AB, AD Chứng minh: a) DE CF ; b) DE  CF Câu 4: ABC vng đỉnh A Vẽ ngồi tam giác hình vng ABDE ACFG Gọi M trung điểm BC H hình chiếu vng góc A lên EG Chứng minh rằng: M , A, H thẳng hàng Trang Câu 5: ABC vuông đỉnh A, đường cao AH Vẽ tam giác hình vng ABMN ACEF MN cắt EF I a) Chứng minh ba điểm I , A, H thẳng hàng b) Chứng minh IH , MC , BE đồng quy Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A, M điểm thuộc cạnh BC Qua M vẽ đường thẳng song song với AB AC , chúng cắt cạnh AC , AB theo thứ tự F E a) Tứ giác AFME hình gì? b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tứ giác AFME hình vng Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác AFME hình chữ nhật · b) Để tứ giác AFME hình vng, đường chéo AM trở thành đường phân giác góc BAC  M giao điểm đường phân giác góc µA với BC Ví dụ mẫu Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD có AB / / DC AB  DC , hai đường chéo AC , BD vng góc O M N trung điểm AC BD Tìm tỉ số AB DC để tứ giác ABMN hình vng Hướng dẫn giải Gọi P trung điểm AD suy MP NP đường trung bình ADC DAB Trang  MP / / DC / / AB ; MP  DC     NP / / AB / / DC ; NP  AB   Ba điểm M , N , P thẳng hàng MN MP  NP   DC  AB  Vì tứ giác ABMN có MN / / AB nên tứ giác ABMN hình bình hành MN  AB  AB   DC  AB   AB  DC 3AB  DC Khi đó, tứ giác ABCD hình thang cân nên AC BD suy AM BN Hay tứ giác ABMN hình chữ nhật Lại có AM  BN O (giả thiết) nên tứ giác ABMN hình vng Kết luận: Tứ giác ABMN hình vng AB  DC Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC , CA, AB Điều kiện để tứ giác ANMP hình vuông A AM NP B AN MP C AN  MN D AM  NP Câu 2: Hình thoi ABCD cần có thêm điều kiện để trở thành hình vng? A AC BD B AB  AD C AB  AC D BC BD Câu 3: Cho ABC có D, E , F trung điểm cạnh AB, AC , BC Gọi M , N , P, Q trung điểm đoạn AD, AE , EF , FD Tìm điều kiện ABC để tứ giác DAEF MNPQ hình vng ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình vuông 1-C 2-D 3-B Câu 4: Bốn tam giác AMQ, BNM , CPN , DQP  QM MN  NP PQ  Tứ giác QMNP hình thoi · · Chứng minh ·AMQ  BMN 90o  QMN 90o  Tứ giác QMNP hình vng Câu 5: Trang  Bước Chứng minh rằng: tứ giác MKNI hình bình hành  Bước Chứng minh rằng: BG EC BG  EC cách xét tam giác AEC ABG  BG EC  tứ giác MKNI hình thoi Đặt P  AB  EC Q EC  BG AEC ABG  ·AEC  ·ABG  BPQ vuông đỉnh Q  EC  BG  Tứ giác MKIN hình vng Dạng 2: Vận dụng tính chất hình vng để chứng minh tính chất hình học Câu 1: a) Chứng minh ADI AHI suy AD  AH Từ đó, chứng minh ABK AHK 1· 1· · ·  DAH  HAB b) Ta có IAH HAK 2 · · · · · Mà DAH  HAB 90o suy IAK IAH  HAK 45o Câu 2: a) Chứng minh AFH BAC  c.g.c   FH  AC b) Gọi I FH  AC · Do ·AFH BAC ta có · · · IAF  ·AFH IAF  BAC 90o  AC  FH c) Chứng minh GCD CEB  c.g.c   GC CE Ta có · · · 180o ECB  CBE  BEC · · · ECB  CBA  90o  BEC · · · · ·  ECB  CBA  BEC 90o , mà BEC GCD · · ·  ECB  CBA  GCD 90o  1 · · Mặt khác, ABCD hình bình hành, DCB  CBA 180o · · · ·  GCE  GCD  CBA 180o   Hay ECB · Từ (1) (2), GCE 90o  Tam giác CEG tam giác vuông cân Câu 3: Trang a) Chứng minh AED DFC  c.g.c   DE CF · · · · b) Do ·ADE DCF (góc tương ứng), ta có EDC  DCF EDC  ·ADE 90o  DE  CF Câu 4: Trên tia AC lấy K cho AK  AB Gọi I trung điểm GK Dễ dàng thấy AKG ABC  AI IK  AM MB  IAK MAB  c.c.c  · · ·  IAK MAB  IAM 90o  AI  AM (1) Mặt khác AI đường trung bình KEG  AI  AH   Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu 5: a) Chứng minh ANI ABC  c.g.c  · · ·  NAI  ·ABC  NAI  BAH 90o  I , A, H thẳng hàng b) Đặt P MC  IB Q BE  IC Chứng minh BQ CP hai đường cao IBC  IH , BQ, CP đồng quy Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình vng 1-D Câu 3: 2-A Điều kiện để tứ giác DAEF hình vng Trang 10  1 Ta có EF  AB  AD, DF  AC  AE 2  Do tứ giác DAEF hình bình hành · Do để tứ giác DAEF hình vng ta cần AD  AE DAE 90o hay tam giác ABC tam giác vuông cân Điều kiện để tứ giác MNPQ hình vng:  1 Ta có MN PQ  DE MQ  NP  AF tứ giác MNPQ hình bình hành 2  · Do để tứ giác MNPQ hình vng ta cần DE  AF  BC NMQ 90o hay tam giác ABC tam giác vuông (để đường trung tuyến AF nửa cạnh huyền BC ) AF  DE AF  BC ta có tam giác ABC tam giác vuông cân Trang 11